Магический квадрат

Наименьший (и единственный с точностью до вращения и отражения) нетривиальный случай магического квадрата третьего порядка.

В математике , особенно исторической и развлекательной , квадратный массив чисел, обычно положительных целых чисел , называется магическим квадратом , если суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих главных диагоналях одинаковы. ^[1]^[2] «Порядок» магического квадрата — это количество целых чисел вдоль одной стороны ( n ), а постоянная сумма называется « магической константой ». Если массив включает только положительные целые числа $1,2,...,n^{2}$ , магический квадрат называется «нормальным». Некоторые авторы считают, что «магический квадрат» означает «обычный магический квадрат». ^[3]

Магические квадраты, включающие повторяющиеся записи, не подпадают под это определение и называются «тривиальными». Некоторые известные примеры, в том числе магический квадрат Саграда Фамилия и площадь Паркера , в этом смысле тривиальны. Когда сумма всех строк и столбцов, но не обеих диагоналей, равна магической константе, получается полумагический квадрат (иногда называемый ортомагическим квадратом ).

Математическое исследование магического квадрата обычно связано с его построением, классификацией и перечислением. Хотя совершенно общих методов создания всех магических квадратов всех порядков не существует, исторически были открыты три общих метода: метод окантовки, создание составных магических квадратов и добавление двух предварительных квадратов. Существуют также более конкретные стратегии, такие как метод непрерывного подсчета, который воспроизводит определенные закономерности. Магические квадраты обычно классифицируются в соответствии с их порядком n : нечетные, если n нечетное, четно-четные (также называемые «дважды четными»), если n кратно 4, нечетно-четные (также известные как «единственно-четные»), если n — любое другое четное число. Эта классификация основана на различных методах, необходимых для построения нечетных, четных и нечетных квадратов. Кроме того, в зависимости от дополнительных свойств магические квадраты также классифицируются на ассоциативные магические квадраты , пандиагональные магические квадраты , наиболее совершенные магические квадраты и так далее. Еще сложнее то, что были также предприняты попытки классифицировать все магические квадраты данного порядка как преобразования меньшего набора квадратов. За исключением n ≤ 5, перечисление магических квадратов более высокого порядка все еще остается открытой проблемой. Перечисление наиболее совершенных магических квадратов любого порядка было осуществлено только в конце 20 века.

Магические квадраты имеют долгую историю, начиная с 190 г. до н.э. в Китае. В разное время они приобретали оккультное или мифическое значение и выступали в качестве символов в произведениях искусства. В наше время они были обобщены несколькими способами, включая использование дополнительных или других ограничений, умножение вместо добавления ячеек, использование альтернативных форм или более двух измерений, а также замену чисел фигурами и сложение геометрическими операциями.

История

Магический квадрат третьего порядка был известен китайским математикам еще в 190 г. до н.э. и явно определен в первом веке нашей эры. Первый датируемый случай магического квадрата четвертого порядка произошел в 587 году нашей эры в Индии. Образцы магических квадратов от 3 до 9 появляются в энциклопедии из Багдада ок. 983 , Энциклопедия Братьев Чистоты ( Расаил Ихван ас-Сафа ). К концу XII века были хорошо известны общие методы построения магических квадратов. Примерно в это же время некоторые из этих квадратов все чаще использовались в сочетании с магическими буквами, как в Шамс Аль-Маариф , в оккультных целях. ^[4] В Индии все пандиагональные магические квадраты четвертого порядка были перечислены Нараяной в 1356 году. Магические квадраты стали известны Европе благодаря переводу арабских источников как оккультные объекты в эпоху Возрождения, и общую теорию пришлось открывать заново, независимо от предшествующих. Развитие событий в Китае, Индии и на Ближнем Востоке. Также примечательны древние культуры с традициями математики и нумерологии, которые не открыли магические квадраты: греки, вавилоняне, египтяне и американцы доколумбовой эпохи.

китайский

Страница с изображением магического квадрата 9 × 9 из *« Суанфа тунцзун* » Чэн Давэя (1593 г.).

В то время как древние упоминания о порядке четных и нечетных чисел в магическом квадрате 3×3 появляются в « И Цзин» , первый недвусмысленный пример этого магического квадрата появляется в главе под названием Минтан (Светлый зал) книги Да Дай I века. Лицзи («Запись обрядов Старейшины Дая»), в которой якобы описываются древние китайские обряды династии Чжоу. ^[5]^[6]^[7]^[8] Эти числа также встречаются, возможно, в более раннем математическом тексте под названием «Сюсю джии» («Воспоминания о некоторых традициях математического искусства»), который, как говорят, был написан в 190 году до нашей эры. Это самое раннее зарегистрированное появление магического квадрата; и в основном его использовали для гадания и астрологии. ^[5] Магический квадрат 3×3 ранние китайские математики называли «Девять залов». ^[7] Идентификация магического квадрата 3×3 с легендарной картой Луошу была сделана только в XII веке, после чего его стали называть квадратом Луошу. ^[5]^[7] Самый старый сохранившийся китайский трактат, в котором показаны магические квадраты порядка больше 3, — это » Ян Хуэя ( «Сюгу чжэци суаньфа «Продолжение древних математических методов объяснения странного»), написанный в 1275 году. ^[5]^[7] Содержание трактата Ян Хуэя было собрано из более старых работ, как отечественных, так и зарубежных; и он лишь объясняет построение магических квадратов третьего и четвертого порядка, просто передавая готовые диаграммы более крупных квадратов. ^[7] Он дает магический квадрат третьего порядка, два квадрата на каждый порядок от 4 до 8, один девятого порядка и один полумагический квадрат 10-го порядка. Он также дает шесть магических кругов различной сложности. ^[9]

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2	16	13	3
11	5	8	10
7	9	12	6
14	4	1	15

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

13	22	18	27	11	20
31	4	36	9	29	2
12	21	14	23	16	25
30	3	5	32	34	7
17	26	10	19	15	24
8	35	28	1	6	33

46	8	16	20	29	7	49
3	40	35	36	18	41	2
44	12	33	23	19	38	6
28	26	11	25	39	24	22
5	37	31	27	17	13	45
48	9	15	14	32	10	47
1	43	34	30	21	42	4

61	3	2	64	57	7	6	60
12	54	55	9	16	50	51	13
20	46	47	17	24	42	43	21
37	27	26	40	33	31	30	36
29	35	34	32	25	39	38	28
44	22	23	41	48	18	19	45
52	14	15	49	56	10	11	53
5	59	58	8	1	63	62	4

31	76	13	36	81	18	29	74	11
22	40	58	27	45	63	20	38	56
67	4	49	72	9	54	65	2	47
30	75	12	32	77	14	34	79	16
21	39	57	23	41	59	25	43	61
66	3	48	68	5	50	70	7	52
35	80	17	28	73	10	33	78	15
26	44	62	19	37	55	24	42	60
71	8	53	64	1	46	69	6	51

Приведенные выше магические квадраты порядков с 3 по 9 взяты из трактата Ян Хуэя, в котором отчетливо проявляется принцип Ло Шу. ^[7]^[8] Квадрат 5-го порядка представляет собой магический квадрат с окантовкой, центральный квадрат 3х3 сформирован по принципу Ло Шу. Квадрат 9-го порядка представляет собой составной магический квадрат, в котором девять дополнительных квадратов 3×3 также являются магическими. ^[7] После Ян Хуэя магические квадраты часто встречаются в китайской математике, например, в «Даян суойинь » Дин Идуна ( ок. 1300 г. ), » Чэна Давэя ( «Суаньфа тунцзонг » Фан Чжунтуна 1593 г.), «Шудуянь (1661 г.), который содержит магические круги, кубы и сферы, Чжан Хуэй. Чао Синьчжай дзазу ( ок. 1650 г. ), опубликовавший первый в Китае магический квадрат десятого порядка, и, наконец, «Бинайшаньфан цзи » Бао Цишоу ( ок. 1880 г. ), который дал различные трехмерные магические конфигурации. ^[5]^[8] Однако, несмотря на то, что Китай первым открыл магические квадраты и получил преимущество в несколько столетий, развитие магических квадратов в Китае намного уступает развитию Индии, Ближнего Востока или Европы. Высшая точка китайской математики, связанная с магическими квадратами, по-видимому, заключена в работах Ян Хуэя; но даже будучи собранием более старых методов, эта работа гораздо более примитивна, лишена общих методов построения магических квадратов любого порядка, по сравнению с аналогичным сборником, написанным примерно в то же время византийским учёным Мануэлем Мосхопулосом . ^[7] Возможно, это связано с увлечением китайских ученых принципом Ло Шу, который они пытались адаптировать для решения более высоких квадратов; и после Ян Хуэя и падения династии Юань , их систематическое очищение от иностранного влияния в китайской математике. ^[7]

Япония

Япония и Китай имеют схожие математические традиции и неоднократно влияли друг на друга в истории магических квадратов. ^[10] Интерес японцев к магическим квадратам возник после распространения китайских работ — «Суаньфа» Чэна Давэя Ян Хуэя и «Суанфа тунцзун» — в 17 веке, и в результате почти все васаны посвятили свое время его изучению.

В издании «Кецуги-сё» 1660 года Исомура Киттоку представил как нечетные, так и четные магические квадраты с границами, а также магические круги; в то время как издание той же книги 1684 года содержало большой раздел, посвященный магическим квадратам, демонстрирующий, что у него был общий метод построения магических квадратов с рамкой. ^[11] В «Дзинко-ки» (1665 г.) Мурамацу Кудаю Мосея показаны как магические квадраты, так и магические круги. Самая большая квадратная конструкция Моисея относится к 19-му порядку. Различные магические квадраты и магические круги были также опубликованы Нодзава Тейчо в «Докай-сё» (1666 г.), Сато Сэйко в «Конгенки» (1666 г.) и Хосино Санэнобу в «Ко-ко-ген сё» (1673 г.). ^[12] Одна из Секи Такакадзу ( семи книг Ходзин Йенсан ) (1683) полностью посвящена магическим квадратам и кругам. Это первая японская книга, в которой дается общее описание магических квадратов, в которой четко описаны алгоритмы построения нечетных, однократно-четных и дважды-четных магических квадратов. ^[13] В 1694 и 1695 годах Юэки Андо предложил различные методы создания магических квадратов и отобразил квадраты от 3 до 30. Магический куб четвертого порядка был построен Ёсидзанэ Танакой (1651–1719) в Ракусё-кикан (1683). Изучение магических квадратов было продолжено учениками Секи, в частности Катахиро Такэбе, чьи квадраты были показаны в четвертом томе « Ичиген Каппо» Сюкеем Ирие, Ёсисуке Мацунага в «Ходзин-Син-дзюцу» , Ёсихиро Курушима в «Кюси Ико» , который заново открыл метод создайте нечетные квадраты, данные Агриппой, ^[14] и Наонобу Адзима . ^[15]^[16] Таким образом, к началу XVIII века японские математики владели методами построения магических квадратов произвольного порядка. После этого попытки подсчета магических квадратов были предприняты Нусидзуми Ямаджи. ^[16]

Индия

Магический квадрат 3х3 впервые появляется в Индии в «Гаргасамхите» Гарги, который рекомендует использовать его для умиротворения девяти планет ( наваграха ). Самая старая версия этого текста датируется 100 г. н.э., но отрывок о планетах не мог быть написан ранее 400 г. н.э. Первый датируемый случай магического квадрата 3×3 в Индии встречается в медицинском тексте «Сиддхайог» ( ок. 900 г. н.э. ) Вринды, который прописывался роженицам для облегчения родов. ^[17]

Самый старый датируемый магический квадрат четвертого порядка в мире найден в энциклопедическом труде, написанном Варахамихирой около 587 года нашей эры, под названием « Брихат Самхита» . Магический квадрат создан для создания духов с использованием 4 веществ, выбранных из 16 различных веществ. Каждая ячейка квадрата представляет определенный ингредиент, а число в ячейке представляет пропорцию соответствующего ингредиента, так что смесь любых четырех комбинаций ингредиентов по столбцам, строкам, диагоналям и т. д. дает общий объем. смеси должно быть 18. Хотя книга в основном посвящена гаданию, магический квадрат дан в результате комбинаторного замысла, и ему не приписываются никакие магические свойства. Особенности этого магического квадрата были прокомментированы Бхаттотпалой ( ок. 966 г. н.э. ). ^[18]^[17]

2	3	5	8
5	8	2	3
4	1	7	6
7	6	4	1

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

Сумма квадрата Варахамихиры, как указано выше, равна 18. Здесь числа от 1 до 8 встречаются в квадрате дважды. Это пандиагональный магический квадрат . Четыре разных магических квадрата можно получить, добавив 8 к одному из двух наборов последовательностей от 1 до 8. Последовательность выбрана такая, чтобы число 8 добавлялось ровно два раза в каждой строке, каждом столбце и каждой из главных диагоналей. Один из возможных магических квадратов показан справа. Этот магический квадрат примечателен тем, что представляет собой поворот на 90 градусов магического квадрата, который в исламском мире 13 века является одним из самых популярных магических квадратов. ^[19]

Построение магического квадрата 4-го порядка подробно описано в работе под названием «Какшапута» , написанной алхимиком Нагарджуной около 10 века нашей эры. Все квадраты, данные Нагарджуной, представляют собой магические квадраты 4×4, и один из них назван Нагарджуной в его честь . Нагарджуна предложил метод построения магического квадрата 4×4 с использованием основного скелетного квадрата по нечетной или четной магической сумме. ^[18] Ниже приведен квадрат Нагарджуния, его общая сумма равна 100.

30	16	18	36
10	44	22	24
32	14	20	34
28	26	40	6

7	1	4	6
2	8	5	3
5	3	2	8
4	6	7	1

Квадрат Нагарджуния представляет собой пандиагональный магический квадрат . Квадрат Нагарджунии состоит из двух арифметических прогрессий, начинающихся с 6 и 16, по восемь членов в каждой, с общей разницей между последовательными членами, равной 4. Когда эти две прогрессии сводятся к нормальной прогрессии от 1 до 8, получается соседний квадрат. .

был начертан магический квадрат 4х4 Примерно в 12 веке на стене храма Паршванатх в Кхаджурахо , Индия, . Несколько джайнских гимнов учат, как составлять магические квадраты, хотя датировать их невозможно. ^[17]

Насколько известно, первое систематическое исследование магических квадратов в Индии было проведено Тхаккаром Феру , джайнским ученым, в его работе «Ганитасара Каумуди» (ок. 1315 г.). Эта работа содержит небольшой раздел о магических квадратах, состоящий из девяти стихов. Здесь он дает квадрат четвертого порядка и намекает на его перестановку; классифицирует магические квадраты на три (нечетные, четные и нечетные) в соответствии с их порядком; дает квадрат шестого порядка; и предписывает по одному методу построения четных и нечетных квадратов. Для четных квадратов Феру делит квадрат на составляющие квадраты четвертого порядка и помещает числа в ячейки по образцу стандартного квадрата четвертого порядка. Для нечетных полей Феру предлагает метод, использующий ход коня или ход коня . Хотя алгоритмически он отличается, он дает тот же квадрат, что и метод Де ла Лубера. ^[17]

Следующий всеобъемлющий труд о магических квадратах был предпринят Нараяной Пандитом , который в четырнадцатой главе своей «Ганиты Каумуди» (1356 г.) дает общие методы их построения, а также принципы, управляющие такими построениями. Он состоит из 55 стихов правил и 17 стихов примеров. Нараяна дает метод построения всех панмагических квадратов четвертого порядка с помощью хода коня; перечисляет количество пандиагональных магических квадратов четвертого порядка, 384, включая все вариации, созданные вращением и отражением; три общих метода для квадратов любого порядка и постоянной суммы, когда известен стандартный квадрат того же порядка; по два метода построения четно-четных, нечетно-четных и квадратов при заданной сумме. Хотя Нараяна описывает один более старый метод для каждого вида квадратов, он утверждает, что метод суперпозиции для четных и нечетных квадратов и метод замены нечетно-четных квадратов являются его собственным изобретением. Позже метод суперпозиции был вновь открыт Де ла Гир в Европе. В последнем разделе он представляет другие фигуры, такие как круги, прямоугольники и шестиугольники, в которых числа можно расположить так, чтобы они обладали свойствами, подобными свойствам магических квадратов. ^[18]^[17] Ниже приведены некоторые магические квадраты, построенные Нараяной: ^[18]

8	1	6
3	5	7
4	9	2

1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

1	35	4	33	32	6
25	11	9	28	8	30
24	14	18	16	17	22
13	23	19	21	20	15
12	26	27	10	29	7
36	2	34	3	5	31

35	26	17	1	62	53	44
46	37	21	12	3	64	55
57	41	32	23	14	5	66
61	52	43	34	25	16	7
2	63	54	45	36	27	11
13	4	65	56	47	31	22
24	15	6	67	51	42	33

60	53	44	37	4	13	20	29
3	14	19	30	59	54	43	38
58	55	42	39	2	15	18	31
1	16	17	32	57	56	41	40
61	52	45	36	5	12	21	28
6	11	22	27	62	51	46	35
63	50	47	34	7	10	23	26
8	9	24	25	64	49	48	33

Квадрат восьмого порядка интересен сам по себе, поскольку является примером наиболее совершенного магического квадрата. Между прочим, Нараяна утверждает, что цель изучения магических квадратов — построить янтру , разрушить эго плохих математиков и доставить удовольствие хорошим математикам. Тема магических квадратов называется бхадраганита , и Нараяна утверждает, что впервые этому человеку научил бог Шива . ^[17]

Ближний Восток, Северная Африка, мусульманская Иберия

Хотя ранняя история магических квадратов в Персии и Аравии неизвестна, предполагается, что они были известны еще в доисламские времена. ^[20] Однако ясно, что изучение магических квадратов было обычным явлением в средневековом исламе , и считалось, что оно началось после появления шахмат в этом регионе. ^[21]^[22]^[23] Первое датируемое появление магического квадрата 3-го порядка происходит в Джабира ибн Хайяна (ок. 721 – ок. 815) «Китаб аль-мавазин ас-Сагир» («Маленькая книга весов») , где магический квадрат и связанные с ним нумерология связана с алхимией. ^[8] Хотя известно, что трактаты о магических квадратах были написаны в 9 веке, самые ранние из сохранившихся договоров датируются 10 веком: один Абуль-Вафа аль-Бузджани ( ок. 998 г. ), а другой Али б. Ахмад аль-Антаки ( ок. 987 ). ^[22]^[24]^[25] Эти ранние трактаты были чисто математическими, а арабское обозначение используемых магических квадратов — вафк аль-а'дад , что переводится как гармоничное расположение чисел . ^[23] К концу X века два трактата Бузджани и Антаки ясно показывают, что математики Ближнего Востока поняли, как строить квадраты с рамкой любого порядка, а также простые магические квадраты малых порядков ( n ≤ 6), которые использовались для составить составные магические квадраты. ^[22]^[24] Образец магических квадратов порядков с 3 по 9, изобретенных ближневосточными математиками, появляется в энциклопедии из Багдада ок. 983 , Расаил Ихван ас-Сафа ( Энциклопедия Братьев Чистоты ). ^[26] Ниже приведены квадраты порядка 3–7 от Расаила: ^[26]

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

21	3	4	12	25
15	17	6	19	8
10	24	13	2	16
18	7	20	9	11
1	14	22	23	5

11	22	32	5	23	18
25	16	7	30	13	20
27	6	35	36	4	3
10	31	1	2	33	34
14	19	8	29	26	15
24	17	28	9	12	21

47	11	8	9	6	45	49
4	37	20	17	16	35	46
2	18	26	21	28	32	48
43	19	27	25	23	31	7
38	36	22	29	24	14	12
40	15	30	33	34	13	10
1	39	42	41	44	5	3

В 11 веке было обнаружено несколько способов построения простых магических квадратов нечетного и четно-четного порядка; более сложный случай равномерно-нечетного случая ( n = 4k + 2 ) был решен Ибн аль-Хайсамом с k четным (ок. 1040 г.) и полностью к началу 12 века, если не уже во второй половине 11 век. ^[22] Примерно в то же время строились пандиагональные площади. Договоры о магических квадратах были многочисленными в 11 и 12 веках. Эти более поздние разработки, как правило, представляли собой улучшения или упрощения существующих методов. Начиная с 13 века, магические квадраты все чаще использовались в оккультных целях. ^[22] Однако большая часть этих более поздних текстов, написанных для оккультных целей, просто изображают определенные магические квадраты и упоминают их атрибуты, не описывая принцип их построения, и лишь некоторые авторы поддерживают общую теорию. ^[22] Одним из таких оккультистов был алжирец Ахмад аль-Буни (ок. 1225 г.), который дал общие методы построения магических квадратов с границами; другими были египтянин Шабрамаллиси 17 века и нигериец аль-Кишнави 18 века. ^[27]

Магический квадрат третьего порядка описывался как оберег деторождения. ^[28]^[29] с момента его первого литературного появления в алхимических произведениях Джабира ибн Хайяна (ок. 721 – ок. 815) ^[29]^[30] и аль-Газали (1058–1111) ^[31] и это сохранилось в традиции планетарных таблиц. Самое раннее упоминание о связи семи магических квадратов с достоинствами семи небесных тел встречается в книге андалузского ученого Ибн Заркали (известного в Европе как Азаркиэль) (1029–1087) «Китаб тадбират аль-кавакиб» ( «Книга о влиянии небесных тел») . Планеты ). ^[32] Столетие спустя алжирский ученый Ахмад аль-Буни приписал мистические свойства магическим квадратам в своей весьма влиятельной книге « Шамс аль-Маариф» ( «Книга Солнца гнозиса и тонкости возвышенных вещей »), где также описывается их конструкция. Эта традиция о серии магических квадратов от третьего до девятого порядка, связанных с семью планетами, сохранилась в греческой, арабской и латинской версиях. ^[33] Есть также упоминания об использовании магических квадратов в астрологических расчетах, практика, которая, по-видимому, зародилась у арабов. ^[34]^[35]

Латинская Европа

В отличие от Персии и Аравии, существует более подробная документация о том, как магические квадраты были переданы в Европу. Около 1315 года под влиянием арабских источников греческий византийский ученый Мануэль Мосхопулос написал математический трактат на тему магических квадратов, оставив без внимания мистицизм своих ближневосточных предшественников, где он предложил два метода для нечетных квадратов и два метода для четных квадратов. . Мосхопулос был практически неизвестен в Латинской Европе до конца 17 века, когда Филипп де ла Гир заново открыл свой трактат в Королевской библиотеке Парижа. ^[36] Однако он был не первым европейцем, писавшим на магических квадратах; а магические квадраты были распространены по остальной Европе через Испанию и Италию как оккультные объекты. Ранние оккультные договоры, в которых были изображены квадраты, не описывали, как они были построены. Таким образом, всю теорию пришлось открыть заново.

Магические квадраты впервые появились в Европе в Китаб тадбират аль-кавакиб ( «Книга о влиянии планет» ), написанной Ибн Заркали из Толедо, Аль-Андалус, как планетарные квадраты к 11 веку. ^[32] Магический квадрат трех обсуждался в нумерологической манере в начале XII века еврейским ученым Авраамом ибн Эзрой из Толедо, оказавшим влияние на более поздних каббалистов. ^[37] Работа Ибн Заркали была переведена как «Libro de Astromagia» в 1280-х годах. ^[38] благодаря Альфонсо X Кастильскому. ^[39]^[32] В тексте Альфонсина соответствующим планетам присвоены магические квадраты разного порядка, как и в исламской литературе; к сожалению, из всех обсуждаемых квадратов магический квадрат Марса пятого порядка — единственный квадрат, представленный в рукописи. ^[40]^[32]

Магические квадраты снова появляются во Флоренции, Италия, в 14 веке. Квадраты 6×6 и 9×9 представлены в рукописи « Траттато д'Аббако» («Трактат о счетах») Паоло Дагомари . ^[41]^[42] Интересно отметить, что Паоло Дагомари, как и Пачоли после него, называет квадраты полезной основой для изобретения математических вопросов и игр и не упоминает о каком-либо магическом использовании. Между прочим, однако, он также называет их квадратами Солнца и Луны соответственно и упоминает, что они входят в астрологические расчеты, которые не являются более точными. Как уже говорилось, та же точка зрения, по-видимому, мотивирует флорентийца Луку Пачоли описывает квадраты от 3×3 до 9×9 в своей работе De Viribus Quantitatis . , который в конце 15 века ^[43]^[44]

Европа после 15 века

К концу 15 века планетарные квадраты распространились по Северной Европе. Например, в краковской рукописи Пикатрикса из Польши показаны магические квадраты порядков с 3 по 9. Тот же набор квадратов, что и в краковской рукописи, позже появляется в трудах Парацельса в Archidoxa Magica (1567), хотя и в сильно искаженной форме. В 1514 году Альбрехт Дюрер увековечил квадрат 4×4 на своей знаменитой гравюре «Меланхолия I» . Современник Парацельса Генрих Корнелиус Агриппа фон Неттесгейм опубликовал в 1531 году свою знаменитую трехтомную книгу «Оккультная философия» , где посвятил главу 22 книги II квадратам планет, показанным ниже. ^[37] Тот же набор квадратов, данный Агриппой, снова появляется в 1539 году в «Практике арифметики» Джироламо Кардано , где он объясняет построение нечетно упорядоченных квадратов с использованием «метода ромба», который позже был воспроизведен Баше. ^[45] Традицию планетарных квадратов продолжил в 17 веке Афанасий Кирхер в «Эдипах Египта» (1653). В Германии математические трактаты о магических квадратах были написаны в 1544 году Михаэлем Стифелем в «Арифметике Интегра» , который заново открыл квадраты с рамкой, и Адамом Ризе , который заново открыл метод непрерывной нумерации для построения нечетных упорядоченных квадратов, опубликованный Агриппой. Однако из-за религиозных потрясений того времени эти работы были неизвестны остальной Европе. ^[37]

Сатурн =15
4	9	2
3	5	7
8	1	6

Юпитер =34
4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

Марс =65
11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Вс =111
6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

Венера = 175
22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

Меркурий =260
8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

Менеджер =369
37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

В 1624 году во Франции Клод Гаспар Баше описал «алмазный метод» построения нечетных упорядоченных квадратов Агриппы в своей книге «Problèmes Plaisants» . В 1640 году Бернар Френикль де Бесси и Пьер Ферма обменялись буквами о магических квадратах и кубах, и в одном из писем Ферма хвастается, что смог построить своим методом 1 004 144 995 344 магических квадрата 8-го порядка. ^[45] Ранний отчет о построении квадратов с окантовкой был сделан Антуаном Арно в его «Новых элементах геометрии» (1667 г.). ^[46] В двух трактатах « Des Quarrez ou Tables magiques» и «Table générale des Quarrez magiques de quatre de côté» , опубликованных посмертно в 1693 году, через двадцать лет после его смерти, Бернар Френикль де Бесси продемонстрировал, что существует ровно 880 различных магических квадратов четвертого порядка. Френикл дал методы построения магических квадратов любого нечетного и четного порядка, при этом четные квадраты строились с использованием границ. Он также показал, что перестановка строк и столбцов магического квадрата приводит к появлению новых магических квадратов. ^[45] В 1691 году Симон де ла Лубер описал индийский непрерывный метод построения магических квадратов нечетного порядка в своей книге Du Royaume de Siam , которому он научился, возвращаясь из дипломатической миссии в Сиам, который был быстрее, чем метод Баше. Пытаясь объяснить его работу, де ла Лубер использовал первичные числа и корневые числа, а также заново открыл метод сложения двух предварительных квадратов. Этот метод был дополнительно исследован аббатом Пуаньяром в «Трактате о возвышенных камнях» (1704 г.), Филиппом де Ла Гиром в «Мемуарах академии наук» для Королевской академии (1705 г.) и Жозефом Совером в «Строительство магических камней» (1710 г.). . Квадраты с концентрическими границами также изучались Де ла Гиром в 1705 году, в то время как Совер представил магические кубы и квадраты с буквами, которые позже были подхвачены Эйлером в 1776 году, которому часто приписывают их изобретение. В 1750 д'Он-ле-Брэ заново открыл метод построения двояко-четных и одинарно-четных квадратов с использованием техники окантовки; в то время как в 1767 г. Бенджамин Франклин опубликовал полумагический квадрат, обладающий свойствами одноименного квадрата Франклина. ^[47] К этому времени прежний мистицизм, связанный с магическими квадратами, полностью исчез, и этот предмет стал рассматриваться как часть развлекательной математики. ^[37]^[48]

В XIX веке Бернар Виоль подробно изложил магические квадраты в своем трехтомном «Трактате о магических квадратах» (1837–1838), в котором также описывались магические кубы, параллелограммы, параллелепипеды и круги. Пандиагональные квадраты были тщательно изучены Эндрю Холлингвортом Фростом, который изучил его в городе Насик, Индия (назвав их таким образом квадратами Насика) в серии статей: « На пути рыцаря» (1877 г.), «Об общих свойствах квадратов Насика». (1878 г.), «Об общих свойствах кубов Насика» (1878 г.), «О построении квадратов Насика любого порядка» (1896 г.). Он показал, что невозможно иметь нормальные одно-четные пандиагональные магические квадраты. Фредерик А. П. Барнард построил инкрустированные магические квадраты и другие трехмерные магические фигуры, такие как магические сферы и магические цилиндры, в «Теории магических квадратов и магических кубов» (1888). ^[48] В 1897 году Эмрой МакКлинток опубликовал «О самой совершенной форме магических квадратов» , введя слова пандиагональный квадрат и самый совершенный квадрат , который ранее назывался совершенным, или дьявольским, или Насиком.

Некоторые известные магические квадраты

Магический квадрат Ло Шу

Легенды, датируемые 650 годом до нашей эры, рассказывают историю Ло Шу (洛書) или «свитка реки Ло». ^[8] Согласно легенде, однажды в древнем Китае произошло огромное наводнение. Пока великий царь Юй пытался направить воду в море, из нее вышла черепаха с любопытным узором на панцире: сеткой 3х3, в которой были расположены круглые точки чисел, так что сумма чисел в каждая строка, столбец и диагональ были одинаковыми: 15. Согласно легенде, в дальнейшем люди смогли использовать этот узор определенным образом, чтобы управлять рекой и защищаться от наводнений [нужно цитировать]. Квадрат Ло Шу , как называется магический квадрат на панцире черепахи, представляет собой уникальный нормальный магический квадрат третьего порядка, в котором 1 находится внизу, а 2 — в правом верхнем углу. Каждый нормальный магический квадрат третьего порядка получается из Ло Шу путем вращения или отражения.

Магический квадрат в храме Паршавнатх

начертан известный обычный магический квадрат 4х4 XII века . На стене храма Паршванатх в Кхаджурахо , Индия, ^[18]^[17]^[49]

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Это известно как Чаутиша Янтра ( Чаутиша , 34; Янтра , букв. «устройство»), поскольку ее магическая сумма равна 34. Это один из трех пандиагональных магических квадратов 4×4 , а также пример наиболее совершенного магический квадрат . Изучение этого квадрата привело к пониманию пандиагональных квадратов европейскими математиками в конце 19 века. Пандиагональные квадраты в старой английской литературе назывались квадратами Насика или джайнскими квадратами.

Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Нормальный магический квадрат четвертого порядка, увековеченный Альбрехтом Дюрером на гравюре «Меленхолия I» 1514 года , упомянутой выше, считается первым, увиденным в европейском искусстве. Квадрат, связанный с Юпитером, является талисманом, отгоняющим меланхолию. Он очень похож на квадрат Ян Хуэя , который был создан в Китае примерно за 250 лет до времен Дюрера. Как и в каждом обычном магическом квадрате 4-го порядка, магическая сумма равна 34. Но в квадрате Дюрера эта сумма также находится. в каждом из квадрантов, в центре — четыре квадрата, а в угловых квадратах (как 4×4, так и четыре содержали сетки 3×3). Эту сумму также можно найти в четырех внешних числах по часовой стрелке от углов (3+8+14+9), а также в четырех против часовой стрелки (расположение четырех ферзей в двух решениях головоломки с четырьмя ферзями). ^[50]), два набора из четырех симметричных чисел (2+8+9+15 и 3+5+12+14), сумму двух средних записей двух внешних столбцов и строк (5+9+8+12 и 3+2+15+14), а также в четырех квартетах в форме змея или креста (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15 и 2+6+12+14). ). Две цифры в середине нижнего ряда обозначают дату гравюры: 1514 год. Было высказано предположение, что цифры 4,1, граничащие с датой публикации, соответствуют инициалам Дюрера D,A. Но если бы это было его намерением, он мог бы поменять порядок столбцов 1 и 4, чтобы получить «A1514D», не ставя под угрозу свойства квадрата.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Магический квадрат Дюрера также можно расширить до магического куба. ^[51]

Магическая площадь Саграда Фамилия

Фасад Страстей церкви Саграда Фамилия в Барселоне , задуманный Антонио Гауди и спроектированный скульптором Хосепом Субираксом , представляет собой тривиальный магический квадрат четвертого порядка: магическая константа квадрата равна 33 годам, возрасту Иисуса во время Страстей . ^[52] Структурно он очень похож на магический квадрат Меланхолии , но в нем числа в четырех ячейках уменьшены на 1.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

Тривиальные квадраты, подобные этому, обычно не представляют интереса с математической точки зрения и имеют лишь историческое значение. Ли Саллоуз отметил, что из-за незнания Субираксом теории магических квадратов известный скульптор допустил ненужную ошибку, и подкрепил это утверждение, приведя несколько примеров нетривиальных магических квадратов 4×4, показывающих желаемую магическую константу 33. ^[53]

Подобно магическому квадрату Дюрера, магический квадрат Саграда Фамилия также можно расширить до магического куба. ^[54]

Паркер-сквер

Площадь Паркера , названная в честь математика-любителя Мэтта Паркера , ^[55]^{[ не удалось пройти проверку ]} — это попытка создать магический квадрат квадратов 3 × 3 — ценная нерешенная проблема со времен Эйлера . ^[56] Квадрат Паркера — тривиальный полумагический квадрат, поскольку в нем некоторые числа используются более одного раза, а диагональ $232 + 37 2 + 47 2$ сумма равна 4107 , а не 3051, как для всех остальных строк и столбцов, а также для другой диагонали. Квадрат Паркера стал популярен в математической культуре. ^{[ нужна ссылка ]} Площадь Паркер стала «талисманом для людей, которые пытаются, но в конечном итоге терпят неудачу». ^[57]^{[ нужен лучший источник ]}

29 ²	1 ²	47 ²
41 ²	37 ²	1 ²
23 ²	41 ²	29 ²

Гарднер-сквер

Площадь Гарднера, названная в честь математика-любителя Мартина Гарднера , похожа на площадь Паркера.задается как задача на определение a, b, c и d. ^{[ нужна ссылка ]}

127 ²	46 ²	58 ²
2 ²	б ²	с ²
а ²	82 ²	д ²

Это решение для a = 74, b = 113, c = 94 и d = 97 дает полумагический квадрат; диагональ $1272 + б 2 + д 2$ сумма равна 38 307 , а не 21 609, как для всех остальных строк и столбцов, а также для другой диагонали. ^[58]^[59]^[60]

127 ²	46 ²	58 ²	21609
2 ²	113 ²	94 ²	21609
74 ²	82 ²	97 ²	21609
21609	21609	21609	38307

Свойства магических квадратов

Магическая константа

Константа, представляющая собой сумму любой строки, столбца или диагонали, называется магической константой или магической суммой M. Каждый нормальный магический квадрат имеет константу, зависящую от порядка $n$ , вычисляемую по формуле $M=n(n^{2}+1)/2$ . Это можно продемонстрировать, заметив, что сумма $1,2,...,n^{2}$ является $n^{2}(n^{2}+1)/2$ . Поскольку сумма каждой строки равна $M$ , сумма $n$ строки это $nM=n^{2}(n^{2}+1)/2$ , которое при делении на порядок $n$ дает магическую константу как $M=n(n^{2}+1)/2$ . Для обычных магических квадратов порядков n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8 магическими константами являются соответственно: 15, 34, 65, 111, 175 и 260 (последовательность A006003 в OEIS ).

Магический квадрат первого порядка тривиален.

Магический квадрат 1×1, в котором только одна ячейка содержит число 1, называется тривиальным , поскольку он обычно не рассматривается при обсуждении магических квадратов; но это действительно магический квадрат по определению, если одну ячейку рассматривать как квадрат первого порядка.

Магический квадрат второго порядка построить невозможно.

Можно построить обычные магические квадраты любого размера, кроме 2×2 (то есть порядка n = 2). ^[61]

Центр масс

Если числа в магическом квадрате рассматривать как массы, расположенные в различных ячейках, то центр масс магического квадрата совпадает с его геометрическим центром.

Момент инерции

Момент инерции магического квадрата определяется как сумма по всем ячейкам числа в ячейке, умноженная на квадрат расстояния от центра ячейки до центра квадрата; здесь единицей измерения является ширина одной ячейки. ^[62] (Так, например, угловая ячейка квадрата 3×3 имеет расстояние ${\sqrt {2}},$ ячейка неуглового края имеет расстояние 1, а центральная ячейка имеет расстояние 0.) Тогда все магические квадраты заданного порядка имеют одинаковый момент инерции друг друга. Для случая 3-го порядка момент инерции всегда равен 60, а для случая 4-го порядка момент инерции всегда равен 340. В общем, для случая n × n момент инерции равен $n^{2}(n^{4}-1)/12.$ ^[62]

Разложение Биркгофа – фон Неймана

Разделив каждое число магического квадрата на магическую константу, получим дважды стохастическую матрицу , суммы строк и суммы столбцов которой равны единице. Однако, в отличие от дважды стохастической матрицы, диагональные суммы таких матриц также будут равны единице. Таким образом, такие матрицы составляют подмножество дважды стохастической матрицы. Теорема Биркгофа – фон Неймана утверждает, что для любой дважды стохастической матрицы $A$ , существуют действительные числа $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0$ , где $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ и матрицы перестановок $P_{1},\ldots ,P_{k}$ такой, что

A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.

В общем случае это представление не может быть уникальным. Однако по теореме Маркуса-Ри их не должно быть больше, чем $k\leq n^{2}-2n+2$ члены в любом разложении. ^[63] Очевидно, что это разложение распространяется и на магические квадраты, поскольку магический квадрат можно восстановить из дважды стохастической матрицы, умножив ее на магическую константу.

Классификация магических квадратов

Классифицировать магические квадраты можно разными способами, но ниже приведены некоторые полезные категории. Квадратный массив n × n целых чисел 1, 2, ..., n ² называется:

Полумагический квадрат , когда сумма его строк и столбцов дает магическую константу.
Простой магический квадрат, сумма строк, столбцов и двух диагоналей которого дает магическую константу и не более того. Они также известны как обычные магические квадраты или обычные магические квадраты .
Самодополняющий магический квадрат , когда это магический квадрат, который при дополнении (т. е. каждое число, вычтенное из n ² + 1) даст повернутую или отраженную версию исходного магического квадрата.
Ассоциативный магический квадрат , когда это магический квадрат с дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждое число, добавленное к числу, равноудаленному по прямой от центра, дает n ² + 1. Их еще называют симметричными магическими квадратами . Ассоциативных магических квадратов не существует для квадратов одинарного четного порядка. Все ассоциативные магические квадраты также являются самодополняющими магическими квадратами.
Пандиагональный магический квадрат , когда это магический квадрат с дополнительным свойством, заключающимся в том, что сумма ломаных диагоналей равна магической константе. Их также называют панмагическими квадратами , совершенными квадратами , дьявольскими квадратами , джайнскими квадратами или квадратами Насика . Панмагические квадраты не существуют для одиночных четных порядков. Однако по отдельности даже ненормальные квадраты могут быть панмагическими.
Ультрамагический квадрат , когда он является одновременно ассоциативным и пандиагональным магическим квадратом. Ультрамагический квадрат существует только для порядков n ≥ 5.
Магический квадрат с рамкой , если это магический квадрат и он остается магическим, когда строки и столбцы на внешнем крае удалены. Их также называют магическими квадратами с концентрической рамкой, если последовательное удаление границы квадрата дает еще один магический квадрат с концентрической рамкой меньшего размера. Магический квадрат с рамкой не существует для порядка 4.
Составной магический квадрат, когда это магический квадрат, который создается путем «умножения» (в некотором смысле) меньших магических квадратов, так что порядок составного магического квадрата кратен порядку меньших квадратов. Такие квадраты обычно можно разделить на более мелкие непересекающиеся магические подквадраты.
Инкрустированный магический квадрат , когда это магический квадрат, внутри которого встроен магический подквадрат, независимо от техники построения. Встроенные магические подквадраты сами по себе называются инкрустациями .
Самый совершенный магический квадрат , когда это пандиагональный магический квадрат с двумя дополнительными свойствами (i) каждый подквадрат 2 × 2 добавляет 1/ k магической константы, где n = 4 k , и (ii) все пары целых чисел, далекие от n / 2 по любой диагонали (большой или ломаной) дополняют друг друга (т.е. их сумма равна n ² + 1). Первое свойство называется компактностью , а второе свойство — полнотой . Наиболее совершенные магические квадраты существуют только для квадратов двояко четного порядка. Все пандиагональные квадраты четвертого порядка также являются наиболее совершенными.
Магический квадрат Франклина , когда это дважды четный магический квадрат с тремя дополнительными свойствами (i) каждая изогнутая диагональ добавляет магическую константу, (ii) каждая половина строки и половина столбца, начинающиеся с внешнего края, добавляют половину магической константы, и ( iii) квадрат компактен .
Мультимагический квадрат , когда это магический квадрат, который остается магическим, даже если все его числа заменены их k -й степенью для 1 ≤ k ≤ P . Они также известны как П-мультимагический квадрат или сатанинские квадраты . Их также называют бимагическими квадратами , тримагическими квадратами , тетрамагическими квадратами и пентамагическими квадратами , когда значение P равно 2, 3, 4 и 5 соответственно.

Перечисление магических квадратов

Нерешенная задача по математике :

Сколько

магических торов и магических квадратов порядка n для

существует

n>5

и

n>6

, соответственно?

(еще нерешенные задачи по математике)

Квадраты низкого порядка

Существует только один (тривиальный) магический квадрат первого порядка и нет магического квадрата второго порядка. Как упоминалось выше, набор нормальных квадратов третьего порядка образует единый класс эквивалентности - все они эквивалентны квадрату Ло Шу. Таким образом, по сути, существует только один нормальный магический квадрат третьего порядка.

Количество различных n × n магических квадратов для n от 1 до 6, не считая вращений и отражений, равно:

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. (последовательность A006052 в OEIS )

Число для n = 6 ранее оценивалось как (1,7745 ± 0,0016) × 10. ¹⁹. ^[64]^[65]^[62]

Волшебные торы

Ссылаясь на приведенную выше последовательность, новая классификация перечисляет магические торы, отображающие эти магические квадраты. Количество магических торов порядка n от 1 до 5 равно:

1, 0, 1, 255, 251449712 (последовательность A270876 в OEIS ).

Квадраты и торы высшего порядка

Полулогарифмический график Pn, вероятность магических квадратов размерности n

Количество различных нормальных магических квадратов быстро увеличивается для более высоких порядков. ^[66]

880 магических квадратов 4-го порядка отображаются на 255 магических торах 4-го порядка, а 275 305 224 квадрата 5-го порядка отображаются на 251 449 712 магических торах 5-го порядка. Число магических торов и отдельных нормальных квадратов для порядков выше 5 пока неизвестно. и 6 соответственно. ^[67]^{[ нужна ссылка ]}

Алгоритмы имеют тенденцию генерировать магические квадраты только определенного типа или классификации, что затрудняет подсчет всех возможных магических квадратов. Поскольку традиционные методы подсчета оказались безуспешными, статистический анализ с использованием метода Монте-Карло был применен . Основной принцип, применяемый к магическим квадратам, заключается в случайном генерировании матриц размера n × n из элементов от 1 до n. ² и проверьте, является ли результат магическим квадратом. Вероятность того, что случайно сгенерированная матрица чисел является магическим квадратом, затем используется для аппроксимации количества магических квадратов. ^[68]

Более сложные версии метода Монте-Карло, такие как обмен Монте-Карло и возврат Монте-Карло, дали еще более точные оценки. С помощью этих методов было показано, что вероятность магических квадратов быстро уменьшается с увеличением n. Используя функции подгонки, создайте кривые, показанные справа.

Преобразования, сохраняющие волшебное свойство

Для любого магического квадрата

Сумма любых двух магических квадратов одного порядка, полученная путем сложения матриц, является магическим квадратом.
Магический квадрат остается магическим, когда все его числа подвергаются одному и тому же линейному преобразованию (т. е. функции вида $f (x) = m x + b$ ). Например, магический квадрат остается магическим, если его числа умножить на любую константу. ^[69] Более того, магический квадрат остается магическим, когда к его числам прибавляется или вычитается константа, или если его числа вычитаются из константы. В частности, если каждый элемент обычного магического квадрата порядка $n$ вычитается из $n^{2}+1$ , получается дополнение исходного квадрата. ^[69] В приведенном ниже примере каждый элемент магического квадрата слева вычитается из 17, чтобы получить дополнительный магический квадрат справа.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3
2	11	5	16

Магический квадрат остается магическим при преобразовании любым элементом $D 4$ , группы симметрии квадрата (см. Группа диэдра 8-го порядка § Группа симметрии квадрата: группа диэдра 8-го порядка ). Каждая комбинация одного или нескольких поворотов на 90 градусов, отражений или того и другого создает восемь тривиально различных квадратов, которые обычно считаются эквивалентными. Говорят, что восемь таких квадратов составляют один класс эквивалентности . ^[70]^[69] Восемь эквивалентных магических квадратов для магического квадрата 3×3 показаны ниже:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

6	1	8
7	5	3
2	9	4

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	3	8
9	5	1
2	7	6

2	9	4
7	5	3
6	1	8

4	9	2
3	5	7
8	1	6

8	3	4
1	5	9
6	7	2

6	7	2
1	5	9
8	3	4

Магический квадрат порядка $n$ остается волшебством, когда его строки и столбцы симметрично переставлены $p$ такой, что $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ для $1\leq i\leq n$ . Каждая перестановка строк или столбцов сохраняет все суммы строк и столбцов, но обычно не две диагональные суммы. Если та же самая перестановка $p$ применяется как к строкам, так и к столбцам, затем к диагональному элементу в строке $i$ и столбец $i$ отображается в строку $p(i)$ и столбец $p(i)$ который находится на той же диагонали; следовательно, применение одной и той же перестановки к строкам и столбцам сохраняет основную диагональную сумму (с верхнего левого угла на нижний правый). Если перестановка симметрична, как описано, то диагональный элемент в строке $i$ и столбец $n+1-i$ отображается в строку $p(i)$ и столбец $p(n+1-i)=n+1-p(i)$ который находится на той же диагонали; следовательно, применение одной и той же симметричной перестановки к строкам и столбцам сохраняет обе диагональные суммы. Для даже $n$ , есть $2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!$ такие симметричные перестановки, и $2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!$ для $n$ странный. В примере ниже исходный магический квадрат слева имеет строки и столбцы, симметрично переставленные $(4,6,5,2,1,3)$ в результате чего справа появится магический квадрат.

1	32	33	4	35	6
30	8	27	28	11	7
13	23	22	21	14	18
24	17	16	15	20	19
12	26	10	9	29	25
31	5	3	34	2	36

29	9	25	12	10	26
20	15	19	24	16	17
2	34	36	31	3	5
35	4	6	1	33	32
14	21	18	13	22	23
11	28	7	30	27	8

Магический квадрат порядка $n$ остается волшебством, когда строки $i$ и $(n+1-i)$ меняются местами и столбцы $i$ и $(n+1-i)$ обмениваются местами, поскольку это симметричная перестановка описанной выше формы. ^[69]^[48] В примере ниже квадрат справа получается перестановкой 1-й и 4-й строк и столбцов исходного квадрата слева.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

Магический квадрат порядка $n$ остается волшебством, когда строки $i$ и $j$ меняются местами, ряды $(n+1-i)$ и $(n+1-j)$ меняются местами, столбцы $i$ и $j$ меняются местами, и столбцы $(n+1-i)$ и $(n+1-j)$ обмениваются где $i<j<{\frac {n+1}{2}}$ потому что это еще одна симметричная перестановка формы, описанной выше. В приведенном ниже примере левый квадрат — это исходный квадрат, а правый — новый квадрат, полученный в результате этого преобразования. В среднем квадрате поменялись местами строки 1 и 2, а также строки 3 и 4. Последний квадрат справа получается перестановкой столбцов 1 и 2 и столбцов 3 и 4 среднего квадрата. В этом конкретном примере это преобразование поворачивает квадранты на 180 градусов. Средний квадрат также является магическим, поскольку исходный квадрат ассоциативен.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

6	12	9	7
15	1	4	14
3	13	16	2
10	8	5	11

Магический квадрат остается магическим, когда его квадранты меняются местами по диагонали, потому что это еще одна симметричная перестановка формы, описанной выше. Для четного порядка $n$ , переставьте строки и столбцы перестановкой $p$ где $p(i)=i+{\frac {n}{2}}$ для $i\leq {\frac {n}{2}}$ , и $p(i)=i-{\frac {n}{2}}$ для $i>{\frac {n}{2}}$ . Для нечетного порядка $n$ , переставлять строки и столбцы перестановкой $p$ где $p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}$ для $i<{\frac {n+1}{2}}$ , и $p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}$ для $i>{\frac {n+1}{2}}$ . Для нечетного квадрата половинки центральной строки и столбца также меняются местами. ^[69] Примеры магических квадратов 4 и 5 порядка приведены ниже:

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

11	5	8	10
2	16	13	3
14	4	1	15
7	9	12	6

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

21	3	19	10	12
2	9	25	11	18
20	22	13	4	6
8	15	1	17	24
14	16	7	23	5

Для ассоциативных магических квадратов

Ассоциативный магический квадрат остается ассоциативным, когда две строки или столбцы, равноудаленные от центра, меняются местами. ^[71]^[72] Для четного квадрата существует n /2 пар строк или столбцов, которые можно менять местами; таким образом 2 ^{н /2} × 2 ^{н /2} = 2 ^н эквивалентные магические квадраты можно получить путем объединения таких обменов. Для нечетного квадрата существует ( n - 1)/2 пары строк или столбцов, которые можно менять местами; и 2 ^{п -1} эквивалентные магические квадраты, полученные в результате объединения таких обменов. При перестановке всех строк квадрат переворачивается по вертикали (т.е. отражается вдоль горизонтальной оси), а при перестановке всех столбцов квадрат переворачивается по горизонтали (т.е. отражается вдоль вертикальной оси). В приведенном ниже примере ассоциативный магический квадрат 4×4 слева преобразуется в квадрат справа путем замены второй и третьей строк местами, в результате чего получается знаменитый магический квадрат Дюрера.

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Ассоциативный магический квадрат остается ассоциативным, когда две односторонние строки (или столбцы) меняются местами вместе с соответствующими другими односторонними строками (или столбцами). ^[71]^[72] Для четного квадрата, поскольку существует n /2 односторонних строк (или столбцов), существует n ( n - 2)/8 пар таких строк (или столбцов), которые можно менять местами. Таким образом, 2 ^{п ( п -2)/8} × 2 ^{п ( п -2)/8} = 2 ^{п ( п -2)/4} эквивалентные магические квадраты могут быть получены путем объединения таких обменов. Для нечетного квадрата, поскольку существует ( n - 1)/2 односторонних строк или столбцов, существует ( n - 1) ( n - 3)/8 пар таких строк или столбцов, которые можно менять местами. Таким образом, есть 2 ^{( п - 1)( п - 3)/8} × 2 ^{( п - 1)( п - 3)/8} = 2 ^{( п - 1)( п - 3)/4} эквивалентные магические квадраты, полученные в результате объединения таких обменов. При замене строк с одинаковыми сторонами каждый квадрант квадрата переворачивается по вертикали, а при замене столбцов с одинаковыми сторонами каждый квадрант квадрата переворачивается по горизонтали. В приведенном ниже примере исходный квадрат находится слева, строки 1 и 2 которого меняются местами, а также строки 3 и 4, чтобы получить преобразованный квадрат справа.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

Ассоциативный магический квадрат остается ассоциативным, когда его элементы заменяются соответствующими числами из набора s арифметических прогрессий с одинаковой общей разницей среди r членов, таких, что r × s = n ², и чьи начальные члены также находятся в арифметической прогрессии, чтобы получить ненормальный магический квадрат. Здесь либо s, либо r должно быть кратно n . Пусть у нас есть s арифметических прогрессий, заданных формулами

{\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}

где a — начальный член, c — общая разность арифметических прогрессий, а d — общая разность начальных членов каждой прогрессии. Новой магической константой будет

M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.

Если s = r = n , то следует упрощение

M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).

При a = c = 1 и d = n обычный M = n ( n ²+1)/2 получается. Для заданного M требуемые a , c и d можно найти, решив линейное диофантово уравнение . В приведенных ниже примерах с левой стороны находятся обычные магические квадраты порядка 4. Второй квадрат представляет собой соответствующий ненормальный магический квадрат с r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 и d = 10, такой что новая магическая константа равна M = 38. Третий квадрат имеет порядок 5. обычный магический квадрат, который представляет собой повернутую на 90 градусов по часовой стрелке версию квадрата, созданного методом Де ла Лубера. В самой правой части находится соответствующий ненормальный магический квадрат с a = 4, c = 1 и d = 6, такой что новая магическая константа равна M = 90.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

1	17	16	4
14	6	7	11
8	12	13	5
15	3	2	18

11	10	4	23	17
18	12	6	5	24
25	19	13	7	1
2	21	20	14	8
9	3	22	16	15

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

Для пандиагональных магических квадратов

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагональным магическим квадратом при циклическом сдвиге строк, столбцов или того и другого. ^[69] Это позволяет нам поместить данное число в любое из n ² ячейки квадрата n- го порядка. Таким образом, для данного панмагического квадрата существует n ² эквивалентные панмагические квадраты. В примере ниже исходный квадрат слева преобразуется путем смещения первой строки вниз, чтобы получить новый пан-магический квадрат посередине. Далее 1-й и 2-й столбец среднего панмагического квадрата смещаются по кругу вправо, чтобы получить новый панмагический квадрат справа.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1
10	3	13	8

2	11	5	16
7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3

Для магических квадратов с рамкой

Магический квадрат с рамкой остается магическим квадратом с рамкой после перестановки граничных ячеек в строках или столбцах вместе с соответствующими дополнительными терминами, сохраняя угловые ячейки фиксированными. Поскольку ячейки в каждой строке и столбце каждой концентрической границы можно переставлять независимо, когда порядок n ≥ 5 нечетен, существует ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) ² эквивалентные квадраты с рамкой. Когда n ≥ 6 четно, существует ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) ² эквивалентные квадраты с рамкой. В примере ниже дан квадрат порядка 5, граничная строка которого была переставлена, и (3!) ² = 36 таких эквивалентных квадратов можно получить.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

1	16	23	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	10	3	22	25

Магический квадрат с рамкой остается магическим квадратом с рамкой после того, как каждая из его концентрических границ независимо повернута или отражена относительно центрального магического квадрата ядра. Если границ b , то это преобразование даст 8 ^б эквивалентные квадраты. В приведенном ниже примере магического квадрата 5×5 граница повернута на 90 градусов против часовой стрелки.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

21	11	2	6	25
4	14	7	18	22
16	17	13	9	10
23	8	19	12	3
1	15	24	20	5

Для составных магических квадратов

Составной магический квадрат остается составным магическим квадратом, когда встроенные магические квадраты подвергаются преобразованиям, не нарушающим магическое свойство (например, вращение, отражение, сдвиг строк и столбцов и т. д.).

Особые методы строительства

За тысячелетия было открыто множество способов построения магических квадратов. Эти методы можно разделить на общие и специальные в том смысле, что общие методы позволяют нам построить более одного магического квадрата заданного порядка, тогда как специальные методы позволяют нам построить только один магический квадрат заданного порядка. Специальные методы представляют собой конкретные алгоритмы, тогда как общие методы могут потребовать некоторого метода проб и ошибок.

Специальные методы — самые простые способы построения магических квадратов. Они следуют определенным алгоритмам, которые генерируют регулярные комбинации чисел в квадрате. Корректность этих специальных методов можно доказать, используя один из общих методов, приведенных в последующих разделах. После того как магический квадрат построен с использованием специального метода, можно применить преобразования, описанные в предыдущем разделе, для получения дальнейших магических квадратов. Специальные методы обычно упоминаются по имени автора(ов) (если известно), описавшего метод, например, метод Де ла Лубера, метод Старчи, метод Баше и т. д.

Считается, что магические квадраты существуют для всех порядков, кроме порядка 2. Магические квадраты можно классифицировать в зависимости от их порядка как нечетные, дважды четные ( n делится на четыре) и одинарно четные ( n четное, но не делится на четыре). Эта классификация основана на том факте, что для построения этих разных типов квадратов необходимо использовать совершенно разные методы. Нечетные и дважды четные магические квадраты легко создать; построение одиночных четных магических квадратов сложнее, но существует несколько методов, в том числе метод LUX Джона Хортона Конвея для магических квадратов и метод Стрейчи для магических квадратов .

Способ построения магического квадрата третьего порядка.

В 19 веке Эдуард Лукас разработал общую формулу магических квадратов третьего порядка. Рассмотрим следующую таблицу, состоящую из положительных целых чисел a , b и c :

в - б	в + ( а + б )	в - а
с - ( а - б )	с	в + ( а - б )
с + а	в - ( а + б )	в + б

Эти девять чисел будут различными целыми положительными числами, образующими магический квадрат с магической константой 3 c, если 0 < a < b < c − a и b ≠ 2 a . Более того, каждый магический квадрат 3 × 3 различных положительных целых чисел имеет такой вид.

В 1997 году Ли Саллоуз обнаружил, что если оставить в стороне вращения и отражения, то каждый отдельный параллелограмм, нарисованный на диаграмме Аргана, определяет уникальный магический квадрат 3×3, и наоборот, результат, который ранее никогда не отмечался. ^[70]

Метод построения магического квадрата нечетного порядка.

Метод построения магических квадратов нечетного порядка был опубликован французским дипломатом де ла Лубером в его книге « Новое историческое отношение королевства Сиам» (Du Royaume de Siam, 1693), в главе, озаглавленной « Проблема магического квадрата». по мнению индейцев . ^[73] Метод работает следующим образом:

Метод предписывает начинать в центральном столбце первой строки с цифры 1. После этого основное движение по заполнению квадратов – по диагонали вверх и вправо, по одному шагу. Если квадрат заполнен числами, кратными порядку n , вместо этого происходит перемещение вертикально вниз на один квадрат, а затем продолжается, как и раньше. Когда ход «вверх и вправо» выходит за пределы квадрата, он переносится на последнюю строку или первый столбец соответственно.

шаг 1
	1

шаг 2
	1

		2

шаг 3
	1
3
		2

шаг 4
	1
3
4		2

шаг 5
	1
3	5
4		2

шаг 6
	1	6
3	5
4		2

шаг 7
	1	6
3	5	7
4		2

шаг 8
8	1	6
3	5	7
4		2

шаг 9
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Можно начинать с других квадратов, а не с центрального столбца первой строки, но тогда только суммы строк и столбцов будут одинаковыми и приведут к магической сумме, тогда как суммы по диагонали будут различаться. Таким образом, результатом будет полумагический квадрат, а не настоящий магический квадрат. Движение в направлениях, отличных от северо-востока, также может привести к образованию магических квадратов.

Заказ 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Заказать 5
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Заказ 9
47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

Метод построения магического квадрата дважды четного порядка.

Дважды четное означает, что n кратно четному целому числу; или 4 p (например, 4, 8, 12), где p представляет собой целое число.

Общий шаблон Все числа записываются по порядку слева направо в каждой строке, начиная с верхнего левого угла. Числа затем либо сохраняются на том же месте, либо меняются местами с диаметрально противоположными числами по определенной закономерности. В магическом квадрате четвертого порядка числа в четырех центральных квадратах и по одному квадрату в каждом углу сохраняются на прежнем месте, а остальные меняются местами с диаметрально противоположными числами.

Построение магического квадрата четвертого порядка. Начиная сверху слева, пройдите слева направо по каждому ряду квадрата, считая каждую ячейку от 1 до 16 и заполняя ячейки по диагоналям соответствующим числом. Как только нижняя правая ячейка будет достигнута, продолжайте двигаться справа налево, начиная с нижнего правого угла таблицы через каждую строку, и заполняйте недиагональные ячейки, считая от 1 до 16, соответствующим числом. Как показано ниже:

М = Заказ 4
1			4
	6	7
	10	11
13			16

М = Заказ 4
1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Расширение приведенного выше примера для заказов 8 и 12. Сначала создайте таблицу шаблонов, где «1» означает выбор из квадрата, где числа записаны в порядке от 1 до n. ² (слева направо, сверху вниз), а «0» означает выбор из квадрата, где числа записаны в обратном порядке n. ² до 1. Для M = 4 таблица шаблонов выглядит так, как показано ниже (третья матрица слева). Если неизмененные ячейки (ячейки с «1») заштриховать, получается узор крест-накрест.

М = Заказ 4
1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

М = Заказ 4
16	15	14	13
12	11	10	9
8	7	6	5
4	3	2	1

М = Заказ 4
1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

М = Заказ 4
1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Шаблоны: а) в каждой строке и столбце равное количество единиц и нулей; б) каждая строка и каждый столбец являются «палиндромными»; в) левая и правая половины зеркально отражены; и d) верхняя и нижняя половины являются зеркальными изображениями (c и d подразумевают b). Таблицу шаблонов для простоты можно обозначить шестнадцатеричными числами как (9, 6, 6, 9) (1 полубайт на строку, 4 строки). Самый простой метод создания требуемого шаблона для дважды четных квадратов более высокого порядка — это копирование общего шаблона для квадрата четвертого порядка в каждом подквадрате размером четыре на четыре.

Для M = 8 возможные варианты шаблона: (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3С, 3С, С3, С3, С3, С3, 3С, 3С); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 полубайта в строке, 8 строк).

М = Заказ 8
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1

М = Заказ 8
1			4	5			8
	10	11			14	15
	18	19			22	23
25			28	29			32
33			36	37			40
	42	43			46	47
	50	51			54	55
57			60	61			64

М = Заказ 8
1	63	62	4	5	59	58	8
56	10	11	53	52	14	15	49
48	18	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	30	36	37	27	26	40
24	42	43	21	20	46	47	17
16	50	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

Для M = 12 таблица шаблонов (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) дает магический квадрат (3 полубайта на строку, 12 строк). Это можно посчитать количество вариантов выбора на основе таблицы шаблонов с учетом вращательной симметрии.

Метод суперпозиции

Самое раннее открытие метода суперпозиции было сделано индийским математиком Нараяной в 14 веке. Тот же метод позже был вновь открыт и изучен в Европе в начале 18 века де ла Лубером, Пуаньаром, де Ла Гиром и Совером; и этот метод обычно называют методом де ла Гира. Хотя работа Эйлера по магическому квадрату не была оригинальной, он, как известно, предположил невозможность построения равномерно нечетно упорядоченных взаимно ортогональных греко-латинских квадратов . Эта гипотеза была опровергнута в середине 20 века. Для ясности изложения можно выделить две важные разновидности этого метода.

метод Эйлера

Этот метод заключается в построении двух предварительных квадратов, которые при сложении дают магический квадрат. В качестве рабочего примера рассматривается магический квадрат 3×3. Каждое число натурального квадрата 3×3, состоящее из пары чисел, можно обозначить как

1	2	3
4	5	6
7	8	9

αа	αb	αc
βа	βб	βс
с	γb	γc

где каждая пара греческого и латинского алфавитов, например αa , предназначена для сложения, т.е. αa = α + a . Здесь ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) и ( a , b , c ) = (1, 2, 3). Числа 0, 3 и 6 называются корневыми числами, а числа 1, 2 и 3 — первичными числами . Важным общим ограничением здесь является

греческая буква сочетается с латинской буквой только один раз .

Таким образом, исходный квадрат теперь можно разделить на два более простых квадрата:

а	а	а
б	б	б
с	с	с

а	б	с
а	б	с
а	б	с

Квадраты с буквами называются греческим квадратом или латинским квадратом , если они заполнены греческими или латинскими буквами соответственно. Магический квадрат можно построить, гарантируя, что греческий и латинский квадраты также являются магическими квадратами. Обратное утверждение также часто, но не всегда (например, магические квадраты с рамкой), верно: магический квадрат можно разложить на греческий и латинский квадраты, которые сами являются магическими квадратами. Таким образом, метод полезен как для синтеза, так и для анализа магического квадрата. Наконец, исследуя шаблон, по которому числа расположены в готовом квадрате, часто можно придумать более быстрый алгоритм построения квадратов более высокого порядка, повторяющих заданный шаблон, без необходимости создания предварительных греческих и латинских символов. квадраты.

При построении магического квадрата 3×3 гораздо легче иметь дело с греческими и латинскими квадратами, содержащими всего три уникальных термина, чем с исходным квадратом с девятью различными терминами. Сумма строки и сумма столбца греческого квадрата будут одинаковыми, α + β + γ , если

каждая буква появляется ровно один раз в данном столбце или строке .

можно достичь путем циклической перестановки α Этого , β и γ . Удовлетворение этих двух условий гарантирует, что полученный квадрат будет полумагическим; и такие греческие и латинские квадраты называются взаимно ортогональными друг другу. Для данного порядка n в наборе взаимно ортогональных квадратов имеется не более n - 1 квадратов, не считая изменений, вызванных перестановкой символов. Эта верхняя граница точна, когда n — простое число.

Чтобы построить магический квадрат, мы также должны убедиться, что сумма диагоналей равна магической константе. Для этого у нас есть третье условие:

либо все буквы должны появиться ровно один раз в обеих диагоналях; или в случае нечетных квадратов одна из диагоналей должна полностью состоять из среднего члена, а другая диагональ должна содержать все буквы ровно один раз .

Взаимно ортогональные греческие и латинские квадраты, удовлетворяющие первой части третьего условия (что все буквы появляются в обеих диагоналях), называются взаимно ортогональными двудиагональными греко-латинскими квадратами .

Нечетные квадраты: для нечетного квадрата 3×3, поскольку α , β и γ находятся в арифметической прогрессии, их сумма равна произведению порядка квадрата и среднего члена, т. е. α + β + γ = 3 β . Таким образом, диагональные суммы будут равны, если у нас есть β s на главной диагонали и α , β , γ на косой диагонали. Аналогично и для латинского квадрата. Полученные греческие и латинские квадраты и их комбинации будут такими, как показано ниже. Латинский квадрат — это всего лишь поворот греческого квадрата на 90 градусов против часовой стрелки (или, что то же самое, поворот вокруг вертикальной оси) с заменой соответствующих букв. Замена значений греческих и латинских букв даст магический квадрат 3×3.

б	а	с
с	б	а
а	с	б

с	а	б
а	б	с
б	с	а

βс	αа	γb
с	βб	αc
αb	γc	βа

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Для нечетных квадратов этот метод объясняет, почему работает сиамский метод (метод Де ла Лубера) и его варианты. Этот базовый метод можно использовать для построения магических квадратов нечетного порядка более высоких порядков. Подводя итог:

Для нечетных квадратов, чтобы построить греческий квадрат, поместите средний член вдоль главной диагонали, а остальные члены — вдоль косой диагонали. Остальные пустые ячейки заполняются диагональными ходами. Латинский квадрат можно построить, вращая или переворачивая греческий квадрат и заменяя соответствующие алфавиты. Магический квадрат получается сложением греческого и латинского квадратов.

Особенностью приведенного выше метода построения нечетных магических квадратов является то, что среднее число ( n ² + 1)/2 всегда будет появляться в центральной ячейке магического квадрата. Так как их ( n - 1)! способов расположить косодиагональные члены, мы можем получить ( n - 1)! Греческие квадраты таким образом; то же самое и с латинскими квадратами. Кроме того, поскольку каждому греческому квадрату можно поставить пару ( n - 1)! латинских квадратов, и поскольку для каждого греческого квадрата средний член может быть произвольно помещен в главную диагональ или косую диагональ (и, соответственно, вдоль косой диагонали или главной диагонали для латинских квадратов), мы можем построить в общей сложности 2 × ( н - 1)! × ( n - 1)! магические квадраты с помощью этого метода. Для n = 3, 5 и 7 это даст 8, 1152 и 1 036 800 различных магических квадратов соответственно. Разделив на 8, пренебрегая эквивалентными квадратами, возникающими из-за вращения и отражения, мы получаем соответственно 1, 144 и 129 600 существенно различных магических квадратов.

В качестве другого примера приведено построение магического квадрата 5х5. Числа записываются непосредственно вместо букв. Пронумерованные квадраты называются первичными квадратами или корневыми квадратами, если они заполнены первичными числами или корневыми числами соответственно. Числа располагаются по косой диагонали в корневом квадрате так, чтобы в среднем столбце полученного корневого квадрата были 0, 5, 10, 15, 20 (снизу вверх). Первичный квадрат получается поворотом корневого квадрата против часовой стрелки на 90 градусов и заменой чисел. Полученный квадрат представляет собой ассоциативный магический квадрат, в котором каждая пара чисел, симметрично противоположных центру, в сумме дает одно и то же значение — 26. Например, 16+10, 3+23, 6+20 и т. д. В готовом квадрате , 1 помещается в центральную ячейку нижнего ряда, а последовательные числа размещаются с помощью удлиненного хода коня (две клетки вправо, две клетки вниз) или, что то же самое, хода слона (две клетки по диагонали вниз вправо). Когда происходит столкновение, ход разрыва заключается в перемещении на одну ячейку вверх. Все нечетные числа встречаются внутри центрального ромба, образованного цифрами 1, 5, 25 и 21, а четные числа расположены по углам. О появлении четных чисел можно узнать, скопировав квадрат на соседние стороны. Четные числа из четырех соседних квадратов образуют крест.

10				5
	10		20
		10
	0		10
15				10

10			0	5
	10		20	0
0		10
	0		10
15		0		10

10	15	20	0	5
5	10	15	20	0
0	5	10	15	20
20	0	5	10	15
15	20	0	5	10

2	1	5	4	3
1	5	4	3	2
5	4	3	2	1
4	3	2	1	5
3	2	1	5	4

12	16	25	4	8
6	15	19	23	2
5	9	13	17	21
24	3	7	11	20	24
18	22	1	10	14	18	22
			4	8	12	16
				2	6

Вариант приведенного выше примера, в котором косая диагональная последовательность берется в другом порядке, приведен ниже. Полученный магический квадрат представляет собой перевернутую версию знаменитого магического квадрата Марса Агриппы. Это ассоциативный магический квадрат, аналогичный квадрату, полученному методом Мосхопулоса. Здесь полученный квадрат начинается с 1, помещенной в ячейку, которая находится справа от центральной ячейки, и продолжается по методу Де ла Лубера с движением вниз-вправо. Когда происходит столкновение, движение разрыва заключается в сдвиге на две ячейки вправо.

10				20
	10		15
		10
	5		10
0				10

10	0	15	5	20
20	10	0	15	5
5	20	10	0	15
15	5	20	10	0
0	15	5	20	10

1	4	2	5	3
4	2	5	3	1
2	5	3	1	4
5	3	1	4	2
3	1	4	2	5

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

В предыдущих примерах для греческого квадрата вторую строку можно получить из первой строки, сдвинув ее по кругу вправо на одну клетку. Аналогично, третья строка представляет собой версию второй строки, сдвинутую по кругу на одну ячейку вправо; и так далее. Аналогично строки латинского квадрата смещаются по кругу влево на одну клетку. Сдвиги строк греческого и латинского квадратов направлены во взаимно противоположные стороны. Можно сдвинуть строки по кругу более чем на одну ячейку, чтобы получился греческий и латинский квадрат.

Для нечетных квадратов, порядок которых не делится на три, мы можем создать греческие квадраты, сдвинув строку на два места влево или вправо, чтобы сформировать следующую строку. Латинский квадрат получается путем переворачивания греческого квадрата по главной диагонали и замены соответствующих букв местами. Это дает нам латинский квадрат, строки которого создаются путем смещения строки в направлении, противоположном направлению греческого квадрата. Греческий квадрат и латинский квадрат должны быть составлены в пары так, чтобы сдвиг их строк был во взаимно противоположном направлении. Магический квадрат получается сложением греческого и латинского квадратов. Если порядок также является простым числом, этот метод всегда создает пандиагональный магический квадрат.

По сути, это воссоздает ход коня. Все буквы появятся на обеих диагоналях, обеспечивая правильную сумму диагоналей. Поскольку существует n ! перестановок греческих букв, с помощью которых мы можем создать первую строку греческого квадрата, таким образом, существует n ! Греческие квадраты, которые можно создать, сдвигая первый ряд в одном направлении. Аналогично, существует n ! такие латинские квадраты создаются путем сдвига первой строки в противоположную сторону. Поскольку греческий квадрат можно объединить с любым латинским квадратом со смещением строк в противоположные стороны, существует n ! × н ! такие комбинации. Наконец, поскольку греческий квадрат можно создать, сдвигая строки влево или вправо, всего их получается 2 × n ! × н ! магические квадраты, которые можно сформировать этим методом. Для n = 5 и 7, поскольку они являются простыми числами, этот метод создает 28 800 и 50 803 200 пандиагональных магических квадратов. Разделив на 8, чтобы пренебречь эквивалентными квадратами из-за вращения и отражений, мы получим 3600 и 6350400 эквивалентных квадратов. Далее деление на н ² если пренебречь эквивалентными панмагическими квадратами из-за циклического сдвига строк или столбцов, то получим 144 и 129 600 существенно разных панмагических квадратов. Для квадратов порядка 5 это единственный панмагический квадрат. Условие того, что порядок квадрата не делится на 3, означает, что мы не можем построить квадраты порядков 9, 15, 21, 27 и т. д. этим методом.

В приведенном ниже примере квадрат построен так, что 1 находится в центральной ячейке. В готовом квадрате числа можно непрерывно пересчитывать ходом коня (две клетки вверх, одна клетка вправо). Когда происходит столкновение, ход разрыва заключается в перемещении на одну клетку вверх и на одну клетку влево. Полученный квадрат представляет собой пандиагональный магический квадрат. У этого квадрата также есть еще одно дьявольское свойство: любые пять ячеек в образце квинкунса , образованные любым нечетным подквадратом, включая обертку, дают в сумме магическую константу 65. Например, 13+7+1+20+24, 23+ 1+9+15+17, 13+21+10+19+2 и т. д. Также четыре угла любого квадрата 5×5 и центральная клетка, а также средние клетки каждой стороны вместе с центральной клеткой, в том числе заверните, дайте волшебную сумму: 13+10+19+22+1 и 20+24+12+8+1. Наконец, четыре ромба, образующие вытянутые кресты, также дают магическую сумму: 23+1+9+24+8, 15+1+17+20+12, 14+1+18+13+19, 7+1+25+. 22+10.

10	15	20	0	5
0	5	10	15	20
15	20	0	5	10
5	10	15	20	0
20	0	5	10	15

3	1	4	2	5
4	2	5	3	1
5	3	1	4	2
1	4	2	5	3
2	5	3	1	4

13	16	24	2	10
4	7	15	18	21
20	23	1	9	12
6	14	17	25	3
22	5	8	11	19

Мы также можем комбинировать греческие и латинские квадраты, построенные разными методами. В приведенном ниже примере основное поле создается с помощью хода коня. Мы воссоздали магический квадрат, полученный методом Де ла Лубера. Как и раньше, мы можем составить 8 × ( n - 1)! × н ! магические квадраты по этой комбинации. Для n = 5 и 7 это создаст 23 040 и 29 030 400 магических квадратов. После деления на 8, чтобы пренебречь эквивалентными квадратами из-за вращения и отражения, получаем 2880 и 3628800 квадратов.

15	20	0	5	10
20	0	5	10	15
0	5	10	15	20
5	10	15	20	0
10	15	20	0	5

2	4	1	3	5
3	5	2	4	1
4	1	3	5	2
5	2	4	1	3
1	3	5	2	4

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Для квадратов 5-го порядка эти три метода дают полную оценку количества магических квадратов, которые можно построить методом суперпозиции. Если пренебречь вращением и отражениями, общее количество магических квадратов пятого порядка, полученных методом суперпозиции, составит 144 + 3600 + 2880 = 6624.

Четные квадраты: таким способом мы также можем построить даже упорядоченные квадраты. Поскольку в греческом и латинском алфавитах нет среднего термина для четных квадратов, в дополнение к первым двум ограничениям, чтобы диагональные суммы давали магическую константу, все буквы алфавита должны появляться на главной диагонали и на перекос по диагонали.

Ниже приведен пример квадрата 4х4. Для заданной диагонали и перекоса диагонали в греческом квадрате остальные ячейки можно заполнить, используя условие, чтобы каждая буква появлялась только один раз в строке и столбце.

а			д
	д	а
	с	б
б			с

а	б	с	д
с	д	а	б
д	с	б	а
б	а	д	с

а	б	с	д
д	с	б	а
б	а	д	с
с	д	а	б

αа	βб	γc	δд
γd	δc	αb	βа
δб	с	βд	αc
βс	αд	δа	γb

1	6	11	16
12	15	2	5
14	9	8	3
7	4	13	10

Используя эти два греко-латинских квадрата, мы можем построить 2 × 4! × 4! = 1152 магических квадрата. Разделив на 8, чтобы исключить эквивалентные квадраты вследствие вращения и отражения, получим 144 существенно различных магических квадрата четвертого порядка. Это единственные магические квадраты, которые можно построить методом Эйлера, поскольку существует только два взаимно ортогональных двоякодиагональных греко-латинских квадрата заказ 4.

Аналогичным образом можно построить магический квадрат 8×8, как показано ниже. Здесь порядок появления цифр не важен; однако квадранты имитируют схему расположения греко-латинских квадратов 4×4.

0	8	16	24	32	40	48	56
24	16	8	0	56	48	40	32
48	56	32	40	16	24	0	8
40	32	56	48	8	0	24	16
56	48	40	32	24	16	8	0
32	40	48	56	0	8	16	24
8	0	24	16	40	32	56	48
16	24	0	8	48	56	32	40

1	2	3	4	5	6	7	8
3	4	1	2	7	8	5	6
5	6	7	8	1	2	3	4
7	8	5	6	3	4	1	2
4	3	2	1	8	7	6	5
2	1	4	3	6	5	8	7
8	7	6	5	4	3	2	1
6	5	8	7	2	1	4	3

1	10	19	28	37	46	55	64
27	20	9	2	63	56	45	38
53	62	39	48	17	26	3	12
47	40	61	54	11	4	25	18
60	51	42	33	32	23	14	5
34	41	52	59	6	13	24	31
16	7	30	21	44	35	58	49
22	29	8	15	50	57	36	43

Метод Эйлера дал начало изучению греко-латинских квадратов . Метод Эйлера для построения магических квадратов справедлив для любого порядка, кроме 2 и 6.

Вариации : Магические квадраты, построенные из взаимно ортогональных двудиагональных греко-латинских квадратов, интересны сами по себе, поскольку магическое свойство возникает из относительного положения алфавитов в квадрате, а не из-за какого-либо арифметического свойства присвоенного им значения. Это означает, что мы можем присвоить алфавитам таких квадратов любое значение и все равно получить магический квадрат. Это основа для построения квадратов, отображающих в квадрате некоторую информацию (например, дни рождения, годы и т. д.), а также для создания «обратимых квадратов». Например, мы можем отобразить число π ≈ 3,141 592 в нижней строке магического квадрата 4×4, используя приведенный выше греко-латинский квадрат, присвоив ( α , β , γ , δ ) = (10, 0, 90, 15) и ( а , б , в , d ) = (0, 2, 3, 4). Мы получим следующий ненормальный магический квадрат с магической суммой 124:

10	2	93	19
94	18	12	0
17	90	4	13
3	14	15	92

Метод Нараяны-Де ла Гира для четных заказов

Метод Нараяны-Де ла Гира для нечетного квадрата такой же, как метод Эйлера. Однако для четных квадратов мы опускаем второе требование, согласно которому каждая греческая и латинская буква встречается только один раз в данной строке или столбце. Это позволяет воспользоваться тем, что сумма арифметической прогрессии с четным числом членов равна сумме двух противоположных симметричных членов, умноженной на половину общего количества членов. Таким образом, при построении греческих или латинских квадратов

для четных квадратов буква может встречаться в столбце n /2 раз, но подряд только один раз, и наоборот.

В качестве примера, если мы возьмем квадрат 4×4, где греческие и латинские термины имеют значения ( α , β , γ , δ ) = (0, 4, 8, 12) и ( a , b , c , d ) = (1, 2, 3, 4) соответственно, то α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ). Аналогично, a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ). Это означает, что дополнительная пара α и δ (или β и γ ) может появиться дважды в столбце (или строке) и при этом дать искомую магическую сумму. Таким образом, мы можем построить:

Для четных квадратов греческий магический квадрат создается путем размещения греческих алфавитов вдоль главной диагонали в определенном порядке. Косая диагональ затем заполняется в том же порядке или путем выбора членов, дополняющих члены на главной диагонали. Наконец, оставшиеся ячейки заполняются по столбцам. Учитывая столбец, мы используем дополнительные термины в диагональных ячейках, пересекаемых этим столбцом, следя за тем, чтобы они появлялись только один раз в данной строке, но n /2 раз в данном столбце. Латинский квадрат получается переворачиванием или вращением греческого квадрата и заменой соответствующих алфавитов. Окончательный магический квадрат получается сложением греческого и латинского квадратов.

В примере, приведенном ниже, главная диагональ (слева сверху вниз справа) заполнена последовательностью, упорядоченной как α , β , γ , δ , а наклонная диагональ (слева снизу вверх справа) заполнена в том же порядке. Остальные ячейки затем заполняются по столбцам так, что дополнительные буквы появляются только один раз в строке, но дважды в столбце. В первом столбце, поскольку α появляется в 1-й и 4-й строках, оставшиеся ячейки заполняются дополнительным к нему членом δ . Аналогичным образом пустые ячейки во втором столбце заполняются значением γ ; в третьем столбце β ; и 4-й столбец α . Каждая греческая буква появляется в строках только один раз, а в столбцах — дважды. Таким образом, суммы строк равны α + β + γ + δ, а суммы столбцов равны либо 2 ( α + δ ), либо 2 ( β + γ ). Аналогично и с латинским квадратом, который получается переворачиванием греческого квадрата по главной диагонали и перестановкой соответствующих букв.

а			д
	б	с
	б	с
а			д

а	с	б	д
д	б	с	а
д	б	с	а
а	с	б	д

а	д	д	а
с	б	б	с
б	с	с	б
д	а	а	д

αа	γd	βд	δа
δc	βб	γb	αc
δб	βс	γc	αb
αд	с	βа	δд

1	12	8	13
15	6	10	3
14	7	11	2
4	9	5	16

Приведенный выше пример объясняет, почему работает метод «крест-накрест» для дважды четного магического квадрата. Другой возможный магический квадрат 4 × 4, который также является пандиагональным и наиболее совершенным, построен ниже с использованием того же правила. Однако диагональная последовательность выбирается такой, чтобы все четыре буквы α , β , γ , δ появлялись внутри центрального подквадрата 2×2. Остальные ячейки заполняются по столбцам так, что каждая буква появляется в строке только один раз. В 1-м столбце пустые клетки нужно заполнить одной из букв, выбранных из дополнительной пары α и δ . Учитывая 1-й столбец, запись во 2-й строке может быть только δ, поскольку α уже присутствует во 2-й строке; в то время как в 3-й строке запись может быть только α , поскольку δ уже присутствует в 3-й строке. Действуем аналогично, пока все ячейки не будут заполнены. Приведенный ниже латинский квадрат получен путем переворачивания греческого квадрата по главной диагонали и замены греческих алфавитов соответствующими латинскими алфавитами.

а			с
	с	а
	б	д
д			б

а	б	д	с
д	с	а	б
а	б	д	с
д	с	а	б

а	д	а	д
б	с	б	с
д	а	д	а
с	б	с	б

αа	βд	δа	γd
δб	γc	αb	βс
αд	βа	δд	с
δc	γb	αc	βб

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

Мы можем использовать этот подход и для построения одиночных четных магических квадратов. Однако в этом случае нам следует быть более осторожными, поскольку критерии однозначного сочетания греческого и латинского алфавитов не выполняются автоматически. Нарушение этого условия приводит к тому, что в конечном квадрате одних чисел не хватает, а другие дублируются. Поэтому есть важная оговорка:

Для одиночных четных квадратов в греческом квадрате проверьте ячейки столбцов, которые по вертикали соединены с дополнением. В таком случае соответствующая ячейка латинского квадрата должна содержать ту же букву, что и его горизонтально-парная ячейка.

Ниже представлена конструкция магического квадрата 6×6, где непосредственно заданы цифры, а не буквы алфавита. Второй квадрат строится путем переворачивания первого квадрата по главной диагонали. Здесь в первом столбце квадрата корня 3-я клетка соединена с дополнением в 4-х ячейках. Таким образом, в основном квадрате числа в 1-й и 6-й ячейке 3-й строки совпадают. Аналогично с другими столбцами и строками. В этом примере перевернутая версия квадратного корня удовлетворяет этому условию.

0	24	18	12	6	30
30	6	12	18	24	0
0	24	12	18	6	30
30	24	12	18	6	0
30	6	18	12	24	0
0	6	18	12	24	30

1	6	1	6	6	1
5	2	5	5	2	2
4	3	3	3	4	4
3	4	4	4	3	3
2	5	2	2	5	5
6	1	6	1	1	6

1	30	19	18	12	31
35	8	17	23	26	2
4	27	15	21	10	34
33	28	16	22	9	3
32	11	20	14	29	5
6	7	24	13	25	36

Ниже приведен еще один пример построенного таким образом магического квадрата 6×6. Здесь диагональные записи расположены по-другому. Первичный квадрат строится путем переворачивания корневого квадрата вокруг главной диагонали. Во втором квадрате условие об единственном четном квадрате не выполняется, что приводит к ненормальному магическому квадрату (третьему квадрату), в котором числа 3, 13, 24 и 34 дублируются, но отсутствуют числа 4, 18, 19 и 33.

6	30	12	18	0	24
24	0	12	18	30	6
24	0	18	12	30	6
6	30	18	12	0	24
24	0	18	12	30	6
6	30	12	18	0	24

2	5	5	2	5	2
6	1	1	6	1	6
3	3	4	4	4	3
4	4	3	3	3	4
1	6	6	1	6	1
5	2	2	5	2	5

8	35	17	20	5	26
30	1	13	24	31	12
27	3	22	16	34	9
10	34	21	15	3	28
25	6	24	13	36	7
11	32	14	23	2	29

Последнее условие является немного произвольным и не всегда может нуждаться в его вызове, как в этом примере, где в корневом квадрате каждая ячейка вертикально соединена со своим дополнением:

6	30	12	24	18	0
6	0	18	24	12	30
24	0	12	6	18	30
6	30	18	24	12	0
24	30	12	6	18	0
24	0	18	6	12	30

2	2	5	2	5	5
6	1	1	6	6	1
3	4	3	4	3	4
5	5	2	5	2	2
4	3	4	3	4	3
1	6	6	1	1	6

8	32	17	26	23	5
12	1	19	30	18	31
27	4	15	10	21	34
11	35	20	29	14	2
28	33	16	9	22	3
25	6	24	7	13	36

Еще один пример: мы создали магический квадрат 8×8. В отличие от рисунка крест-накрест из предыдущего раздела для равномерных квадратов, здесь мы имеем клетчатый узор для измененных и неизмененных ячеек. Кроме того, в каждом квадранте нечетные и четные числа появляются в чередующихся столбцах.

0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56

1	8	1	8	8	1	8	1
7	2	7	2	2	7	2	7
3	6	3	6	6	3	6	3
5	4	5	4	4	5	4	5
4	5	4	5	5	4	5	4
6	3	6	3	3	6	3	6
2	7	2	7	7	2	7	2
8	1	8	1	1	8	1	8

1	56	17	40	32	41	16	57
63	10	47	26	34	23	50	7
3	54	19	38	30	43	14	59
61	12	45	28	36	21	42	5
60	13	44	29	37	20	53	4
6	51	22	35	27	46	11	62
58	15	42	31	39	18	55	2
8	47	24	33	25	48	9	64

Вариации . Возможны различные вариации основной идеи: дополнительная пара может появляться n в столбце /2 или менее раз . То есть столбец греческого квадрата можно построить, используя более чем одну дополнительную пару. Этот метод позволяет нам наделить магический квадрат гораздо более богатыми свойствами. Эту идею можно распространить и на диагонали. Ниже приведен пример магического квадрата 8×8. В готовом квадрате каждый из четырех квадрантов также является панмагическим квадратом, причем каждый квадрант имеет одинаковую магическую константу 130.

0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16

1	8	1	8	7	2	7	2
7	2	7	2	1	8	1	8
8	1	8	1	2	7	2	7
2	7	2	7	8	1	8	1
3	6	3	6	5	4	5	4
5	4	5	4	3	6	3	6
6	3	6	3	4	5	4	5
4	5	4	5	6	3	6	3

1	56	57	16	23	34	47	26
63	10	7	50	41	32	17	40
8	49	64	9	18	39	42	31
58	15	2	55	48	25	24	33
51	6	11	62	37	20	29	44
13	60	53	4	27	46	35	22
54	3	14	59	36	21	28	45
12	61	52	5	30	43	38	19

Метод границ

Метод окантовки для порядка 3

В этом методе цель состоит в том, чтобы обернуть границу вокруг меньшего магического квадрата, который служит ядром. Возьмем, к примеру, квадрат 3×3. Вычитая среднее число 5 из каждого числа 1, 2, ..., 9, мы получаем 0, ± 1, ± 2, ± 3 и ± 4, что мы и будем, за неимением лучших слов, вслед за С. Гарри Уайтом. , называются номерами костей. Магическая константа магического квадрата, который мы будем называть скелетным квадратом, составленным из этих чисел костей, будет равна нулю, поскольку сложение всех строк магического квадрата даст nM = Σ k = 0; таким образом, М = 0.

Нетрудно доказать, что среднее число должно располагаться в центральной ячейке: пусть x — число, помещенное в среднюю клетку, тогда сумма среднего столбца, средней строки и двух диагоналей дает Σ k + 3 x = 4 М . Поскольку Σ k = 3 M , имеем x = M / 3. Здесь M = 0, поэтому x = 0.

Поместив среднее число 0 в центральную ячейку, мы хотим построить границу так, чтобы полученный квадрат был магическим. Пусть граница задана формулой:

в	а	v
б*	0	б
v*	а*	в*

Поскольку сумма каждой строки, столбца и диагоналей должна быть постоянной (то есть равной нулю), мы имеем

а + а* = 0,

б + б* = 0,

и + и* = 0,

v + v* = 0.

Теперь, если мы выбрали a , b , u и v , то у нас есть a* = - a , b* = - b , u* = - u и v* = - v . Это означает, что если мы присвоим переменной заданное число, скажем a = 1, то ее дополнение будет присвоено a* , т.е. a* = - 1. Таким образом, из восьми неизвестных переменных достаточно указать значение всего четыре переменных. Мы будем рассматривать a , b , u и v как независимые переменные, а a* , b* , u* и v* как зависимые переменные. Это позволяет нам рассматривать число кости ± x как одно число независимо от знака, поскольку (1) его присвоение данной переменной, скажем, a , автоматически означает, что такое же количество противоположных знаков будет использоваться совместно с его дополнением a* , и (2) двум независимым переменным, скажем a и b , не может быть присвоен один и тот же номер кости. Но как нам выбрать a , b , u и v ? У нас есть сумма верхней строки и сумма правого столбца как

u + a + v = 0,

v + b + u* = 0.

Поскольку 0 — четное число, существует только два способа получения четного числа из суммы трех целых чисел: 1) если все три были четными или 2) если два из них были нечетными, а одно — четным. Поскольку в нашем выборе чисел у нас есть только два четных ненулевых числа (± 2 и ± 4), первое утверждение неверно. Следовательно, должно быть так, что второе утверждение верно: два числа нечетные, а одно четное.

Единственный способ, которым оба приведенных выше уравнения могут одновременно удовлетворять этому условию четности и при этом оставаться совместимыми с имеющимся у нас набором чисел, — это когда u и v нечетны. Напротив, если бы мы предположили, что и и а нечетны, а v — четно в первом уравнении, то и* = — и будет нечетным во втором уравнении, делая b также нечетным, чтобы удовлетворить условие паритета. Но для этого требуются три нечетных числа ( u , a и b ), что противоречит тому факту, что у нас есть только два нечетных числа (± 1 и ± 3), которые мы можем использовать. Это доказывает, что нечетные номера костей занимают угловые ячейки. При преобразовании в обычные числа путем добавления 5 это означает, что все углы магического квадрата 3×3 заняты четными числами.

Таким образом, взяв u = 1 и v = 3, мы получим a = - 4 и b = - 2. Следовательно, готовый квадрат скелета будет таким, как слева. Прибавляя к каждому числу по 5, получаем готовый магический квадрат.

1	-4	3
2	0	-2
-3	4	-1

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Аналогичный аргумент можно использовать для построения более крупных квадратов. Поскольку не существует магического квадрата 2×2, вокруг которого мы могли бы обернуть границу, чтобы построить магический квадрат 4×4, следующим наименьшим порядком, для которого мы можем построить квадрат с рамкой, является порядок 5.

Метод окантовки для порядка 5

Рассмотрим квадрат пятого порядка. Для этого у нас есть магическое ядро 3х3, вокруг которого мы обернем магическую рамку. Номера костей, которые будут использоваться, будут составлять ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 и ± 12. Без учета знаков у нас есть 8 номеров костей, 4 из которых четные и 4. из них странные. В общем, для квадрата любого порядка n будет 4( n -1) граничных ячеек, которые необходимо заполнить 2( n -1) числами костей. Пусть магическая граница задана как

в	а	б	с	v
д*				д
и*				и
еб*				ж
v*	а*	б*	с*	в*

Как и прежде, нам следует

поместите число костей и его дополнение друг напротив друга так, чтобы магическая сумма была равна нулю.

достаточно определить числа u, v, a, b, c, d, e, f Для описания магической границы . Как и раньше, у нас есть два уравнения ограничений для верхней строки и правого столбца:

и + а + б + с + v = 0

v + d + e + f + u* = 0.

Возможны несколько решений. Стандартная процедура заключается в

сначала попытаемся определить угловые ячейки, после чего попробуем определить остальную часть границы.

Существует 28 способов выбрать два числа из набора 8 чисел костей для угловых ячеек u и v . Однако не все пары допустимы. Среди 28 пар 16 пар состоят из четных и нечетных чисел, в 6 парах оба числа имеют четные числа, а в 6 парах оба числа состоят из нечетных чисел.

Мы можем доказать, что угловые клетки u и v не могут иметь четное и нечетное число. Это потому, что если бы это было так, то суммы u + v и v + u* были бы нечетными, а поскольку 0 — четное число, то суммы a + b + c и d + e + f также должны быть нечетными. Единственный способ, при котором сумма трех целых чисел даст нечетное число, — это когда 1) два из них четные, а одно нечетное, или 2) когда все три нечетные. Поскольку предполагается, что угловые клетки являются нечетными и четными, ни одно из этих двух утверждений не совместимо с тем фактом, что в нашем распоряжении есть только 3 четных и 3 нечетных числа костей. Это доказывает, что u и v не могут иметь разную четность. Это исключает 16 возможностей.

Используя рассуждения аналогичного типа, мы также можем сделать некоторые выводы о множествах { a , b , c } и { d , e , f }. Если u и v оба четные, то оба набора должны иметь два нечетных числа и одно четное число. Если u и v оба нечетные, то в одном из наборов должно быть три четных числа, а в другом — одно четное и два нечетных числа.

В качестве рабочего примера рассмотрим случай, когда и u , и v четные. Возможные 6 пар: (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) и (10, 12). Поскольку суммы u + v и v + u* четные, суммы a + b + c и d + e + f также должны быть четными. Единственный способ получить четное число из суммы трех целых чисел — это когда 1) два из них нечетные, а одно четное, или 2) когда все три четные. Тот факт, что две угловые клетки четные, означает, что в нашем распоряжении только два четных числа. Таким образом, второе утверждение не совместимо с этим фактом. Следовательно, должно быть так, что первое утверждение верно: два из трех чисел должны быть нечетными, а одно — четным.

Теперь пусть a, b, d, e — нечетные числа, а c и f — четные числа. Учитывая нечетное количество костей, имеющихся в нашем распоряжении: ± 5, ± 7, ± 9 и ± 11, их различия варьируются от D = { ± 2, ± 4, ± 6}, а их суммы варьируются от S = {± 12, ± 6}. 14, ± 16, ± 18, ± 20}. Также полезно иметь таблицу их суммы и разностей для дальнейшего использования. Теперь, учитывая угловые ячейки ( u , v ), мы можем проверить ее допустимость, проверив, попадают ли суммы u + v + c и v + u* + f в набор D или S . Допустимость угловых чисел является необходимым, но не достаточным условием существования решения.

Например, если мы рассмотрим пару ( u , v ) = (8, 12), то u + v = 20 и v + u* = 6; и в нашем распоряжении будет ±6 и ±10 четных чисел костей. Принимая c = ± 6, мы получаем, что сумма u + v + c равна 26 и 14, в зависимости от взятого знака ± 6 , оба из которых не попадают в множества D или S . Аналогично, принимая c = ± 10, мы получаем, что сумма u + v + c равна 30 и 10, оба из которых снова не попадают в множества D или S . Таким образом, пара (8, 12) недопустима. Аналогичным образом мы можем исключить и пару (6, 12).

В качестве другого примера, если мы рассмотрим пару ( u , v ) = (10, 12), то u + v = 22 и v + u* = 2; и в нашем распоряжении будет ±6 и ±8 четных чисел костей. Принимая c что сумма u + v + c равна 28 и 16. Хотя 28 не попадает в наборы D или S , 16 попадает в набор S. = ± 6, мы получаем , При проверке мы обнаруживаем, что если ( a , b ) = (-7, -9), то a + b = -16; и он будет удовлетворять первому уравнению ограничений. Кроме того, принимая f = ± 8, мы получаем, что сумма v + u* + f равна 10 и -6. 10 не входит в наборы D или S , -6 попадает в набор D. Хотя Поскольку -7 и -9 уже присвоены a и b , очевидно ( d , e ) = (-5, 11), так что d + e = 6; и оно будет удовлетворять второму уравнению ограничений.

Аналогично, приняв c = ± 8, мы получим сумму u + v + c равную 30 и 14. Хотя 30 не попадает в наборы D или S , 14 попадает в набор S. , При проверке мы обнаруживаем, что если ( a , b ) = (-5, -9), то a + b = -14. Кроме того, принимая f = ± 6, мы получаем, что сумма v + u* + f равна 8 и -4. 8 не входит в наборы D или S , -4 попадает в набор D. Хотя Очевидно, ( d , e ) = (-7, 11), так что d + e = 4, и второе уравнение ограничения будет удовлетворено.

Следовательно, угловая пара ( u , v ) = (10, 12) допустима; и оно допускает два решения: (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8) и (a, b, c, d, e, е) = (-5, -9, -8, -7, 11, -6). Готовые каркасные квадраты представлены ниже. Магический квадрат получается путем прибавления 13 к каждой ячейке.

10	-7	-9	-6	12
5				-5
-11				11
8				-8
-12	7	9	6	-10

23	6	4	7	25
18				8
2				24
21				5
1	20	22	19	3

10	-5	-9	-8	12
7				-7
-11				11
6				-6
-12	5	9	8	-10

23	8	4	5	25
20				6
2				24
19				7
1	18	22	21	3

Используя аналогичный процесс рассуждения, мы можем построить следующую таблицу для значений u, v, a, b, c, d, e, f, выраженных в числах костей, как указано ниже. Существует только 6 возможных вариантов угловых ячеек, что приводит к 10 возможным решениям границ.

u, v	а, б, в	д, д, е
12, 10	-6, -7, -9	-11, 5, 8
12, 10	-5, -8, -9	-11, 6, 7
11, 5	6, -10, -12	-9, 7, 8
10, 6	5, -9, -12	-11, 7, 8
10, 6	7, -11, -12	-9, 5, 8
9, 7	5, -10, -11	-12, 6, 8
9, 7	6, -10, -12	-11, 5, 8
8, 6	7, -10, -11	-12, 5, 9
8, 6	9, -11, -12	-10, 5, 7
7, 5	9, -10, -11	-12, 6, 8

Учитывая эту группу из 10 границ, мы можем построить 10×8×(3!) ² = 2880 магических квадратов с разными границами. Здесь номера костей ±5, ..., ±12 были последовательными. Можно построить больше квадратов с рамкой, если числа не являются последовательными. Если также использовались непоследовательные номера костей, то всего получается 605 магических границ. Таким образом, общее количество магических квадратов 5-го порядка с существенно разными границами (с последовательными и непоследовательными номерами) равно 174 240. ^[74]^[75] Смотрите историю. ^[76] Число магических квадратов пятого порядка, которые можно построить методом окантовки, примерно в 26 раз больше, чем методом суперпозиции.

Методы непрерывного перебора

Исчерпывающее перечисление всех границ магического квадрата заданного порядка, как это делалось ранее, очень утомительно. Часто желательно такое структурированное решение, позволяющее построить границу для квадрата любого порядка. Ниже мы приводим три алгоритма построения границы для нечетных, дважды четных и одинарно четных квадратов. Эти алгоритмы непрерывного подсчета были открыты в 10 веке арабскими учеными; и их самое раннее из сохранившихся изложений взято из двух трактатов аль-Бузджани и аль-Антаки, хотя они сами не были первооткрывателями. ^[24] С тех пор было открыто еще много таких алгоритмов.

Нечетные квадраты : Ниже приводится алгоритм, предложенный аль-Бузджани для построения границы нечетных квадратов. Особенность этого метода в том, что для квадрата порядка n два соседних угла имеют числа n - 1 и n + 1 .

Начиная с ячейки над левым нижним углом, помещаем числа поочередно в левый столбец и нижнюю строку, пока не дойдем до средней ячейки. Следующее число записываем в среднюю ячейку только что достигнутого нижнего ряда, после чего заполняем ячейку в левом верхнем углу, затем среднюю ячейку правого столбца, затем правый верхний угол. После этого, начиная с уже заполненной ячейки над средней ячейкой правого столбца, возобновляем поочередное размещение чисел в правом столбце и верхней строке. Как только половина граничных ячеек заполнена, другая половина заполняется числами, дополнительными к противоположным ячейкам. Последующие внутренние границы заполняются таким же образом, пока не заполнится квадрат третьего порядка. ^[24]

Ниже приведен пример квадрата 9-го порядка.

8	80	78	76	75	12	14	16	10
67	22	64	62	61	26	28	24	15
69	55	32	52	51	36	34	27	13
71	57	47	38	45	40	35	25	11
73	59	49	43	41	39	33	23	9
5	19	29	42	37	44	53	63	77
3	17	48	30	31	46	50	65	79
1	58	18	20	21	56	54	60	81
72	2	4	6	7	70	68	66	74

Вдвойне четный порядок : Ниже приводится метод, данный аль-Антаки. Рассмотрим пустую границу порядка n = 4 k с k ≥ 3. Особенность этого алгоритма в том, что соседние угловые ячейки заняты числами n и n - 1 .

Начиная с левой верхней угловой ячейки, раскладываем последовательные числа группами по четыре: первое рядом с углом, второе и третье внизу, четвертое вверху и так далее, пока не останется в верхний ряд (без учета углов) шесть пустых ячеек. Затем мы пишем следующие два числа сверху и следующие четыре снизу. Затем заполняем верхние углы, сначала левый, затем правый. Следующее число размещаем ниже правого верхнего угла в правом столбце, следующее число с другой стороны в левом столбце. Затем мы возобновляем размещение групп из четырех последовательных чисел в двух столбцах, как и раньше. Как только половина граничных ячеек заполнена, другая половина заполняется числами, дополнительными к противоположным ячейкам. ^[24]

В примере ниже показана граница для квадрата порядка 16.

15	1	255	254	4	5	251	250	8	9	10	246	245	244	243	16
240															17
18															239
19															238
237															20
236															21
22															235
23															234
233															24
232															25
26															231
27															230
229															28
228															29
30															227
241	256	2	3	253	252	6	7	249	248	247	11	12	13	14	242

Для квадрата порядка 8 мы просто начинаем с шести ячеек.

7	1	2	62	61	60	59	8
56							9
10							55
11							54
53							12
52							13
14							51
57	64	63	3	4	5	6	58

Одинарный четный порядок : Для одинарного четного порядка у нас есть алгоритм, данный аль-Антаки. Здесь угловые ячейки заняты n и n - 1. Ниже приведен пример квадрата 10-го порядка.

Начните с размещения 1 в нижнем ряду рядом с левой угловой ячейкой, затем поместите 2 в верхний ряд. После этого поместите 3 в нижний ряд и поверните вокруг границы против часовой стрелки, помещая следующие цифры, пока n в правом столбце не будет достигнуто - 2. Следующие два числа располагаются в верхних углах ( n - 1 в левом верхнем углу и n в правом верхнем углу). Затем следующие два числа помещаются в левый столбец, затем возобновляем циклическое размещение чисел до тех пор, пока не будет заполнена половина всех граничных ячеек. Как только половина граничных ячеек заполнена, другая половина заполняется числами, дополнительными к противоположным ячейкам. ^[24]

9	100	2	98	5	94	88	15	84	10
83									18
16									85
87									14
12									89
11									90
93									8
6									95
97									4
91	1	99	3	96	7	13	86	17	92

Способ составления

Для квадратов порядка m×n, где m , n > 2

Это метод, напоминающий произведение Кронекера двух матриц, который строит магический квадрат nm × nm из магического квадрата n × n и магического квадрата m × m . ^[77] «Произведение» двух магических квадратов создает магический квадрат более высокого порядка, чем два множимых. Пусть два магических квадрата имеют порядки m и n . Последний квадрат будет порядка m × n . Разделите квадрат порядка m × n на m × m подквадраты так, чтобы всего было n ² такие подквадраты. В квадрате порядка n уменьшите на 1 значение всех чисел. Умножьте эти приведенные значения на m. ²и поместите результаты в соответствующие подквадраты целого квадрата m × n . Квадраты порядка m складываются n ² раз на подквадраты последнего квадрата. Особенность этого метода построения в том, что каждый магический подквадрат будет иметь разные магические суммы. Квадрат, составленный из таких магических сумм каждого магического подквадрата, снова будет магическим квадратом. Ниже приведен наименьший составной магический квадрат 9-го порядка, состоящий из двух квадратов 3-го порядка.

Заказ 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Заказать 3х3
63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9

Заказать 3х3
71	64	69	8	1	6	53	46	51
66	68	70	3	5	7	48	50	52
67	72	65	4	9	2	49	54	47
26	19	24	44	37	42	62	55	60
21	23	25	39	41	43	57	59	61
22	27	20	40	45	38	58	63	56
35	28	33	80	73	78	17	10	15
30	32	34	75	77	79	12	14	16
31	36	29	76	81	74	13	18	11

Поскольку каждый из подквадратов 3×3 можно независимо вращать и отражать в 8 различных квадратов, из этого одного составного квадрата 9×9 мы можем получить 8 ⁹ = 134 217 728 существенно разных составных квадратов 9×9. Можно также получить гораздо больше составных магических квадратов, если мы выберем непоследовательные числа в магических подквадратах, как в версии Ян Хуэя составного магического квадрата 9×9. Следующие наименьшие составные магические квадраты 12-го порядка, состоящие из магических квадратов 3-го и 4-го порядка, приведены ниже.

Заказ 3
2	9	4
7	5	3
6	1	8

Заказ 4
1	14	11	8
12	7	2	13
6	9	16	3
15	4	5	10

Заказать 3 × 4
2	9	4	119	126	121	92	99	94	65	72	67
7	5	3	124	122	120	97	95	93	70	68	66
6	1	8	123	118	125	96	91	98	69	64	71
101	108	103	56	63	58	11	18	13	110	117	112
106	104	102	61	59	57	16	14	12	115	113	111
105	100	107	60	55	62	15	10	17	114	109	116
47	54	49	74	81	76	137	144	139	20	27	22
52	50	48	79	77	75	142	140	138	25	23	21
51	46	53	78	73	80	141	136	143	24	19	26
128	135	130	29	36	31	38	45	40	83	90	85
133	131	129	34	32	30	43	41	39	88	86	84
132	127	134	33	28	35	42	37	44	87	82	89

Заказать 4 × 3
17	30	27	24	129	142	139	136	49	62	59	56
28	23	18	29	140	135	130	141	60	55	50	61
22	25	32	19	134	137	144	131	54	57	64	51
31	20	21	26	143	132	133	138	63	52	53	58
97	110	107	104	65	78	75	72	33	46	43	40
108	103	98	109	76	71	66	77	44	39	34	45
102	105	112	99	70	73	80	67	38	41	48	35
111	100	101	106	79	68	69	74	47	36	37	42
81	94	91	88	1	14	11	8	113	126	123	120
92	87	82	93	12	7	2	13	124	119	114	125
86	89	96	83	6	9	16	3	118	121	128	115
95	84	85	90	15	4	5	10	127	116	117	122

Для базовых квадратов существует только один существенно отличающийся квадрат 3-го порядка, в то время как существует 880 существенно различных квадратов 4-го порядка, из которых мы можем выбирать. Каждая пара может дать два разных составных квадрата. Поскольку каждый магический подквадрат в каждом составном квадрате может быть выражен в 8 различных формах благодаря вращениям и отражениям, их может быть 1×880×8. ⁹ + 880×1×8 ¹⁶ ≈ 2.476×10 ¹⁷ Таким образом созданы по существу разные составные магические квадраты 12 × 12 с последовательными числами в каждом подквадрате. c n _{В общем случае, если существуют cm} существенно разные _{магические} квадраты порядка m и n , то мы можем составить cm _и × c _n × ( 8 ^{м ²} + 8 ^{н ²}) составные квадраты порядка mn при условии, что m ≠ n . Если m = n , то мы можем сформировать ( c _m ) ² × 8 ^{м ²} составные квадраты порядка m ².

Для квадратов дважды четного порядка

Когда квадраты имеют вдвойне четный порядок, мы можем построить составной магический квадрат более элегантным способом, чем описанный выше процесс, в том смысле, что каждый магический подквадрат будет иметь одну и ту же магическую константу. Пусть n — порядок главного квадрата, а m — порядок равных подквадратов. Подквадраты заполняются один за другим в любом порядке непрерывной последовательностью m ²/2 меньшие числа (т.е. числа меньше или равные n ²/2) вместе с их дополнениями к n ² + 1. Каждый подквадрат в целом даст одинаковую магическую сумму. Преимущество этого типа составного квадрата в том, что каждый подквадрат заполняется одинаково и их расположение произвольно. Таким образом, знания одной конструкции четного порядка будет достаточно, чтобы заполнить весь квадрат. Более того, если подквадраты заполнить в естественной последовательности, то полученный квадрат будет пандиагональным. Магическая сумма подквадратов связана с магической суммой всего квадрата соотношением $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ где n = км . ^[24]

В примерах ниже мы разделили квадрат 12-го порядка на девять подквадратов 4-го порядка, заполненных восемью меньшими числами, и в соответствующих ячейках слона (две клетки по диагонали, включая закругления, в подквадрате 4×4) их дополняет n ² + 1 = 145. Каждый подквадрат является пандиагональным с магической константой 290; в то время как весь квадрат слева также является пандиагональным с магической константой 870.

1	142	139	8	9	134	131	16	17	126	123	24
140	7	2	141	132	15	10	133	124	23	18	125
6	137	144	3	14	129	136	11	22	121	128	19
143	4	5	138	135	12	13	130	127	20	21	122
25	118	115	32	33	110	107	40	41	102	99	48
116	31	26	117	108	39	34	109	100	47	42	101
30	113	120	27	38	105	112	35	46	97	104	43
119	28	29	114	111	36	37	106	103	44	45	98
49	94	91	56	57	86	83	64	65	78	75	72
92	55	50	93	84	63	58	85	76	71	66	77
54	89	96	51	62	81	88	59	70	73	80	67
95	52	53	90	87	60	61	82	79	68	69	74

69	74	79	68	29	114	119	28	61	82	87	60
75	72	65	78	115	32	25	118	83	64	57	86
66	77	76	71	26	117	116	31	58	85	84	63
80	67	70	73	120	27	30	113	88	59	62	81
21	122	127	20	53	90	95	52	13	130	135	12
123	24	17	126	91	56	49	94	131	16	9	134
18	125	124	23	50	93	92	55	10	133	132	15
128	19	22	121	96	51	54	89	136	11	14	129
45	98	103	44	5	138	143	4	37	106	111	36
99	48	41	102	139	8	1	142	107	40	33	110
42	101	100	47	2	141	140	7	34	109	108	39
104	43	46	97	144	3	6	137	112	35	38	105

В другом примере ниже мы разделили квадрат порядка 12 на четыре квадрата порядка 6. Каждый из квадратов порядка 6 заполнен восемнадцатью маленькими числами и их дополнениями с использованием техники окантовки, данной аль-Антаки. Если убрать заштрихованные границы подквадратов 6-го порядка и образовать квадрат 8-го порядка, то этот квадрат 8-го порядка снова станет магическим квадратом. В полной общности можно взять любое m ²/2 меньших чисел вместе с их дополнениями к n ² + 1 для заполнения подквадратов, не обязательно в непрерывной последовательности.

60	82	88	56	90	59	24	118	124	20	126	23
64	69	74	79	68	81	28	33	110	115	32	117
83	75	72	65	78	62	119	111	36	29	114	26
84	66	77	76	71	61	120	30	113	112	35	25
58	80	67	70	73	87	22	116	31	34	109	123
86	63	57	89	55	85	122	27	21	125	19	121
6	136	142	2	144	5	42	100	106	38	108	41
10	15	128	133	14	135	46	51	92	97	50	99
137	129	18	11	132	8	101	93	54	47	96	44
138	12	131	130	17	7	102	48	95	94	53	43
4	134	13	16	127	141	40	98	49	52	91	105
140	9	3	143	1	139	104	45	39	107	37	103

Меджиг-метод для квадратов четного порядка 2 n , где n > 2

В этом методе магический квадрат «умножается» на квадрат меджига, чтобы создать магический квадрат большего размера. Тезка этого метода происходит от математической игры под названием «Меджиг», созданной Виллемом Баринком в 2006 году, хотя сам метод намного старше. ^{[ нужна ссылка ]} Ранний пример магического квадрата, построенного с использованием этого метода, встречается в тексте Ян Хуэя для магического квадрата 6-го порядка. ^{[ нужна ссылка ]} Метод LUX для построения одиночных четных магических квадратов является частным случаем метода меджига, где для построения квадрата меджига используются только 3 из 24 шаблонов. ^{[ нужна ссылка ]}

Детали головоломки «Меджиг» представляют собой квадраты 2х2, на которых расположены цифры 0, 1, 2 и 3. Существует три основных шаблона, с помощью которых числа 0, 1, 2 и 3 можно разместить в квадрате 2×2, где 0 находится в верхнем левом углу:

0	1
2	3

0	1
3	2

0	2
3	1

Каждый узор можно отразить и повернуть, чтобы получить 8 эквивалентных узоров, что дает нам в общей сложности 3×8 = 24 узора. Цель головоломки – взять n ² кусочки меджига и расположите их в размером n × n квадрате меджига таким образом, чтобы каждая строка, столбец вместе с двумя длинными диагоналями, образованными квадратом меджига, в сумме давали 3 n , магическую константу квадрата меджига. Меджиг -квадрат n × n может создать магический квадрат 2 n × 2 n , где n > 2.

Учитывая меджиг-квадрат n × n и основу магического квадрата n × n , магический квадрат порядка 2 n × 2 n можно построить следующим образом:

Каждой ячейке магического квадрата размера n × n соответствует соответствующий подквадрат 2 × 2 квадрата меджиг.
Заполните каждые 2×2 квадрата меджига четырьмя числами от 1 до 4 n. ² которые равны исходному числу по модулю n ², т.е. x + n ²y , где x — соответствующее число из магического квадрата, а y — число от 0 до 3 в подквадратах 2×2.

Если предположить, что у нас есть исходная основа магического квадрата, задача состоит в построении квадрата меджига. Для справки суммы каждого куска меджига по строкам, столбцам и диагоналям, обозначенным курсивом, составляют:

1	0	1
5	2	3
3	2	4	3

1	0	1
5	3	2
4	3	3	2

2	0	2
4	3	1
5	3	3	1

Дважды четные квадраты : наименьший четный меджиг-квадрат имеет порядок 2 с магической константой 6. Хотя можно построить меджиг-квадрат 2×2, мы не можем построить из него магический квадрат 4×4, поскольку требуются магические квадраты 2×2. «умножить» его не существует. Тем не менее, построить эти меджиг-квадраты 2×2 стоит. Магическую константу 6 можно разделить на две части тремя способами: 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3. Существует 96 таких меджиг-квадратов 2×2. ^{[ нужна ссылка ]} В приведенных ниже примерах каждый квадрат меджига 2 × 2 создается путем комбинирования разных ориентаций одного куска меджига.

Меджиг 2×2
0	1	3	2
2	3	1	0
3	2	0	1
1	0	2	3

Меджиг 2×2
0	1	2	3
3	2	1	0
1	0	3	2
2	3	0	1

Меджиг 2×2
0	2	3	1
3	1	0	2
0	2	3	1
3	1	0	2

Мы можем использовать меджиг-квадраты 2×2, чтобы построить более крупные, даже упорядоченные меджиг-квадраты. Один из возможных подходов — просто объединить квадраты меджига 2×2 вместе. Другая возможность — обернуть меньшую квадратную сердцевину меджига рамкой. Части квадрата меджига 2х2 могут образовывать угловые части границы. Еще одна возможность — добавить строку и столбец к нечетному упорядоченному квадрату. Пример магического квадрата 8×8 построен ниже путем объединения четырех копий самого левого меджиг-квадрата 2×2, приведенного выше:

Заказ 4
1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Меджиг 4 × 4
0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3
0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3

Заказать 8
1	17	62	46	4	20	63	47
33	49	30	14	36	52	31	15
56	40	11	27	53	37	10	26
24	8	43	59	21	5	42	58
13	29	50	34	16	32	51	35
45	61	18	2	48	64	19	3
60	44	7	23	57	41	6	22
28	12	39	55	25	9	38	54

Следующий пример построен путем окантовки квадратного ядра меджига 2×2.

Заказ 4
1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Меджиг 4 × 4
0	1	0	1	2	3	3	2
2	3	3	2	1	0	1	0
0	3	0	2	3	1	0	3
1	2	3	1	0	2	1	2
2	1	0	2	3	1	2	1
3	0	3	1	0	2	3	0
3	2	0	1	2	3	0	1
1	0	3	2	1	0	2	3

Заказать 8
1	17	14	30	36	52	63	47
33	49	62	46	20	4	31	15
8	56	11	43	53	21	10	58
24	40	59	27	5	37	26	42
45	29	2	34	64	32	35	19
61	13	50	18	16	48	51	3
60	44	7	23	41	57	6	22
28	12	55	39	25	9	38	54

Одиночные четные квадраты : квадрата Меджига первого порядка не существует. Таким образом, наименьший нечетный квадрат меджига имеет порядок 3 с магической константой 9. Есть только 7 способов разделить целое число 9, нашу магическую константу, на три части. ^{[ нужна ссылка ]} Если эти три части соответствуют трем частям меджига в ряду, столбце или диагонали, то релевантными для нас разбиениями являются:

9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.

Меджиг-квадрат 3х3 можно построить методом проб и ошибок, как показано в крайнем левом квадрате ниже. Другой подход — добавить строку и столбец в квадрат меджига 2×2. В среднем квадрате ниже были добавлены левый столбец и нижняя строка, образуя L-образную рамку медджига, к квадрату медджига 2 × 2, указанному ранее. Самый правый квадрат ниже по сути такой же, как средний квадрат, за исключением того, что строка и столбец были добавлены в середине, чтобы сформировать крест, а части квадрата меджига 2 × 2 расположены по углам.

Меджиг 3×3
2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Меджиг 3×3
0	3	0	1	3	2
2	1	2	3	1	0
3	0	3	2	0	1
2	1	1	0	2	3
0	1	3	1	3	1
2	3	0	2	0	2

Меджиг 3×3
0	1	0	3	3	2
2	3	2	1	1	0
3	1	0	1	3	1
0	2	2	3	0	2
3	2	3	0	0	1
1	0	2	1	2	3

После того как меджиг-квадрат 3х3 построен, его можно преобразовать в магический квадрат 6х6. Например, используя крайний левый меджиг-квадрат 3×3, указанный выше:

Заказ 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Меджиг 3×3
2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Заказ 6
26	35	1	19	6	24
17	8	28	10	33	15
30	12	14	23	25	7
3	21	5	32	34	16
31	22	27	9	2	20
4	13	36	18	11	29

Таких меджиг-квадратов 3×3 1 740 800. ^[78] Самый простой способ построить нечетный меджиг-квадрат более высокого порядка - это обернуть меньший нечетный меджиг-квадрат рамкой, как и в случае с четно-упорядоченными меджиг-квадратами. Другой подход — добавить строку и столбец к четному квадрату меджига. Также можно использовать такие подходы, как метод LUX. В приведенном ниже примере квадрат меджига 5×5 создается путем обертывания границы медджига вокруг квадрата меджига 3×3, заданного ранее:

Заказать 5
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Меджиг 5×5
0	1	3	1	0	1	3	1	3	2
2	3	0	2	2	3	0	2	1	0
3	0	2	3	0	2	0	2	1	2
1	2	1	0	3	1	3	1	3	0
0	2	3	1	1	2	2	0	1	3
1	3	0	2	0	3	3	1	0	2
3	0	3	2	2	0	0	2	1	2
1	2	0	1	3	1	1	3	3	0
3	2	1	3	1	0	1	3	0	1
1	0	2	0	3	2	2	0	2	3

Заказать 10
17	42	99	49	1	26	83	33	90	65
67	92	24	74	51	76	8	58	40	15
98	23	55	80	7	57	14	64	41	66
48	73	30	5	82	32	89	39	91	16
4	54	81	31	38	63	70	20	47	97
29	79	6	56	13	88	95	45	22	72
85	10	87	62	69	19	21	71	28	53
35	60	12	37	94	44	46	96	78	3
86	61	43	93	100	25	27	77	9	34
36	11	68	18	95	75	52	2	59	84

Решение частично заполненных магических квадратов

Решение частично заполненных магических квадратов — популярное математическое занятие. Необходимые методы аналогичны тем, которые используются в головоломках судоку или KenKen , и включают в себя вычисление значений незаполненных квадратов с использованием логики и теории групп перестановок (сетки судоку не являются магическими квадратами, но основаны на родственной идее, называемой греко-латинскими квадратами ). ^[67]

Вариации магического квадрата

Дополнительные ограничения

На магические квадраты могут быть наложены некоторые дополнительные ограничения.

Если возведение каждого числа в n-ю степень дает еще один магический квадрат, результатом будет бимагический (n = 2), тримагический (n = 3) или, вообще, мультимагический квадрат .

Магический квадрат, в котором количество букв в названии каждого числа в квадрате порождает другой магический квадрат, называется альфа-магическим квадратом .

Существуют магические квадраты, полностью состоящие из простых чисел . Рудольф Ондрейка (1928–2001) обнаружил следующий магический квадрат простых чисел 3 × 3 , в данном случае девяти простых чисел Чена :

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Теорема Грина -Тао подразумевает, что существуют сколь угодно большие магические квадраты, состоящие из простых чисел.

Следующий «обратимый магический квадрат» имеет магическую константу 264 как в перевернутом, так и в прямом направлении: ^[79]

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

Когда дополнительным ограничением является отображение какой-либо даты, особенно даты рождения, такие магические квадраты называются магическими квадратами дней рождения. Ранний пример такого магического квадрата дня рождения был создан Шринивасой Рамануджаном . Он создал квадрат 4×4, в который ввел дату своего рождения в формате D–M–CY в верхнем ряду, и произошло волшебство со сложением и вычитанием чисел в квадратах. Не только строки, столбцы и диагонали в сумме дают одно и то же число, но и четыре угла, четыре средних квадрата (17, 9, 24, 89), первая и последняя строки, два средних числа (12, 18, 86). , 23), а в первом и последнем столбцах два средних числа (88, 10, 25, 16) в сумме дают сумму 139.

Мультипликативные магические квадраты

Вместо сложения чисел в каждой строке, столбце и диагонали можно применить какую-нибудь другую операцию. Например, мультипликативный магический квадрат имеет постоянное произведение чисел. Мультипликативный магический квадрат можно получить из аддитивного магического квадрата, возведя 2 (или любое другое целое число) в степень каждого элемента, поскольку логарифм произведения двух чисел представляет собой сумму логарифмов каждого из них. Альтернативно, если любые 3 числа в строке равны 2 ^а, 2 ^б и 2 ^с, их произведение равно 2 ^{а + б + в}, который является постоянным, если a + b + c является постоянным, как если бы a , b и c были взяты из обычного (аддитивного) магического квадрата. ^[80] Например, исходный магический квадрат Ло-Шу выглядит так:

М = 32768
16	512	4
8	32	128
256	2	64

Другие примеры мультипликативных магических квадратов включают:

М = 216
2	9	12
36	6	1
3	4	18

М = 6720
1	6	20	56
40	28	2	3
14	5	24	4
12	8	7	10

М = 6 227 020 800
27	50	66	84	13	2	32
24	52	3	40	54	70	11
56	9	20	44	36	65	6
55	72	91	1	16	36	30
4	24	45	60	77	12	26
10	22	48	39	5	48	63
78	7	8	18	40	33	60

Мультипликативные магические квадраты комплексных чисел

По-прежнему используя неитеративный метод Али Скалли , можно создать бесконечное количество мультипликативных магических квадратов комплексных чисел. ^[81] принадлежащий $\mathbb {C}$ набор. В примере ниже действительная и мнимая части являются целыми числами, но они также могут принадлежать всему набору действительных чисел. $\mathbb {R}$ .Произведение: −352 507 340 640 − 400 599 719 520 i .

Мультипликатив Скалли 7×7 комплексных чисел
21	+14 я	−70	+30 я	−93	−9 я	−105	−217 я	16	+50 i	4	−14 я	14	−8 я
63	−35 я	28	+114 я		−14 я	2	+6 я	3	−11 я	211	+357 я	−123	−87 я
31	−15 я	13	−13 я	−103	+69 я	−261	−213 я	49	−49 я	−46	+2 я	−6	+2 я
102	−84 я	−28	−14 я	43	+247 я	−10	−2 я	5	+9 я	31	−27 я	−77	+91 я
−22	−6 я	7	+7 я	8	+14 я	50	+20 я	−525	−492 я	−28	-42 я	−73	+17 я
54	+68 я	138	−165 я	−56	−98 я	−63	+35 я	4	−8 я	2	−4 я	70	−53 я
24	+22 я	−46	−16 я	6	−4 я	17	+20 я	110	+160 я	84	−189 я	42	−14 я

Аддитивно-мультипликативная магия и полумагические квадраты.

Аддитивно-мультипликативные магические квадраты и полумагические квадраты удовлетворяют свойствам как обычных, так и мультипликативных магических квадратов и полумагических квадратов соответственно. ^[82]

Первый известный
аддитивно-мультипликативный магический квадрат
8×8 найден У.В. Хорнером в 1955 году.
Сумма = 840
Товар = 2 058 068 231 856 000
162	207	51	26	133	120	116	25
105	152	100	29	138	243	39	34
92	27	91	136	45	38	150	261
57	30	174	225	108	23	119	104
58	75	171	90	17	52	216	161
13	68	184	189	50	87	135	114
200	203	15	76	117	102	46	81
153	78	54	69	232	175	19	60

Наименьший известный аддитивно-мультипликативный полумагический квадрат
4×4 найден Л. Моргенштерном в 2007 году.
Сумма = 247
Товар = 3 369 600
156	18	48	25
30	144	60	13
16	20	130	81
45	65	9	128

Неизвестно, существуют ли какие-либо аддитивно-мультипликативные магические квадраты размером меньше 7 × 7, но было доказано, что не существует аддитивно-мультипликативных магических квадратов 3 × 3 или 4 × 4, а также не существует аддитивно-мультипликативных полумагических квадратов 3 × 3. ^[83]

Наименьший известный аддитивно-мультипликативный магический квадрат
7×7 найден Себастьяном Микелем (Sébastien Miquel) в августе 2016 года.
Сумма = 465
Товар = 150 885 504 000
126	66	50	90	48	1	84
20	70	16	54	189	110	6
100	2	22	98	36	72	135
96	60	81	4	10	49	165
3	63	30	176	120	45	28
99	180	14	25	7	108	32
21	24	252	18	55	80	15

Геометрические магические квадраты

Можно построить магические квадраты, содержащие вместо чисел геометрические фигуры. Такие квадраты, известные как геометрические магические квадраты , были изобретены и названы Ли Саллоузом в 2001 году. ^[84]

В показанном примере фигуры являются двухмерными. Саллоуз открыл, что все магические квадраты являются геометрическими; числа, которые появляются в числовых магических квадратах, можно интерпретировать как сокращенное обозначение, указывающее длины отрезков прямых линий, которые представляют собой геометрические «фигуры», встречающиеся в квадрате. То есть числовые магические квадраты представляют собой особый случай геометрического магического квадрата, использующего одномерные формы. ^[85]

Магические квадраты площади

В 2017 году, следуя первоначальным идеям Уильяма Уолкингтона и Индера Танехи построил первый магический квадрат линейной площади (L-AMS) , Уолтер Трамп . ^[86]

Другие волшебные формы

Можно рассмотреть и другие двумерные формы, кроме квадратов. В общем случае дизайн, состоящий из N частей, можно считать волшебным, если N частей помечены цифрами от 1 до N , а количество идентичных подпроектов дает одинаковую сумму. Примеры: магические круги , магические прямоугольники, магические треугольники. ^[87] волшебные звезды , волшебные шестиугольники , волшебные бриллианты. Подъем в измерение приводит к появлению магических сфер, магических цилиндров, магических кубов , магических параллелепипедов, магических тел и других магических гиперкубов .

Возможные магические формы ограничены количеством подмножеств одинакового размера и равной суммы выбранного набора меток. Например, если кто-то предлагает сформировать волшебную фигуру, помечая части {1, 2, 3, 4}, подпроекты должны быть помечены {1,4} и {2,3}. ^[87]

Связанные проблемы

n - проблема ферзей

В 1992 году Демирёрс, Рафраф и Таник опубликовали метод преобразования некоторых магических квадратов в решения с n -ферзями и наоборот. ^[89]

Магические квадраты в оккультизме

Магические квадраты порядка 3-9, присвоенные семи планетам и описанные как средства привлечения влияния планет и их ангелов (или демонов) во время магических практик, можно найти в нескольких рукописях по всей Европе, начиная по крайней мере с 15-го века. век. Среди наиболее известных — Liber de Angelis , магическое руководство, написанное около 1440 года и включенное в Кембриджский университет. Либ. МС Дд.xi.45. ^[90] Текст Liber de Angelis очень близок к тексту De septem Quadaturis Planetarum seu Quadati Magici , еще одного справочника по магии планетарных образов, содержащегося в Кодексе 793 Библиотеки Ягеллонской (Ms BJ 793). ^[91] Магические операции включают в себя гравировку соответствующего квадрата на пластине, сделанной из металла, присвоенного соответствующей планете. ^[92] а также выполнение различных ритуалов. Например, квадрат 3х3, принадлежащий Сатурну, нужно вписать на свинцовую пластину. Оно, в частности, поможет женщинам во время тяжелых родов.

Примерно в 1510 году Генрих Корнелиус Агриппа написал «Оккультную философию» , опираясь на герметические и магические труды Марсилио Фичино и Пико делла Мирандола . В издании 1531 года он изложил магические свойства семи магических квадратов 3-9 порядков, каждый из которых связан с одной из астрологических планет, во многом так же, как это делали в более старых текстах. Эта книга имела большое влияние во всей Европе до контрреформации , и магические квадраты Агриппы, иногда называемые камеями, продолжают использоваться в современной церемониальной магии во многом так же, как он предписывал впервые. ^[93]

Чаще всего эти камеи используются для создания образца, на основе которого можно построить символы духов, ангелов или демонов ; буквы имени сущности преобразуются в цифры, а линии прорисовываются по узору, который эти последовательные цифры образуют на камее.В магическом контексте термин « магический квадрат» также применяется к множеству словесных или числовых квадратов, встречающихся в магических гримуарах , включая те, которые не следуют какому-либо очевидному шаблону, и даже те, которые имеют разное количество строк и столбцов. Обычно они предназначены для использования в качестве талисманов. Например, следующие квадраты: Квадрат Сатора , один из самых известных магических квадратов, встречающийся во многих гримуарах, включая « Ключ Соломона» ; квадрат «для преодоления зависти» из «Книги силы» ; ^[94] и два квадрата из Книги Священной Магии Абрамелина Мага , первый вызывает иллюзию великолепного дворца, а второй нужно носить на голове ребенка во время ангельского призыва :

С	А	Т	ТО	Р
А	Р	И	П	ТО
Т	И	Н	И	Т
ТО	П	И	Р	А
Р	ТО	Т	А	С

6	66	848	938
8	11	544	839
1	11	383	839
2	73	774	447

ЧАС	И	С	И	Б
И	вопрос	А	л
С
И		Г
Б

А	Д	А	М
Д	А	Р	А
А	Р	А	Д
М	А	Д	А

Магические квадраты в популярной культуре

В «Фаусте» Гете заклинание ведьмы, использованное для приготовления эликсира молодости для Фауста, Hexen-Einmal-Eins [ de ] , интерпретируется как построение магического квадрата. ^[95]^[96]
Английский композитор Питер Максвелл Дэвис использовал магические квадраты для структурирования многих своих композиций. Например, в его «Ave Maris Stella» 1975 года используется магический квадрат Луны 9×9, а в его «Зеркале отбеливающего света» 1977 года используется магический квадрат Меркурия 8×8 для создания всего набора нот и длительности произведения. Среди других его произведений, в которых используются магические квадраты, - «Маяк» (1979), «Воскресение » (1987), Стратклайдский концерт № 3 для валторны и трубы (1989), а также многие из его симфоний. ^[97]^[98] По словам самого Дэвиса:

Магический квадрат в музыкальной композиции – это не блок цифр – это порождающий принцип, который нужно изучить и познать близко, воспринимать внутренне как многомерную проекцию в эту обширную (хаотичную!) область внутреннего уха – пространство. /time тигель – место, где зарождается музыка. ... Проецируемый на страницу магический квадрат представляет собой мертвое черное скопление цифр; настройтесь, и вы услышите мощное вращающееся динамо музыкальных образов, сияющее нуменом и люменом. ^[98]

Магические квадраты, в том числе квадраты Бенджамина Франклина , появляются как ключ к разгадке тайны в Кэтрин Невилл романах «Восьмёрка» и «Огонь» .
Магические квадраты играют роль в Стива Мартина романе «Удовольствие от моей компании» (2003) .
Магический квадрат Дюрера и его «Меланхолия I» также сыграли большие роли в романе Дэна Брауна 2009 года «Утраченный символ» .
В корейской телевизионной драме 2011 года « Дерево с глубокими корнями» , как король Седжон показано пытается построить магический квадрат 33×33, используя коробки для завтрака. В конце концов он открывает «метод пирамиды» и завершает магический квадрат с помощью армии придворных служителей. Это вдохновляет его на создание более справедливой формы правления, управляемой разумом и словами, а не военной мощью.
9 октября 2014 года почтовое отделение Макао в Китайской Народной Республике выпустило серию марок на основе магических квадратов. ^[99] На рисунке ниже показаны марки с изображением девяти магических квадратов, выбранных для этой коллекции. ^[100]
Металлический артефакт в центре » сериала «Секретные материалы эпизода « Биогенеза » Чак Бёркс утверждает, что это магический квадрат. ^[101]^[102]
Математик Мэтт Паркер попытался создать магический квадрат 3×3, используя квадратные числа, в видео на YouTube на канале Numberphile . Его неудавшаяся попытка известна как площадь Паркера .
Эпизод «Братство» первого сезона « Звездных врат Атлантиды» включает в себя завершение магического квадрата как части головоломки, охраняющей могущественный древний артефакт.
Магические квадраты также фигурируют в испанском фильме 2019 года Vivir dos veces .

См. также

Примечания

^ Миллер, Джефф (3 сентября 2016 г.). «Ранее известное использование некоторых математических слов (M)» .
^ Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . МАА. п. 130.
^ Wolfram MathWorld: Магический квадрат Вайсштейн, Эрик В.
↑ Самая известная арабская книга по магии, названная «Шамс Аль-Маариф» ( араб . كتاب شمس المعارف ), в честь Ахмеда бин Али Аль-Бони , умершего около 1225 года (622 года хиджры). Перепечатано в Бейруте в 1985 году.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Иго, Хо Пэн (2008). «Волшебные квадраты Китая». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9350 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .
^ Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (2-е изд.). Издательство «Открытый суд». п. 122.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Камманн, Шайлер (апрель 1960 г.). «Эволюция магических квадратов в Китае» (PDF) . Журнал Американского восточного общества . 80 (2): 116–124. дои : 10.2307/595587 . JSTOR 595587 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Свец, Фрэнк Дж. (2008). Наследие Луошу (2-е изд.). АК Петерс/CRC Press.
^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, ЭФ «Ян Хуэй» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 15 марта 2018 г.
^ Влияние китайского математического искусства на Секи Кова, автор Сигэру Джучи, магистр искусств, Школа восточных и африканских исследований, Лондонский университет, 1993 г.
^ Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 69 –75. Исомура Киттоку.
^ Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 79 –80. Исомура Киттоку.
^ Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 116 –122. Исомура Киттоку.
^ Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 178 . Исомура Киттоку.
^ Мичиваки, Ёсимаса (2008). «Магические квадраты в японской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9154 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Миками, Ёсио (1917). Магические квадраты в японской математике (на японском языке). Токио: Императорская академия наук.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Хаяси, Такао (2008). «Магические квадраты в индийской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9778 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1992). «Волшебные квадраты Индии» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 27 (1): 51–120. Архивировано из оригинала (PDF) 17 января 2018 г. Проверено 16 января 2018 г.
^ Хаяси, Такао (1987). «Пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка Варахамихиры» (PDF) . История математики . 14 (2): 159–166. дои : 10.1016/0315-0860(87)90019-X .
^ Дж. П. Хогендейк, А. И. Сабра, Научное предприятие в исламе: новые перспективы , опубликовано MIT Press, 2003, ISBN 0-262-19482-1 , с. хв.
^ Хелейн Селин , Убиратан Д'Амброзио , Математика в разных культурах: история незападной математики , опубликовано Springer, 2001, ISBN 1-4020-0260-2 , с. 160.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Сезиано, Жак (ноябрь 2003 г.). «Построение магических квадратов с использованием хода коня в исламской математике» (PDF) . Архив истории точных наук . 58 (1): 1–20. дои : 10.1007/s00407-003-0071-4 . S2CID 123219466 .
^ Jump up to: ^а ^б Сезиано, Жак (1997). «Магические квадраты в исламской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . стр. 1259–1260.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Сезиано, Жак (2007). Магические квадраты в десятом веке: Два арабских трактата Антаки и Бузджани . Спрингер.
^ Сезиано, Дж., Трактат Абуал-Вафараспа о магических квадратах (французский), З. Геш. Араб.-ислам. Висс. 12 (1998), 121–244.
^ Jump up to: ^а ^б Камманн, Шайлер (февраль 1969 г.). «Исламские и индийские магические квадраты, часть I». История религий . 8 (3): 181–209. дои : 10.1086/462584 . S2CID 162095408 .
^ Сезиано, Жак (2004). «Некоторые арабские методы построения нечетных магических квадратов». Бюллетень Водуазского общества естественных наук (на французском языке). 83 (1): 51–76.
^ Питер, Дж. Барта, Кольцо-печать пропорции и волшебные кольца (2016), стр. 6–9.
^ Jump up to: ^а ^б Нидхэм, Джозеф (1987). Теоретическое влияние Китая на арабскую алхимию . Библиотека Калифорнийского университета, Герал 1.
^ Джабир ибн Хайян, Книга весов. Французский перевод: Марселин Бертло (1827–1907), История науки. Химия в средние века, Том. III: Арабская алхимия. Париж, 1893. [рпрт. Оснабрюк: О. Целлер, 1967], с. 139–162, в частности: с. 150–151
^ аль-Газали, Избавление от ошибки (аль-мункид мин аль-Далал), гл. 145. Арабский: аль-Мункид мин ад-далал. ред. Дж. Салиба – К. Айяд. Дамаск: Мактаб ан-Нашр аль-Араби, 1934, с. 79. Английский перевод: Ричард Джозеф Маккарти, Свобода и реализация: аннотированный перевод аль-Мункида мин ад-Далаля аль-Газали и других соответствующих работ аль-Газали. Boston, Twayer, 1980. В качестве источника он ссылается на книгу под названием «Чудеса особой собственности». Эту площадь на Востоке назвали в Печатью Газали . его честь
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Приходит, Роза (2016). «Передача магических квадратов Азаркиэля в Латинской Европе». В Уоллисе, Фейт; Вишновский, Роберт (ред.). Средневековые текстовые культуры: агенты передачи, перевода и трансформации . Иудаизм, христианство и ислам – напряжение, передача, трансформация. Том. 6. Вальтер де Грюйтер ГмбХ и Ко КГ. стр. 159–198. ISBN 978-3-11-046730-7 .
↑ Латинская версия — Liber de septem figuris septem Planetarum figurarum Geberi Regis Indorum. Этот трактат является установленным источником Дюрера и Генриха Корнелиуса Агриппы фон Неттесгейма. См. Питер, Дж. Барта, Кольцо-печать пропорции и волшебные кольца (2016), стр. 8–9, с. 10
^ Сезиано, Жак (2004). Магические квадраты в исламских странах (на французском языке). Политехнические прессы ППУР.
^ Шиммель, Аннемари (1993). Тайна чисел . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
^ «Магические квадраты Мануэля Москопулоса - Введение | Математическая ассоциация Америки» . www.maa.org .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Камманн, Шайлер (май 1969 г.). «Исламские и индийские магические квадраты, часть II». История религий . 8 (4): 271–299. дои : 10.1086/462589 . JSTOR 1062018 . S2CID 224806255 .
^ в настоящее время находится в Библиотеке Ватиканы (код. Reg. Lat. 1283a)
^ См . Альфонсо
^ «Сатурн и меланхолия: исследования по истории естественной философии, религии и искусства» Магический квадрат Марса показан на рисунке 1 книги Раймонда Клибански , Эрвина Панофски и Фрица Саксла , Basic Books (1964).
↑ Квадраты можно увидеть на листах 20 и 21 рукописи. 2433, в Университетской библиотеке Болоньи. Они также появляются на листе 69rv Plimpton 167, рукописной копии Trattato dell'Abbaco XV века, хранящейся в Библиотеке Колумбийского университета.
^ В статье 1981 года («О ранней истории магических квадратов в Западной Европе», т.е. «Предыстория магических квадратов в Западной Европе», Sudhoffs Archiv Kiel (1981), том 65, стр. 313–338) немецкий ученый Менсо Фолькертс перечисляет несколько рукописей, в которых «Траттато д'Аббако» Дагомари содержит два магических квадрата. Фолкертс цитирует статью Амедео Агостини 1923 года в Bollettino dell'Unione Matematica Italiana: «А. Агостини в рукописи Bologna, Biblioteca Universitaria, Ms. 2433, f. 20v–21r; см. Bollettino della Unione Matematica Italiana 2 (1923), 77f. Агостини не заметил, что квадраты принадлежат трактату Паоло дель Аббако, а также встречаются в других рукописях этого произведения, например, New York, Columbia University, Plimpton 167, f. 37v–38r; , Библ. Наз., II. IX. 57, ф. 86р, и Таргиони 9, ф. 77р., Библ.
↑ Этот рукописный текст (около 1496–1508 гг.) также находится в Universitaria Biblioteca в Болонье. Его можно увидеть полностью по адресу http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html. Архивировано 1 марта 2012 г. на Wayback Machine.
^ Пачоли утверждает: Alastronomia summamente hanno Mostrato li supremi di quella commo Ptolomeo, al bumasar ali, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et virtu de numeri eserli necessaria (Мастера астрономии, такие как Птолемей , Альбамасар , Альфраган , Джабир) и все остальные показали, что сила и ценность чисел необходимы для этой науки), а затем переходит к описанию семи планетарных квадратов, без упоминания о магических применениях.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мууринен, Исмо (2020). Ферма, магические квадраты и идея самонесущих блоков (PDF) (MSc). Университет Хельсинки.
^ Шабер, Жан-Люк (1999). История алгоритмов: от камешка до микрочипа . Спрингер. п. 524. ИСБН 978-3540633693 .
^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, ЭФ «Бенджамин Франклин» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 15 декабря 2018 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Роуз Болл, WW "Магические квадраты". Математические развлечения и очерки (4-е изд.). Лондон: Mac Millan and Co., Limited. стр. 122–142.
^ Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (2-е изд.). Издательство «Открытый суд». стр. 124–126.
^ «Виртуальный дом Поля Мульджади» . Архивировано из оригинала 9 ноября 2005 г. Проверено 18 марта 2005 г.
^ « Магический куб с квадратом Дюрера » Магические квадраты и магические кубики Али Скалли
^ «Магический квадрат на фасаде Страстей: ключи к его пониманию» . 7 февраля 2018 г.
^ Письма: Математический интеллект; 2003 г.; 25; 4: стр. 6–7.
^ Скалли, Али (14 октября 2009 г.). «Волшебный куб с квадратом Гауди» . Архивировано из оригинала 15 декабря 2021 года.
^ Каин, Онно (2019). «Гауссовы целые числа, кольца, конечные поля и магический квадрат квадратов». arXiv : 1908.03236 [ math.RA ]. Были обнаружены некоторые «промахи», такие как Паркер-сквер [2]
^ Бойер, Кристиан. «Новейшие исследования задачи «магический квадрат квадратов 3х3»» . мультимагия . Проверено 16 июня 2019 г. Два соответствующих приза еще предстоит выиграть!
^ Харан, Брейди. «Паркер-сквер» . Блог Брейди Харана . Проверено 16 июня 2019 г. Паркер-сквер — талисман для людей, которые пытаются, но в конечном итоге терпят неудачу.
^ Гарднер, Мартин (январь 1996 г.). «Магия 3х3» (PDF) . Квантовый . 6 (3): 24–26. ISSN 1048-8820 . Проверено 6 января 2024 г.
^ Гарднер, Мартин (март 1996 г.). «Новейшее волшебство» (PDF) . Квантовый . 6 (4): 60. ISSN 1048-8820 . Проверено 6 января 2024 г.
^ Бойер, Кристиан (12 ноября 2008 г.). «Некоторые заметки по проблеме магических квадратов квадратов». Математический интеллект . 27 (2): 52–64. дои : 10.1007/BF02985794 .
^ Адлер, Аллан; Алехандре, Сюзанна. «Почему не существует магических квадратов 2х2» . mathforum.org . Архивировано из оригинала 02 марта 2018 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лоли, Питер (март 2004 г.) [1 августа 2016 г.]. «Инвариантность момента инерции магических квадратов» (PDF) . Математический вестник . 88 (511): 151–153. CiteSeerX 10.1.1.552.7296 . дои : 10.1017/S002555720017456X . S2CID 125989925 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 ноября 2017 года . Проверено 5 июня 2017 г.
^ Маркус, М.; Ри, Р. (1959). «Диагонали дважды стохастических матриц». Ежеквартальный математический журнал . 10 (1): 296–302. дои : 10.1093/qmath/10.1.296 .
^ Пинн, К.; Ведерковски, К. (1998). «Количество магических квадратов из параллельного закаливания Монте-Карло». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (4): 541. arXiv : cond-mat/9804109 . Бибкод : 1998IJMPC...9..541P . дои : 10.1142/s0129183198000443 . S2CID 14548422 .
^ «Количество магических квадратов из параллельного закаливания Монте-Карло» , arxiv.org, 9 апреля 1998 г. Проверено 2 ноября 2013 г.
^ Сколько существует магических квадратов? Уолтер Трамп, Нюрнберг, 11 января 2001 г.
^ Jump up to: ^а ^б Все, кроме квадрата: от магических квадратов до судоку , Хардип Эйден, журнал Plus Magazine , 1 марта 2006 г.
^ Китадзима, Акимаса; Кикучи, Макото; Альтманн, Эдуардо Г. (14 мая 2015 г.). «Многочисленно, но редко: исследование магических квадратов» . ПЛОС ОДИН . 10 (5): e0125062. Бибкод : 2015PLoSO..1025062K . дои : 10.1371/journal.pone.0125062 . ПМЦ 4431883 . ПМИД 25973764 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Крайчик, Морис (1953). «Волшебные квадраты». Математические развлечения (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 142–192 . ISBN 9780486201634 .
^ Jump up to: ^а ^б Саллоуз, Ли (осень 1997 г.) [9 января 2009 г.]. «Утерянная теорема». Математический интеллект . 19 (4): 51–54. дои : 10.1007/BF03024415 . S2CID 122385051 .
^ Jump up to: ^а ^б Уайт, С. Гарри. «Ассоциативные магические квадраты» . Budshaw.ca .
^ Jump up to: ^а ^б Хоули, Дел (2011). «Волшебные квадраты II» . nrich.maths.org . Кембриджский университет.
^ Математические круги в квадрате Филлипа Э. Джонсона, Говарда Уитли Ивса, стр. 22
^ http://oz.nthu.edu.tw/~u9621110/IT2010/txt/0929/canterburypuzzle00dudeuoft.pdf Кентерберийские загадки и другие любопытные задачи, Генри Эрнест Дюдени, 1907 г.
^ http://budshaw.ca/howMany.html , Квадратные числа с рамкой, С. Гарри Уайт, 2009 г.
^ http://www.law05.si/iwms/presentations/Styan.pdf Некоторые иллюстрированные комментарии к золотым магическим матрицам 5×5 и к квадрату Стифельша 5×5 , Джордж П.Х. Стян, 2014.
^ Хартли, М. «Создание больших магических квадратов» .
^ http://budshaw.ca/2xNComposite.html , Составные квадраты 2N, С. Гарри Уайт, 2009 г.
^ Карл Фулвес, Самостоятельная магия чисел (Dover Magic Books)
^ Стифель, Майкл (1544 г.), Arithmetica integra (на латыни), стр. 29–30 .
^ « Мультипликативный магический квадрат комплексных чисел 8x8 » Магические квадраты и магические кубы Али Скалли
^ «Multimagie.com - Аддитивно-мультипликативные магические квадраты 8-го и 9-го порядка» . Проверено 26 августа 2015 г.
^ «Multimagie.com - Наименьший аддитивно-мультипликативный магический квадрат» . Проверено 16 января 2024 г.
↑ Магические квадраты обретают совершенно новое измерение , The Observer , 3 апреля 2011 г.
↑ Геометрические магические квадраты Жан-Поля Делаэ, Pour La Science № 428, июнь 2013 г.
^ «Магические квадраты площадей» . Бесполезный шкаф . 19 января 2017 г. Проверено 12 июня 2017 г.
^ Jump up to: ^а ^б Magic Designs, Роберт Б. Эли III, Журнал развлекательной математики, том 1, номер 1, январь 1968 г.
^ «Новости MathWorld: на шахматной доске не бывает путешествий волшебного коня» .
^ Демирёрс, О.; Рафраф, Н.; Таник М.М. "Получение решений из n -ферзей из магических квадратов и построение магических квадратов из из n решений -ферзей". Журнал развлекательной математики . 24 (272–280): 1992.
^ См. Юрис Лидака, Книга ангелов, колец, персонажей и изображений планет в «Заклинаниях духов» , изд. К. Фангье. (Издательство Пенсильванского государственного университета, 1994 г.)
^ Бенедек Ланг, Демоны в Кракове и Магия изображений в магическом справочнике , в «Христианской демонологии и популярной мифологии» , ред. Габора Кланичая и Евы Поч. (Издательство Центрально-Европейского университета, 2006 г.)
^ По принципу соответствия каждая из семи планет связана с данным металлом: свинец — Сатурну, железо — Марсу, золото — Солнцу и т. д.
^ Друри, Невилл (1992). Словарь мистицизма и эзотерических традиций . Бридпорт, Дорсет: Prism Press. ISBN 978-1-85327-075-8 .
^ «Книга силы: каббалистические тайны мастера Аптолкатера, мага Адрианополя», пер. 1724. В Шах, Идрис (1957). Тайные знания магии . Лондон: Frederick Muller Ltd.
^ Хольгер Виетор: Ведьмина таблица умножения — путь к расшифровке . В: Ежегодник Гете 122. Wallstein Verlag, Геттинген, 2005, ISBN 3-8353-2195-1 , S. 325–327 (немецкий).
^ Норберт Херрманн : Математика, Бог и мир. 3-е издание, Springer, Берлин/Гейдельберг 2018, ISBN 978-3-662-56387-8 , S. 27–31 (немецкий).
^ Гарет Э. Робертс (23 марта 2015 г.). «Составление с помощью чисел: сэр Питер Максвелл Дэвис и магические квадраты» (PDF) . Проверено 25 декабря 2018 г.
^ Jump up to: ^а ^б Робертс, Гарет Э. (2016). «8 математической современной музыки». От музыки к математике: исследование связей . Джу Пресс. ISBN 9781421419183 .
^ Веб-сайт почтового отделения Макао. Архивировано 11 ноября 2014 г. на Wayback Machine.
↑ Марки «волшебного квадрата» Макао сделали филателию еще более занудной The Guardian Science, 3 ноября 2014 г.
^ Мишель Эрика Грин (15 июня 1997 г.). «Биогенез в Секретных материалах» . Littlereview.com . Маленький обзор . Проверено 25 марта 2017 г. Более того, это магический квадрат, образец, согласно которому Бог предположительно поручил древним евреям черпать силу из имен или их числовых эквивалентов.
^ Зак Хэндлен (17 ноября 2012 г.). «Секретные материалы: «Биогенез» / Миллениум: «Прощай всему этому» » . АВ-клуб . Лук, Inc. Проверено 25 марта 2017 г. Мне нравится, когда они приводят занудного парня из ФБР, чтобы объяснить концепцию «магического квадрата», и он делает это, рассказывая нам, что магические квадраты существуют уже какое-то время, и больше ничего. Если я ничего не пропустил, то на данный момент у меня есть только то, что магические квадраты — это квадраты, которые люди когда-то считали магическими.

Ссылки

Джон Ли Фултс, «Магические квадраты» . (Ла Саль, Иллинойс: Открытый суд, 1974).
Клифф Пиковер , Дзен магических квадратов, кругов и звезд (Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета)
Леонард Эйлер, О магических квадратах
Леонард Эйлер, Исследования нового типа магического квадрата
Уильям Х. Бенсон и Освальд Джейкоби , «Новые развлечения с магическими квадратами». (Нью-Йорк: Дувр, 1976).

Дальнейшее чтение

Эндрюс, WS (1917). Магические квадраты и кубики (2-е изд.). Издательство «Открытый суд». п. 428 .
Блок, Сеймур (2009). Перед судоку: мир магических квадратов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195367904 .
Шинц, Альфред (1996). Волшебный квадрат: Города Древнего Китая . Издание Акселя Менгеса. п. 428. ИСБН 9783930698028 .
МакКрэни, Джадсон (ноябрь 1988 г.). «Магические квадраты всех порядков». Учитель математики . 81 (8): 674–78. дои : 10.5951/MT.81.8.0674 .
Оллереншоу, Кэтлин; Бри, Дэвид (октябрь 1998 г.). Наиболее совершенные пандиагональные магические квадраты: их построение и перечисление . Институт математики и ее приложений. ISBN 978-0905091068 .
Бенджамин, Артур Т.; Браун, Итан Дж. (ноябрь 2014 г.). «Сложные магические квадраты для фокусников» (PDF) . Математический журнал колледжа . 45 (2): 92–100. дои : 10.4169/college.math.j.45.2.092 . S2CID 125255312 .

Внешние ссылки

Магический квадрат в Керли

[1] Миллер, Джефф (3 сентября 2016 г.). «Ранее известное использование некоторых математических слов (M)» .

[2] Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . МАА. п. 130.

[3] Wolfram MathWorld: Магический квадрат Вайсштейн, Эрик В.

[4] Самая известная арабская книга по магии, названная «Шамс Аль-Маариф» ( араб . كتاب شمس المعارف ), в честь Ахмеда бин Али Аль-Бони , умершего около 1225 года (622 года хиджры). Перепечатано в Бейруте в 1985 году.

[Yoke-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Иго, Хо Пэн (2008). «Волшебные квадраты Китая». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9350 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .

[Andrews122-6] Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (2-е изд.). Издательство «Открытый суд». п. 122.

[Cammann-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Камманн, Шайлер (апрель 1960 г.). «Эволюция магических квадратов в Китае» (PDF) . Журнал Американского восточного общества . 80 (2): 116–124. дои : 10.2307/595587 . JSTOR 595587 .

[Swetz2008-8] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Свец, Фрэнк Дж. (2008). Наследие Луошу (2-е изд.). АК Петерс/CRC Press.

[Connor-9] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, ЭФ «Ян Хуэй» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 15 марта 2018 г.

[10] Влияние китайского математического искусства на Секи Кова, автор Сигэру Джучи, магистр искусств, Школа восточных и африканских исследований, Лондонский университет, 1993 г.

[DESmith69-11] Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 69 –75. Исомура Киттоку.

[DESmith79-12] Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 79 –80. Исомура Киттоку.

[DESmith116-13] Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 116 –122. Исомура Киттоку.

[DESmith178-14] Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914). История японской математики . Издательство «Открытый суд». п. 178 . Исомура Киттоку.

[Michiwaki-15] Мичиваки, Ёсимаса (2008). «Магические квадраты в японской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9154 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .

[Mikami-16] Jump up to: ^а ^б Миками, Ёсио (1917). Магические квадраты в японской математике (на японском языке). Токио: Императорская академия наук.

[Hayashi-17] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Хаяси, Такао (2008). «Магические квадраты в индийской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 1252–1259. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9778 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .

[Datta-18] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1992). «Волшебные квадраты Индии» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 27 (1): 51–120. Архивировано из оригинала (PDF) 17 января 2018 г. Проверено 16 января 2018 г.

[Hayashi1-19] Хаяси, Такао (1987). «Пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка Варахамихиры» (PDF) . История математики . 14 (2): 159–166. дои : 10.1016/0315-0860(87)90019-X .

[20] Дж. П. Хогендейк, А. И. Сабра, Научное предприятие в исламе: новые перспективы , опубликовано MIT Press, 2003, ISBN 0-262-19482-1 , с. хв.

[21] Хелейн Селин , Убиратан Д'Амброзио , Математика в разных культурах: история незападной математики , опубликовано Springer, 2001, ISBN 1-4020-0260-2 , с. 160.

[Sesiano2003-22] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Сезиано, Жак (ноябрь 2003 г.). «Построение магических квадратов с использованием хода коня в исламской математике» (PDF) . Архив истории точных наук . 58 (1): 1–20. дои : 10.1007/s00407-003-0071-4 . S2CID 123219466 .

[Sesiano1997-23] Jump up to: ^а ^б Сезиано, Жак (1997). «Магические квадраты в исламской математике». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . стр. 1259–1260.

[Sesiano2007-24] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Сезиано, Жак (2007). Магические квадраты в десятом веке: Два арабских трактата Антаки и Бузджани . Спрингер.

[25] Сезиано, Дж., Трактат Абуал-Вафараспа о магических квадратах (французский), З. Геш. Араб.-ислам. Висс. 12 (1998), 121–244.

[Cammann1969a-26] Jump up to: ^а ^б Камманн, Шайлер (февраль 1969 г.). «Исламские и индийские магические квадраты, часть I». История религий . 8 (3): 181–209. дои : 10.1086/462584 . S2CID 162095408 .

[Sesiano1994-27] Сезиано, Жак (2004). «Некоторые арабские методы построения нечетных магических квадратов». Бюллетень Водуазского общества естественных наук (на французском языке). 83 (1): 51–76.

[28] Питер, Дж. Барта, Кольцо-печать пропорции и волшебные кольца (2016), стр. 6–9.

[Needham1987-29] Jump up to: ^а ^б Нидхэм, Джозеф (1987). Теоретическое влияние Китая на арабскую алхимию . Библиотека Калифорнийского университета, Герал 1.

[30] Джабир ибн Хайян, Книга весов. Французский перевод: Марселин Бертло (1827–1907), История науки. Химия в средние века, Том. III: Арабская алхимия. Париж, 1893. [рпрт. Оснабрюк: О. Целлер, 1967], с. 139–162, в частности: с. 150–151

[31] аль-Газали, Избавление от ошибки (аль-мункид мин аль-Далал), гл. 145. Арабский: аль-Мункид мин ад-далал. ред. Дж. Салиба – К. Айяд. Дамаск: Мактаб ан-Нашр аль-Араби, 1934, с. 79. Английский перевод: Ричард Джозеф Маккарти, Свобода и реализация: аннотированный перевод аль-Мункида мин ад-Далаля аль-Газали и других соответствующих работ аль-Газали. Boston, Twayer, 1980. В качестве источника он ссылается на книгу под названием «Чудеса особой собственности». Эту площадь на Востоке назвали в Печатью Газали . его честь

[Comes2016-32] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Приходит, Роза (2016). «Передача магических квадратов Азаркиэля в Латинской Европе». В Уоллисе, Фейт; Вишновский, Роберт (ред.). Средневековые текстовые культуры: агенты передачи, перевода и трансформации . Иудаизм, христианство и ислам – напряжение, передача, трансформация. Том. 6. Вальтер де Грюйтер ГмбХ и Ко КГ. стр. 159–198. ISBN 978-3-11-046730-7 .

[33] Латинская версия — Liber de septem figuris septem Planetarum figurarum Geberi Regis Indorum. Этот трактат является установленным источником Дюрера и Генриха Корнелиуса Агриппы фон Неттесгейма. См. Питер, Дж. Барта, Кольцо-печать пропорции и волшебные кольца (2016), стр. 8–9, с. 10

[Sesiano2004-34] Сезиано, Жак (2004). Магические квадраты в исламских странах (на французском языке). Политехнические прессы ППУР.

[Schimmel1993-35] Шиммель, Аннемари (1993). Тайна чисел . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

[36] «Магические квадраты Мануэля Москопулоса - Введение | Математическая ассоциация Америки» . www.maa.org .

[Cammann1969-37] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Камманн, Шайлер (май 1969 г.). «Исламские и индийские магические квадраты, часть II». История религий . 8 (4): 271–299. дои : 10.1086/462589 . JSTOR 1062018 . S2CID 224806255 .

[38] в настоящее время находится в Библиотеке Ватиканы (код. Reg. Lat. 1283a)

[39] См . Альфонсо

[40] «Сатурн и меланхолия: исследования по истории естественной философии, религии и искусства» Магический квадрат Марса показан на рисунке 1 книги Раймонда Клибански , Эрвина Панофски и Фрица Саксла , Basic Books (1964).

[41] Квадраты можно увидеть на листах 20 и 21 рукописи. 2433, в Университетской библиотеке Болоньи. Они также появляются на листе 69rv Plimpton 167, рукописной копии Trattato dell'Abbaco XV века, хранящейся в Библиотеке Колумбийского университета.

[42] В статье 1981 года («О ранней истории магических квадратов в Западной Европе», т.е. «Предыстория магических квадратов в Западной Европе», Sudhoffs Archiv Kiel (1981), том 65, стр. 313–338) немецкий ученый Менсо Фолькертс перечисляет несколько рукописей, в которых «Траттато д'Аббако» Дагомари содержит два магических квадрата. Фолкертс цитирует статью Амедео Агостини 1923 года в Bollettino dell'Unione Matematica Italiana: «А. Агостини в рукописи Bologna, Biblioteca Universitaria, Ms. 2433, f. 20v–21r; см. Bollettino della Unione Matematica Italiana 2 (1923), 77f. Агостини не заметил, что квадраты принадлежат трактату Паоло дель Аббако, а также встречаются в других рукописях этого произведения, например, New York, Columbia University, Plimpton 167, f. 37v–38r; , Библ. Наз., II. IX. 57, ф. 86р, и Таргиони 9, ф. 77р., Библ.

[43] Этот рукописный текст (около 1496–1508 гг.) также находится в Universitaria Biblioteca в Болонье. Его можно увидеть полностью по адресу http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html. Архивировано 1 марта 2012 г. на Wayback Machine.

[44] Пачоли утверждает: Alastronomia summamente hanno Mostrato li supremi di quella commo Ptolomeo, al bumasar ali, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et virtu de numeri eserli necessaria (Мастера астрономии, такие как Птолемей , Альбамасар , Альфраган , Джабир) и все остальные показали, что сила и ценность чисел необходимы для этой науки), а затем переходит к описанию семи планетарных квадратов, без упоминания о магических применениях.

[Muurinen2020-45] Jump up to: ^а ^б ^с Мууринен, Исмо (2020). Ферма, магические квадраты и идея самонесущих блоков (PDF) (MSc). Университет Хельсинки.

[46] Шабер, Жан-Люк (1999). История алгоритмов: от камешка до микрочипа . Спрингер. п. 524. ИСБН 978-3540633693 .

[47] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, ЭФ «Бенджамин Франклин» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 15 декабря 2018 г.

[RouseBall1904-48] Jump up to: ^а ^б ^с Роуз Болл, WW "Магические квадраты". Математические развлечения и очерки (4-е изд.). Лондон: Mac Millan and Co., Limited. стр. 122–142.

[Andrews-49] Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (2-е изд.). Издательство «Открытый суд». стр. 124–126.

[50] «Виртуальный дом Поля Мульджади» . Архивировано из оригинала 9 ноября 2005 г. Проверено 18 марта 2005 г.

[51] « Магический куб с квадратом Дюрера » Магические квадраты и магические кубики Али Скалли

[52] «Магический квадрат на фасаде Страстей: ключи к его пониманию» . 7 февраля 2018 г.

[53] Письма: Математический интеллект; 2003 г.; 25; 4: стр. 6–7.

[54] Скалли, Али (14 октября 2009 г.). «Волшебный куб с квадратом Гауди» . Архивировано из оригинала 15 декабря 2021 года.

[55] Каин, Онно (2019). «Гауссовы целые числа, кольца, конечные поля и магический квадрат квадратов». arXiv : 1908.03236 [ math.RA ]. Были обнаружены некоторые «промахи», такие как Паркер-сквер [2]

[56] Бойер, Кристиан. «Новейшие исследования задачи «магический квадрат квадратов 3х3»» . мультимагия . Проверено 16 июня 2019 г. Два соответствующих приза еще предстоит выиграть!

[57] Харан, Брейди. «Паркер-сквер» . Блог Брейди Харана . Проверено 16 июня 2019 г. Паркер-сквер — талисман для людей, которые пытаются, но в конечном итоге терпят неудачу.

[58] Гарднер, Мартин (январь 1996 г.). «Магия 3х3» (PDF) . Квантовый . 6 (3): 24–26. ISSN 1048-8820 . Проверено 6 января 2024 г.

[59] Гарднер, Мартин (март 1996 г.). «Новейшее волшебство» (PDF) . Квантовый . 6 (4): 60. ISSN 1048-8820 . Проверено 6 января 2024 г.

[60] Бойер, Кристиан (12 ноября 2008 г.). «Некоторые заметки по проблеме магических квадратов квадратов». Математический интеллект . 27 (2): 52–64. дои : 10.1007/BF02985794 .

[61] Адлер, Аллан; Алехандре, Сюзанна. «Почему не существует магических квадратов 2х2» . mathforum.org . Архивировано из оригинала 02 марта 2018 г.

[Loly-62] Jump up to: ^а ^б ^с Лоли, Питер (март 2004 г.) [1 августа 2016 г.]. «Инвариантность момента инерции магических квадратов» (PDF) . Математический вестник . 88 (511): 151–153. CiteSeerX 10.1.1.552.7296 . дои : 10.1017/S002555720017456X . S2CID 125989925 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 ноября 2017 года . Проверено 5 июня 2017 г.

[63] Маркус, М.; Ри, Р. (1959). «Диагонали дважды стохастических матриц». Ежеквартальный математический журнал . 10 (1): 296–302. дои : 10.1093/qmath/10.1.296 .

[64] Пинн, К.; Ведерковски, К. (1998). «Количество магических квадратов из параллельного закаливания Монте-Карло». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (4): 541. arXiv : cond-mat/9804109 . Бибкод : 1998IJMPC...9..541P . дои : 10.1142/s0129183198000443 . S2CID 14548422 .

[Arxiv-65] «Количество магических квадратов из параллельного закаливания Монте-Карло» , arxiv.org, 9 апреля 1998 г. Проверено 2 ноября 2013 г.

[66] Сколько существует магических квадратов? Уолтер Трамп, Нюрнберг, 11 января 2001 г.

[sudoku-67] Jump up to: ^а ^б Все, кроме квадрата: от магических квадратов до судоку , Хардип Эйден, журнал Plus Magazine , 1 марта 2006 г.

[68] Китадзима, Акимаса; Кикучи, Макото; Альтманн, Эдуардо Г. (14 мая 2015 г.). «Многочисленно, но редко: исследование магических квадратов» . ПЛОС ОДИН . 10 (5): e0125062. Бибкод : 2015PLoSO..1025062K . дои : 10.1371/journal.pone.0125062 . ПМЦ 4431883 . ПМИД 25973764 .

[Kraitchik1953-69] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Крайчик, Морис (1953). «Волшебные квадраты». Математические развлечения (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 142–192 . ISBN 9780486201634 .

[lost-theorem-70] Jump up to: ^а ^б Саллоуз, Ли (осень 1997 г.) [9 января 2009 г.]. «Утерянная теорема». Математический интеллект . 19 (4): 51–54. дои : 10.1007/BF03024415 . S2CID 122385051 .

[White-Assoc-Magic-71] Jump up to: ^а ^б Уайт, С. Гарри. «Ассоциативные магические квадраты» . Budshaw.ca .

[Hawley2011-72] Jump up to: ^а ^б Хоули, Дел (2011). «Волшебные квадраты II» . nrich.maths.org . Кембриджский университет.

[73] Математические круги в квадрате Филлипа Э. Джонсона, Говарда Уитли Ивса, стр. 22

[74] ttp://oz.nthu.edu.tw/~u9621110/IT2010/txt/0929/canterburypuzzle00dudeuoft.pdf Кентерберийские загадки и другие любопытные задачи, Генри Эрнест Дюдени, 1907 г.

[75] ttp://budshaw.ca/howMany.html , Квадратные числа с рамкой, С. Гарри Уайт, 2009 г.

[76] ttp://www.law05.si/iwms/presentations/Styan.pdf Некоторые иллюстрированные комментарии к золотым магическим матрицам 5×5 и к квадрату Стифельша 5×5 , Джордж П.Х. Стян, 2014.

[hartleym-77] Хартли, М. «Создание больших магических квадратов» .

[78] ttp://budshaw.ca/2xNComposite.html , Составные квадраты 2N, С. Гарри Уайт, 2009 г.

[79] Карл Фулвес, Самостоятельная магия чисел (Dover Magic Books)

[80] Стифель, Майкл (1544 г.), Arithmetica integra (на латыни), стр. 29–30 .

[81] « Мультипликативный магический квадрат комплексных чисел 8x8 » Магические квадраты и магические кубы Али Скалли

[82] «Multimagie.com - Аддитивно-мультипликативные магические квадраты 8-го и 9-го порядка» . Проверено 26 августа 2015 г.

[83] «Multimagie.com - Наименьший аддитивно-мультипликативный магический квадрат» . Проверено 16 января 2024 г.

[84] Магические квадраты обретают совершенно новое измерение , The Observer , 3 апреля 2011 г.

[PourlaScience-85] Геометрические магические квадраты Жан-Поля Делаэ, Pour La Science № 428, июнь 2013 г.

[86] «Магические квадраты площадей» . Бесполезный шкаф . 19 января 2017 г. Проверено 12 июня 2017 г.

[Ely-87] Jump up to: ^а ^б Magic Designs, Роберт Б. Эли III, Журнал развлекательной математики, том 1, номер 1, январь 1968 г.

[88] «Новости MathWorld: на шахматной доске не бывает путешествий волшебного коня» .

[89] Демирёрс, О.; Рафраф, Н.; Таник М.М. "Получение решений из n -ферзей из магических квадратов и построение магических квадратов из из n решений -ферзей". Журнал развлекательной математики . 24 (272–280): 1992.

[90] См. Юрис Лидака, Книга ангелов, колец, персонажей и изображений планет в «Заклинаниях духов» , изд. К. Фангье. (Издательство Пенсильванского государственного университета, 1994 г.)

[91] Бенедек Ланг, Демоны в Кракове и Магия изображений в магическом справочнике , в «Христианской демонологии и популярной мифологии» , ред. Габора Кланичая и Евы Поч. (Издательство Центрально-Европейского университета, 2006 г.)

[92] По принципу соответствия каждая из семи планет связана с данным металлом: свинец — Сатурну, железо — Марсу, золото — Солнцу и т. д.

[DruryDict-93] Друри, Невилл (1992). Словарь мистицизма и эзотерических традиций . Бридпорт, Дорсет: Prism Press. ISBN 978-1-85327-075-8 .

[94] «Книга силы: каббалистические тайны мастера Аптолкатера, мага Адрианополя», пер. 1724. В Шах, Идрис (1957). Тайные знания магии . Лондон: Frederick Muller Ltd.

[95] Хольгер Виетор: Ведьмина таблица умножения — путь к расшифровке . В: Ежегодник Гете 122. Wallstein Verlag, Геттинген, 2005, ISBN 3-8353-2195-1 , S. 325–327 (немецкий).

[96] Норберт Херрманн : Математика, Бог и мир. 3-е издание, Springer, Берлин/Гейдельберг 2018, ISBN 978-3-662-56387-8 , S. 27–31 (немецкий).

[Roberts_2015-97] Гарет Э. Робертс (23 марта 2015 г.). «Составление с помощью чисел: сэр Питер Максвелл Дэвис и магические квадраты» (PDF) . Проверено 25 декабря 2018 г.

[Roberts_2016-98] Jump up to: ^а ^б Робертс, Гарет Э. (2016). «8 математической современной музыки». От музыки к математике: исследование связей . Джу Пресс. ISBN 9781421419183 .

[99] Веб-сайт почтового отделения Макао. Архивировано 11 ноября 2014 г. на Wayback Machine.

[100] Марки «волшебного квадрата» Макао сделали филателию еще более занудной The Guardian Science, 3 ноября 2014 г.

[Green_1997-101] Мишель Эрика Грин (15 июня 1997 г.). «Биогенез в Секретных материалах» . Littlereview.com . Маленький обзор . Проверено 25 марта 2017 г. Более того, это магический квадрат, образец, согласно которому Бог предположительно поручил древним евреям черпать силу из имен или их числовых эквивалентов.

[Handlen_2012-102] Зак Хэндлен (17 ноября 2012 г.). «Секретные материалы: «Биогенез» / Миллениум: «Прощай всему этому» » . АВ-клуб . Лук, Inc. Проверено 25 марта 2017 г. Мне нравится, когда они приводят занудного парня из ФБР, чтобы объяснить концепцию «магического квадрата», и он делает это, рассказывая нам, что магические квадраты существуют уже какое-то время, и больше ничего. Если я ничего не пропустил, то на данный момент у меня есть только то, что магические квадраты — это квадраты, которые люди когда-то считали магическими.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

v т и Волшебные многоугольники
Types	Magic circle Magic hexagon Magic hexagram Magic square Magic star Magic triangle
Related shapes	Alphamagic square Antimagic square Geomagic square Heterosquare Pandiagonal magic square Prime reciprocal magic square Most-perfect magic square
Higher dimensional shapes	Magic cube classes Magic hypercube Magic hyperbeam
Classification	Associative magic square Pandiagonal magic square Multimagic square
Related concepts	Latin square Word square Number Scrabble Eight queens puzzle Magic constant Magic graph Magic series

Базы данных авторитетного контроля
National	France BnF data Germany Israel United States Japan Czech Republic
Other	IdRef