Теория динамических систем

Теория динамических систем — это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем , обычно с помощью дифференциальных уравнений или разностных уравнений . Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами . С физической точки зрения непрерывные динамические системы представляют собой обобщение классической механики , обобщение, в котором уравнения движения постулируются напрямую и не ограничиваются уравнениями Эйлера-Лагранжа принципа наименьшего действия . При использовании разностных уравнений теория называется дискретными динамическими системами . Когда переменная времени пробегает набор, который дискретен на некоторых интервалах и непрерывен на других интервалах или представляет собой любой произвольный набор времени, такой как набор Кантора , можно получить динамические уравнения во временных масштабах . Некоторые ситуации также можно моделировать с помощью смешанных операторов, например дифференциально-разностных уравнений .

Эта теория занимается долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, когда это возможно, решения уравнений движения систем, которые часто имеют преимущественно механическую или иную физическую природу, таких как планетарные орбиты и поведение электронных схем , а также систем, возникающих в биологии , экономике и других областях. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем и причудливых систем.

Эту область исследования также называют просто динамическими системами , математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем .

Хаотическое решение системы Лоренца , являющееся примером нелинейной динамической системы. Изучение системы Лоренца помогло зародить теорию хаоса .

Обзор

Теория динамических систем и теория хаоса изучают долгосрочное качественное поведение динамических систем . Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а, скорее, ответам на такие вопросы, как «Установится ли система в устойчивое состояние в долгосрочной перспективе, и если да, то что?» Возможны ли устойчивые состояния?» или «Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния?»

Важная цель — описать фиксированные точки или устойчивые состояния данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек являются привлекательными , а это означает, что если система начинается в ближайшем состоянии, она сходится к фиксированной точке.

Точно так же нас интересуют периодические точки — состояния системы, которые повторяются через несколько временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.

Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют, казалось бы, случайное поведение, которое называется хаосом . Раздел динамических систем, который занимается четким определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса .

История

Концепция теории динамических систем берет свое начало в механике Ньютона . Здесь, как и в других естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем неявно задается соотношением, которое дает состояние системы лишь на небольшой промежуток времени в будущем.

До появления быстрых вычислительных машин решение динамической системы требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем.

Некоторые превосходные презентации математической теории динамических систем включают Бельтрами (1998) , Луенбергера (1979) , Падуло и Арбиба (1974) и Строгаца (1994) .

Концепции

Динамические системы

Основная статья: Динамическая система (определение)

Концепция динамической системы представляет собой математическую формализацию любого фиксированного «правила», которое описывает временную зависимость положения точки в окружающем ее пространстве . Примеры включают математические модели , описывающие качание маятника часов, течение воды в трубе и количество рыбы в озере каждую весну.

Динамическая система имеет состояние, набором действительных чисел или, в более общем плане, набором точек в определяемое соответствующем пространстве состояний . Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям в числах. Числа также являются координатами геометрического пространства — многообразия . Правило эволюции динамической системы — это фиксированное правило , которое описывает, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Правило может быть детерминированным (для данного интервала времени одно будущее состояние может быть точно предсказано с учетом текущего состояния) или стохастическим (эволюцию состояния можно предсказать только с определенной вероятностью).

Динамицизм

Динамицизм , также называемый динамической гипотезой или динамической гипотезой в когнитивной науке или динамическим познанием , представляет собой новый подход в когнитивной науке, примером которого является работа философа Тима ван Гельдера . Он утверждает, что дифференциальные уравнения больше подходят для моделирования познания , чем более традиционные компьютерные модели.

Нелинейная система

Основная статья: Нелинейная система

В математике нелинейная система — это система, которая не является линейной , то есть система, которая не удовлетворяет принципу суперпозиции . Менее технически, нелинейная система — это любая проблема, в которой переменная(и), которую нужно решить, не может быть записана как линейная сумма независимых компонентов. система Неоднородная , линейная, если не считать наличия функции независимых переменных , по строгому определению является нелинейной, но такие системы обычно изучаются наряду с линейными, поскольку их можно преобразовать в линейную систему, пока частное решение известно.

Связанные поля

Арифметическая динамика

Арифметическая динамика — это область, возникшая в 1990-х годах и объединяющая две области математики: динамические системы и теорию чисел . Классически дискретная динамика относится к изучению итерации собственных карт комплексной плоскости или вещественной линии . Арифметическая динамика — это изучение теоретико-числовых свойств целых, рациональных, p -адических и/или алгебраических точек при многократном применении полиномиальной или рациональной функции .

Теория хаоса

Теория хаоса описывает поведение определенных динамических систем – то есть систем, состояние которых меняется со временем – которые могут демонстрировать динамику, очень чувствительную к начальным условиям (обычно называемую эффектом бабочки ). В результате такой чувствительности, проявляющейся в экспоненциальном росте возмущений в начальных условиях, поведение хаотических систем кажется случайным . Это происходит даже несмотря на то, что эти системы являются детерминированными , а это означает, что их будущая динамика полностью определяется их начальными условиями, без каких-либо случайных элементов. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос .

Сложные системы

Сложные системы — это научная область, изучающая общие свойства систем, считающихся сложными в природе , обществе и науке . Ее также называют теорией сложных систем , наукой о сложности , изучением сложных систем и/или наукой о сложности . Ключевыми проблемами таких систем являются трудности с их формальным моделированием и симуляцией . С этой точки зрения, в разных исследовательских контекстах сложные системы определяются на основе их различных атрибутов.

Изучение сложных систем придаёт новую жизнь многим областям науки, где более типичная редукционистская стратегия потерпела неудачу. Поэтому сложные системы часто используются как широкий термин, охватывающий исследовательский подход к проблемам во многих различных дисциплинах, включая нейронауки , социальные науки , метеорологию , химию , физику , информатику , психологию , искусственную жизнь , эволюционные вычисления , экономику , прогнозирование землетрясений, молекулярную биологию. и исследования природы самих живых клеток .

Теория управления

Теория управления — междисциплинарный раздел техники и математики , частично занимающийся влиянием на поведение динамических систем .

Эргодическая теория

Эргодическая теория — раздел математики , изучающий динамические системы с инвариантной мерой и связанные с ними проблемы. Первоначальное его развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Функциональный анализ

Функциональный анализ — это раздел математики и, в частности, анализа , занимающийся изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Оно имеет свои исторические корни в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений . Такое использование слова «функционал» восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция. Его использование в целом приписывается математику и физику Вито Вольтерре , а его основание во многом приписывается математику Стефану Банаху .

Графовые динамические системы

Концепция графовых динамических систем (GDS) может использоваться для захвата широкого спектра процессов, происходящих на графах или в сетях. Основной темой математического и вычислительного анализа графовых динамических систем является установление связи их структурных свойств (например, связности сетей) и возникающей в результате глобальной динамики.

Проектируемые динамические системы

Проектируемые динамические системы — это математическая теория, исследующая поведение динамических систем , решения которых ограничены набором ограничений. Эта дисциплина имеет общие связи и приложения как со статическим миром задач оптимизации и равновесия , так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений . Спроецированная динамическая система задается потоком к спроецированному дифференциальному уравнению.

Символическая динамика

Символическая динамика — это практика моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюцией), задаваемой оператором сдвига .

Системная динамика

Системная динамика — это подход к пониманию поведения систем с течением времени. Он имеет дело с внутренними петлями обратной связи и временными задержками, которые влияют на поведение и состояние всей системы. Что отличает использование системной динамики от других подходов к изучению систем, так это язык, используемый для описания обратной связи циклов с запасами и потоками . Эти элементы помогают описать, как даже, казалось бы, простые системы демонстрируют поразительную нелинейность .

динамика

Топологическая динамика — раздел теории динамических систем, в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем изучаются с точки зрения общей топологии .

Приложения

В биомеханике

В спортивной биомеханике теория динамических систем появилась в науках о движении как жизнеспособная основа для моделирования спортивных результатов и эффективности. С точки зрения динамических систем, система движений человека представляет собой очень сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательной, кровеносной, нервной, скелетно-мышечной, перцептивной), которые состоят из большого количества взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, кислорода и молекулы, мышечная ткань, метаболические ферменты, соединительная ткань и кость). В теории динамических систем модели движения возникают в результате общих процессов самоорганизации, наблюдаемых в физических и биологических системах. Ни одно из утверждений, связанных с концептуальным применением этой концепции, не подтверждено исследованиями.

В когнитивной науке

Теория динамических систем применялась в области нейробиологии и когнитивного развития , особенно в неопиажеских теориях когнитивного развития . Существует мнение, что когнитивное развитие лучше всего представлено физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и искусственном интеллекте . Он также считал, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования человеческого поведения. Эти уравнения интерпретируются как представление когнитивной траектории агента в пространстве состояний . Другими словами, динамикисты утверждают, что психология должна быть (или является) описанием (посредством дифференциальных уравнений) познания и поведения агента под определенным внешним и внутренним давлением. Также часто используется язык теории хаоса.

В нем разум учащегося достигает состояния неравновесия, когда старые шаблоны разрушаются. Это фазовый переход когнитивного развития. Самоорганизация (спонтанное создание последовательных форм) возникает по мере того, как уровни активности связываются друг с другом. Вновь образованные макроскопические и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в сознании посредством процесса, называемого гребешком (повторяющееся создание и разрушение сложной деятельности). Это новое, новое состояние является прогрессивным, дискретным, своеобразным и непредсказуемым.

Теория динамических систем недавно была использована для объяснения давно оставшейся без ответа проблемы в развитии ребенка, называемой ошибкой А-не-Б .

Далее, с середины 1990-х гг. когнитивная наука , ориентированная на теоретико-системный коннекционизм , все чаще принимает методы (нелинейной) «Теории динамических систем (ТДС)». Разнообразие нейросимволических когнитивных нейроархитектур в современном коннекционизме, учитывая их математическое структурное ядро, можно отнести к категории (нелинейных) динамических систем. Эти попытки в нейрокогниции объединить коннекционистские когнитивные нейроархитектуры с DST исходят не только от нейроинформатики и коннекционизма, но и с недавнего времени от психологии развития («Теория динамического поля (ТДП)»). ) и от « эволюционной робототехники » и « робототехники развития » в связи с математическим методом « эволюционных вычислений (ЭК)». Обзор см. в статье Маурер.

В развитии второго языка

Основная статья: Динамический подход к развитию второго языка

Применение теории динамических систем для изучения овладения вторым языком приписывают Дайане Ларсен-Фриман , которая опубликовала в 1997 году статью, в которой утверждала, что овладение вторым языком следует рассматривать как процесс развития, который включает в себя как утрачивание языка , так и приобретение языка. В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамической, сложной, нелинейной, хаотичной, непредсказуемой, чувствительной к начальным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.

См. также

Похожие темы

• Список тем динамических систем
• Карта Бейкера
• Биологические приложения теории бифуркаций
• Динамическая система (определение)
• Воплощенное встроенное познание
• Числа Фибоначчи
• Фракталы
• Карта пряничного человечка
• Гало-орбита
• Список типов теории систем
• Колебания
• Посткогнитивизм
• Рекуррентная нейронная сеть
• Комбинаторика и динамические системы
• Синергетика
• Системография

Родственные учёные

• Люди в системах и управлении
• Dmitri Anosov
• Владимир Арнольд
• Nikolay Bogolyubov
• Andrey Kolmogorov
• Nikolay Krylov
• Юрген Мозер
• Yakov G. Sinai
• Стивен Смейл
• Гилель Фюрстенберг
• Григорий Маргулис
• Илон Линденштраусс

Дальнейшее чтение

• Авраам, Фредерик Д.; Авраам, Ральф ; Шоу, Кристофер Д. (1990). Наглядное введение в теорию динамических систем для психологии . Воздушная пресса. ISBN  978-0-942344-09-7 . OCLC   24345312 .
• Бельтрами, Эдвард Дж. (1998). Математика для динамического моделирования (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN  978-0-12-085566-7 . OCLC   36713294 .
• Гаек, Отомар (1968). Динамические системы на плоскости . Академическая пресса. ISBN  9780123172402 . ОСЛК   343328 .
• Люенбергер, Дэвид Г. (1979). Введение в динамические системы: теория, модели и приложения . Уайли. ISBN  978-0-471-02594-8 . OCLC   4195122 .
• Мишель, Энтони; Кайнин Ван; Бо Ху (2001). Качественная теория динамических систем . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-8247-0526-8 . OCLC   45873628 .
• Падуло, Луи; Арбиб, Майкл А. (1974). Теория систем: единый подход в пространстве состояний к непрерывным и дискретным системам . Сондерс. ISBN  9780721670355 . OCLC   947600 .
• Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-7382-0453-6 . OCLC   49839504 .

Внешние ссылки

• Статья в Энциклопедии динамических систем когнитивной науки.
• Определение динамической системы в MathWorld.
• DSWeb Журнал динамических систем