Формула Марграбе

В математических финансах формула Марграбе — это формула оценки опциона , применимая к опциону на обмен одного рискованного актива на другой рискованный актив при наступлении срока погашения. Он был выведен Уильямом Марграбом (доктор философии Чикаго) в 1978 году. Статья Марграбе цитировалась в более чем 2000 последующих статьях.

Формула

Предположим, что S ₁ (t) и S ₂ (t) — цены двух рискованных активов в момент времени t , и каждый из них имеет постоянную непрерывную дивидендную доходность q _i . Опцион C дает покупателю право, но не обязанность обменять второй актив на первый в момент погашения T. , который мы хотим оценить , словами, его выигрыш C(T) равен max(0, S1 _{Другими} (T) - S2 ₍ T)) .

Если волатильность S _i i равна σ _, то $\textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}$, где ρ — коэффициент корреляции Пирсона броуновских движений S _i .

Формула Марграбе гласит, что справедливая цена опциона в момент времени 0 равна:

$e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})$

где:

$q_{1},q_{2}$ ожидаемые дивидендные ставки цен $S_{1},S_{2}$ при соблюдении соответствующих мер, нейтральных к риску,

$N$ обозначает кумулятивную функцию распределения для стандартного нормального ,

$d_{1}=(\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}$,

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}$.

Вывод

Модель рынка Марграбе предполагает только существование двух рискованных активов, цены которых, как обычно, предполагают, следуют геометрическому броуновскому движению . Неустойчивость этих броуновских движений не обязательно должна быть постоянной, но важно, чтобы изменчивость S ₁ /S ₂ , σ , была постоянной. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (например, облигации с нулевым купоном ) или какой-либо процентной ставки . Модель не требует эквивалентной вероятностной меры, нейтральной к риску, но требует эквивалентной меры в соответствии с S ₂ .

Формула быстро доказывается путем сведения ситуации к ситуации, в которой мы можем применить формулу Блэка-Шоулза .

• Во-первых, рассмотрим оба актива, оцененные в единицах S ₂ (это называется «использование S ₂ в качестве числового показателя »); это означает, что единица первого актива теперь стоит S ₁ /S ₂ единицы второго актива, а единица второго актива стоит 1.
• В соответствии с этим изменением расчетного ценообразования второй актив теперь является безрисковым активом, а его ставка дивидендов q ₂ представляет собой процентную ставку. Выплата по опциону, переоцененная при таком изменении нумерации, равна max(0, S ₁ (T)/S ₂ (T) - 1) .
• Таким образом, первоначальный опцион превратился в опцион колл на первый актив (с его числовой ценой) со страйком в 1 единицу безрискового актива. Обратите внимание, что ставка дивидендов q ₁ для первого актива остается неизменной даже при изменении цен.
• Применение формулы Блэка-Шоулза с этими значениями в качестве соответствующих входных данных, например, первоначальная стоимость актива S ₁ (0)/S ₂ (0) , процентная ставка q ₂ , волатильность σ и т. д., дает нам цену опциона в расчете. ценообразование.
• Поскольку результирующая цена опциона выражена в единицах S ₂ , умножение на S ₂ (0) отменит изменение числа и даст нам цену в нашей исходной валюте, которая соответствует формуле выше. Альтернативно это можно показать с помощью теоремы Гирсанова .

Внешние ссылки и ссылки

Примечания

Первичная ссылка

• Уильям Марграб, «Ценность опциона на обмен одного актива на другой» , Journal of Finance , Vol. 33, № 1 (март 1978 г.), стр. 177–186.

Обсуждение

• Марк Дэвис, Имперский колледж Лондона, опционы на несколько активов
• Рольф Поульсен, Гетеборгский университет, Формула Марграбе