Бесконечномерная векторная функция

Бесконечномерная векторная функция — это функция , значения которой лежат в бесконечномерном топологическом векторном пространстве , таком как гильбертово или банахово пространство .

Такие функции применяются в большинстве наук, включая физику .

Пример

Набор $f_{k}(t)=t/k^{2}$ для каждого положительного целого числа $k$ и каждое действительное число $t.$ Тогда функция $f$ определяется формулой $$f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t),\ldots )\,,$$принимает значения, лежащие в бесконечномерном векторном пространстве $X$ (или $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$) вещественнозначных последовательностей . Например, $$f(2)=\left(2,{\frac {2}{4}},{\frac {2}{9}},{\frac {2}{16}},{\frac {2}{25}},\ldots \right).$$

множество различных топологий Поскольку в пространстве можно определить $X,$ говорить производной о $f,$ сначала необходимо указать топологию на $X$ или понятие предела в $X.$

Более того, для любого набора $A,$ существуют бесконечномерные векторные пространства, имеющие ( размерность мощности гамелевскую ) $A$ (например, пространство функций $A\to K$ с конечным числом ненулевых элементов, где $K$ – искомое поле скаляров). Более того, аргумент $t$ может лежать в любом наборе вместо набора действительных чисел.

Интеграл и производная

Большинство теорем об интегрировании и дифференцировании скалярных функций можно обобщить на вектор-функции, часто используя по существу одни и те же доказательства . Возможно, самое важное исключение состоит в том, что абсолютно непрерывные функции не обязательно должны равняться интегралам от своих (п.е.) производных (если, например, $X$ является гильбертовым пространством); см. теорему Радона – Никодима.

Кривая — это непрерывное отображение единичного интервала (или, в более общем смысле, невырожденного замкнутого интервала действительных чисел) в топологическое пространство . Дуга — это кривая, которая также является топологическим вложением . Кривая, оцененная в хаусдорфовом пространстве, является дугой тогда и только тогда, когда она инъективна .

Производные

Если $f:[0,1]\to X,$ где $X$ является банаховым пространством или другим векторным пространством, то производная топологическим $f$ можно определить обычным способом: $$f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.$$

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если $f$ является функцией действительных чисел со значениями в гильбертовом пространстве. $X,$ тогда производная от $f$ в какой-то момент $t$ можно определить как в конечномерном случае: $$f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.$$Большинство результатов конечномерного случая с некоторыми изменениями справедливы и для бесконечномерного случая. Дифференцирование можно определить и по функциям нескольких переменных (например, $t\in R^{n}$ или даже $t\in Y,$ где $Y$ — бесконечномерное векторное пространство).

Если $X$ является гильбертовым пространством, то любая производная (и любой другой предел) может быть вычислена покомпонентно: если $$f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )$$(то есть, $f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots ,$ где $e_{1},e_{2},e_{3},\ldots$ является ортонормированным базисом пространства $X$), и $f'(t)$ существует, то $$f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).$$Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существование производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.

Большая часть вышесказанного справедлива и для других топологических векторных пространств. $X$ слишком. Однако не так много классических результатов справедливы в условиях банахового пространства , например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна иметь производную где-либо. Более того, в большинстве банаховых пространств нет ортонормированных базисов.

Мятые дуги

Основная статья: Морщинистая дуга

Если $[a,b]$ представляет собой интервал, содержащийся в области определения кривой $f$ который оценивается в топологическом векторном пространстве, то вектор $f(b)-f(a)$ называется аккордом $f$ определяется $[a,b]$. Если $[c,d]$ является другим интервалом в своей области определения, то две хорды называются непересекающимися хордами, если $[a,b]$ и $[c,d]$ имеют не более одной общей конечной точки. Интуитивно понятно, что две непересекающиеся хорды кривой, оцененные в пространстве внутреннего произведения, являются ортогональными векторами, если кривая делает поворот под прямым углом где-то на своем пути между начальной и конечной точками. Если каждая пара непересекающихся хорд ортогональна, то такой поворот направо происходит в каждой точке кривой; такая кривая не может быть дифференцируемой ни в одной точке. Извилистая дуга — это инъективная непрерывная кривая, обладающая тем свойством, что любые две непересекающиеся хорды являются ортогональными векторами. Пример смятой дуги в Гильберте $L^{2}$ космос $L^{2}(0,1)$ является: $${\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}$$где $\mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}$ – индикаторная функция, определяемая формулой $$x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in [0,t]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$$Извилистую дугу можно найти в любом бесконечномерном гильбертовом пространстве, поскольку любое такое пространство содержит векторное подпространство , изоморфное замкнутое $L^{2}(0,1).$ Сморщенная дуга $f:[0,1]\to X$ называется нормированным, если $f(0)=0,$ $\|f(1)\|=1,$ и диапазон его изображения $f([0,1])$ представляет собой подмножество плотное $X.$

Предложение — Учитывая любые две нормированные изогнутые дуги в гильбертовом пространстве, каждая из них унитарно эквивалентна перепараметризации другой.

Если $h:[0,1]\to [0,1]$ является возрастающим гомеоморфизмом , то $f\circ h$ называется репараметризацией кривой $f:[0,1]\to X.$ Две кривые $f$ и $g$ во внутреннем пространстве продукта $X$ если унитарно эквивалентны, существует унитарный оператор $L:X\to X$ (который является изометрической линейной биекцией ) такой, что $g=L\circ f$ (или, что то же самое, $f=L^{-1}\circ g$).

Измеримость

Измеримость ​ ​ $f$ может быть определена несколькими способами, наиболее важными из которых являются измеримость по Бохнеру и слабая измеримость .

Интегралы

Важнейшие интегралы $f$ называются интегралами Бохнера (когда $X$ — банахово пространство) и интеграл Петтиса (когда $X$ является топологическим векторным пространством). Оба эти интеграла коммутируют с линейными функционалами . Также $L^{p}$ пространства для таких функций определены .

См. также

• Дифференцирование в пространствах Фреше
• Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства - Дифференцируемые функции в функциональном анализе

Ссылки

• Эйнар Хилле и Ральф Филлипс: «Функциональный анализ и полугруппы», Amer. Математика. Соц. Коллок. Опубл. Том. 31 год, Провиденс, Род-Айленд, 1957 год.
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90685-0 . OCLC   8169781 .