Статистическая механика

В физике статистические статистическая механика — это математическая основа, которая применяет методы и теорию вероятностей к большим собраниям микроскопических объектов. Иногда называемая статистической физикой или статистической термодинамикой , ее приложения включают множество проблем в области физики, биологии , химия , нейробиология , Информатика , теория информации и социология . Его основная цель — прояснить свойства материи в совокупности с точки зрения физических законов, управляющих движением атомов.

Статистическая механика возникла в результате развития классической термодинамики , области, в которой ей удалось объяснить макроскопические физические свойства, такие как температура , давление и теплоемкость , с точки зрения микроскопических параметров, которые колеблются около средних значений и характеризуются вероятностными распределениями. .

В то время как классическая термодинамика в первую очередь занимается термодинамическим равновесием , статистическая механика применялась в неравновесной статистической механике для решения вопросов микроскопического моделирования скорости необратимых процессов , вызванных дисбалансом. Примеры таких процессов включают химические реакции и потоки частиц и тепла. Теорема о флуктуации-диссипации — это базовые знания, полученные в результате применения неравновесной статистической механики для изучения простейшей неравновесной ситуации установившегося течения тока в системе многих частиц.

История

В 1738 году швейцарский физик и математик Даниэль Бернулли опубликовал «Гидродинамику» , которая заложила основу кинетической теории газов . В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, используемый до сих пор, что газы состоят из огромного числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы чувствуем, и что то, что мы воспринимаем как тепло , представляет собой тепло. просто кинетическая энергия их движения.

Основателем статистической механики обычно считается три физика:

• Людвиг Больцман , разработавший фундаментальную интерпретацию энтропии с точки зрения набора микросостояний.
• Джеймс Клерк Максвелл , разработавший модели распределения вероятностей таких состояний.
• Джозайя Уиллард Гиббс , придумавший название поля в 1884 году.

В 1859 году, прочитав статью Рудольфа Клаузиуса о диффузии молекул , шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал Максвелловское распределение молекулярных скоростей, которое давало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. Это был первый статистический закон в физике. Максвелл также привел первый механический аргумент, согласно которому молекулярные столкновения влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. Пять лет спустя, в 1864 году, Людвиг Больцман , молодой студент из Вены, наткнулся на статью Максвелла и посвятил большую часть своей жизни дальнейшему развитию этой темы.

Статистическая механика была инициирована в 1870-х годах работами Больцмана, большая часть которых была коллективно опубликована в его «Лекциях по теории газа» 1896 года . Оригинальные статьи Больцмана по статистической интерпретации термодинамики, Н-теоремы , теории переноса , теплового равновесия , уравнения состояния газов и подобных тем занимают около 2000 страниц в трудах Венской академии и других обществ. Больцман ввел понятие равновесного статистического ансамбля, а также впервые исследовал неравновесную статистическую механику с помощью своей H -теоремы .

Обложка текста Гиббса по статистической механике

Термин «статистическая механика» был введен американским физиком-математиком Дж. Уиллардом Гиббсом в 1884 году. По мнению Гиббса, термин «статистический» в контексте механики, т. е. статистической механики, впервые был использован шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом в 1871 году:

«Имея дело с массами материи, пока мы не воспринимаем отдельные молекулы, мы вынуждены принять то, что я назвал статистическим методом расчета, и отказаться от строгого динамического метода, в котором мы следим за каждым движением с помощью исчисления. ."

— Дж. Клерк Максвелл

«Вероятностная механика» сегодня может показаться более подходящим термином, но «статистическая механика» прочно укоренилась. Незадолго до своей смерти Гиббс опубликовал в 1902 году «Элементарные принципы статистической механики» — книгу, которая формализовала статистическую механику как полностью общий подход к рассмотрению всех механических систем — макроскопических или микроскопических, газообразных или негазообразных. Методы Гиббса первоначально были выведены в рамках классической механики , однако они были настолько общны, что, как выяснилось, легко адаптировались к более поздней квантовой механике и до сих пор составляют основу статистической механики.

Принципы: механика и ансамбли.

Основные статьи: Механико - статистический ансамбль

В физике обычно рассматривают два типа механики: классическую механику и квантовую механику . Для обоих типов механики стандартный математический подход заключается в рассмотрении двух концепций:

• Полное состояние механической системы в данный момент времени, математически закодированное как фазовая точка (классическая механика) или чисто квантовый вектор состояния (квантовая механика).
• Уравнение движения, которое переносит состояние вперед во времени: уравнения Гамильтона (классическая механика) или уравнение Шредингера (квантовая механика).

Используя эти две концепции, в принципе можно вычислить состояние в любой другой момент времени, в прошлом или будущем.Однако существует разрыв между этими законами и опытом повседневной жизни, поскольку мы не считаем необходимым (и даже теоретически возможным) точно знать на микроскопическом уровне одновременные положения и скорости каждой молекулы при осуществлении процессов в человеческом масштабе ( например, при проведении химической реакции). Статистическая механика заполняет этот разрыв между законами механики и практическим опытом неполного знания, добавляя некоторую неопределенность относительно того, в каком состоянии находится система.

В то время как обычная механика рассматривает поведение только одного состояния, статистическая механика вводит статистический ансамбль , который представляет собой большую коллекцию виртуальных независимых копий системы в различных состояниях. Статистический ансамбль представляет собой распределение вероятностей по всем возможным состояниям системы. В классической статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по фазовым точкам (в отличие от одной фазовой точки в обычной механике), обычно представляемое как распределение в фазовом пространстве с каноническими осями координат. В квантовой статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по чистым состояниям и может быть компактно резюмирован как матрица плотности .

Как обычно для вероятностей, ансамбль можно интерпретировать по-разному:

• ансамбль может быть использован для представления различных возможных состояний, отдельная система в которых может находиться ( эпистемическая вероятность , форма знания), или
• под членами ансамбля можно понимать состояния систем в экспериментах, повторяемых на независимых системах, приготовленных сходным, но несовершенно контролируемым способом ( эмпирическая вероятность ), в пределе бесконечного числа испытаний.

Эти два значения эквивалентны для многих целей и в этой статье будут использоваться как взаимозаменяемые.

Как бы ни интерпретировалась вероятность, каждое состояние в ансамбле развивается с течением времени в соответствии с уравнением движения. Таким образом, сам ансамбль (распределение вероятностей по состояниям) также развивается, поскольку виртуальные системы в ансамбле постоянно покидают одно состояние и входят в другое. Эволюция ансамбля задается уравнением Лиувилля (классическая механика) или уравнением фон Неймана (квантовая механика). Эти уравнения просто выводятся путем применения механического уравнения движения отдельно к каждой виртуальной системе, содержащейся в ансамбле, с вероятностью того, что виртуальная система сохраняется с течением времени по мере ее развития от состояния к состоянию.

Особый класс ансамблей — это ансамбли, которые не развиваются с течением времени. Эти ансамбли известны как равновесные ансамбли , а их состояние известно как статистическое равновесие . Статистическое равновесие наступает, если для каждого состояния ансамбля ансамбль также содержит все его будущие и прошлые состояния с вероятностями, равными вероятности нахождения в этом состоянии. (Напротив, механическое равновесие — это состояние с балансом сил, которое перестало развиваться.) Изучение равновесных ансамблей изолированных систем находится в центре внимания статистической термодинамики. Неравновесная статистическая механика рассматривает более общий случай ансамблей, которые изменяются с течением времени, и/или ансамблей неизолированных систем.

Статистическая термодинамика

Основная цель статистической термодинамики (также известной как равновесная статистическая механика) — вывести классическую термодинамику материалов с точки зрения свойств составляющих их частиц и взаимодействий между ними. Другими словами, статистическая термодинамика обеспечивает связь между макроскопическими свойствами материалов, находящихся в термодинамическом равновесии , и микроскопическим поведением и движениями, происходящими внутри материала.

Если собственно статистическая механика предполагает динамику, то здесь внимание сосредоточено на статистическом равновесии (стационарном состоянии). Статистическое равновесие не означает, что частицы прекратили движение ( механическое равновесие ), а лишь то, что ансамбль не развивается.

Фундаментальный постулат

Достаточным (но не необходимым) условием статистического равновесия с изолированной системой является то , что распределение вероятностей является функцией только сохраняющихся свойств (полной энергии, полного числа частиц и т. д.). Можно рассматривать множество различных равновесных ансамблей, и лишь некоторые из них соответствуют термодинамике. Дополнительные постулаты необходимы для обоснования того, почему ансамбль данной системы должен иметь ту или иную форму.

Общий подход, встречающийся во многих учебниках, заключается в принятии постулата априорной равной вероятности . Этот постулат гласит, что

находиться Для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом система может с равной вероятностью в любом микросостоянии, согласующемся с этим знанием.

Таким образом, постулат равной априорной вероятности обеспечивает мотивацию для микроканонического ансамбля, описанного ниже. Существуют различные аргументы в пользу постулата равной априорной вероятности:

• Эргодическая гипотеза : Эргодическая система — это система, которая развивается с течением времени для исследования «всех доступных» состояний: всех тех, которые имеют одинаковую энергию и состав. В эргодической системе микроканонический ансамбль является единственно возможным равновесным ансамблем с фиксированной энергией. Этот подход имеет ограниченную применимость, поскольку большинство систем не являются эргодическими.
• Принцип безразличия : при отсутствии какой-либо дополнительной информации мы можем только приписать равные вероятности каждой совместимой ситуации.
• Максимальная информационная энтропия : более сложная версия принципа безразличия гласит, что правильный ансамбль — это ансамбль, который совместим с известной информацией и имеет наибольшую энтропию Гиббса ( информационную энтропию ).

Были предложены и другие фундаментальные постулаты статистической механики. Например, недавние исследования показывают, что теория статистической механики может быть построена без постулата равной априорной вероятности. Один из таких формализмов основан на фундаментальном термодинамическом соотношении вместе со следующим набором постулатов:

1. Функция плотности вероятности пропорциональна некоторой функции параметров ансамбля и случайных величин.
2. Термодинамические функции состояния описываются средними по ансамблю случайных величин.
3. Энтропия, определенная формулой энтропии Гиббса, совпадает с энтропией, определенной в классической термодинамике .

где третий постулат можно заменить следующим:

3. При бесконечной температуре все микросостояния имеют одинаковую вероятность.

Три термодинамических ансамбля

Основные статьи: Ансамбль (математическая физика) , Микроканонический ансамбль , Канонический ансамбль и Большой канонический ансамбль

Существуют три равновесных ансамбля простой формы, которые можно определить для любой изолированной системы, ограниченной внутри конечного объема. Это наиболее часто обсуждаемые ансамбли в статистической термодинамике. В макроскопическом пределе (определенном ниже) все они соответствуют классической термодинамике.

Микроканонический ансамбль

описывает систему с точно заданной энергией и фиксированным составом (точным числом частиц). Микроканонический ансамбль с равной вероятностью содержит все возможные состояния, соответствующие этой энергии и составу.

Канонический ансамбль

описывает систему фиксированного состава, находящуюся в тепловом равновесии с тепловой баней точной температуры . Канонический ансамбль содержит состояния разной энергии, но одинакового состава; различным состояниям ансамбля присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии.

Большой канонический ансамбль

описывает систему с нефиксированным составом (неопределенным количеством частиц), находящуюся в термическом и химическом равновесии с термодинамическим резервуаром. Резервуар имеет точную температуру и точный химический потенциал для различных типов частиц. Большой канонический ансамбль содержит состояния различной энергии и различного числа частиц; различным состояниям ансамбля присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии и общего числа частиц.

Для систем, содержащих много частиц ( термодинамический предел ), все три перечисленных выше ансамбля имеют тенденцию вести себя одинаково. Тогда это просто вопрос математического удобства, какой ансамбль использовать. Теорема Гиббса об эквивалентности ансамблей была развита в теорию явления концентрации меры , который имеет приложения во многих областях науки, от функционального анализа до методов искусственного интеллекта и больших данных . технологий

Важные случаи, когда термодинамические ансамбли не дают идентичных результатов, включают:

• Микроскопические системы.
• Большие системы при фазовом переходе.
• Большие системы с дальнодействующими взаимодействиями.

В этих случаях необходимо выбрать правильный термодинамический ансамбль, поскольку между этими ансамблями существуют наблюдаемые различия не только в размере флуктуаций, но и в средних величинах, таких как распределение частиц. Правильный ансамбль — это тот, который соответствует способу подготовки и характеристики системы, другими словами, ансамбль, отражающий знания об этой системе.

Термодинамические ансамбли

	Микроканонический	Канонический	Великий канонический
Фиксированные переменные	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
Микроскопические особенности	Количество микросостояний	Каноническая функция распределения	Функция грандиозного раздела
	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}$
Макроскопическая функция	Энтропия Больцмана	Свободная энергия Гельмгольца	Большой потенциал
	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

Методы расчета

После того, как характеристическая функция состояния ансамбля рассчитана для данной системы, эта система «решается» (макроскопические наблюдаемые могут быть извлечены из характеристической функции состояния). Однако вычисление характеристической функции состояния термодинамического ансамбля не обязательно является простой задачей, поскольку оно предполагает рассмотрение всех возможных состояний системы. Хотя некоторые гипотетические системы удалось точно решить, наиболее общий (и реалистичный) случай слишком сложен для точного решения. Существуют различные подходы для аппроксимации истинного ансамбля и расчета средних величин.

Точный

Есть случаи, допускающие точные решения.

• Для очень маленьких микроскопических систем ансамбли можно вычислить напрямую, просто перебрав все возможные состояния системы (с использованием точной диагонализации в квантовой механике или интеграла по всему фазовому пространству в классической механике).
• Некоторые крупные системы состоят из множества разделимых микроскопических систем, и каждую из подсистем можно анализировать независимо. Примечательно, что идеализированные газы из невзаимодействующих частиц обладают этим свойством, что позволяет точно вывести статистику Максвелла-Больцмана , статистику Ферми-Дирака и статистику Бозе-Эйнштейна .
• Было решено несколько крупных систем с взаимодействием. С помощью тонких математических методов были найдены точные решения для нескольких игрушечных моделей . Некоторые примеры включают анзац Бете , модель Изинга с квадратной решеткой в ​​нулевом поле, модель жесткого шестиугольника .

Монте-Карло

Основная статья: Метод Монте-Карло в статистической механике

Хотя некоторые проблемы статистической физики можно решить аналитически с использованием аппроксимаций и расширений, в большинстве современных исследований для моделирования или аппроксимации решений используются большие вычислительные мощности современных компьютеров. Распространенным подходом к статистическим задачам является использование моделирования Монте-Карло, чтобы получить представление о свойствах сложной системы . Методы Монте-Карло важны в вычислительной физике , физической химии и смежных областях и имеют разнообразные применения, включая медицинскую физику , где они используются для моделирования переноса радиации для расчетов дозиметрии радиации.

Метод Монте-Карло исследует лишь несколько возможных состояний системы, причем состояния выбираются случайным образом (с достаточным весом). Поскольку эти состояния образуют репрезентативную выборку всего множества состояний системы, получается приближенная характеристическая функция. По мере включения все большего и большего количества случайных выборок ошибки уменьшаются до сколь угодно низкого уровня.

• Алгоритм Метрополиса-Гастингса — это классический метод Монте-Карло, который первоначально использовался для выборки канонического ансамбля.
• Интеграл по путям Монте-Карло , также используемый для выборки канонического ансамбля.

Другой

• Для разреженных неидеальных газов такие подходы, как кластерное расширение, используют теорию возмущений для учета эффекта слабых взаимодействий, приводящих к вириальному расширению .
• Для плотных жидкостей другой приближенный подход основан на приведенных функциях распределения, в частности радиальной функции распределения .
• Компьютерное моделирование молекулярной динамики можно использовать для расчета средних значений микроканонического ансамбля в эргодических системах. Благодаря подключению к стохастической тепловой бане они также могут моделировать канонические и великие канонические условия.
• Могут быть полезны смешанные методы, включающие неравновесные статистические механические результаты (см. ниже).

Неравновесная статистическая механика

Смотрите также: Неравновесная термодинамика.

Многие физические явления включают квазитермодинамические процессы, выходящие из равновесия, например:

• перенос тепла за счет внутренних движений в материале , вызванных температурным дисбалансом,
• электрические токи, переносимые движением зарядов в проводнике , вызванным дисбалансом напряжений,
• самопроизвольные химические реакции, вызванные уменьшением свободной энергии,
• трение , диссипация , квантовая декогеренция ,
• системы, накачиваемые внешними силами ( оптическая накачка и т.п.),
• и необратимые процессы в целом.

Все эти процессы происходят во времени с характерными скоростями. Эти скорости важны в технике. Область неравновесной статистической механики занимается пониманием этих неравновесных процессов на микроскопическом уровне. (Статистическая термодинамика может быть использована для расчета окончательного результата только после устранения внешних дисбалансов и возвращения ансамбля в состояние равновесия.)

В принципе, неравновесная статистическая механика может быть математически точной: ансамбли изолированной системы развиваются со временем в соответствии с детерминированными уравнениями, такими как уравнение Лиувилля или его квантовый эквивалент, уравнение фон Неймана . Эти уравнения являются результатом применения механических уравнений движения независимо к каждому состоянию ансамбля. Эти уравнения эволюции ансамбля унаследовали большую часть сложности основного механического движения, поэтому получить точные решения очень сложно. ансамбля Более того, уравнения эволюции ансамбля полностью обратимы и не уничтожают информацию ( энтропия Гиббса сохраняется). Чтобы добиться успехов в моделировании необратимых процессов, необходимо учитывать дополнительные факторы, помимо вероятности и обратимой механики.

Поэтому неравновесная механика является активной областью теоретических исследований, поскольку область применимости этих дополнительных предположений продолжает изучаться. Несколько подходов описаны в следующих подразделах.

Стохастические методы

Один из подходов к неравновесной статистической механике состоит в том, чтобы включить стохастическое в систему (случайное) поведение. Стохастическое поведение разрушает информацию, содержащуюся в ансамбле. Хотя это технически неточно (за исключением гипотетических ситуаций, связанных с черными дырами , система сама по себе не может вызвать потерю информации), случайность добавляется для отражения того, что интересующая информация со временем преобразуется в тонкие корреляции внутри системы или в корреляции между система и окружающая среда. Эти корреляции проявляются как хаотические или псевдослучайные влияния на интересующие переменные. Заменив эти корреляции собственно случайностью, расчеты можно значительно упростить.

• Уравнение переноса Больцмана . Ранняя форма стохастической механики появилась еще до того, как был придуман термин «статистическая механика», в исследованиях кинетической теории . Джеймс Клерк Максвелл продемонстрировал, что молекулярные столкновения приводят к явно хаотическому движению внутри газа. Людвиг Больцман впоследствии показал, что, если принять этот молекулярный хаос как нечто само собой разумеющееся как полную хаотизацию, движения частиц в газе будут следовать простому уравнению переноса Больцмана , которое быстро восстановит газ в равновесное состояние (см. H-теорему ).

  Уравнение переноса Больцмана и связанные с ним подходы являются важными инструментами неравновесной статистической механики из-за их чрезвычайной простоты. Эти приближения хорошо работают в системах, где «интересная» информация немедленно (всего после одного столкновения) сводится к тонким корреляциям, что по существу ограничивает их применение разреженными газами. Уравнение переноса Больцмана оказалось очень полезным при моделировании электронного транспорта в слаболегированных полупроводниках (в транзисторах ), где электроны действительно аналогичны разреженному газу.

  Квантовая техника, связанная с этой темой, - это приближение случайной фазы .
• Иерархия ББГКИ :В жидкостях и плотных газах нельзя сразу отбрасывать корреляции между частицами после одного столкновения. Иерархия BBGKY (иерархия Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона) дает метод вывода уравнений типа Больцмана, но также расширяет их за пределы случая разбавленного газа, включая корреляции после нескольких столкновений.
• Формализм Келдыша (он же NEGF — неравновесные функции Грина):Квантовый подход к включению стохастической динамики находится в формализме Келдыша. Этот подход часто используется в расчетах электронного квантового транспорта .
• Стохастическое уравнение Лиувилля .

Околоравновесные методы

Другой важный класс неравновесных статистико-механических моделей касается систем, которые лишь незначительно отклоняются от равновесия. При очень малых возмущениях отклик можно проанализировать в рамках теории линейного отклика . Замечательный результат, формализованный теоремой о флуктуации-диссипации , заключается в том, что реакция системы, находящейся близко к равновесию, точно связана с флуктуациями , которые происходят, когда система находится в полном равновесии. По сути, система, которая немного отодвинута от равновесия - независимо от того, введена ли она туда внешними силами или флуктуациями, - расслабляется в направлении равновесия таким же образом, поскольку система не может заметить разницу или «знать», как она вышла из равновесия.

Это обеспечивает косвенный способ получения таких чисел, как омическая проводимость и теплопроводность, путем извлечения результатов из равновесной статистической механики. Поскольку равновесная статистическая механика математически четко определена и (в некоторых случаях) более доступна для расчетов, связь флуктуации и диссипации может быть удобным ярлыком для расчетов в почти равновесной статистической механике.

Некоторые из теоретических инструментов, используемых для установления этой связи, включают:

• Теорема о флуктуации-диссипации
• Онсагерские взаимные отношения
• Отношения Грина-Кубо
• Формализм Ландауэра – Бюттикера
• Формализм Мори – Двадцати
• ОБЩИЙ формализм

Гибридные методы

Усовершенствованный подход использует комбинацию стохастических методов и теории линейного отклика . Например, одним из подходов к вычислению эффектов квантовой когерентности ( слабая локализация , флуктуации проводимости ) в проводимости электронной системы является использование соотношений Грина-Кубо с учетом стохастической дефазировки за счет взаимодействий между различными электронами с помощью уравнения Метод Келдыша.

Приложения

Формализм ансамбля можно использовать для анализа общих механических систем с неопределенностью в знаниях о состоянии системы. Ансамбли также используются в:

• распространение неопределенности во времени,
• регрессионный анализ гравитационных орбит ,
• ансамблевый прогноз погоды,
• динамика нейронных сетей ,
• ограниченно-рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике.

Статистическая физика объясняет и количественно описывает сверхпроводимость , сверхтекучесть , турбулентность , коллективные явления в твердых телах и плазме , структурные особенности жидкости . Оно лежит в основе современной астрофизики . В физике твердого тела статистическая физика помогает изучать жидкие кристаллы , фазовые переходы и критические явления . Многие экспериментальные исследования материи целиком основаны на статистическом описании системы. К ним относятся рассеяние холодных нейтронов , рентгеновское излучение , видимый свет и многое другое. Статистическая физика также играет роль в материаловедении, ядерной физике, астрофизике, химии, биологии и медицине (например, в изучении распространения инфекционных заболеваний).

Аналитические и вычислительные методы, основанные на статистической физике неупорядоченных систем, могут быть распространены на крупномасштабные задачи, включая машинное обучение, например, для анализа весового пространства глубоких нейронных сетей . Таким образом, статистическая физика находит применение в области медицинской диагностики .

Квантовая статистическая механика

Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , ядерным оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H, описывающим квантовую систему. . Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики . Один из таких формализмов обеспечивается квантовой логикой .

См. также

• Квантовая статистическая механика
• Список учебников по термодинамике и статистической механике
• Преобразование Лапласа

Дальнейшее чтение

• Рейф, Ф. (2009). Основы статистической и теплофизики . Уэйвленд Пресс. ISBN  978-1-4786-1005-2 .
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2013). Основы статистической физики (PDF) . дои : 10.1142/8709 . ISBN  978-981-4449-53-3 .
• Каданов, Лео П. «Статистическая физика и другие ресурсы» . Архивировано из оригинала 12 августа 2021 года . Проверено 18 июня 2023 г.
• Каданов, Лео П. (2000). Статистическая физика: статика, динамика и перенормировка . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-3764-6 .
• Фламм, Дитер (1998). «История и перспективы статистической физики». arXiv : физика/9803005 .

Внешние ссылки

• «Философия статистической механики» Статья Лоуренса Склара для Стэнфордской энциклопедии философии .
• Склогвики — Термодинамика, статистическая механика и компьютерное моделирование материалов. SklogWiki особенно ориентирован на жидкости и мягкие конденсированные вещества.
• Термодинамика и статистическая механика Ричарда Фицпатрика
• Коэн, Дорон (2011). «Конспект лекций по статистической механике и мезоскопике». arXiv : 1107.0568 .
• Видео серии лекций по статистической механике на YouTube, которые читает Леонард Сасскинд .
• Ву-Куок, Л., Конфигурационный интеграл (статистическая механика) , 2008. Этот вики-сайт недоступен; эту статью смотрите в веб-архиве от 28 апреля 2012 года .