проблема Эйнштейна
В плоской геометрии проблема Эйнштейна спрашивает о существовании одного прототайла , который сам по себе образует апериодический набор прототайлов ; то есть форма, которая может мозаику пространства, но только непериодическим образом. Такая форма называется « эйнштейн» , игра слов от «ein Stein» , что по-немецки означает «один камень». [2]
Начиная с 1990-х годов было решено несколько вариантов проблемы, в зависимости от конкретных определений непериодичности и спецификации того, какие наборы могут квалифицироваться как плитки и какие типы правил сопоставления разрешены. Самая строгая версия проблемы была решена в 2023 году после первоначального открытия в 2022 году.
Проблему Эйнштейна можно рассматривать как естественное расширение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта , которая требует наличия единственного многогранника , который замощает евклидово 3-пространство , но так, чтобы никакая мозаика этим многогранником не была изоэдральной . [3] Такие анизоэдральные плитки были найдены Карлом Рейнхардтом в 1928 году, но эти анизоэдральные плитки периодически заполняют пространство плиток.
Предлагаемые решения
[ редактировать ]В 1988 году Питер Шмитт обнаружил единственный апериодический прототил в трёхмерном евклидовом пространстве . Хотя ни одна мозаика с помощью этого прототипа не допускает перевода в качестве симметрии, некоторые из них имеют винтовую симметрию . Операция винта включает в себя комбинацию перемещения и вращения на иррациональное кратное число π, поэтому никакое количество повторяющихся операций никогда не приводит к чистому перемещению. Эта конструкция была впоследствии расширена Джоном Хортоном Конвеем и Людвигом Данцером до выпуклого апериодического прототипа, плитки Шмитта-Конвея-Данцера . Наличие винтовой симметрии привело к переоценке требований непериодичности. [4] Хаим Гудман-Штраус предположил, что мозаика считается сильно апериодической, если она не допускает бесконечной циклической группы евклидовых движений в качестве симметрии, и что только наборы плиток, которые обеспечивают сильную апериодичность, называются сильно апериодическими, в то время как другие наборы следует называть слабо апериодическими . [5]
В 1996 году Петра Гаммельт построила декорированную десятиугольную плитку и показала, что, когда разрешены два типа перекрытия между парами плиток, плитки могут покрывать плоскость, но только непериодически. [6] Под тайлингом обычно понимают покрытие без перекрытий, поэтому тайлинг Gummelt не считается апериодическим прототипом. Апериодический набор плиток на евклидовой плоскости , состоящий всего из одной плитки — плитки Соколара-Тейлора — был предложен в начале 2010 года Джошуа Соколаром и Джоан Тейлор. [7] Эта конструкция требует правил сопоставления, правил, которые ограничивают относительную ориентацию двух плиток и ссылаются на украшения, нарисованные на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. В качестве альтернативы можно построить недекорированную плитку без правил сопоставления, но она не будет соединена. Конструкцию можно расширить до трехмерной связной плитки без правил сопоставления, но эта плитка допускает мозаику, периодическую в одном направлении, поэтому она лишь слабо апериодична. Более того, плитка не просто соединена.
Шляпа
[ редактировать ]
В ноябре 2022 года любитель Дэвид Смит 60–90–120–90 ° обнаружил плитку в форме «шляпы», состоящую из восьми копий воздушного змея ( дельтовидных тригексагональных элементов ), склеенных от края к краю, которые, казалось, представляли собой только плитку. самолет апериодически. [8] Смит заручился помощью математиков Крейга С. Каплана , Джозефа Сэмюэля Майерса и Хаима Гудмана-Штрауса , и в марте 2023 года группа опубликовала препринт, доказывающий, что шляпа, если рассматривать ее в зеркальном отражении, образует апериодическое множество прототипов. [9] [10] Более того, шляпу можно обобщить на бесконечное семейство плиток с одинаковым апериодическим свойством. По состоянию на июль 2024 года этот результат был официально опубликован в журнале Combinatorial Theory. [11]
В мае 2023 года та же команда (Смит, Майерс, Каплан и Гудман-Штраусс) опубликовала новый препринт о семействе фигур, называемых «призраками» и связанных со «шляпой», каждая из которых может замостить плоскость, используя только вращения. и переводы. [12] Более того, плитка «спектр» представляет собой «строго киральный» апериодический монотиль: даже если отражения разрешены, каждая плитка непериодична и использует только одну киральность спектра. То есть не существует мозаик плоскости, в которых используется и призрак, и его зеркальное отражение.
В 2023 году публичный конкурс, проводимый Национальным музеем математики в Нью-Йорке и Математическим фондом Соединенного Королевства в Лондоне, предлагал людям представить творческие интерпретации шляпы Эйнштейна. Из более чем 245 заявок из 32 стран были выбраны три победителя, которые получили награды на церемонии в Палате общин . [13] [14]
Приложения
[ редактировать ]Молекулярные аналоги плитки Эйнштейна могут быть использованы для формирования хиральных двумерных квазикристаллов . [15]
См. также
[ редактировать ]- Бинарное замощение — слабо апериодическое замощение гиперболической плоскости одной плиткой.
- Плитка Шмитта – Конвея – Данцера в трех измерениях
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Две плитки имеют одинаковый цвет, если их можно совместить путем сочетания перевода и поворота на четное кратное 30 градусов. Плитки разных цветов можно привести в совпадение путем перевода вместе с поворотом на нечетное кратное 30 градусов.
- ^ Клаассен, Бернхард (2022). «Форсирование непериодических мозаик с одной плиткой с использованием семени». Европейский журнал комбинаторики . 100 (С): 103454. arXiv : 2109.09384 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103454 . S2CID 237571405 .
- ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . стр. 22–24. ISBN 0-521-57541-9 .
- ^ Радин, Чарльз (1995). «Апериодические мозаики в высших измерениях» . Труды Американского математического общества . 123 (11). Американское математическое общество: 3543–3548. дои : 10.2307/2161105 . JSTOR 2161105 . МР 1277129 .
- ^ Гудман-Штраус, Хаим (10 января 2000 г.). «Открытые вопросы по тайлингу» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2007 г. Проверено 24 марта 2007 г.
- ^ Гаммелт, Петра (1996). «Плитки Пенроуза как покрытия конгруэнтных десятиугольников». Геометрии посвященные . 62 (1): 1–17. дои : 10.1007/BF00239998 . S2CID 120127686 .
- ^ Соколар, Джошуа Э.С.; Тейлор, Джоан М. (2011). «Апериодическая шестиугольная плитка». Журнал комбинаторной теории, серия А. 118 (8): 2207–2231. arXiv : 1003.4279 . дои : 10.1016/j.jcta.2011.05.001 . S2CID 27912253 .
- ^ Кларрайх, Эрика (4 апреля 2023 г.). «Любитель находит неуловимую математическую плитку Эйнштейна» . Кванта .
- ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv : 2303.10798 [ math.CO ].
- ^ Лоусон-Перфект, Кристиан; Стеклс, Кэти; Роулетт, Питер (22 марта 2023 г.). «Апериодический монотиль существует!» . Апериодический журнал .
- ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2024). «Апериодический монотиль» . Комбинаторная теория . 4 (1). arXiv : 2303.10798 . дои : 10.5070/C64163843 . ISSN 2766-1334 .
- ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2023). «Хиральный апериодический монотиль». arXiv : 2305.17743 [ math.CO ].
- ^ Робертс, Шивон (10 декабря 2023 г.). «Что можно сделать с Эйнштейном?» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 13 декабря 2023 г.
- ^ «конкурс шляп» . Национальный музей математики . Проверено 13 декабря 2023 г.
- ^ «Предсказанный квазикристалл основан на плитке Эйнштейна, известной как шляпа» . 25 января 2024 г. Проверено 24 июля 2024 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Апериодический монотиль Смита, Майерса, Каплана и Гудмана-Штрауса.
- Харан, Брэди; Макдональд, Эйлиан (2023). «Новая плитка в Ньютайле» (видео). Числофил .
