Jump to content

Среднее арифметическое

(Перенаправлено с обычного среднего )

В математике и статистике арифметическое среднее ( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k ˈ m n / arr-ith- MET -ik ), среднее арифметическое , или просто среднее или среднее (когда контекст понятен) — это сумма набора чисел делится на количество чисел в коллекции. [1] Коллекция часто представляет собой набор результатов эксперимента , наблюдательного исследования или опроса . Термин «среднее арифметическое» предпочтительнее в некоторых контекстах математики и статистики, поскольку он помогает отличить его от других типов средних, таких как геометрические и гармонические .

Помимо математики и статистики, среднее арифметическое часто используется в экономике , антропологии , истории и почти во всех научных областях в той или иной степени. Например, доход на душу населения — это средний арифметический доход населения страны.

Хотя среднее арифметическое часто используется для определения центральных тенденций , оно не является надежным статистическим показателем : на него сильно влияют выбросы (значения, намного большие или меньшие, чем у большинства других). Для асимметричного распределения , такого как распределение дохода , при котором доходы некоторых людей существенно выше, чем у большинства людей, среднее арифметическое может не совпадать с понятием «среднего». В этом случае надежная статистика, такая как медиана , может обеспечить лучшее описание центральной тенденции.

Определение

[ редактировать ]

Среднее арифметическое набора наблюдаемых данных равно сумме числовых значений каждого наблюдения, деленной на общее количество наблюдений. Символически, для набора данных, состоящего из значений , среднее арифметическое определяется по формуле:

[2]

(Пояснения к оператору суммирования см. в разделе суммирование .)

Например, если ежемесячная заработная плата сотрудники , то среднее арифметическое равно:

Если набор данных представляет собой статистическую совокупность (т. е. состоит из всех возможных наблюдений, а не только их подмножества), то среднее значение этой совокупности называется средним значением совокупности и обозначается греческой буквой. . Если набор данных представляет собой статистическую выборку (подмножество генеральной совокупности), он называется выборочным средним (что для набора данных обозначается как ).

Среднее арифметическое можно аналогичным образом определить для векторов в нескольких измерениях, а не только для скалярных значений; это часто называют центроидом . В более общем смысле, поскольку среднее арифметическое представляет собой выпуклую комбинацию (то есть сумма ее коэффициентов равна ), его можно определить в выпуклом пространстве , а не только в векторном пространстве.

Мотивирующие свойства

[ редактировать ]

Среднее арифметическое имеет несколько свойств, которые делают его интересным, особенно как меру центральной тенденции. К ним относятся:

  • Если числа иметь в виду , затем . С — это расстояние от данного числа до среднего значения. Один из способов интерпретировать это свойство — сказать, что числа слева от среднего значения уравновешиваются числами справа. Среднее значение — единственное число, для которого сумма остатков (отклонений от оценки) равна нулю. Это также можно интерпретировать как утверждение, что среднее значение трансляционно инвариантно в том смысле, что для любого действительного числа , .
  • Если требуется использовать одно число в качестве «типичного» значения для набора известных чисел , то среднее арифметическое чисел делает это лучше всего, поскольку оно минимизирует сумму квадратов отклонений от типичного значения: сумму . Выборочное среднее также является лучшим одиночным предиктором, поскольку оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку . [3] Если требуется среднее арифметическое совокупности чисел, то его несмещенная оценка представляет собой среднее арифметическое выборки, взятой из совокупности.
  • Среднее арифметическое не зависит от масштаба единиц измерения в том смысле, что Так, например, вычисление среднего значения в литрах, а затем преобразование в галлоны — это то же самое, что сначала преобразование в галлоны, а затем вычисление среднего значения. Это также называется однородностью первого порядка .

Дополнительные свойства

[ редактировать ]
  • Среднее арифметическое выборки всегда находится между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке.
  • Среднее арифметическое любого количества групп чисел одинакового размера вместе взятых является средним арифметическим средних арифметических каждой группы.

Контраст с медианой

[ редактировать ]

Среднее арифметическое можно противопоставить медиане . Медиана определяется так, чтобы не более половины значений были больше и не более половины меньше ее. Если элементы данных увеличиваются арифметически при размещении в определенном порядке, то медиана и среднее арифметическое равны. Например, рассмотрим образец данных . Среднее значение , как и медиана. Однако, когда мы рассматриваем выборку, которую нельзя организовать для арифметического увеличения, например , медиана и среднее арифметическое могут существенно различаться. В этом случае среднее арифметическое равно , а медиана . Среднее значение может значительно отличаться от большинства значений в выборке и может быть больше или меньше большинства значений.

Это явление находит применение во многих областях. Например, с 1980-х годов средний доход в США рос медленнее, чем среднее арифметическое дохода. [4]

Обобщения

[ редактировать ]

Средневзвешенное значение

[ редактировать ]

Средневзвешенное значение или средневзвешенное значение — это среднее значение, в котором некоторые точки данных имеют большее значение, чем другие, поскольку им придается больший вес при расчете. [5] Например, среднее арифметическое и является или эквивалентно . Напротив, средневзвешенное значение, при котором первое число получает, например, в два раза больший вес, чем второе (возможно, потому, что предполагается, что оно встречается в два раза чаще в общей совокупности, из которой были выбраны эти числа), будет рассчитываться как . Здесь веса, сумма которых обязательно равна единице, равны и , причем первое в два раза больше последнего. Среднее арифметическое (иногда называемое «невзвешенным средним» или «равновзвешенным средним») можно интерпретировать как частный случай взвешенного среднего, в котором все веса равны одному и тому же числу ( в приведенном выше примере и в ситуации с цифры усредняются).

Непрерывные распределения вероятностей

[ редактировать ]
Сравнение двух логнормальных распределений с одинаковой медианой, но разной асимметрией , что приводит к различным средним значениям и режимам.

Если числовое свойство и любая выборка данных из него могут принимать любое значение из непрерывного диапазона, а не, например, только целые числа, то вероятность попадания числа в некоторый диапазон возможных значений можно описать путем интегрирования непрерывное распределение вероятностей в этом диапазоне, даже если наивная вероятность того, что число выборок выберет одно определенное значение из бесконечного множества, равна нулю. В этом контексте аналог средневзвешенного значения, в котором существует бесконечно много возможностей для точного значения переменной в каждом диапазоне, называется средним значением распределения вероятностей . Наиболее широко встречающееся распределение вероятностей называется нормальным распределением ; он обладает тем свойством, что все меры его центральной тенденции, включая не только среднее значение, но и упомянутую выше медиану и моду (три Мс), [6] ), равны. Это равенство не выполняется для других распределений вероятностей, как показано здесь для логарифмически нормального распределения.

Особая осторожность необходима при использовании циклических данных, таких как фазы или углы . Взяв среднее арифметическое 1° и 359°, получим результат 180 ° .Это неверно по двум причинам:

  • Во-первых, измерения углов определяются только до аддитивной константы 360° ( или , если измерять в радианах ). Таким образом, их можно было бы легко назвать 1° и -1° или 361° и 719°, поскольку каждый из них дает разное среднее значение.
  • Во-вторых, в этой ситуации 0° (или 360°) является геометрически лучшим средним вокруг него меньше значением: дисперсия (точки находятся как на 1° от него, так и на 179° от 180°, предполагаемого среднего).

В общем случае такая оплошность приведет к искусственному смещению среднего значения в сторону середины числового диапазона. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы использовать формулировку оптимизации (то есть определить среднее значение как центральную точку: точку, относительно которой имеется наименьшая дисперсия) и переопределить разницу как модульное расстояние (т. е. расстояние по окружности: поэтому модульное расстояние между 1° и 359° составляет 2°, а не 358°).

Доказательство без слов неравенства AM –GM :
PR — диаметр круга с центром в точке О; AO — среднее арифметическое a b и . его радиус Используя теорему о среднем геометрическом GQ треугольника PGR , высота является средним геометрическим . Для любого соотношения a : b AO ≥ GQ.

Символы и кодировка

[ редактировать ]

Среднее арифметическое часто обозначается чертой ( винкулум или макрон ), как в . [3]

Некоторые программы ( текстовые процессоры , веб-браузеры ) могут неправильно отображать символ «x». Например, HTML- символ «x̄» объединяет два кода — базовую букву «x» плюс код строки выше ( ̄ или ¯). [7]

В некоторых форматах документов (например, PDF ) символ может быть заменен символом «¢» ( цент ) при копировании в текстовый процессор, например Microsoft Word .

См. также

[ редактировать ]
Геометрическое доказательство без слов , что max ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > гармоническое ( HM ) > min ( a , b ) среднее два различных положительных числа a и b [примечание 1]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
    Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
    Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
    Используя подобные треугольники , HC / GC = GC / OC ∴ HC = GC² / OC = HM .
  1. ^ Джейкобс, Гарольд Р. (1994). Математика: человеческие усилия (Третье изд.). У. Х. Фриман . п. 547. ИСБН  0-7167-2426-Х .
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Среднее арифметическое» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
  3. ^ Jump up to: а б Медхи, Джотипрасад (1992). Статистические методы: вводный текст . Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 53–58. ISBN  9788122404197 .
  4. ^ Кругман, Пол (4 июня 2014 г.) [осень 1992 г.]. «Богатые, правые и факты: деконструкция дебатов о распределении доходов» . Американский проспект .
  5. ^ «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
  6. ^ Thinkmap Visual Thesaurus (30 июня 2010 г.). «Три М статистики: мода, медиана, среднее значение на 30 июня 2010 г.» . www.visualthesaurus.com . Проверено 3 декабря 2018 г.
  7. ^ «Заметки о Unicode для символов статистики» . www.personal.psu.edu . Архивировано из оригинала 31 марта 2022 года . Проверено 14 октября 2018 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c0b6197cdc6b25e681013b516d031e41__1712554200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c0/41/c0b6197cdc6b25e681013b516d031e41.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Arithmetic mean - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)