Jump to content

Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками

Пример периодических мозаик

Обычная плитка имеет один тип регулярной грани.

Полурегулярная или равномерная мозаика имеет один тип вершин , но два или более типов граней.

k имеет -однородная мозаика k типов вершин и два или более типов правильных граней.

Мозаика без от края до края может иметь правильные грани разного размера.

евклидовой плоскости Замощения выпуклыми правильными многоугольниками широко использовались с древности. Первой систематической математической трактовкой была работа Кеплера в его «Harmonices Mundi» ( лат . «Гармония мира» , 1619).

Обозначения евклидовых мозаик

[ редактировать ]

Евклидовы мозаики обычно называют в честь обозначений Канди и Роллетта. [1] Это обозначение представляет (i) количество вершин, (ii) количество многоугольников вокруг каждой вершины (расположенных по часовой стрелке) и (iii) количество сторон каждого из этих многоугольников. Например: 3 6 ; 3 6 ; 3 4 .6 говорит нам, что существует 3 вершины с 2 разными типами вершин, поэтому это замощение будет классифицироваться как «3-однородное (2-типы вершин)». Сломанная, 3 6 ; 3 6 (оба разного класса транзитивности), или (3 6 ) 2 , говорит нам, что есть 2 вершины (обозначаются верхним индексом 2), каждая из которых имеет 6 равносторонних 3-сторонних многоугольников (треугольников). С конечной вершиной 3 4 .6, еще 4 смежных равносторонних треугольника и один правильный шестиугольник.

Однако у этого обозначения есть две основные проблемы, связанные с неоднозначной конформацией и уникальностью. [2] Во-первых, когда речь идет о k-однородных мозаиках, обозначения не объясняют отношений между вершинами. Это делает невозможным создание покрытой плоскости, используя только обозначения. А во-вторых, некоторые мозаики имеют одинаковую номенклатуру, они очень похожи, но можно заметить, что взаимное расположение шестиугольников различно. Следовательно, вторая проблема заключается в том, что эта номенклатура не уникальна для каждой тесселяции.

Чтобы решить эти проблемы, используются обозначения ГомДжау-Хогга. [3] представляет собой слегка измененную версию исследования и обозначений, представленных в 2012 году, [2] о создании и номенклатуре тесселяций и двухслойных сеток. Антверпен v3.0, [4] бесплатное онлайн-приложение позволяет бесконечно генерировать мозаику из правильных многоугольников с помощью набора этапов размещения фигур и итеративных операций вращения и отражения, полученных непосредственно из нотации ГомДжау-Хогга.

Регулярные мозаики

[ редактировать ]

Следуя Грюнбауму и Шепарду (раздел 1.3), замощение называется регулярным , если группа симметрии замощения действует транзитивно на флаги замощения, где флагом является тройка, состоящая из взаимно инцидентной вершины , ребра и плитки разбиения. укладка плитки. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, отображающая первый флаг на второй. Это эквивалентно мозаике, представляющей собой мозаику от края до края равными правильными многоугольниками. Должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника в вершине, что дает три правильных мозаики .

Регулярные мозаики (3)
п6м, *632 п4м, *442

К&Р: 3 6
GJ-H: 3/м30/р(ч2)
( т = 1, е = 1)

К&Р: 6 3
GJ-H: 6/м30/р(ч1)
( т = 1, е = 1)

К&Р: 4 4
GJ-H: 4/м45/р(ч1)
( т = 1, е = 1)

C&R: обозначения Канди и Роллета.
GJ-H: обозначение GomJau-Hogg

Архимедовы, равномерные или полуправильные мозаики

[ редактировать ]

Вершинная транзитивность означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, переводящая первую вершину во вторую. [5]

Если требование транзитивности флагов ослабляется до требования транзитивности вершин, при этом сохраняется условие, что мозаика является сквозной, возможны восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовы , равномерные или полурегулярные мозаики. Обратите внимание, что существуют две зеркальные формы (энантиоморфные или киральные ) формы 3. 4 .6 (плосконосая шестиугольная) черепица, только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные правильные и полуправильные замощения ахиральны.

Однородные плитки (8)
п6м, *632



К&Р: 3.12 2
GJ-H: 12-3/м30/р(ч3)
( т = 2, е = 2)
т {6,3}



C&R: 3.4.6.4
ГЮ-Х: 6-4-3/м30/р(c2)
( т = 3, е = 2)
рр {3,6}



C&R: 4.6.12
GJ-H: 12-6,4/м30/р(с2)
( т = 3, е = 3)
тр {3,6}



К&Р: (3,6) 2
ГЮ-Х: 6-3-6/м30/р(v4)
( т = 2, е = 1)
р {6,3}



C&R: 4,8 2
ГЮ-Х: 8-4/м90/р(h4)
( т = 2, е = 2)
т {4,4}



К&Р: 3 2 .4.3.4
ГЮ-Х: 4-3-3,4/r90/r(h2)
( т = 2, е = 2)
с {4,4}



К&Р: 3 3 .4 2
ГД-Х: 4-3/м90/р(ч2)
( т = 2, е = 3)
{3,6}: и



К&Р: 3 4 .6
ГЮ-Х: 6-3-3/r60/r(h5)
( т = 3, е = 3)
ср {3,6}

C&R: обозначения Канди и Роллета.
GJ-H: обозначение GomJau-Hogg

Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедовых , поскольку оно относится только к локальному свойству одинакового расположения плиток вокруг каждой вершины, и как единообразное , поскольку относится к глобальному свойству вершинной транзитивности. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, которые не являются однородными.

Плосковершинные мозаики

[ редактировать ]

Существует 17 комбинаций правильных выпуклых многоугольников, образующих 21 тип плосковершинных мозаик . [6] [7] Полигоны в них встречаются в точках без разрывов или перекрытий. Если перечислять их вершинные фигуры , то у одного будет 6 полигонов, у троих — 5 полигонов, у семи — 4 полигона, а у десяти — 3 полигона. [8]

Как подробно описано в разделах выше, три из них могут образовывать правильные мозаики (6 3 , 4 4 , 3 6 ), и еще восемь могут составлять полуправильные или архимедовы замощения , (3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, (3.6) 2 , 3.4.6.4, 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6). Четыре из них могут существовать в более высоких k -однородных мозаиках (3.3.4.12, 3.4.3.12, 3.3.6.6, 3.4.4.6), тогда как шесть нельзя использовать для полного замощения плоскости правильными многоугольниками без пробелов и перекрытий - они полностью замощить пространство только при включении неправильных многоугольников (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5.5.10). [9]

Плосковершинные мозаики
6
3 6
5
3.3.4.3.4

3.3.3.4.4

3.3.3.3.6
4
3.3.4.12

3.4.3.12

3.3.6.6

(3.6) 2

3.4.4.6

3.4.6.4

4 4
3
3.7.42

3.8.24

3.9.18

3.10.15

3.12.12

4.5.20

4.6.12

4.8.8

5.5.10

6 3

k - однородные мозаики

[ редактировать ]

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует k орбит вершин, мозаика называется k -равномерной или k -изогональной; если существует t орбит плиток, то t -изоэдра; если существует e орбит ребер, то e -изотоксал.

k -однородные мозаики с одинаковыми фигурами вершин можно дополнительно идентифицировать по симметрии группы обоев .

К 1-однородным мозаикам относятся 3 правильных мозаики и 8 полуправильных мозаик с 2 и более типами граней правильных многоугольников. Существует 20 2-однородных замощений, 61 3-однородных замощений, 151 4-однородных замощений, 332 5-однородных замощений и 673 6-однородных замощений. Каждый из них может быть сгруппирован по числу m различных фигур вершин, которые также называются m -архимедовыми мозаиками. [10]

Наконец, если количество типов вершин такое же, как и однородность ( m = k ниже), то мозаика называется Кротенхердтом . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m k ), поскольку разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Полагая m = n = k , существует 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик для n = 2; 39 таких разбиений для n = 3; 33 таких мозаики для n = 4; 15 таких мозаик для n = 5; 10 таких мозаик для n = 6; и 7 таких мозаик для n = 7.

Ниже приведен пример 3-однородной мозаики:

Цветная 3-однородная плитка № 57 из 61

сторонами, желтыми треугольниками, красными квадратами (многоугольниками)

по 4-изоэдральным позициям, 3 заштрихованным цветам треугольников (по орбитам)
k - равномерный, m - количество архимедовых мозаик [11] [12]
м -Архимедова
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ≥ 15 Общий
к -равномерный 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11
2 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20
3 0 22 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 61
4 0 33 85 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 151
5 0 74 149 94 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 332
6 0 100 284 187 92 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 673
7 0 ? ? ? ? ? 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1472
8 0 ? ? ? ? ? 20 0 0 0 0 0 0 0 0 2850
9 0 ? ? ? ? ? ? 8 0 0 0 0 0 0 0 5960
10 0 ? ? ? ? ? ? 27 0 0 0 0 0 0 0 11866
11 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 24459
12 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 49794
13 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 103082
14 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ?
≥ 15 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?
Общий 11 0

2-однородные мозаики

[ редактировать ]

Существует двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (также называемые 2- изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками ) [5] : 62-67  [13] [14] Типы вершин указаны для каждой. Если два мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.

2-однородные мозаики (20)
п6м, *632 п4м, *442

[3 6 ; 3 2 .4.3.4]
3-4-3/м30/об(с3)
( т = 3, е = 3)

[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4]
6-4-3,3/м30/об(ч1)
( т = 4, е = 4)

[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ]
6-4-3-3/м30/р(h5)
( т = 4, е = 4)

[3.4.6.4; 3.4 2 .6]
6-4-3,4-6/м30/р(с4)
( т = 5, е = 5)

[4.6.12; 3.4.6.4]
12-4,6-3/м30/об(с3)
( т = 4, е = 4)

[3 6 ; 3 2 .4.12]
12-3,4-3/м30/р(с3)
( т = 4, е = 4)

[3.12.12; 3.4.3.12]
12-0,3,3-0,4/м45/м(ч1)
( т = 3, е = 3)
п6м, *632 стр6, 632 стр6, 632 см, 2*22 пмм, *2222 см, 2*22 пмм, *2222

[3 6 ; 3 2 .6 2 ]
3-6/м30/об(с2)
( т = 2, е = 3)

[3 6 ; 3 4 .6] 1
6-3,3-3/м30/р(ч1)
( т = 3, е = 3)

[3 6 ; 3 4 .6] 2
6-3-3,3-3/r60/r(h8)
( т = 5, е = 7)

[3 2 .6 2 ; 3 4 .6]
6-3/м90/р(ч1)
( т = 2, е = 4)

[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ]
6-3,6/м90/р(ч3)
( т = 2, е = 3)

[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2
6-3,4-6-3,4-6,4/м90/р(с6)
( т = 3, е = 4)

[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1
6-3,4/м90/р(ч4)
( т = 4, е = 4)
п4г, 4*2 пгг, 22× см, 2*22 см, 2*22 пмм, *2222 см, 2*22

[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1
4-3,3-4,3/р90/м(ч3)
( т = 4, е = 5)

[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2
4-3,3,3-4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45)
( т = 3, е = 6)

[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1
4-3/м(h4)/м(h3)/r(h2)
( т = 2, е = 4)

[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2
4-4-3-3/м90/р(ч3)
( т = 3, е = 5)

[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1
4-3,4-3,3/м90/р(ч3)
( т = 3, е = 4)

[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2
4-3-3-3/m90/r(h7)/r(h5)
( т = 4, е = 5)

Высшие k -однородные мозаики

[ редактировать ]

k -однородные мозаики пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаики евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин. типы вершин.

Фрактализация k -однородных мозаик

[ редактировать ]

Существует много способов создания новых k -однородных мозаик из старых k -однородных мозаик. Например, обратите внимание, что 2-однородная [3.12.12; 3.4.3.12] замощение имеет квадратную решетку, 4(3-1)-однородную [343.12; (3.12 2 )3] имеет курносую квадратную решетку и 5(3-1-1)-однородную [334.12; 343,12; (3.12.12)3] замощение имеет вытянутую треугольную решетку. Эти однородные мозаики более высокого порядка используют ту же решетку, но обладают большей сложностью. Фрактализационная основа этих разбиений следующая: [15]

Треугольник Квадрат Шестиугольник рассеченный
Додекагон
Форма
Фрактализация

Длины сторон расширены в раз. .

Аналогично это можно сделать, взяв в основу усеченную тригексагональную мозаику с соответствующим расширением .

Треугольник Квадрат Шестиугольник рассеченный
Додекагон
Форма
Фрактализация

Примеры фрактализации

[ редактировать ]
Усеченная шестиугольная плитка Усеченная трехгексагональная плитка
Фрактализация

Плитки, не прилегающие к краю

[ редактировать ]

Выпуклые правильные многоугольники также могут образовывать плоские мозаики, которые не являются смежными. Такие мозаики можно рассматривать как неправильные многоугольники со смежными коллинеарными краями.

Существует семь семейств изогональных плиток, каждое из которых имеет действительный параметр, определяющий перекрытие сторон соседних плиток или соотношение длин ребер разных плиток. Два семейства создаются из смещенного квадрата, прогрессивного или зигзагообразного положения. Грюнбаум и Шепард называют эти мозаики однородными , хотя это противоречит определению однородности Коксетера, которое требует наличия правильных многоугольников от края до края. [16] Такие изогональные мозаики на самом деле топологически идентичны однородным мозаикам, но имеют другие геометрические пропорции.

Периодические изогональные замощения выпуклыми правильными многоугольниками без ребра
1 2 3 4 5 6 7

Ряды квадратов со смещением по горизонтали

Ряды треугольников со смещением по горизонтали

Укладка квадратами

Три шестиугольника окружают каждый треугольник

Каждый шестиугольник окружен шестью треугольниками.

Треугольники трех размеров
см (2*22) р2 (2222) см (2*22) п4м (*442) п6 (632) п3 (333)
Шестиугольная плитка Квадратная плитка Укладка плитки усеченным квадратом Усеченная шестиугольная плитка Шестиугольная плитка Трехгексагональная плитка

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Канди, HM; Роллетт, AP (1981). Математические модели; . Стрэдброк (Великобритания): Tarquin Publications.
  2. ^ Jump up to: а б Гомес-Хореги, Валентин др.; Отеро, Сезар; и др. (2012). «Генерация и номенклатура тесселяций и двухслойных сеток» . Журнал строительной техники . 138 (7): 843–852. doi : 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000532 . hdl : 10902/5869 .
  3. ^ Гомес-Хореги, Валентин; Хогг, Харрисон; и др. (2021). «Нотация ГомДжау-Хогга для автоматического создания k-равномерных тесселяций с помощью ANTWERP v3.0» . Симметрия . 13 (12): 2376. Бибкод : 2021Symm...13.2376G . дои : 10.3390/sym13122376 . hdl : 10902/23907 .
  4. ^ Хогг, Харрисон; Гомес-Хореги, Валентин. < «Антверпен 3.0» .
  5. ^ Jump up to: а б Кричлоу, К. (1969). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Лондон: Темза и Гудзон. стр. 60–61.
  6. ^ Даллас, Элмсли Уильям (1855), Элементы плоской практической геометрии и т. д. , Джон В. Паркер и сын, стр. 134
  7. ^ Тайлинги и узоры , рисунок 2.1.1, стр.60
  8. ^ Плитки и узоры , стр.58-69.
  9. ^ «Упаковка Пятиугольника-Декагона» . Американское математическое общество . АМС . Проверено 7 марта 2022 г.
  10. ^ k - однородные мозаики из правильных многоугольников. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine, Нильс Леннгрен, 2009 г.
  11. ^ «n-равномерные мозаики» . Вероятностьспорт.com . Проверено 21 июня 2019 г.
  12. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A068599 (Количество n-равномерных мозаик.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 января 2023 г.
  13. ^ Плитки и узоры , Грюнбаум и Шепард, 1986, стр. 65-67.
  14. ^ «В поисках полурегулярных мозаик» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 мая 2016 г. Проверено 4 июня 2015 г.
  15. ^ Чави, Дарра (2014). «МНОГОУГОЛЬНИКИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ III: ПЛОТНЫЕ ДОДЕКАГОНА». Симметрия-культура и наука . 25 (3): 193–210. S2CID   33928615 .
  16. ^ Замощения правильными многоугольниками стр.236
[ редактировать ]

Евклидовы и общие связи мозаики:

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 23e725aba63a3f37ac1341d7fdedbd99__1719354240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/23/99/23e725aba63a3f37ac1341d7fdedbd99.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Euclidean tilings by convex regular polygons - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)