Группа перенормализации

В теоретической физике термин «Группа перенормировки» ( RG ) относится к формальному аппарату, который позволяет систематическому исследованию изменений физической системы, как рассматривается в разных масштабах . При физике частиц он отражает изменения в законах основных сил (кодифицированных в теории квантового поля ), поскольку масштаб энергии, при которой происходят физические процессы, варьируется, масштабы расстояний энергии/импульса и разрешения, эффективно конъюгируемых по принципу неопределенности .

Изменение масштаба называется масштабным преобразованием . Группа перенормализации тесно связана с масштабной инвариантностью и конформной инвариантностью , симметриями, в которой система выглядит одинаковой во всех масштабах ( самоподобие ).

Поскольку масштаб варьируется, как будто кто -то изменяет увеличительную мощность условного микроскопа, просматривающего систему. В так называемых перенормируемых теориях система в одной шкале, как правило, будет состоять из самоподобных копий самого себя при просмотре в меньшем масштабе, с различными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты, или фундаментальные переменные, могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т. Д. Параметры теории обычно описывают взаимодействия компонентов. Это могут быть переменные муфты , которые измеряют силу различных сил или самим массовых параметров. Сами компоненты могут показаться большим количеством самостоятельных компонентов, поскольку кто-то идет на более короткие расстояния.

Например, в квантовой электродинамике (QED) электрон, по -видимому, состоит из электронных и позитронных пар и фотонов, как одно виду с его более высоким разрешением, на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет немного другой электрический заряд, чем одетый электрон, видимый на больших расстояниях, и это изменение или бег в значении электрического заряда определяется уравнением группы перенормировки.

История

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности лежит в физике: масштабирование аргументов было обычным явлением для пифагорейской школы , Евклида и до Галилея . Они снова стали популярными в конце 19 -го века, возможно, первым примером является идея повышенной вязкости Осборна Рейнольдса , как способ объяснить турбулентность.

Группа перенормировки была первоначально разработана при физике частиц, но в настоящее время ее приложения распространяются на физику твердого состояния , механику жидкости , физическую космологию и даже нанотехнологию . Ранняя статья Эрнст Стюкельберг и Андре Петерманн в 1953 году предвидит идею в квантовой теории поля . Stueckelberg и Petermann открыли поле концептуально. Они отметили, что перенормализация демонстрирует группу трансформаций, которые передают величины из голых терминов на счетчики. Они ввели функцию H ( E ) в квантовой электродинамике (QED) , которая теперь называется бета -функцией (см. Ниже).

Начало

Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу ограничили идею масштабировать преобразования в QED в 1954 году, которые являются наиболее физически значимыми и сосредоточены на асимптотических формах пропагатора фотонов при высоких энергиях. Они определили изменение электромагнитной связи в QED, оценив простоту структуры масштабирования этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связывания g ( μ ) в масштабе энергии μ эффективно дается (одномерное уравнение трансляции)

$g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

или эквивалентно, $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$, для некоторой функции g (неопределенные - nowadays, называемые функцией масштабирования Вегнера ) и постоянной D , с точки зрения связи g (m) в эталонной шкале m .

Gell-Mann и Low реализованы в этих результатах, что эффективная шкала может быть произвольно воспринято как μ и может варьироваться для определения теории в любой другой шкале:

$g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

Гист RG-это свойство группы: по мере изменения масштаба μ теория представляет собой самоподобную копию себя, и любая шкала можно получить аналогичным В математическом смысле ( уравнение Шредодера ).

На основании этого (конечного) группового уравнения и его свойства масштабирования Gell-Mann и Low могут затем сосредоточиться на бесконечно малых преобразовании и изобрел вычислительный метод, основанный на функции математического потока ψ ( g ) = g d /(∂ g / ∂ g ) параметра связи G , который они ввели. Как и функция h ( e ) Stueckelberg и Petermann, их функция определяет дифференциальное изменение связи g ( μ ) относительно небольшого изменения шкалы энергии μ -дифференциальным уравнением, уравнение группы перенормировки :

$\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)$

Современное название также указано, бета -функция , представленная C. Callan и K. Symanzik в 1970 году. Поскольку это является просто функцией G , интеграция в G от возмущающей оценки ИТ позволяет спецификации траектории перенормировки связи, то есть его изменение энергии, эффективно функция G в этом возмущном приближении. Прогнозирование группы перенормировки (см. Стюкельберг-Петерманн и Гелл-Манн-Лой) было подтверждено 40 лет спустя в экспериментах с акселератором LEP : была измерена тонкая структура «постоянная» QED. быть примерно 1 ⁄ 127 при энергии, около 200 ГэВ, в отличие от стандартной низкоэнергетической физической ценности 1 ⁄ 137  .

Более глубокое понимание

Группа перенормировки возникает из -за перенормирования переменных квантовых поля, которые обычно должны решать проблему бесконечности в теории квантовых поля. Эта проблема систематической обработки бесконечностей квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для Цеда Ричардом Фейнманом , Джулианом Швингером и Шин'Иширо Томонагой , которые получили Нобелевскую премию 1965 года за эти вклад. Они эффективно разработали теорию массы и заряда перенормализации, в которой бесконечность в шкале импульса отрезана сверхуровневым регулятором , λ.

Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электронов, от шкалы λ скрыта, эффективно заменена на более длительные шкалы, при которых измеряются физические величины, и в результате все наблюдаемые величины в конечном итоге становятся Вместо этого конечно, даже для бесконечного λ. Гелл-Манн и низкий, таким образом, реализованный в этих результатах, что, бесконечно, в то время как крошечное изменение G обеспечивается вышеупомянутым уравнением RG, данным ψ ( g ), самопоклонность выражается тем фактом, что ψ ( g ) зависит только явное. по параметрам (ы) теории, а не по шкале μ . Следовательно, приведенное выше уравнение группы перенормировки может быть решено для ( g и, следовательно) G ( μ ).

Более глубокое понимание физического значения и обобщения процесса перенормирования, которое выходит за рамки группы расширения традиционных перенормируемых теорий, рассматривает методы, в которых широко разные масштабы длины появляются одновременно. Это произошло от физики сгущенного вещества : статья Лео П. Каданоффа в 1966 году, предложила группу перенормализации «блок-спин». «Блокирующая идея» - это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как агрегаты компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку зрения и получил полное вычислительное вещество в обширном важном вкладе Кеннета Уилсона . Сила идей Уилсона была продемонстрирована конструктивным итеративным решением перенормировки давней проблемы, проблемы Кондо , в 1975 году, а также предыдущие оригинальные события его нового метода в теории фазовых переходов второго порядка и критических явлений в 1971 году. Он был удостоен Нобелевской премии за эти решающие вклад в 1982 году.

Переформулировка

Между тем, RG в физике частиц была переформулирована на более практическом выражении Каллан и Симанциком в 1970 году. Было обнаружено, что приведенная выше бета-функция, которая описывает «запуск параметра связи» со шкалой, также составляет «каноническую аномалию трассировки», которая представляет квантово-механическое разрыв масштабной (дилатационной) симметрии в теории поля. Применение RG к физике частиц взорвалось в 1970 -х годах с созданием стандартной модели .

В 1973 году, Было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, называемых квантовой хромодинамикой , имела отрицательную бета -функцию. Это означает, что начальное высокоэнергетическое значение муфты приведет к особому значению μ, при котором муфта взрывается (расходится). Это специальное значение представляет собой шкалу сильных взаимодействий , μ = λ _QCD и встречается примерно на 200 МэВ. И наоборот, связь становится слабым при очень высоких энергиях ( асимптотическая свобода ), а кварки становятся наблюдаемыми в качестве точечных частиц, в глубоком неэластическом рассеянии , как и ожидалось от масштабирования Фейнмана-Бьоркена. Таким образом, QCD был установлен как теория квантового поля, контролирующую сильные взаимодействия частиц.

Momentum Space RG также стал высокоразвитым инструментом в физике твердого состояния, но было затруднено обширным использованием теории возмущений, которая не позволяла теории преуспеть в сильно коррелированных системах.

Конформная симметрия

Конформная симметрия связана с исчезновением бета -функции. Это может возникнуть естественным образом, если константа связи притягивается при беге к фиксированной точке , в которой β ( g ) = 0. В QCD фиксированная точка возникает на коротких расстояниях, где G → 0 и называется ( тривиальная ) ультрафиолетовая фиксированная точка . Для тяжелых кварков, таких как верхний кварка , связь с массовым бозоном Хиггса идет к фиксированной ненулевой (нетривиальной) инфракрасной фиксированной точке , впервые предсказанной Пендлтоном и Россом (1981), и CT Hill . Верхняя кварка Юкава Свяжится немного ниже инфракрасной фиксированной точки стандартной модели, предполагающей возможность дополнительной новой физики, такой как последовательные тяжелые бозоны Хиггса.

В теории струн конфиденциальная инвариантность мирового листа струны является фундаментальной симметрией: β = 0 является требованием. Здесь β является функцией геометрии пространства-времени, в которой движется строка. Это определяет пространственно-временную размерность теории струн и обеспечивает соблюдение уравнений Эйнштейна общей относительности в геометрии. RG имеет основополагающее значение для теории струн и теорий великого объединения .

Это также современная ключевая идея, лежащая в основе критических явлений в физике конденсированных веществ. Действительно, RG стал одним из самых важных инструментов современной физики. Он часто используется в сочетании с методом Монте -Карло .

Блок спин

Этот раздел представляет педагогически картину RG, которая может быть легче понять: Block Spin Rg, разработанный Лео П. Каданоффом в 1966 году.

Рассмотрим 2D Solid, набор атомов в идеальной квадратной массиве, как показано на рисунке.

Предположим, что атомы взаимодействуют между собой только с их ближайшими соседями, и что система находится при заданной температуре t . Сила их взаимодействия определяется количественно по определенной связи j . Физика системы будет описана определенной формулой, скажем, гамильтониан H ( T , J ) .

Теперь продолжайте разделить твердое вещество на блоки на 2 × 2 квадратов; Мы пытаемся описать систему с точки зрения блочных переменных , то есть переменных, которые описывают среднее поведение блока. Далее предположим, что при некотором счастливом совпадении физика блочных переменных описывается формулой одинакового рода , но с разными значениями для t и j : h ( t ′ , j ′ ) . (В общем, это не совсем так, но это часто хорошее первое приближение.)

Возможно, первоначальная проблема была слишком сложной для решения, так как атомов было слишком много. Теперь, в перенормированной проблеме, у нас есть только один четвертый из них. Но зачем останавливаться сейчас? Другая итерация того же вида приводит к H ( t " , J" ) и только один шестнадцатый от атомов. Мы увеличиваем шкалу наблюдения с каждым шагом RG.

Конечно, лучшая идея - итерация, пока не будет только один очень большой блок. Поскольку количество атомов в любой реальной выборке материала очень большое, это более или менее эквивалентно поиску дальнего поведения трансформации RG, которое приняло ( T , J ) → ( T ′ , J ′ ) и ( T ' , J ′ ) → ( t " , J" ) . Часто, когда итерация много раз, это преобразование RG приводит к определенному количеству фиксированных точек .

Чтобы быть более конкретным, рассмотрим магнитную систему (например, модель ISING ), в которой J -соединение обозначает тенденцию к выровнению соседей . Конфигурация системы является результатом компромисса между j -членом j -члена и влиянием температуры.

Для многих моделей такого рода есть три фиксированные точки:

1. T = 0 и j → ∞ . Это означает, что при наибольшем размере температура становится не важной, то есть фактор беспорядка исчезает. Таким образом, в больших масштабах система, по -видимому, упорядочена. Мы находимся в ферромагнитной фазе.
2. T → ∞ и J → 0 . Именно наоборот; Здесь температура доминирует, и система расстройства в больших масштабах.
3. Нетривиальная точка между ними, t = t _c и j = j _c . В этом моменте изменение масштаба не меняет физику, потому что система находится в фрактальном состоянии. Это соответствует Кюри фазовому переходу , а также называется критической точкой .

Таким образом, если нам дают определенный материал с данными значениями T и J , все, что мы должны сделать, чтобы узнать, что крупномасштабное поведение системы-это итерация пары, пока мы не найдем соответствующую фиксированную точку.

Элементарная теория

В более технических терминах давайте предположим, что у нас есть теория, описанная определенной функцией $Z$ государственных переменных $\{s_{i}\}$ и определенный набор константов связи $\{J_{k}\}$Полем Эта функция может быть функцией раздела , действием , гамильтонианским и т. Д. Она должна содержать все описание физики системы.

Теперь мы рассматриваем определенное блокирующее преобразование переменных состояния $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$, количество ${\tilde {s}}_{i}$ должно быть ниже количества $s_{i}$Полем Теперь позвольте нам переписать $Z$ функционировать только в терминах ${\tilde {s}}_{i}$Полем Если это достигается определенным изменением параметров, $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$, тогда говорят, что теория является перенормируемой .

Большинство фундаментальных теорий физики, таких как квантовая электродинамика , квантовая хромодинамика и электроэлектро-волны , но не гравитация, точно являются перенормированными. Кроме того, большинство теорий в физике конденсированных веществ приблизительно перенормировано, от сверхпроводимости до турбулентности жидкости.

Изменение параметров реализуется определенной бета -функцией: $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$, который, как говорят, индуцирует поток группы перенормализации (или потока RG ) на $J$-космос. Значения $J$ Под потоком называются бегущие муфты .

Как было указано в предыдущем разделе, наиболее важной информацией в потоке RG являются его фиксированные точки . Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах определяются этим набором фиксированных точек. Если эти фиксированные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность , обладающую тем, что называется полюсом Ландау , как в квантовой электродинамике. Для φ ⁴ Взаимодействие Майкл Айзенман доказал, что эта теория действительно тривиальна, для пространственного времени измерения d ≥ 5. Для d = 4 тривиальность еще не доказана, но вычисления решетки предоставили для этого убедительные доказательства. Этот факт важен, так как квантовая тривиальность может быть использована для связывания или даже прогнозирования таких параметров, как масса бозона Хиггса в асимптотических сценариях безопасности. Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении теорий решетки Хиггса , но природа квантовых поля, связанных с ними, остается открытым вопросом.

Поскольку преобразования RG в таких системах являются потерями (т.е. количество переменных уменьшается - см. В качестве примера в другом контексте, сжатие данных с потерями ), не должно быть обратного для данного трансформации RG. Таким образом, в таких системах -потерях группа перенормировки, на самом деле, является полугруппой , так как потери подразумевает, что нет уникального обратного для каждого элемента.

Соответствующие и неуместные операторы и классы универсальности

См. Также: Класс универсальности , опасно нерелевантный оператор , фазовый переход § Критические показатели и классы универсальности , а также масштабная инвариантность § Описание CFT

Рассмотрим определенную наблюдаемую А из физической системы, перенесшей трансформацию RG. Величина наблюдаемого как шкала длины системы переходит от малого к крупному, определяет важность наблюдаемого (ы) для закона масштабирования:

Если его величина ...	тогда наблюдаемая ...
всегда увеличивается	соответствующий
всегда уменьшается	не имеющий отношения
другой	маргинальный

наблюдаемая соответствующая Для описания макроскопического поведения системы необходима Неактуальные наблюдаемые не нужны. Предельные наблюдаемые могут или не могут быть приняты во внимание. Замечательным широким фактом является то, что большинство наблюдаемых не имеют значения , то есть в макроскопической физике преобладают лишь несколько наблюдаемых в большинстве систем .

В качестве примера, в микроскопической физике, чтобы описать систему, состоящую из крота атомов углерода-12, нам нужна порядок 10 ²³ ( Номер avogadro ) переменные, в то время как для описания его как макроскопической системы (12 граммов углерода-12) нам нужно лишь несколько.

До подхода Уилсона к RG был удивительный эмпирический факт, чтобы объяснить: совпадение критических показателей (то есть, показатели сниженной температурной зависимости нескольких величин вблизи фазового перехода второго порядка ) в очень разнородных явлениях, таких как магнитные системы , суперфлюдодный переход ( лямбда -переход ), физика сплава и т. Д. Таким образом, в целом термодинамические особенности системы вблизи фазового перехода зависят только от небольшого количества переменных , таких как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям в базовых Микроскопические свойства системы.

Это совпадение критических показателей для якобы совершенно разных физических систем, называемых универсальностью , легко объясняется с использованием группы перенормировки, демонстрируя, что различия в явлениях между отдельными тонкими компонентами определяются неактуальными наблюдаемыми , в то время как соответствующие наблюдаемые общие общий. Следовательно, многие макроскопические явления могут быть сгруппированы в небольшой набор классов универсальности , указанные общими наборами соответствующих наблюдаемых.

Пространство импульса

Группы перенормализации на практике бывают двух основных «ароматов». Фотография Каданоффа, описанная выше, относится главным образом к так называемому реальному пространству RG .

Smentum Space RG , с другой стороны, имеет более длинную историю, несмотря на ее относительную тонкость. Его можно использовать для систем, где степени свободы могут быть отменены с точки зрения режимов Фурье данного поля. Трансформация RG проходит путем интеграции определенного набора мод с высоким содержанием моментов (крупнопроводной). Поскольку большие волновые средства связаны с шкалами короткой длины, RG Smentum Space приводит к практически аналогичному грубомураздельному эффекту, как при реальном пространстве RG.

Smentum Space RG обычно выполняется при расширении возмущения . Достоверность такого расширения основана на фактической физике системы, близкой к системе свободного поля . В этом случае можно рассчитать наблюдаемые, суммируя ведущие термины в расширении. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики частиц, но не работает для систем, физика которых очень далека от любой бесплатной системы, т.е. систем с сильными корреляциями.

В качестве примера физического значения RG в физике частиц, рассмотрите обзор перенормирования заряда в квантовой электродинамике (QED). Предположим, у нас есть точечный положительный заряд определенного истинного (или голой ) величины. Электромагнитное поле вокруг него имеет определенную энергию и, таким образом, может создавать некоторые виртуальные электрон-позитронные пары (например,). Хотя виртуальные частицы очень быстро уничтожаются, в течение их короткой жизни электрон будет привлекать заряд, а позитрон будет отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно повсюду, рядом с точечным зарядом, где его электрическое поле достаточно сильное, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда при просмотре издалека. Измеренная сила заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд может приблизиться к точечному заряду, обходя большую часть экрана виртуальных частиц, чем он приближается. Отсюда и зависимость определенной постоянной связи (здесь, электрический заряд) с шкалой расстояния .

Шкалы импульса и длины связаны обратно пропорционально, в соответствии с соотношением De Broglie : чем выше энергия или масштаб импульса, которую мы можем достичь, тем меньше шкала длины мы можем исследовать и разрешить. Следовательно, практикующие RG Space-Space иногда утверждают, что интегрируют высокие импульсы или высокую энергию из их теорий.

Точные уравнения группы перенормализации

Точное уравнение группы перенормировки ( ERGE ) - это то, что учитывает нерелевантные связи. Есть несколько составов.

Wilson Erge - самый простой концептуально, но практически невозможно реализовать. Фурье превращается в пространство импульса после того, как фитиль вращается в евклидовое пространство . Настаивать на жестком обречке импульса , P ² ≤ λ ² так что единственными степенями свободы являются те, которые имеют импульс меньше, чем λ . Функция разделения ​

$Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

Для любого положительного λ ' меньше, чем λ , определите S _λ' (функциональные конфигурации по полю φ , чье преобразование Фурье имеет поддержку импульса внутри P ² ≤ λ ' ² ) как

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

Если S _λ зависит только от ϕ , а не от производных ϕ , это может быть переписано как

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$

в котором становится ясно, что, поскольку только функционирует ϕ с поддержкой между λ ' и λ, интегрированы над, левая сторона все еще может зависеть от ϕ с поддержкой вне этого диапазона. Очевидно,

$Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].$

На самом деле, это преобразование является переходным . Если вы вычисляете S _{λ ′} из S _λ , а затем вычислите S _{λ ′ ′ ′} из S _{λ ′ ′} , это дает вам такое же действие Уилсонов, что и вычисление S _{λ ″} непосредственно из S _λ .

Полачинский ERGE включает в себя плавное ультрафиолета регулятора отсечение . По сути, идея - улучшение по сравнению с Уилсон -Эргом. Вместо резкого обрезания импульса он использует плавное отсечение. По сути, мы подавляем вклад в Sommona, превышающую λ в значительной степени. Однако гладкость отсечения позволяет нам вывести функциональное дифференциальное уравнение в шкале отсечения λ . Как и в подходе Уилсона, мы имеем различный функционал действия для каждой шкалы энергии отсечения λ . Каждое из этих действий должно описать точно такую ​​же модель, что означает, что их функционалы для разделения должны точно соответствовать.

Другими словами, (для реального скалярного поля; обобщения в другие области очевидны),

$Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)$

и z _λ действительно не зависит от λ ! Мы использовали конденсированную нотацию Dewitt здесь. Мы также разделили голое действие S _λ на квадратичную кинетическую часть и взаимодействующую часть s _{int λ} . Этот раскол, безусловно, не чисто. «Взаимодействующая» часть может также содержать квадратичные кинетические термины. На самом деле, если есть какая -либо перенормирация волновой функции , она наверняка будет. Это может быть несколько уменьшено путем введения поля. R _λ является функцией импульса P, а второй член в показании

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)$

При расширении.

Когда $p\ll \Lambda$, R _λ ( p )/ p ² по сути 1. Когда $p\gg \Lambda$, R _λ ( p )/ p ² становится очень очень огромным и приближается к бесконечности. R _λ ( p )/ p ² всегда больше или равен 1 и гладко. По сути, это оставляет колебания с помощью импульсов меньше, чем отсечение λ незатронутыми, но сильно подавляет вклад от колебаний с помощью иммарда, превышающих отсечение. Это, очевидно, огромное улучшение по сравнению с Уилсоном.

Состояние, которое

${\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0$

может быть удовлетворен (но не только)

${\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].$

Жак Дистлер заявил, что без доказательств, что этот ERGE не является правильным непертубильным .

Эффективное среднее действие включает в себя плавную обрезку ИК -регулятора. все колебания до ИК -шкалы K. Идея состоит в том, чтобы принять во внимание Эффективное среднее действие будет точным для колебаний с импульсом, превышающим k . Поскольку параметр k снижается, эффективное среднее действие приближается к эффективному действию , которое включает в себя все квантовые и классические колебания. Напротив, для крупного k эффективное среднее действие близко к «голым действиям». Таким образом, эффективное среднее действие интерполирует между «голым действием» и эффективным действием .

Для реального скалярного поля , кто -то добавляет ира

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)$

к действию S , где r _K является функцией как K, так и P, что для $p\gg k$, R _k (p) очень крошечный и приближается к 0 и для $p\ll k$, $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$Полем R _K является одновременно гладким и неотрицательным. Его большое значение для небольшого импульса приводит к подавлению их вклада в функцию разделения, которая фактически является тем же, что и пренебрежение крупномасштабными колебаниями.

Можно использовать сгущенную нотацию Dewitt

${\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi$

Для этого ИК -регулятора.

Так,

$\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)$

где J - исходное поле . W Преобразование Legendre K _обычно дает эффективные действия . Тем не менее, действие, с которого мы начали, действительно S [φ] +1/2 φ счастки _k ⋅ум и поэтому, чтобы получить эффективное среднее действие, мы вычитаем 1/2 φ счастья _r ⋅φ. Другими словами,

$\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]$

может быть перевернут, чтобы дать j _k [φ], и мы определяем эффективное среднее действие γ _k как

$\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .$

Следовательно,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}$

таким образом

${\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]$

это ERGE, который также известен как уравнение Wetterich . Как показано Моррисом, эффективное действие γ _K на самом деле просто связано с эффективным действием Полькински _через отношение Legendre Transform.

Поскольку существует бесконечно много вариантов R _K , существует также бесконечно много различных интерполяющих эрж. Обобщение в других областях, таких как вращающиеся поля, простое.

Несмотря на то, что Полачинский эрге и эффективное среднее действие выглядят одинаково, они основаны на совершенно разных философиях. В эффективном среднем действии, голое действие остается неизменным (а шкала отсечения ультрафиолета - если есть оно - также остается неизменным), но вклад IR в эффективное действие подавляется, тогда как в Полчинском Раз и навсегда, кроме «голого действия», варьируется в разных масштабах энергии, чтобы воспроизвести предварительную модель. Версия Полчински, безусловно, намного ближе к идее Уилсона в духе. Обратите внимание, что один использует «голые действия», тогда как другой использует эффективные (средние) действия.

Улучшение эффективного потенциала в группе перенормировки

Группа перенормирования также может быть использована для вычисления эффективных потенциалов при порядках выше 1-й петли. Этот вид подхода особенно интересен для вычисления исправлений в Коулман -Вайнберг механизм. Для этого нужно написать уравнение группы перенормирования с точки зрения эффективного потенциала. В случае $\phi ^{4}$ модель:

$\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.$

Чтобы определить эффективный потенциал, полезно написать $V_{\text{eff}}$ как

$V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},$

где $S_{\text{eff}}$ это серия мощности в $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$:

$S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .$

Используя вышеупомянутый ANSATZ , можно решить уравнение группы перенормировки, возмущающую воздействие и найти эффективный потенциал вплоть до желаемого порядка. Педагогическое объяснение этой техники показано в ссылке.

Смотрите также

• Квантовая тривиальность
• Масштабная инвариантность
• Уравнение Шредодера
• Регуляризация (физика)
• Группа перенормирования матрицы плотности
• Группа функциональной перенормализации
• Критические явления
• Универсальность (динамические системы)
• C-теорема
• История теории квантового поля
• Лучший кварк
• Асимптотическая безопасность

Ссылки

Исторические ссылки

• Фишер, Майкл (1974). «Группа перенормализации в теории критического поведения». Rev. Mod. Физический ​ 46 (4): 597. Bibcode : 1974rvmp ... 46..597f . doi : 10.1103/revmodphys.46.597 .

Педагогические и исторические обзоры

• Уайт, С.Р. (1992). «Составление матрицы плотности для квантовых групп перенормирования». Физический Преподобный Летт 69 (19): 2863–2866. Bibcode : 1992 phrvl..69.2863w . doi : 10.1103/physrevlett.69.2863 . PMID   10046608 . Наиболее успешный вариационный метод RG.
• Goldenfeld, N. (1993). Лекции по фазовым переходам и группе перенормировки . Аддисон-Уэсли.
• Ширков, Дмитрий В. (1999). «Эволюция группы перенормализации Боголибова». arxiv : hep-th/9909024 . Bibcode : 1999Hep.th .... 9024S . {{cite journal}}: CITE Journal требует |journal= ( Помощь ) Математическое введение и исторический обзор со стрессом на теории группы и применение в физике с высокой энергией.
• Delamotte, B. (февраль 2004 г.). «Намек на перенормализацию» . Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arxiv : hep-th/0212049 . Bibcode : 2004AMJPH..72..170D . doi : 10.1119/1.1624112 . S2CID   2506712 . Пешеходное введение в перенормализацию и группу перенормировки.
• Марис, HJ; Каданофф, LP (июнь 1978 г.). «Обучение группе перенормализации». Американский журнал физики . 46 (6): 652–657. Bibcode : 1978.Amjph..46..652m . doi : 10.1119/1.11224 . S2CID   123119591 . Пешеходное введение в группу перенормировки, применяемой в физике конденсированного вещества.
• Хуан, К. (2013). «Критическая история перенормализации». Международный журнал современной физики а . 28 (29): 1330050. Arxiv : 1310.5533 . Bibcode : 2013ijmpa..2830050H . doi : 10.1142/s0217751x13300500 .
• Ширков, DV (31 августа 2001 г.). «Пятьдесят лет в группе перенормализации» . Церн Курьер . Получено 12 ноября 2008 года .
• Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). «Точные уравнения группы перенормирования: вступительный обзор». Физические отчеты . 348 (1–2): 91–157. arxiv : hep-th/0002034 . Bibcode : 2001 Phr ... 348 ... 91b . doi : 10.1016/s0370-1573 (00) 00137-x . S2CID   18274894 .

Книги

• ТД Ли ; Физика частиц и введение в теорию поля , Harwood Academic Publishers, 1981, ISBN   3-7186-0033-1 . Содержит краткое, простое и спящее краткое изложение групповой структуры, в открытие которого он также был вовлечен, как признано в газете Гелл-Манн и Лоу.
• Л. Т.С. Адзхемян, Н.В. Антонов и Васильев; Полевая теоретическая группа перенормирования в полностью развитой турбулентности ; Gordon and Breach, 1999. ISBN   90-5699-145-0 .
• Vasil'ev, An; Полевая теоретическая группа перенормирования в теории критического поведения и стохастической динамики ; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN   9780415310024 (самостоятельное лечение применений групп перенормировки с полными вычислениями);
• Зинн-Джастин, Джин (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Кларендон Пресс (2002), ISBN   0-19-850923-5 (исключительно твердый и тщательный трактат по обеим темам);
• Zinn-Justin, Джин : Группа перенормирования и перенормировки: от открытия ультрафиолетовых расходов до концепции эффективных полевых теорий , в: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (Eds), Труды НАТО ASI по теории квантовой области: перспектива и перспектива , 15–26 июня 1998 года, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN]. Полный текст доступен в PostScript .
• Kleinert, H. и Schulte Frohlinde, V; Критические свойства φ ⁴ -Theory , World Scientific (Сингапур, 2001) ; Оплата в мягкой обложке ISBN   981-02-4658-7 . Полный текст доступен в PDF .