Трехчленное дерево

Триномиальное дерево — это на основе решетки, вычислительная модель используемая в финансовой математике для оценки опционов . Она была разработана Фелимом Бойлом в 1986 году. Она представляет собой расширение модели ценообразования биномиальных опционов и концептуально аналогична. Можно также показать, что этот подход эквивалентен явному методу конечных разностей для определения цены опциона . ^{[ 1 ]} Информацию о деривативах с фиксированным доходом и процентной ставкой см. в разделе Решетчатая модель (финансы)#Процентные деривативы .

Формула

В рамках триномиального метода цена базовой акции моделируется как рекомбинирующее дерево, где в каждом узле цена имеет три возможных пути: вверх, вниз и стабильный или средний путь. ^{[ 2 ]} Эти значения находятся путем умножения значения в текущем узле на соответствующий коэффициент. $u\,$ , $d\,$ или $m\,$ где

u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}

d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,

(структура рекомбинируется)

m=1\,

и соответствующие вероятности:

p_{u}=\left({\frac {e^{(r-q)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,

p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(r-q)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,

p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,

.

В приведенных выше формулах: $\Delta t\,$ — это продолжительность каждого шага в дереве, и это просто время до достижения зрелости, деленное на количество временных шагов; $r\,$ – безрисковая процентная ставка на этот срок; $\sigma \,$ – соответствующая волатильность базового актива ; $q\,$ - соответствующая ему дивидендная доходность . ^{[ 3 ]}

Как и в биномиальной модели, эти факторы и вероятности определяются таким образом, чтобы гарантировать, что цена базового актива развивается как мартингейл , в то время как моменты – с учетом расстояния между узлами и вероятностей – сопоставляются с моментами логарифмически нормального распределения. ^{[ 4 ]} (и с возрастающей точностью для меньших временных шагов). Обратите внимание, что для $p_{u}$ , $p_{d}$ , и $p_{m}$ быть в промежутке $(0,1)$ следующее условие на $\Delta t$ должен быть удовлетворен $\Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}$ .

После расчета дерева цен цена опциона находится в каждом узле, как и в биномиальной модели , путем движения в обратном направлении от конечных узлов к текущему узлу ( $t_{0}$ ). Разница в том, что стоимость опциона в каждом неконечном узле определяется на основе трех, а не двух , последующих узлов и соответствующих им вероятностей. ^{[ 5 ]}

Если длина временных шагов $\Delta t$ Если принять экспоненциально распределенную случайную величину и интерпретировать как время ожидания между двумя движениями цены акции, то результирующий стохастический процесс представляет собой процесс рождения-смерти . Полученная модель разрешима, и существуют аналитические формулы ценообразования и хеджирования для различных вариантов.

Приложение

Рассматривается триномиальная модель. ^{[ 6 ]} для получения более точных результатов, чем биномиальная модель, когда моделируется меньшее количество временных шагов, и поэтому используется, когда скорость вычислений или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных вариантов по мере увеличения количества шагов результаты быстро сходятся, и тогда предпочтение отдается биномиальной модели из-за ее более простой реализации. Для экзотических вариантов триномиальная модель (или ее адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.

См. также

Ссылки

^ Марк Рубинштейн
^ Триномиальное дерево, геометрическое броуновское движение. Архивировано 21 июля 2011 г. в Wayback Machine.
^ Джон Халл представляет альтернативные формулы; видеть: Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-009056-0 . .
^ Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев
^ Биномиальные и триномиальные деревья по сравнению с аппроксимациями Бьерксунда и Стенсланда для ценообразования американских опционов
^ Онлайн-калькуляторы цен и вероятностей опционов

Внешние ссылки

Фелим Бойл , 1986. «Оценка опционов с использованием трехступенчатого процесса», International Options Journal 3, 7–12.
Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов» . Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149 . Архивировано из оригинала 22 июня 2007 года.
Пол Клиффорд и др. 2010. Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев , Уорикский университет.
Теро Хаахтела, 2010. «Рекомбинация триномиального дерева для оценки реальных опционов с изменяющейся волатильностью» , Университет Аалто , серия рабочих документов.
Ральф Корн, Маркус Крир и Марк Ленссен, 1998. «Ценообразование европейских опционов, когда цена базовых акций следует линейному процессу рождения-смерти», Stochastic Models Vol. 14(3), стр. 647 – 662.
Питер Ходли. Калькулятор вариантов трехчленного дерева (визуализация дерева)

[1] Марк Рубинштейн

[2] Триномиальное дерево, геометрическое броуновское движение. Архивировано 21 июля 2011 г. в Wayback Machine.

[JHull-3] Джон Халл представляет альтернативные формулы; видеть: Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-009056-0 . .

[4] Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев

[5] Биномиальные и триномиальные деревья по сравнению с аппроксимациями Бьерксунда и Стенсланда для ценообразования американских опционов

[6] Онлайн-калькуляторы цен и вероятностей опционов

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]