Вселенная фон Неймана

В теории множеств и смежных разделах математики вселенная фон Неймана , или иерархия множеств фон Неймана , обозначаемая V , представляет собой хорошо обоснованных класс наследственных множеств . Этот набор, формализованный теорией множеств Цермело – Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или мотивации аксиом ZFC. Концепция названа в честь Джона фон Неймана , хотя впервые ее опубликовал Эрнст Цермело в 1930 году.

Ранг большее , обоснованного множества определяется индуктивно как наименьшее порядковое число, чем ранги всех членов множества. В частности, ранг пустого множества равен нулю, и каждый ординал имеет ранг, равный самому себе. Множества в V делятся на трансфинитную иерархию V _α   , называемую кумулятивной иерархией , в зависимости от их ранга.

Определение

Начальный сегмент вселенной фон Неймана. Порядковое умножение отличается от нашего обычного соглашения; см. Порядковая арифметика .

Кумулятивная иерархия представляет собой совокупность множеств V _α индексируется по классу порядковых чисел ; в частности, V _α — это множество всех множеств, имеющих ранги меньше α. Таким образом, для каждого порядкового номера α существует одно множество V _α . V _α можно определить с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

• Пусть V ₀ — пустое множество :

  $V_{0}:=\varnothing .$

• Для любого порядкового числа β пусть V _β+1 будет степеней набором V _β :

  $V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$

• Для любого предельного ординала λ пусть V _λ всех — объединение V -этапов :

  $V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.$

Важным фактом этого определения является то, что на языке ZFC существует единственная формула φ(α, x ), которая гласит: «множество x находится в V _α ».

Множества Vα _​ называются стадиями или рангами .

Класс V определяется как объединение всех V -стадий:

$V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }.$

Ранг набора

Ранг — это множества S наименьшее α такое, что $S\subseteq V_{\alpha }\,.$ Другими словами, ${\mathcal {P}}(V_{\alpha })$ – множество множеств ранга ≤α. Стадию V _α также можно охарактеризовать как набор множеств с рангом строго меньшим α, независимо от того, равно ли α 0, порядковому порядку-преемнику или порядковому пределу:

$V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).$

Это дает эквивалентное определение V _α с помощью трансфинитной рекурсии.

Подстановка приведенного выше определения V _α обратно в определение ранга множества дает автономное рекурсивное определение:

Ранг множества — это наименьшее порядковое число, строго превышающее ранги всех его членов.

Другими словами,

$\operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}$.

Конечные и маломощные этапы иерархии.

Первые пять стадий фон Неймана от V ₀ до V ₄ можно визуализировать следующим образом. (Пустой блок представляет собой пустой набор. Блок, содержащий только пустой блок, представляет набор, содержащий только пустой набор, и так далее.)

First 5 von Neumann stages

Эта последовательность демонстрирует тетрационный рост. Набор V ₅ содержит 2 ¹⁶ = 65536 элементов; набор V ₆ содержит 2 ⁶⁵⁵³⁶ элементы, число которых значительно превышает число атомов в известной Вселенной ; и для любого натурального n множество V _{n +1} содержит 2 ⇈ n элементов, используя обозначение Кнута, направленное вверх . Таким образом, конечные этапы кумулятивной иерархии не могут быть записаны явно после этапа 5. Множество V _ω имеет ту же мощность, что и ω. Множество V _ω+1 имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Приложения и интерпретации

Применение V в качестве моделей теорий множеств

Если ω — множество натуральных чисел , то V _ω — множество наследственно конечных множеств , которое является моделью теории множеств без аксиомы бесконечности .

V _ω+ω — это вселенная «обычной математики» и модель теории множеств Цермело (но не модель ZF ). Простым аргументом в пользу адекватности V _ω+ω является наблюдение, что V _ω+1 адекватно целым числам, тогда как V _ω+2 адекватен действительным числам, а большая часть другой нормальной математики может быть построена как соотношения различные виды из этих множеств без необходимости выхода аксиомы замены за пределы V _ω+ω .

Если κ — недоступный кардинал , то V _κ — модель самой теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), а V _κ+1 — модель теории множеств Морса–Келли . (Обратите внимание, что каждая модель ZFC также является моделью ZF, и каждая модель ZF также является моделью Z.)

Интерпретация V как «множества всех множеств».

V не является « множеством всех (наивных) множеств » по ​​двум причинам. Во-первых, это не набор; хотя каждая отдельная стадия Vα _{является} множеством, их объединение V является собственным классом . Во-вторых, множества из V — это только обоснованные множества. Аксиома основания (или регулярности) требует, чтобы каждое множество было хорошо обосновано и, следовательно, находилось в V каждое множество находится в V. , и, следовательно, в ZFC Но другие системы аксиом могут опускать аксиому основания или заменять ее сильным отрицанием (примером является аксиома против основания Акселя ). Эти необоснованные теории множеств широко не используются, но их все же можно изучать.

Третье возражение против интерпретации «множества всех множеств» заключается в том, что не все множества обязательно являются «чистыми множествами», которые создаются из пустого множества с использованием степенных множеств и объединений. Цермело предложил в 1908 году включение urelements , из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году. Такие urelements широко используются в теории моделей , особенно в моделях Френкеля-Мостовского.

Парадокс Гильберта

Вселенная фон Неймана удовлетворяет следующим двум свойствам:

• ${\mathcal {P}}(x)\in V$ для каждого набора $x\in V$.
• $\bigcup x\in V$ для каждого подмножества $x\subseteq V$.

Действительно, если $x\in V$, затем $x\in V_{\alpha }$ для какого-то порядкового номера $\alpha$. Любой этап является транзитивным множеством , следовательно, каждый $y\in x$ уже есть $y\in V_{\alpha }$, и поэтому каждое подмножество $x$ является подмножеством $V_{\alpha }$. Поэтому, ${\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}$ и ${\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V$. Для объединений подмножеств, если $x\subseteq V$, то для каждого $y\in x$, позволять $\beta _{y}$ быть наименьшим порядковым номером, для которого $y\in V_{\beta _{y}}$. Потому что по предположению $x$ является множеством, мы можем сформировать предел $\alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}$. Этапы суммируются, поэтому снова каждые $y\in x$ является $y\in V_{\alpha }$. Затем каждый $z\in y$ также $z\in V_{\alpha }$, и так $\cup x\subseteq V_{\alpha }$ и $\cup x\in V_{\alpha +1}$.

Парадокс Гильберта подразумевает, что множества с указанными выше свойствами не существует. Предположим, $V$ был набор. Затем $V$ будет подмножеством самого себя, и $U=\cup V$ принадлежал бы $V$и так бы и было ${\mathcal {P}}(U)$. Но в более общем плане, если $A\in B$, затем $A\subseteq \cup B$. Следовательно, ${\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U$, что невозможно в таких моделях ZFC, как $V$ сам.

Интересно, $x$ является подмножеством $V$ тогда и только тогда, когда $x$ является членом $V$. Поэтому мы можем рассмотреть, что произойдет, если условие объединения заменить на $x\in V\implies \cup x\in V$. В этом случае известных противоречий нет, и любая вселенная Гротендика удовлетворяет новой паре свойств. Однако вопрос о существовании вселенных Гротендика выходит за рамки ZFC.

V и аксиома регулярности

Формулу V = ⋃ _α V _α часто считают теоремой, а не определением. Ройтман утверждает (без ссылок), что осознание того, что аксиома регулярности эквивалентна равенству вселенной множеств ZF кумулятивной иерархии, принадлежит фон Нейману.

Экзистенциальный статус В.

Поскольку класс V можно рассматривать как арену большей части математики, важно установить, что он «существует» в некотором смысле. Поскольку существование — сложная концепция, вопрос о существовании обычно заменяют вопросом о непротиворечивости, то есть о том, свободна ли концепция от противоречий. Основное препятствие создают теоремы Гёделя о неполноте , которые фактически подразумевают невозможность доказать непротиворечивость теории множеств ZF в самой теории множеств ZF, при условии, что она на самом деле непротиворечива.

Целостность вселенной фон Неймана фундаментально зависит от целостности порядковых чисел , которые действуют как параметр ранга при построении, и целостности трансфинитной индукции , с помощью которой конструируются как порядковые числа, так и вселенная фон Неймана. Можно сказать, что целостность конструкции порядкового числа опирается на статьи фон Неймана 1923 и 1928 годов. Можно сказать, что целостность конструкции V с помощью трансфинитной индукции была тогда установлена ​​в статье Цермело 1930 года.

История

Иерархия кумулятивных типов, также известная как вселенная фон Неймана, по утверждению Грегори Х. Мура (1982), ошибочно приписана фон Нейману . Первую публикацию о вселенной фон Неймана сделал Эрнст Цермело в 1930 году.

Существование и единственность общего трансфинитно-рекурсивного определения множеств было продемонстрировано в 1928 году фон Нейманом для теории множеств Цермело-Френкеля. и собственная теория множеств фон Неймана (которая позже превратилась в теорию множеств NBG ). Ни в одной из этих статей он не применил свой трансфинитно-рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. Представления Бернейса о вселенной фон Неймана и Мендельсон оба отдают должное фон Нейману за метод построения трансфинитной индукции, но не за его применение к построению вселенной обычных множеств.

Обозначение V не является данью имени фон Неймана. В 1889 году Пеано использовал его для обозначения вселенной множеств, буква V, обозначающая «Verum», которую он использовал как логический символ, так и для обозначения класса всех людей. Пеано Обозначение V было также принято Уайтхедом и Расселом для класса всех множеств в 1910 году. Обозначение V (для класса всех множеств) не использовалось фон Нейманом в его статьях 1920-х годов о порядковых числах и трансфинитной индукции. Пол Коэн явно приписывает использование буквы V (для класса всех множеств) статье Гёделя 1940 года: хотя Гёдель, скорее всего, получил обозначения из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел.

Философские перспективы

Существует два подхода к пониманию связи вселенной фон Неймана V с ZFC (наряду со многими вариациями каждого подхода и оттенками между ними). Грубо говоря, формалисты склонны рассматривать V как нечто, вытекающее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество находится в V). С другой стороны, реалисты с большей вероятностью будут рассматривать иерархию фон Неймана как нечто, непосредственно доступное интуиции, а аксиомы ZFC как утверждения, истинность которых в V мы можем привести прямыми интуитивными аргументами на естественном языке. Возможная средняя позиция состоит в том, что мысленная картина иерархии фон Неймана обеспечивает аксиомам ZFC мотивацию (так что они не являются произвольными), но не обязательно описывает объекты, имеющие реальное существование.

См. также

• Вселенная (математика)
• Сборная вселенная
• Вселенная Гротендика
• Недоступный кардинал
• S (теория множеств)

Ссылки

• Бернейс, Пол (1991) [1958]. Аксиоматическая теория множеств . Дуврские публикации. ISBN  0-486-66637-9 .
• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46921-8 .
• Гёдель, Курт (1931). «О формально неразрешимых теоремах Principia Mathematica и родственных систем I». Ежемесячные журналы по математике и физике . 38 : 173–198. дои : 10.1007/BF01700692 .
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств . Анналы математических исследований. Том. 3. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Ховард, Пол; Рубин, Жан Э. (1998). Следствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 175–221 . ISBN  9780821809778 .
• Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9 .
• Манин, Юрий И. (2010) [1977]. Курс математической логики для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 53. Перевод Коблиц Н. (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 89–96. дои : 10.1007/978-1-4419-0615-1 . ISBN  978-144-190-6144 .
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Ван Ностранд Рейнхольд.
• Мириманов, Дмитрий (1917). «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории множеств». Математическое образование . 19 :37–52.
• Мур, Грегори Х (2013) [1982]. Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-48841-7 .
• Пеано, Джузеппе (1889). Принципы арифметики: изложено новым методом . Братья Бокка.
• Ройтман, Джудит (2011) [1990]. Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN  978-0-9824062-4-3 .
• Рубин, Жан Э. (1967). Теория множеств для математика . Сан-Франциско: Холден-Дэй. ASIN   B0006BQH7S .
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [переработанное и исправленное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1996 году издательством Oxford University Press, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума . Дувр. ISBN  978-0-486-47484-7 .
• фон Нейман, Джон (1923). «О введении трансфинитных чисел» . Акта Литт. акад. наук. Сегед 1 : 199-208. . Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967), «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, стр. 346–354
• фон Нейман, Джон (1928a). «Аксиоматизация теории множеств» . Математический журнал . 27 :669-752. дои : 10.1007/bf01171122 .
• фон Нейман, Джон (1928b). «Об определении с помощью трансфинитной индукции и смежных вопросах общей теории множеств». Математические летописи . 99 : 373–391. дои : 10.1007/bf01459102 .
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (2009) [1910]. Принципы математики . Том. Один. Торговые книги. ISBN  978-1-60386-182-3 .
• Цермело, Эрнст (1930). «О пределах и пределах множеств: новые исследования основ теории множеств» . Фундамента Математика . 16 :29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 .