Теория динамических систем
Теория динамических систем — это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем , обычно с помощью дифференциальных уравнений или разностных уравнений . Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами . С физической точки зрения непрерывные динамические системы представляют собой обобщение классической механики , обобщение, в котором уравнения движения постулируются напрямую и не ограничиваются уравнениями Эйлера-Лагранжа действия принципа наименьшего . При использовании разностных уравнений теория называется дискретными динамическими системами . Когда переменная времени пробегает набор, который дискретен на некоторых интервалах и непрерывен на других интервалах или представляет собой любой произвольный набор времени, такой как набор Кантора , можно получить динамические уравнения во временных масштабах . Некоторые ситуации также можно моделировать с помощью смешанных операторов, например дифференциально-разностных уравнений .
Эта теория занимается долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, когда это возможно, решения уравнений движения систем, которые часто имеют преимущественно механическую или иную физическую природу, таких как планетарные орбиты и поведение электронных схем , а также систем, возникающих в биологии , экономике и других областях. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем и причудливых систем.
Эту область исследования также называют просто динамическими системами , математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем .
Обзор [ править ]
Теория динамических систем и теория хаоса изучают долгосрочное качественное поведение динамических систем . Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а, скорее, ответам на такие вопросы, как «Установится ли система в устойчивое состояние в долгосрочной перспективе, и если да, то что?» Возможны ли устойчивые состояния?» или «Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния?»
Важная цель — описать фиксированные точки или устойчивые состояния данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек являются привлекательными , а это означает, что если система начинается в ближайшем состоянии, она сходится к фиксированной точке.
Точно так же нас интересуют периодические точки — состояния системы, которые повторяются через несколько временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.
Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют, казалось бы, случайное поведение, которое называется хаосом . [1] Раздел динамических систем, который занимается четким определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса .
История [ править ]
Концепция теории динамических систем берет свое начало в механике Ньютона . Здесь, как и в других естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем неявно задается соотношением, которое дает состояние системы лишь на небольшой промежуток времени в будущем.
До появления быстрых вычислительных машин решение динамической системы требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем.
Некоторые превосходные презентации математической теории динамических систем включают Бельтрами (1998) , Луенбергера (1979) , Падуло и Арбиба (1974) и Строгаца (1994) . [2]
Концепции [ править ]
Динамические системы [ править ]
Концепция динамической системы представляет собой математическую формализацию любого фиксированного «правила», которое описывает временную зависимость положения точки в окружающем ее пространстве . Примеры включают математические модели , описывающие качание маятника часов, течение воды в трубе и количество рыбы каждую весну в озере.
Динамическая система имеет состояние , определяемое набором действительных чисел или, в более общем плане, набором в соответствующем точек пространстве состояний . Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям в числах. Числа также являются координатами геометрического пространства — многообразия . Правило эволюции динамической системы — это фиксированное правило , которое описывает, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Правило может быть детерминированным (для данного интервала времени одно будущее состояние может быть точно предсказано с учетом текущего состояния) или стохастическим (эволюцию состояния можно предсказать только с определенной вероятностью).
Динамицизм [ править ]
Динамицизм , также называемый динамической гипотезой или динамической гипотезой в когнитивной науке или динамическим познанием , представляет собой новый подход в когнитивной науке, примером которого является работа философа Тима ван Гельдера . Он утверждает, что дифференциальные уравнения больше подходят для моделирования познания , чем более традиционные компьютерные модели.
Нелинейная система [ править ]
В математике — нелинейная система это система, которая не является линейной , то есть система, которая не удовлетворяет принципу суперпозиции . Менее технически, нелинейная система — это любая проблема, в которой переменная(и), которую нужно решить, не может быть записана как линейная сумма независимых компонентов. Неоднородная , по строгому определению является нелинейной, но такие системы обычно изучаются наряду с линейными, поскольку их можно преобразовать в линейную систему , система, линейная, если не считать наличия функции независимых переменных пока частное решение известно.
Связанные поля [ изменить ]
Арифметическая динамика [ править ]
- Арифметическая динамика — это область, возникшая в 1990-х годах и объединяющая две области математики: динамические системы и теорию чисел . Классически дискретная динамика относится к изучению итерации собственных карт комплексной плоскости или действительной линии . Арифметическая динамика — это изучение теоретико-числовых свойств целых, рациональных, p -адических и/или алгебраических точек при многократном применении полиномиальной или рациональной функции .
Теория хаоса [ править ]
- Теория хаоса описывает поведение определенных динамических систем – то есть систем, состояние которых меняется со временем – которые могут демонстрировать динамику, очень чувствительную к начальным условиям (обычно называемую эффектом бабочки ). В результате такой чувствительности, проявляющейся в экспоненциальном росте возмущений в начальных условиях, поведение хаотических систем кажется случайным . Это происходит даже несмотря на то, что эти системы являются детерминированными , а это означает, что их будущая динамика полностью определяется их начальными условиями, без каких-либо случайных элементов. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос .
Сложные системы [ править ]
- Сложные системы — это научная область, изучающая общие свойства систем, считающихся сложными в природе , обществе и науке . Ее также называют теорией сложных систем , наукой о сложности , изучением сложных систем и/или наукой о сложности . Ключевыми проблемами таких систем являются трудности с их формальным моделированием и симуляцией . С этой точки зрения, в разных исследовательских контекстах сложные системы определяются на основе их различных атрибутов.
- Изучение сложных систем придаёт новую жизнь многим областям науки, где более типичная редукционистская стратегия потерпела неудачу. Поэтому сложные системы часто используются как широкий термин, охватывающий исследовательский подход к проблемам во многих различных дисциплинах, включая нейронауки , социальные науки , метеорологию , химию , физику , информатику , психологию , искусственную жизнь , эволюционные вычисления , экономику , прогнозирование землетрясений, молекулярную биологию. и исследования природы самих живых клеток .
Теория управления [ править ]
- Теория управления — междисциплинарный раздел техники и математики , частично занимающийся влиянием на поведение динамических систем .
Эргодическая теория [ править ]
- Эргодическая теория — раздел математики , изучающий динамические системы с инвариантной мерой и связанные с ними проблемы. Первоначальное его развитие было мотивировано проблемами статистической физики .
Функциональный анализ [ править ]
- Функциональный анализ — это раздел математики и, в частности, анализа , занимающийся изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Оно имеет свои исторические корни в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений . Такое использование слова « функциональный» восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция. Его использование в целом приписывается математику и физику Вито Вольтерре , а его основание во многом приписывается математику Стефану Банаху .
Графовые динамические системы [ править ]
- Концепция графовых динамических систем (GDS) может использоваться для захвата широкого спектра процессов, происходящих на графах или в сетях. Основной темой математического и вычислительного анализа графовых динамических систем является установление связи между их структурными свойствами (например, связностью сетей) и возникающей в результате глобальной динамикой.
Проектируемые динамические системы [ править ]
- Проектируемые динамические системы — это математическая теория, исследующая поведение динамических систем , решения которых ограничены набором ограничений. Эта дисциплина имеет общие связи и приложения как со статическим миром задач оптимизации и равновесия , так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений . Спроецированная динамическая система задается потоком к спроецированному дифференциальному уравнению.
Символическая динамика [ править ]
- Символическая динамика — это практика моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюцией), задаваемой оператором сдвига .
Системная динамика [ править ]
- Системная динамика — это подход к пониманию поведения систем с течением времени. Он имеет дело с внутренними петлями обратной связи и временными задержками, которые влияют на поведение и состояние всей системы. [3] Что отличает использование системной динамики от других подходов к изучению систем, так это язык, используемый для описания циклов обратной связи с запасами и потоками . Эти элементы помогают описать, как даже, казалось бы, простые системы демонстрируют поразительную нелинейность .
Топологическая динамика
- Топологическая динамика — раздел теории динамических систем, в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем изучаются с точки зрения общей топологии .
Приложения [ править ]
В биомеханике [ править ]
В спортивной биомеханике теория динамических систем появилась в науках о движении как жизнеспособная основа для моделирования спортивных результатов и эффективности. С точки зрения динамических систем, система движений человека представляет собой весьма сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательной, кровеносной, нервной, скелетно-мышечной, перцептивной), которые состоят из большого количества взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, кислорода и кислорода). молекулы, мышечная ткань, метаболические ферменты, соединительная ткань и кость). В теории динамических систем модели движения возникают в результате общих процессов самоорганизации, наблюдаемых в физических и биологических системах. [4] Ни одно из утверждений, связанных с концептуальным применением этой концепции, не подтверждено исследованиями.
В когнитивной науке [ править ]
Теория динамических систем применялась в области нейробиологии и когнитивного развития , особенно в неопиажеских теориях когнитивного развития . Существует мнение, что когнитивное развитие лучше всего представлено физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и искусственном интеллекте . Он также считал, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования человеческого поведения. Эти уравнения интерпретируются как представление когнитивной траектории агента в пространстве состояний . Другими словами, динамикисты утверждают, что психология должна быть (или является) описанием (посредством дифференциальных уравнений) познания и поведения агента под определенным внешним и внутренним давлением. Также часто используется язык теории хаоса.
В нем разум учащегося достигает состояния неравновесия, когда старые шаблоны разрушаются. Это фазовый переход когнитивного развития. Самоорганизация (спонтанное создание последовательных форм) возникает по мере того, как уровни активности связываются друг с другом. Вновь образованные макроскопические и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в сознании посредством процесса, называемого гребешком (повторяющееся создание и разрушение сложной деятельности). Это новое, новое состояние является прогрессивным, дискретным, своеобразным и непредсказуемым. [5]
Теория динамических систем недавно была использована для объяснения давно оставшейся без ответа проблемы в развитии ребенка, называемой ошибкой А-не-Б . [6]
Далее, с середины 1990-х гг. [7] когнитивная наука , ориентированная на теоретико-системный коннекционизм , все чаще принимает методы (нелинейной) «Теории динамических систем (ТДС)». [8] [9] [10] Разнообразные нейросимволические когнитивные нейроархитектуры в современном коннекционизме, учитывая их математическое структурное ядро, можно отнести к категории (нелинейных) динамических систем. [11] [12] [13] Эти попытки в нейрокогниции объединить коннекционистские когнитивные нейроархитектуры с DST исходят не только от нейроинформатики и коннекционизма, но и с недавнего времени от психологии развития («Теория динамического поля (ТДП)»). [14] [15] ) и от « эволюционной робототехники » и « робототехники развития » [16] в связи с математическим методом « эволюционных вычислений (ЭК)». Обзор см. в статье Маурер. [17] [18]
В развитии второго языка [ править ]
Применение теории динамических систем для изучения овладения вторым языком приписывают Дайане Ларсен-Фриман , опубликовавшей в 1997 году статью, в которой она утверждала, что овладение вторым языком следует рассматривать как процесс развития, который включает в себя как утрачивание языка , так и приобретение языка. [19] В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамической, сложной, нелинейной, хаотичной, непредсказуемой, чувствительной к начальным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.
См. также [ править ]
- Похожие темы
- Список тем динамических систем
- Карта Бейкера
- Биологические приложения теории бифуркаций
- Динамическая система (определение)
- Воплощенное встроенное познание
- Числа Фибоначчи
- Фракталы
- Карта пряничного человечка
- Гало-орбита
- Список типов теории систем
- Колебания
- Посткогнитивизм
- Рекуррентная нейронная сеть
- Комбинаторика и динамические системы
- Синергетика
- Системография
- Родственные учёные
Примечания [ править ]
- ^ Гребоги, К.; Отт, Э.; Йорк, Дж. (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Наука . 238 (4827): 632–638. Бибкод : 1987Sci...238..632G . дои : 10.1126/science.238.4827.632 . JSTOR 1700479 . ПМИД 17816542 . S2CID 1586349 .
- ^ Джером Р. Буземейер (2008), «Динамические системы» . Опубликовано в: Энциклопедия когнитивной науки , Macmillan. Проверено 8 мая 2008 г. Архивировано 13 июня 2008 г. в Wayback Machine.
- ^ Проект системной динамики MIT в образовании (SDEP). Архивировано 9 мая 2008 г. в Wayback Machine.
- ^ Пол С. Глейзер, Кейт Дэвидс, Роджер М. Бартлетт (2003). «ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: релевантная основа для исследований спортивной биомеханики, ориентированных на спортивные результаты» . в: Sportscience 7. По состоянию на 8 мая 2008 г.
- ^ Льюис, Марк Д. (25 февраля 2000 г.). «Перспективы динамических системных подходов для комплексного учета человеческого развития» (PDF) . Развитие ребенка . 71 (1): 36–43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668 . дои : 10.1111/1467-8624.00116 . ПМИД 10836556 . Проверено 4 апреля 2008 г.
- ^ Смит, Линда Б.; Эстер Телен (30 июля 2003 г.). «Развитие как динамическая система» (PDF) . Тенденции в когнитивных науках . 7 (8): 343–8. CiteSeerX 10.1.1.294.2037 . дои : 10.1016/S1364-6613(03)00156-6 . ПМИД 12907229 . S2CID 5712760 . Проверено 4 апреля 2008 г.
- ^ РФ Порт и Т. ван Гелдер [ред.] (1995). Разум как движение. Исследования динамики познания. Книга Брэдфорда. MIT Press, Кембридж/Массачусетс.
- ^ ван Гелдер, Т. и РФ Порт (1995). Пришло время: обзор динамического подхода к познанию. стр. 1-43. В: РФ Порт и Т. ван Гелдер [ред.]: Разум как движение. Исследования динамики познания. Книга Брэдфорда. MIT Press, Кембридж/Массачусетс.
- ^ ван Гелдер, Т. (1998b). Динамическая гипотеза в когнитивной науке. Поведенческие и мозговые науки 21: 615-628.
- ^ Абрахамсен, А. и В. Бектел (2006). Феномены и механизмы: рассмотрение дебатов о символических, коннекционистских и динамических системах в более широкой перспективе. стр. 159-185. В: Р. Стейнтон [ред.]: Современные дебаты в когнитивной науке. Бэзил Блэквелл, Оксфорд.
- ^ Надо, SE (2014). Аттракторные бассейны: нейронная основа формирования знаний. стр. 305-333. В: А. Чаттерджи [ред.]: Корни когнитивной нейронауки. Поведенческая неврология и нейропсихология. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд.
- ^ Лейтгеб, Х. (2005). Интерпретируемые динамические системы и качественные законы: от нейронной сети к эволюционным системам. Синтез 146: 189-202.
- ^ Манро, PW и Дж. А. Андерсон. (1988). Инструменты коннекционистского моделирования: методология динамических систем. Методы, инструменты и компьютеры исследования поведения 20: 276-281.
- ^ Шёнер, Г. (2008). Динамические системные подходы к познанию. стр. 101-126. В: Р. Сан [ред.]: Кембриджский справочник по вычислительной психологии. Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
- ^ Шёнер, Г. (2009) Развитие как изменение динамики систем: стабильность, нестабильность и возникновение. стр. 25-31. В: Дж. П. Спенсер, MSC Thomas и Дж. Л. Макклелланд. [ред.]: На пути к единой теории развития: пересмотр коннекционизма и теории динамических систем. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд.
- ^ Шлезингер, М. (2009). Робот как новый рубеж коннекционизма и теории динамических систем. стр. 182-199. В: Дж. П. Спенсер, MSC Thomas и Дж. Л. Макклелланд. [ред.]: На пути к единой теории развития: пересмотр коннекционизма и теории динамических систем. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд.
- ^ Маурер, Х. (2021). Когнитивная наука: Механизмы интегративной синхронизации в когнитивных нейроархитектурах современного коннекционизма. CRC Press, Бока-Ратон/Флорида, гл. 1.4, 2., 3.26, 11.2.1, ISBN 978-1-351-04352-6. https://doi.org/10.1201/9781351043526
- ^ Маурер, Х. (2016). «Интегративные механизмы синхронизации в коннекционистских когнитивных нейроархитектурах». Вычислительная когнитивная наука. 2:3. https://doi.org/10.1186/s40469-016-0010-8
- ^ Ларсен-Фриман, Д. (1997). «Наука о хаосе/сложности и овладение вторым языком» . Прикладная лингвистика . стр. 141–165. дои : 10.1093/applin/18.2.141 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Авраам, Фредерик Д.; Авраам, Ральф ; Шоу, Кристофер Д. (1990). Наглядное введение в теорию динамических систем для психологии . Воздушная пресса. ISBN 978-0-942344-09-7 . OCLC 24345312 .
- Бельтрами, Эдвард Дж. (1998). Математика для динамического моделирования (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-085566-7 . OCLC 36713294 .
- Гаек, Отомар (1968). Динамические системы на плоскости . Академическая пресса. ISBN 9780123172402 . ОСЛК 343328 .
- Люенбергер, Дэвид Г. (1979). Введение в динамические системы: теория, модели и приложения . Уайли. ISBN 978-0-471-02594-8 . OCLC 4195122 .
- Мишель, Энтони; Кайнин Ван; Бо Ху (2001). Качественная теория динамических систем . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-0526-8 . OCLC 45873628 .
- Падуло, Луи; Арбиб, Майкл А. (1974). Теория систем: единый подход в пространстве состояний к непрерывным и дискретным системам . Сондерс. ISBN 9780721670355 . OCLC 947600 .
- Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-7382-0453-6 . OCLC 49839504 .
Внешние ссылки [ править ]
- Статья в Энциклопедии динамических систем когнитивной науки.
- Определение динамической системы в MathWorld.
- DSWeb Журнал динамических систем
Основные математики области |
|---|
