Равенство (математика)

Равна значению

В математике , утверждая , равенство - это связь между двумя величинами или, в целом, двумя математическими выражениями что величины имеют одинаковое значение, или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между A и B написано a = b и произносится « a equals b ». В этом равенстве A и B являются членами равенства и различаются, назвав их левой или левой стороны , а также правой стороны или правого члена . Говорят, что два объекта, которые не равны, являются различными .

Формула, такая как $x=y,$ где x и y являются какими -либо выражениями, означает, что x и y обозначают или представляют один и тот же объект. Например,

$1.5=3/2,$

два обозначения для одного и того же номера. Точно так же использование обозначения набора строителей ,

$\{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},$

Поскольку два набора имеют одинаковые элементы. (Это равенство является результатом аксиомы разгибальности , которая часто выражается как «два набора, которые имеют одинаковые элементы, равны». )

Правда равенства зависит от интерпретации его членов. В приведенных выше примерах равенства истины, если члены интерпретируются как числа или наборы, но являются ложными, если члены интерпретируются как выражения или последовательности символов.

Личность как , такая $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,$ означает, что если x заменяется каким -либо номером, то два выражения имеют одинаковое значение. Это также может быть истолковано как сказанное, что две стороны знака равных представляют одну и ту же функцию (равенство функций), или что два выражения обозначают один и тот же полиномиальный (равенство полиномов).

Этимология

Слово получено из латинского аэкалиса («равного», «как», «сопоставимо», «аналогичного»), который сам поступает от aequus («равный», «уровень», «честный», «просто»).

Основные свойства

• Рефлексивность : для каждого А у одного есть a = a .
• Симметрия : для каждого a и b , если a = b , то b = a .
• Транзитивность : для каждого a , b и c , если a = b и b = c , то a = c .
• Замена : Неофициально это просто означает, что если a = b , то A может заменить B в любом математическом выражении или формуле, не изменяя его значение.
• Операция приложения : для каждого A и B , с некоторой операцией $f(x)$, если a = b , то $f(a)=f(b)$.
  Например:
  • Даны реальные числа A и B , если a = b , то $2a-5=2b-5$Полем (Здесь, $f(x)=2x-5$Полем Унарная операция )
  • Дано реальные числа A и B , если $a^{2}=2b^{2}$, затем $a^{2}/b^{2}=2$Полем (Здесь, $f(x,y)=x/y^{2}$ с $y=b$Полем Бинарная операция )
  • Заданные реальные функции ⁠ $g$⁠ и ⁠ $h$⁠ По какой -то переменной a , если $g(a)=h(a)$, затем ${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$Полем (Здесь, ${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}}}$Полем Операция над функциями (то есть оператором ), называемой производной )

Если ограничить элементы данного набора $S$, эти первые три свойства делают равенство отношением эквивалентности на $S$Полем Фактически, равенство - это уникальное отношение эквивалентности на $S$ чьи классы эквивалентности - все синглтоны .

Равенство как предикат

В логике предикат - это предложение , которое может иметь некоторые свободные переменные . Равенство - это предикат, который может быть истинным для некоторых значений переменных (если есть) и false для других значений. Более конкретно, равенство-это бинарное соотношение (то есть предикат с двумя аргументом), который может привести к значению истины ( истинно или неверно ) из своих аргументов. При компьютерном программировании называется логическим выражением . , а его вычисление из двух выражений известно как сравнение равенство

См. Также: Реляционный оператор § Равенство

Уравнения

Уравнение - это проблема поиска значений некоторой переменной, называемой неизвестным , для которого указанное равенство верно. Каждое значение неизвестного, для которого уравнение содержится, называется решением данного уравнения; также заявлено как удовлетворение уравнения. Например, уравнение $x^{2}-6x+5=0$ имеет значения $x=1$ и $x=5$ как единственные решения. Терминология используется аналогичным образом для уравнений с несколькими неизвестными.

Уравнение может быть использовано для определения набора. Например, набор всех пар решений $(x,y)$ уравнения $x^{2}+y^{2}=1$ образует единый круг в аналитической геометрии ; Следовательно, это уравнение называется уравнением единичного круга .

См. Также: Решение уравнений

Личности

Идентичность - это равенство , которое является истинным для всех значений его переменных в данном домене. «Уравнение» может иногда означать идентичность, но чаще всего оно определяет подмножество переменного пространства как подмножество, где уравнение верно. Пример $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1$ верно для всех реальных цифр $x$Полем Нет никаких стандартных обозначений, которые отличают уравнение от идентичности или другого использования отношения равенства: нужно угадать соответствующую интерпретацию от семантики выражений и контекста. Иногда, но не всегда, личность написана с тройным баром : $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

В логике

В математической логике и математической философии равенство часто описывается через следующие свойства:

$\forall a(a=a)$

• Закон идентичности : заявление, что каждая вещь идентична самим себе, без ограничений. То есть для каждого $a$, $a=a$Полем Это первый из трех исторических законов мысли .

$(a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}$

• Свойство замены : иногда называется Лейбниза законом , обычно утверждает, что если две вещи равны, то любое свойство одного должно быть собственностью другого. Это можно официально заявить: для каждого A и B и любой формулы $\phi (x),$ (со свободной переменной x ), если $a=b$, затем $\phi (a)$ подразумевает $\phi (b)$.

Например: для всех реальных чисел A и B , если A = B , то A ≥ 0 подразумевает B ≥ 0 (здесь, $\phi (x)$ x ) 0 ≥

Эти свойства обеспечивают формальную переосмысление равенства от того, как оно определено в стандартной теории набора Zermelo -Fraenkel (ZFC) или других формальных основаниях . В ZFC равенство только означает, что два набора имеют одинаковые элементы. Однако вне теории набора математики не склонны рассматривать свои объекты, представляющие интерес, как наборы. Например, многие математики скажут, что выражение " $1\cup 2$«(См. Union ) - это злоупотребление обозначениями или бессмысленными. Это более абстрактная структура , которая может быть основана на ZFC (то есть обе аксиомы могут быть доказаны в ZFC, а также в большинстве других формальных фондов), но ближе к тому, как он ближе к тому, как он ближе к тому, как он ближе к тому, как он ближе к тому, как ближе к тому Большинство математиков используют равенство.

Обратите внимание, что это говорит о «равенстве подразумевает эти два свойства« не то, что «эти свойства определяют равенство»; Это намеренно. Это делает его неполной аксиоматизацией равенства. То есть он не говорит, что такое равенство , только то, что «равенство» должно насыпать. Тем не менее, две аксиомы, как указано, все еще в целом полезны, даже как неполная аксиоматизация равенства, поскольку они обычно достаточны для вывода большинства свойств равенства, о которых заботятся математики. (См. Следующий подраздел)

Если эти свойства должны были определить полную аксиоматизацию равенства, значение, если они должны были определить равенство, то обратное обратное утверждение должно быть истинным. Обратным имуществом замены является личность нераспадных , которые утверждают, что две разные вещи не могут обладать всеми их свойствами. В математике идентичность нераскрытия обычно отвергается, поскольку нераспределение в математической логике не обязательно запрещено. Установка равенства в ZFC способен объявлять эти неприятные характеристики как не равные, но равенство, определенное исключительно этими свойствами, нет. Таким образом, эти свойства образуют строго более слабое представление о равенстве, чем установленное равенство в ZFC. Помимо чистой математики , идентичность нераскрытия привлекла много противоречий и критики, особенно из корпускулярной философии и квантовой механики . Вот почему, как говорят, свойства не образуют полную аксиоматизацию.

Однако, помимо случаев, касающихся нерасступающих, эти свойства, взятые как аксиомы равенства, эквивалентны равенству, как определено в ZFC.

Иногда они воспринимаются как определение равенства, например, в некоторых областях логики первого порядка .

Производные основных свойств

• Рефлексивность равенства : учитывая некоторые наборы с соотношением r, вызванной равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$), предполагать $a\in S$Полем Затем $a=a$ по закону идентичности, таким образом $aRa$.

Закон идентичности отличается от рефлексивности двумя основными способами: во -первых, закон идентичности относится только к случаям равенства, а во -вторых, он не ограничен элементами набора. Однако многие математики называют «рефлексивностью», которая, как правило, безвредна.

• Симметрия равенства : учитывая некоторые наборы с соотношением r, вызванной равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$) предположим, что есть элементы $a,b\in S$ так что $aRb$Полем Затем принять формулу $\phi (x):xRa$Полем Итак, у нас есть $(a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)$Полем С $a=b$ по предположению и $aRa$ по рефлексивности у нас есть это $bRa$.
• Транзитивность равенства : учитывая некоторые наборы с соотношением r, вызванной равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$) предположим, что есть элементы $a,b,c\in S$ так что $aRb$ и $bRc$Полем Затем принять формулу $\phi (x):xRc$Полем Итак, у нас есть $(b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)$Полем С $b=a$ Симметрией и $bRc$ по предположению, у нас есть это $aRc$.
• Функциональное приложение : Учитывая некоторую функцию $f(x)$Предположим, что есть элементы A и B из его домена, так что A = B , затем примите формулу $\phi (x):f(a)=f(x)$Полем Итак, у нас есть
  $(a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]$
  С $a=b$ по предположению и $f(a)=f(a)$ по рефлексивности у нас есть это $f(a)=f(b)$.

Это также иногда включается в аксиомы равенства, но не необходимо, поскольку это может быть выведено из двух других аксиомов, как показано выше.

Приблизительное равенство

Есть некоторые логические системы , которые не имеют никакого представления о равенстве. Это отражает нерешительность равенства двух реальных чисел , определяемых формулами с участием целых чисел , основными арифметическими операциями , логарифмом и экспоненциальной функцией . Другими словами, не может быть никакого алгоритма для решения такого равенства (см. Теорему Ричардсона ).

Бинарное соотношение « приблизительно равно » (обозначается символом $\approx$) Между реальными числами или другими вещами, даже если они более точно определены, не является переходным (поскольку многие небольшие различия могут составить что -то большое). Однако равенство почти везде является переходным.

Тестовое испытательное равенство может быть обозначено с использованием ${\stackrel {?}{=}}$ символ .

Отношение с эквивалентностью, конгруэнтностью и изоморфизмом

Основные статьи: Связь эквивалентности , изоморфизм , конгруэнтность и конгруэнтность (геометрия)

Считаемый как отношение , равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности в наборе: те бинарные отношения, которые являются рефлексивными , симметричными и переходными . Отношение идентификации является отношением эквивалентности. И наоборот, пусть r будет отношением эквивалентности, и давайте обозначим x ^{Ведущий} Класс эквивалентности X x , состоящий из всех элементов z, такого, что r z . Тогда отношение x r y эквивалентно равенству x ^{Ведущий} = y ^{Ведущий} Полем Отсюда следует, что равенство является лучшим отношением эквивалентности в любом наборе S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . Например, можно отличить фракции от рациональных чисел , последний из которых является классом эквивалентности фракций: фракции $1/2$ и $2/4$ отличаются как фракции (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (то же самое на числовой линии). Это различие приводит к понятию коэффициента набора .

Точно так же наборы

$\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}$ и $\{1,2,3\}$

не являются равными наборами - первые состоит из букв, в то время как второе состоит из чисел - но они оба представляют собой наборы из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что существует биение между ними . Например

${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.$

Однако есть и другие варианты изоморфизма, например

${\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,$

и эти наборы не могут быть идентифицированы без такого выбора - любого утверждения, которое идентифицирует их «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из мотивации для разработки теории категорий.

В некоторых случаях можно рассматривать как равные два математических объекта, которые эквивалентны только для рассматриваемых свойств и структуры. Слово согласованность (и связанный символ $\cong$) часто используется для такого рода равенства и определяется как коэффициент набора классов изоморфизма между объектами. в геометрии Например, две геометрические формы , как говорят, равны или конгруэнтны , когда одна может быть перенесена на совпадение с другой, а соотношение равенства/конгруэнтности - это классы изоморфизма изометрии между формами. Подобно изоморфизмам наборов, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотивации для разработки теории категорий , а также для теории гомотопии и одноваленных оснований .

Равенство в теории наборов

Основная статья: аксиома расширенности

Равенство наборов аксиоматизируется в теории наборов двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установить равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома расширенности гласит, что два набора, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором.

• Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
• Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$
• Теория набора аксиомы: $(\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y$

Включение половины работы в логику первого порядка может рассматриваться как просто удобство, как отмечает Леви.

«Причина, по которой мы пробираемся с предикатом первого порядка с равенством, является вопросом удобства; благодаря этому мы сохраняем труд определения равенства и доказываем все его свойства; это бремя теперь предполагается логикой».

Установить равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два набора определяются как равные, если они содержат одни и те же элементы. Затем аксиома разгибательности содержит, что два равных набора содержатся в одних и тех же наборах.

• Определение теории наборов: $(x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
• Теория набора аксиомы: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$

Смотрите также

• Расширенность
• Теория гомотопии
• Неравенство
• Список математических символов
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Пропорциональность (математика)

Ссылки

• Клин, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Mineola, Нью -Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42533-7 .
• Леви, Азриэль (2002) [1979]. Основная теория наборов . Mineola, Нью -Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42079-0 .
• Mac Lane, Saunders ; Биркхофф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (третье изд.). Провиденс, Род -Айленд: Американское математическое общество.
• Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), когда одна вещь равна чем -то другому? (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2019 года , извлеченные 13 декабря 2009 г.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью -Йорк: Ван Ностроран Рейнхольд.
• Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Mineola, Нью -Йорк: Dover Publication. ISBN  978-0-486-46898-3 .
• Шонфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2 -е изд.). А.К. Петерс . ISBN  978-1-56881-135-2 .