Модель Эрроу – Дебре

В математической экономике модель Эрроу-Дебре представляет собой теоретическую модель общего равновесия . Он утверждает, что при определенных экономических предположениях ( выпуклость предпочтений , совершенная конкуренция и независимость спроса) должен существовать такой набор цен, при котором совокупное предложение будет равняться совокупному спросу на каждый товар в экономике.

Эта модель занимает центральное место в теории общего (экономического) равновесия и часто используется в качестве общего справочника для других микроэкономических моделей. Его предложили Кеннет Эрроу , Жерар Дебре в 1954 году. и Лайонел В. Маккензи независимо в 1954 году, с последующими улучшениями в 1959 году.

Модель AD является одной из наиболее общих моделей конкурентной экономики и важной частью теории общего равновесия , поскольку ее можно использовать для доказательства существования общего равновесия (или вальрасовского равновесия ) в экономике. В целом равновесий может быть много.

Эрроу (1972) и Дебре (1983) были отдельно удостоены Нобелевской премии по экономике за разработку модели. Маккензи, однако, награду не получила.

Официальное заявление

Содержание обеих теорем [фундаментальных теорем экономики благосостояния] — это старые убеждения в экономике. Эрроу и Дебре недавно подошли к этому вопросу с помощью методов, допускающих доказательства.

- Жерар Дебре, Равновесие оценки и оптимум Парето (1954).

Это утверждение совершенно верно; когда-то были убеждения, теперь были знания. Но на карту было поставлено нечто большее. Великие ученые меняют наше представление о мире, о том, кто мы такие. Модель Эрроу-Дебре, изложенная в «Теории стоимости», изменила базовое мышление и быстро стала стандартной моделью теории цен. Это «эталонная» модель в финансах, международной торговле, государственных финансах, транспорте и даже макроэкономике... Довольно быстро она уже не была «такой, какая она есть» у Маршалла, Хикса и Самуэльсона; скорее, в Теории ценности оно стало «таким, какое оно есть».

- Хьюго Зонненшайн, выступления на конференции Дебре, Беркли, 2005 г.

Этот раздел следует за презентацией, на чем основано.

Интуитивное описание модели Эрроу – Дебре.

Модель Эрроу-Дебре моделирует экономику как комбинацию трех типов агентов: домохозяйств, производителей и рынка. Домохозяйства и производители заключают сделки с рынком, а не друг с другом напрямую.

Домохозяйства обладают дарами (наборами товаров, с которых они начинаются), которые можно назвать «наследством». Для математической ясности все домохозяйства должны вначале продать все свои активы на рынке. Если они хотят сохранить часть капитала, им придется позже выкупить их на рынке. Пожертвованиями могут быть рабочее время, использование земли, тонны кукурузы и т. д.

Домохозяйства обладают пропорциональными владениями производителей, которых можно рассматривать как акционерные общества . Прибыль, полученная производителем $j$ делится между домохозяйствами пропорционально тому, какой запас акций каждое домохозяйство имеет для производителя. $j$. Право собственности устанавливается вначале, и домохозяйства не могут продавать, покупать, создавать или выбрасывать их.

Домохозяйства получают бюджет как сумму доходов от продажи капитала и дивидендов от прибыли производителей.

Домохозяйства обладают предпочтениями в отношении наборов товаров, что, согласно данным предположениям, делает их максимизаторами полезности . Домохозяйства выбирают план потребления с максимальной полезностью, которую они могут себе позволить, используя свой бюджет.

Производители способны превращать одни наборы товаров в другие наборы товаров. У производителей нет отдельных функций полезности. Напротив, все они просто максимизируют прибыль.

Рынок способен только «выбирать» вектор рыночных цен, который представляет собой список цен на каждый товар, который принимает каждый производитель и домохозяйство (торгового поведения нет — каждый производитель и домашнее хозяйство являются ценополучателями ) . Рынок не имеет никакой полезности или прибыли. Вместо этого рынок стремится выбрать такой вектор рыночных цен, чтобы, хотя каждое домохозяйство и производитель максимизировали свою собственную полезность и прибыль, их планы потребления и планы производства «гармонизировались». То есть « рынок очищается ». Другими словами, рынок играет роль « вальрасовского аукциониста ».

Как модель Эрроу – Дебре движется от начала до конца.

домохозяйства	продюсеры
получать дары и собственность производителей
продать все пожертвования на рынок
	планировать производство так, чтобы максимизировать прибыль
	заключать договоры купли-продажи между рынком и друг другом
	выполнить производственный план
	продать все на рынке
	отправлять всю прибыль домохозяйствам пропорционально собственности
планировать потребление так, чтобы максимизировать полезность при бюджетных ограничениях
купить запланированное потребление на рынке

Настройка обозначений

Обычно мы записываем индексы агентов в виде верхних индексов, а индексы векторных координат — в виде нижних индексов.

полезные обозначения для действительных векторов

• $x\succeq y$ если $\forall n,x_{n}\geq y_{n}$
• $\mathbb {R} _{+}^{N}$ это набор $x$ такой, что $x\succeq 0$
• $\mathbb {R} _{++}^{N}$ это набор $x$ такой, что $x\succ 0$
• $\Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}$ является N-симплексом . Мы часто называем его ценовым симплексом , поскольку иногда мы масштабируем вектор цены так, чтобы он лежал на нем.

рынок

• Товары как индексируются $n\in 1:N$. Здесь $N$ это количество товаров, которые существуют в экономике. Это конечное число.
• Вектор цен $p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ вектор длины $N$, где каждая координата представляет собой цену товара. Цены могут быть нулевыми или положительными.

домохозяйства

• Домохозяйства индексируются как $i\in I$.
• Каждое домашнее хозяйство начинается с запаса товаров. $r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}$.
• Каждое домохозяйство начинается с кортежа собственности производителей. $\alpha ^{i,j}\geq 0$. Право собственности удовлетворяет $\sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J$.
• Бюджет, который получает домохозяйство, представляет собой сумму его дохода от продажи имущества по рыночной цене плюс прибыль от владения производителями: $$M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)$$( $M$ означает деньги )
• Каждое домохозяйство имеет набор возможностей потребления. $CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}$.
• Каждое домохозяйство имеет отношение предпочтений $\succeq ^{i}$ над $CPS^{i}$.
• С предположениями о $\succeq ^{i}$ (приведено в следующем разделе), каждое отношение предпочтения представляется функцией полезности. $u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]$ по теоремам Дебре . Таким образом, вместо максимизации предпочтений мы можем эквивалентно утверждать, что домохозяйство максимизирует свою полезность.
• План потребления – это вектор $CPS^{i}$, записанный как $x^{i}$.
• $U_{+}^{i}(x^{i})$ является ли набор планов потребления хотя бы столь же предпочтительным, как $x^{i}$.
• Бюджетное множество — это набор планов потребления, которые он может себе позволить: $$B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}$$.
• Для каждого ценового вектора $p$, домохозяйство имеет вектор спроса на товары, так как $D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}$. Эта функция определяется как решение задачи максимизации ограничений. Это зависит как от экономики, так и от первоначального распределения. $$D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})$$Возможно, не для всех оно четко определено. $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$. Однако мы будем использовать достаточно допущений, чтобы оно было четко определено при векторах равновесных цен.

продюсеры

• Производители индексируются как $j\in J$.
• У каждого производителя есть набор производственных возможностей. $PPS^{j}$. Обратите внимание, что вектор предложения может иметь как положительные, так и отрицательные координаты. Например, $(-1,1,0)$ указывает производственный план, при котором 1 единица товара 1 используется для производства 1 единицы товара 2.
• План производства – это вектор $PPS^{j}$, записанный как $y^{j}$.
• Для каждого ценового вектора $p$, у производителя есть вектор предложения товаров, так как $S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}$. Эта функция будет определена как решение задачи максимизации ограничений. Это зависит как от экономики, так и от первоначального распределения. $$S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$$Возможно, не для всех оно четко определено. $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$. Однако мы будем использовать достаточно допущений, чтобы оно было четко определено при векторах равновесных цен.
• Прибыль ​ ​ $$\Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$$

агрегаты

• совокупный набор возможностей потребления $CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}$.
• совокупный набор производственных возможностей $PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}$.
• совокупный фонд $r=\sum _{i}r^{i}$
• совокупный спрос $D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)$
• совокупное предложение $S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)$
• избыточный спрос $Z(p)=D(p)-S(p)-r$

вся экономика

• Экономика – это кортеж $(N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})$. То есть это кортеж, определяющий товары, потребительские предпочтения, наборы потребительских возможностей и наборы производственных возможностей производителей.
• Экономика с начальным распределением — это экономика вместе с кортежем начального распределения. $(r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}$ для экономики.
• Состояние : экономики — это кортеж цен, планов потребления и планов производства для каждого домохозяйства и производителя $((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$.
• Состояние осуществимо тогда и только тогда, когда каждое $x^{i}\in CPS^{i}$, каждый $y^{j}\in PPS^{j}$, и $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$.
• Набор возможных производственных возможностей при наличии обеспеченности $r$, является $PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}$.
• В экономике с распределением состояние, соответствующее вектору цен $p$ является $(p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})$.
• В экономике с распределением вектор цен $p$ – вектор равновесной цены для экономики с начальным распределением, если и только если $$Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}$$То есть, если товар не бесплатен, то предложение точно равно спросу, а если товар бесплатен, то предложение равно спросу или превышает его (мы допускаем избыточное предложение бесплатного товара).
• Состояние является состоянием равновесия тогда и только тогда, когда оно соответствует вектору равновесных цен.

Предположения

по домохозяйствам

предположение	объяснение	можем ли мы расслабиться?
$CPS^{i}$ закрыто	Техническое предположение, необходимое для того, чтобы доказательства работали.	Нет. Это необходимо для существования функций спроса.
локальная ненасыщенность: $\forall x\in CPS^{i},\epsilon >0,$ $\exists x'\in CPS^{i},x'\succ ^{i}x,\|x'-x\|<\epsilon$	Домохозяйства всегда хотят потреблять немного больше.	Нет. Необходимо, чтобы закон Вальраса выполнялся.
$CPS^{i}$ является строго выпуклым	строго убывающая предельная полезность	Да, до простой выпуклости, с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке. См. следующий раздел.
$CPS^{i}$ выпуклый	убывающая предельная полезность	Да, до невыпуклости, с помощью леммы Шепли–Фолкмана .
непрерывность: $U_{+}^{i}(x^{i})$ закрыт.	Технические предположения, необходимые для существования функций полезности по теоремам Дебре .	Нет. Если предпочтение не является непрерывным, то функция избыточного спроса может не быть непрерывной.
$U_{+}^{i}(x^{i})$ является строго выпуклым.	Для двух потребительских наборов любой пакет, расположенный строго между ними, строго лучше, чем меньший.	Да, до простой выпуклости, с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке. См. следующий раздел.
$U_{+}^{i}(x^{i})$ является выпуклым.	Для двух потребительских наборов любой набор между ними не хуже меньшего.	Да, до невыпуклости, с помощью леммы Шепли–Фолкмана .
Домохозяйство всегда имеет по крайней мере один осуществимый план потребления.	нет банкротства	Нет. Это необходимо для существования функций спроса.

о продюсерах

предположение	объяснение	можем ли мы расслабиться?
$PPS^{j}$ является строго выпуклым	эффект масштаба	Да, до простой выпуклости, с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке. См. следующий раздел.
$PPS^{j}$ выпуклый	никакой экономии на масштабе	Да, до невыпуклости, с помощью леммы Шепли–Фолкмана .
$PPS^{j}$ содержит 0.	Производители могут закрыться бесплатно.
$PPS^{j}$ это закрытое множество	Техническое предположение, необходимое для того, чтобы доказательства работали.	Нет. Это необходимо для существования функций снабжения.
$PPS\cap \mathbb {R} _{+}^{N}$ ограничен	Не существует сколь угодно большого «бесплатного обеда».	Нет. Экономике нужен дефицит.
$PPS\cap (-PPS)$ ограничен	Экономика не может повернуть вспять сколь угодно большие трансформации.

Введение искусственного ограничения

Функции $D^{i}(p),S^{j}(p)$ не обязательно четко определены для всех векторов цен $p$. Например, если производитель 1 способен преобразовать $t$ единиц товара 1 в ${\sqrt {(t+1)^{2}-1}}$ единиц товара 2, и мы имеем $p_{1}/p_{2}<1$, то производитель может создавать планы с бесконечной прибылью, таким образом $\Pi ^{j}(p)=+\infty$, и $S^{j}(p)$ является неопределенным.

Следовательно, мы определяем « ограниченный рынок » как тот же рынок, за исключением универсальной верхней границы. $C$, так что каждый производитель обязан использовать производственный план $\|y^{j}\|\leq C$, и каждое домохозяйство обязано использовать план потребления $\|x^{i}\|\leq C$. Обозначьте соответствующие количества на ограниченном рынке тильдой. Так, например, ${\tilde {Z}}(p)$ – функция избыточного спроса на ограниченном рынке.

$C$ выбирается «достаточно большим» для экономики, чтобы ограничение не действовало в условиях равновесия (см. следующий раздел). Подробно, $C$ выбирается достаточно большим, чтобы:

• Для любого плана потребления $x$ такой, что $x\succeq 0,\|x\|=C$План настолько «экстравагантен», что даже если все производители скоординируют свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос.
• Для любого списка производственных планов по экономике $(y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}$, если $\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0$, затем $\|y^{j}\|<C$для каждого $j\in J$. Другими словами, для любого достижимого плана производства при данном запасе $r$, индивидуальный производственный план каждого производителя должен находиться строго в пределах ограничения.

Любое требование выполнимо.

• Определить набор достижимых совокупных производственных планов, которые будут $PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}$, то при предположениях для производителей, приведенных выше (особенно предположении «нет сколь угодно большого бесплатного обеда»), $PPS_{r}$ ограничен для любого $r\succeq 0$ (доказательство опущено). Таким образом, первое требование является выполнимым.
• Определить набор достижимых индивидуальных производственных планов, которые должны быть реализованы. $PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}$тогда при приведенных выше предположениях для производителей (особенно предположении «отсутствия сколь угодно больших преобразований») $PPS_{r}^{j}$ ограничен для любого $j\in J,r\succeq 0$ (доказательство опущено). Таким образом, второе требование является выполнимым.

Оба требования вместе подразумевают, что ограничение не является реальным ограничением, когда планы производства и планы потребления являются « внутренними » по отношению к ограничению.

• Любой ценовой вектор $p$, если $\|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C$, затем $S^{j}(p)$ существует и равен ${\tilde {S}}^{j}(p)$. Другими словами, если производственный план ограниченного производителя находится внутри искусственного ограничения, то неограниченный производитель выберет тот же производственный план. Это доказывается использованием второго требования к $C$.
• Если все $S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)$, то ограниченные и неограниченные домохозяйства имеют одинаковый бюджет. Теперь, если у нас также есть $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C$, затем $D^{i}(p)$ существует и равен ${\tilde {D}}^{i}(p)$. Другими словами, если план потребления домохозяйства с ограничениями находится внутри искусственного ограничения, то домохозяйство без ограничений выберет тот же план потребления. Это доказывается использованием первого требования к $C$.

Эти два положения подразумевают, что равновесие для ограниченного рынка является равновесием для неограниченного рынка:

Теорема — Если $p$ — вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то он также является вектором равновесной цены для неограниченного рынка. Кроме того, у нас есть ${\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)$.

Существование общего равновесия

В качестве последней части конструкции определим закон Вальраса :

• Неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса при $p$ если все $S^{j}(p),D^{i}(p)$ определены, и $\langle p,Z(p)\rangle =0$, то есть, $$\sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle$$
• Ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса при $p$ если только $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0$.

Закон Вальраса можно интерпретировать с обеих сторон:

• Что касается домохозяйств, это говорит о том, что совокупные расходы домохозяйств равны совокупной прибыли и совокупному доходу от продажи пожертвований. Другими словами, каждое домохозяйство тратит весь свой бюджет.
• Со стороны производителей это означает, что совокупная прибыль плюс совокупные затраты равны совокупному доходу.

Теорема — ${\tilde {Z}}$ удовлетворяет слабому закону Вальраса: для всех $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$, $$\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$$ и если $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0$, затем ${\tilde {Z}}(p)_{n}>0$ для некоторых $n$.

Эскиз доказательства

Если общая величина избыточного спроса равна нулю, то каждое домохозяйство израсходовало весь свой бюджет. В противном случае некоторые домохозяйства могут тратить только часть своего бюджета. Следовательно, потребительский набор этого домохозяйства находится на границе ограничения, т.е. $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C$. Мы выбрали (в предыдущем разделе) $C$ быть настолько большим, что даже если все производители будут координировать свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос. Следовательно, существует некоторый товар $n$ такой, что ${\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}$

Теорема . Для ограниченного рынка существует равновесный вектор цен, и в этот момент ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Эскиз доказательства

По определению равновесия, если $p$ — вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то в этот момент ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

${\tilde {Z}}$ является непрерывным, поскольку все ${\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}$ являются непрерывными.

Определить функцию $$f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}$$по цене симплекса, где $\gamma$ — фиксированная положительная константа.

По слабому закону Вальраса эта функция корректно определена. По теореме Брауэра о неподвижной точке у него есть неподвижная точка. Согласно слабому закону Вальраса, эта фиксированная точка является рыночным равновесием.

Обратите внимание, что приведенное выше доказательство не дает итерационного алгоритма нахождения равновесия, поскольку нет гарантии, что функция $f$ является сокращением . Это неудивительно, поскольку нет никакой гарантии (без дополнительных предположений), что любое рыночное равновесие является устойчивым равновесием.

Следствие . Для неограниченного рынка существует равновесный вектор цен, и в этот момент неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Роль выпуклости

Четверть оборота выпуклого единичного круга оставляет точку (0,0) неподвижной, но перемещает каждую точку невыпуклого единичного круга .

Основная статья: Теорема Какутани о неподвижной точке

См. также: Выпуклое множество , Компактное множество , Непрерывная функция , Теорема о неподвижной точке и Теорема Брауэра о неподвижной точке.

В 1954 году Маккензи и пара Эрроу и Дебре независимо доказали существование общего равновесия, применив Какутани о неподвижных точках функции непрерывной теорему из компактного выпуклого множества в себя. В подходе Эрроу – Дебре выпуклость важна, поскольку такие теоремы о неподвижной точке неприменимы к невыпуклым множествам. Например, поворот единичной окружности на 90 градусов лишен неподвижных точек, хотя этот поворот представляет собой непрерывное преобразование компакта в самого себя; хотя единичный круг и компактен, он невыпуклый. Напротив, то же вращение, примененное к выпуклой оболочке единичного круга, оставляет точку (0,0) фиксированной. Обратите внимание: теорема Какутани не утверждает, что существует ровно одна неподвижная точка. Отражение единичного диска по оси Y оставляет фиксированным вертикальный сегмент, так что это отражение имеет бесконечное количество фиксированных точек.

Невыпуклость в крупных экономиках

См. Также: лемма Шепли – Фолкмана и провал рынка.

Предположение о выпуклости исключало множество приложений, которые обсуждались в Журнале политической экономии с 1959 по 1961 год Фрэнсисом М. Бэтором, М. Дж. Фарреллом , Тьяллингом Купмансом и Томасом Дж. Ротенбергом. Росс М. Старр ( 1969 ) доказал существование экономического равновесия , когда некоторые потребительские предпочтения не обязательно должны быть выпуклыми . В своей статье Старр доказал, что «выпуклая» экономика имеет общее равновесие, близкое к «квазиравновесию» исходной экономики; В доказательстве Старра использовалась теорема Шепли-Фолкмана .

Теорема Удзавы об эквивалентности

( Удзава , 1962) показал, что существование общего равновесия в экономике, характеризующейся непрерывной функцией избыточного спроса, удовлетворяющей закону Вальраса, эквивалентно теореме Брауэра о фиксированной точке. Таким образом, использование теоремы Брауэра о неподвижной точке необходимо для доказательства существования равновесия в целом.

Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

В экономике благосостояния одной из возможных задач является поиск оптимального по Парето плана экономики.

Интуитивно можно рассматривать проблему экономики благосостояния как проблему, с которой сталкивается генеральный планировщик всей экономики: при условии, что стартовый капитал $r$ для всего общества планировщик должен выбрать осуществимый генеральный план планов производства и потребления. $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$. Генеральный планировщик имеет широкую свободу в выборе генерального плана, но любой разумный планировщик должен согласиться с тем, что если чью-то полезность можно увеличить, в то время как полезность всех остальных не уменьшится, то это лучший план. То есть следует соблюдать порядок Парето.

Определите порядок Парето на множестве всех планов. $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ к $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})$ если только $x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}$ для всех $i\in I$.

Тогда мы говорим, что план эффективен по Парето относительно начального запаса средств. $r$, если это осуществимо и не существует другого осуществимого плана, который был бы строго лучше в порядке Парето.

В общем, существует целый континуум эффективных по Парето планов для каждого стартового капитала. $r$.

Итак, у нас есть две фундаментальные теоремы экономики благосостояния:

Первая фундаментальная теорема экономики благосостояния : любое состояние рыночного равновесия является эффективным по Парето.

Эскиз доказательства

Гиперплоскость цен разделяет достижимое производство и потребление, лучшее по Парето. То есть гиперплоскость $\langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle$ отделяет $r+PPS_{r}$ и $U_{++}$, где $U_{++}$ это совокупность всех $\sum _{i\in I}x'^{i}$, такой, что $\forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}$, и $\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$. То есть это совокупность всех возможных планов потребления, которые являются строго лучшими по Парето.

Достижимое производство находится на нижней стороне гиперплоскости цен, тогда как потребление, лучшее по Парето, находится строго на верхней стороне гиперплоскости цен. Таким образом, любой план, лучший по Парето, недостижим.

• Любой план потребления, лучший по Парето, должен стоить как минимум столько же для каждого домохозяйства и стоить дороже хотя бы для одного домохозяйства.
• Любой достижимый производственный план должен приносить максимум равную прибыль каждому производителю.

Вторая фундаментальная теорема экономики благосостояния . Для любого совокупного капитала $r$, и в любом эффективном по Парето состоянии, достижимом с использованием этого запаса, существует распределение запасов $\{r^{i}\}_{i\in I}$ и частная собственность $\{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}$ производителей, так что данное состояние является состоянием рыночного равновесия для некоторого вектора цен $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$.

Идея доказательства: любой оптимальный по Парето план потребления отделяется гиперплоскостью от множества достижимых планов потребления. Наклон гиперплоскости будет равновесной ценой. Убедитесь, что при таких ценах каждый производитель и домохозяйство найдут данное состояние оптимальным. Убедитесь, что закон Вальраса выполняется, и что расходы соответствуют доходам плюс прибыли, и поэтому можно обеспечить каждое домохозяйство именно необходимым бюджетом.

Доказательство

Поскольку состояние достижимо, мы имеем $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$. Равенство не обязательно выполняется, поэтому мы определяем набор достижимых совокупных потреблений $V:=\{r+y-z:y\in PPS,z\succeq 0\}$. Любой совокупный потребительский набор в $V$ достижимо, а любое внешнее — нет.

Найдите рыночную цену $p$.

Определять $U_{++}$ быть совокупностью всех $\sum _{i\in I}x'^{i}$, такой, что $\forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}$, и $\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$. То есть это совокупность всех возможных планов потребления, которые являются строго лучшими по Парето. Поскольку каждый $CPS^{i}$ выпукло, и каждое предпочтение выпукло, множество $U_{++}$ также является выпуклым.

Теперь, поскольку состояние оптимально по Парето, множество $U_{++}$ должно быть недостижимо при данном наделении. То есть, $U_{++}$ не пересекается с $V$. Поскольку оба множества выпуклые, между ними существует разделяющая гиперплоскость.

Пусть гиперплоскость определяется формулой $\langle p,q\rangle =c$, где $p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0$, и $c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle$. Знак выбран такой, что $\langle p,U_{++}\rangle \geq c$ и $\langle p,r+PPS\rangle \leq c$.

Требовать: $p\succ 0$.

Предположим, что нет, тогда существует некоторый $n\in 1:N$ такой, что $p_{n}<0$. Затем $\langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c$ если $k$ достаточно велик, но у нас также есть $r+0-ke_{n}\in V$, противоречие.

У нас есть конструкция $\langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c$, и $\langle p,V\rangle \leq c$. Теперь мы утверждаем: $\langle p,U_{++}\rangle >c$.

Для каждого домохозяйства $i$, позволять $U_{+}^{i}(x^{i})$ быть набором планов потребления для $i$ это по крайней мере так же хорошо, как $x^{i}$, и $U_{++}^{i}(x^{i})$ быть набором планов потребления для $i$ это строго лучше, чем $x^{i}$.

По локальной ненасыщенности $\succeq ^{i}$, замкнутое полупространство $\langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle$ содержит $U_{+}^{i}(x^{i})$.

По непрерывности $\succeq ^{i}$, открытое полупространство $\langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle$ содержит $U_{++}^{i}(x^{i})$.

Сложив их, получим, что открытое полупространство $\langle p,q\rangle >c$ содержит $U_{++}$.

Утверждение (закон Вальраса): $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$

Поскольку производство достижимо, мы имеем $r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}$, и поскольку $p\succ 0$, у нас есть $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$.

По построению разделяющей гиперплоскости также имеем $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$, таким образом, мы имеем равенство.

Претензия: по цене $p$, каждый производитель $j$ максимизирует прибыль при $y^{j}$,

Если существует какой-то производственный план $y'^{j}$ так, что один производитель может получить более высокую прибыль $\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle$, затем

$$\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c$$

но тогда у нас будет смысл $r+PPS$ по другую сторону разделяющей гиперплоскости, что нарушает нашу конструкцию.

Претензия: по цене $p$ и бюджет $\langle p,x^{i}\rangle$, семья $i$ максимизирует полезность при $x^{i}$.

В противном случае существует некоторый $x'^{i}$ такой, что $x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$ и $\langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle$. Затем рассмотрим совокупный потребительский набор $q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}$. Это в $U_{++}$, но и удовлетворяет $\langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c$. Но это противоречит предыдущему утверждению, что $\langle p,U_{++}\rangle >c$.

По закону Вальраса совокупный доход и прибыль от пожертвований в точности равны совокупным расходам. Осталось распределить их так, чтобы каждое хозяйство $i$ получает точно $\langle p,x^{i}\rangle$ как его бюджет. Это тривиально.

Вот жадный алгоритм, позволяющий это сделать: сначала распределите все запасы товара 1 среди домохозяйства 1. Если домохозяйство 1 может достичь своего бюджета до того, как распределит все его, то переходите к домохозяйству 2. В противном случае начните распределять все запасы товара 2, и т. д. Аналогично и с собственностью производителей.

Выпуклость против строгой выпуклости

Предположения о строгой выпуклости можно ослабить до выпуклости. Эта модификация превращает функции спроса и предложения из точечных функций в множественные функции (или «соответствия»), а также применение теоремы Брауэра о неподвижной точке к теореме Какутани о неподвижной точке.

Эта модификация аналогична обобщению минимаксной теоремы на существование равновесий Нэша .

Две фундаментальные теоремы экономики благосостояния остаются в силе без изменений.

переход от строгой выпуклости к выпуклости

строго выпуклый случай	выпуклый случай
$PPS^{j}$ является строго выпуклым	$PPS^{j}$ выпуклый
$CPS^{i}$ является строго выпуклым	$CPS^{i}$ выпуклый
$\succeq ^{i}$ является строго выпуклым	$\succeq ^{i}$ выпуклый
${\tilde {S}}^{j}(p)$ оценивается в баллах	${\tilde {S}}^{j}(p)$ имеет заданное значение
${\tilde {S}}^{j}(p)$ является непрерывным	${\tilde {S}}^{j}(p)$ имеет замкнутый график («верхний полунепрерывный»)
$\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$	$\langle p,z\rangle \leq 0$ для любого $z\in {\tilde {Z}}(p)$
...	...
равновесие существует по теореме Брауэра о неподвижной точке	равновесие существует согласно теореме Какутани о неподвижной точке

Равновесие против «квазиравновесия»

Определение рыночного равновесия предполагает, что каждое домохозяйство максимизирует полезность при условии соблюдения бюджетных ограничений. То есть, $${\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}$$Двойной проблемой будет минимизация затрат с учетом ограничений полезности. То есть, $${\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}$$для некоторого действительного числа $u_{0}^{i}$. Разрыв двойственности между двумя проблемами неотрицательен и может быть положительным. Следовательно, некоторые авторы изучают двойственную задачу и свойства ее «квазиравновесия». (или «компенсированное равновесие» ). Каждое равновесие является квазиравновесием, но обратное не обязательно верно.

Расширения

Учет стратегических переговоров

В модели все производители и домохозяйства являются « получателями цен », то есть они просто совершают сделки с рынком, используя вектор цен. $p$. В частности, не моделируются такие модели поведения, как картель, монополия, потребительская коалиция и т. д. Предельная теорема Эджворта показывает, что при некоторых более строгих предположениях домохозяйства не могут добиться большего, чем снижение цены на пределе бесконечно большой экономики.

Настраивать

Подробно мы продолжаем рассматривать экономическую модель домашних хозяйств и производителей, но рассматриваем другой метод планирования производства и распределения товаров, чем рыночная экономика. Ее можно интерпретировать как модель «социалистической» экономики.

• Нет денег, рынка и частной собственности производителей.
• Поскольку мы упразднили частную собственность, деньги и корысть, нет смысла отличать одного производителя от другого. Следовательно, вместо того, чтобы каждый производитель планировал индивидуально $y^{j}\in PPS^{j}$, как будто во всем обществе есть один великий производитель, производящий $y\in PPS$.
• Домохозяйства по-прежнему имеют те же предпочтения и возможности, но у них больше нет бюджетов.
• Производители не производят, чтобы максимизировать прибыль, поскольку прибыли нет. Все семьи собираются вместе, чтобы создать государство $((x_{i})_{i\in I},y)$— план производства и потребления для всей экономики — со следующими ограничениями: $$x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})$$
• Любое непустое подмножество домохозяйств может исключить все остальные домохозяйства, сохраняя при этом контроль над производителями.

Таким образом, эта экономика представляет собой кооперативную игру , в которой каждое домохозяйство является игроком, и из теории кооперативных игр мы имеем следующие понятия:

• — Блокирующая коалиция это непустое подмножество домохозяйств, в котором существует строго лучший по Парето план, даже если они устранят все остальные домохозяйства.
• Государство является ядром государства тогда и только тогда, когда нет блокирующих коалиций.
• Ядро экономики – это совокупность основных состояний.

Поскольку мы предположили, что любое непустое подмножество домохозяйств может устранить все остальные домохозяйства, сохраняя при этом контроль над производителями, единственными состояниями, которые могут быть реализованы, являются основные состояния. Государство, которое не является основным государством, немедленно столкнется с возражениями со стороны коалиции домохозяйств.

Нам нужно еще одно предположение о $PPS$, что это конус , то есть, $k\cdot PPS\subset PPS$ для любого $k\geq 0$. Это предположение исключает два пути, по которым экономика может стать тривиальной.

• Проклятие бесплатного обеда. В этой модели вся $PPS$ доступен любой непустой коалиции, даже коалиции из одного человека. Следовательно, если ни у кого нет никаких дарований, и все же $PPS$ содержит немного «бесплатного обеда» $y\succ 0$, то (предполагая, что предпочтения монотонны) каждое домохозяйство хотело бы взять все $y$ для себя, и, следовательно, не существует никакого основного состояния. Интуитивно картина мира представляет собой комитет эгоистичных людей, налагающий вето на любой план, который не отдает себе весь бесплатный обед.
• Предел роста: рассмотрим общество с двумя товарами. Одно — «труд», другое — «еда». Домохозяйства имеют в качестве запаса только труд, но потребляют они только еду. $PPS$ выглядит как пандус с плоской вершиной. Таким образом, затрачивая 0–1 тысячу часов труда, вы производите 0–1 тысячу кг еды линейно, но при дальнейшем труде еды не производится. Теперь предположим, что каждое домохозяйство наделено 1 тысячой часов труда. Понятно, что каждое домохозяйство немедленно заблокирует любое другое домохозяйство, так как одному всегда лучше использовать всю $PPS$ для себя.

Основные результаты (Дебре и Шарф, 1963 г.)

Предположение : Рыночное равновесие является ключевым состоянием.

Доказательство

Определить ценовую гиперплоскость $\langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle$. Поскольку это опорная гиперплоскость $PPS$, и $PPS$ представляет собой выпуклый конус, ценовая гиперплоскость проходит начало координат. Таким образом $\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0$.

С $\sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle$ представляет собой общую прибыль, и каждый производитель может получить по крайней мере нулевую прибыль (т. е. $0\in PPS^{j}$ ), это означает, что прибыль каждого производителя равна ровно нулю. Следовательно, бюджет каждого домохозяйства формируется именно за счет продажи пожертвований.

$$\langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle$$

Благодаря максимизации полезности каждое домохозяйство уже делает столько, сколько могло бы. Следовательно, мы имеем $\langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle$.

В частности, для любой коалиции $I'\subset I$и любой производственный план $x'^{i}$ это лучше по Парето, мы имеем

$$\sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle$$ и, следовательно, точка $\sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}$ лежит выше ценовой гиперплоскости, что делает ее недостижимой.

В статье Дебре и Скарфа они определили особый способ подхода к бесконечно большой экономике путем «воспроизведения домохозяйств». То есть для любого положительного целого числа $K$, определить экономику, в которой существуют $K$ домохозяйства, которые имеют точно такой же набор возможностей потребления и предпочтения, что и домохозяйство $i$.

Позволять $x^{i,k}$ стоять за план потребления $k$-й экземпляр домашнего хозяйства $i$. Определите план, который будет справедливым , если и только если $x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}$ для любого $i\in I$ и $k,k'\in K$.

В общем, состояние будет довольно сложным, поскольку каждая реплика будет обрабатываться по-разному. Однако основные состояния значительно проще: они справедливы и одинаково относятся к каждому экземпляру.

Предложение : Любое основное государство является справедливым.

Доказательство

Мы используем «коалицию аутсайдеров».

Рассмотрим основное состояние $x^{i,k}$. Определить средние распределения ${\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}$.

Это достижимо, поэтому мы имеем $K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS$

Предположим, что существует какое-либо неравенство, т. е. некоторое $x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}$, то по выпуклости предпочтений имеем ${\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}$, где $k'$ это домохозяйство, к которому относятся хуже всего $i$.

Теперь определите «коалицию проигравших», состоящую из домохозяйств каждого типа, с которыми обращаются хуже всего, и предложите распределить их в соответствии с ${\bar {x}}^{i}$. Это лучше по Парето для коалиции, и поскольку $PP$ коническая, у нас также есть $\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS$, значит, план достижим. Противоречие.

Следовательно, при изучении основных государств достаточно рассмотреть один план потребления для каждого типа домохозяйств. Теперь определите $C_{K}$ быть набором всех основных состояний экономики с $K$ повторений на одно домохозяйство. Ясно, что $C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots$, поэтому мы можем определить предельный набор основных состояний $C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}$.

Мы видели это $C$ содержит набор рыночных равновесий для исходной экономики. Обратное верно при небольших дополнительных предположениях:

(Дебре и Шарф, 1963) — Если $PPS$ является многоугольным конусом, или если каждый $CPS^{i}$ имеет непустую внутренность относительно $\mathbb {R} ^{N}$, затем $C$ представляет собой набор рыночных равновесий для исходной экономики.

Предположение, что $PPS$ представляет собой многоугольный конус, или каждый $CPS^{i}$ имеет непустую внутреннюю часть, это необходимо, чтобы избежать технической проблемы «квазиравновесия». Без предположения мы можем только доказать, что $C$ содержится в множестве квазиравновесий.

Учет невыпуклости

Предположение о том, что множества производственных возможностей выпуклы, является сильным ограничением, поскольку подразумевает отсутствие эффекта масштаба. Аналогичным образом мы можем рассмотреть невыпуклые множества возможностей потребления и невыпуклые предпочтения. В таких случаях функции спроса и предложения $S^{j}(p),D^{i}(p)$ может быть прерывистым по отношению к вектору цен, поэтому общее равновесие может не существовать.

Однако мы можем «выпуклить» экономику, найти для нее равновесие, тогда по теореме Шепли-Фолкмана-Старра это будет приблизительное равновесие для исходной экономики.

Подробно, если любая экономика удовлетворяет всем сделанным предположениям, за исключением выпуклости $PPS^{j},CPS^{i}$ и $\succeq ^{i}$, мы определяем «выпуклую экономику» как ту же экономику, за исключением того, что

• $PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})$
• $CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})$
• $x\succeq '^{i}y$ если только $\forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))$.

где $\mathrm {Conv}$ обозначает выпуклую оболочку .

При этом любое общее равновесие для овыпуклой экономики является также приблизительным равновесием для исходной экономики. То есть, если $p^{*}$ — вектор равновесных цен для овыпуклой экономики, тогда $${\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}$$где $d(\cdot ,\cdot )$ – евклидово расстояние, а $L$ любая верхняя граница внутренних радиусов всех $PPS^{j},CPS^{i}$ (определение внутренних радиусов см. на странице теоремы Шепли – Фолкмана – Старра).

Выпуклая экономика может не удовлетворять этим предположениям. Например, набор $\{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}$ замкнуто, но его выпуклая оболочка не замкнута. Сделав дальнейшее предположение, что овыпуклая экономика также удовлетворяет этим предположениям, мы обнаруживаем, что исходная экономика всегда имеет приблизительное равновесие.

Учет времени, пространства и неопределенности

Дополнительная информация: Финансовая экономика § Государственные цены , Государственные цены § Применение к финансовым активам и Анализ условных претензий.

Товары в модели Эрроу-Дебре полностью абстрактны. Таким образом, хотя его обычно представляют как статический рынок, его можно использовать для моделирования времени, пространства и неопределенности путем разделения одного товара на несколько, каждый из которых зависит от определенного времени, места и состояния мира. Например, «яблоки» можно разделить на «яблоки в Нью-Йорке в сентябре, если апельсины будут в наличии» и «яблоки в Чикаго в июне, если апельсины недоступны».

При наличии некоторых базовых товаров полный рынок Эрроу-Дебре представляет собой рынок, на котором существует отдельный товар для каждого будущего времени, для каждого места поставки, для каждого рассматриваемого состояния мира, для каждого базового товара.

В финансовой экономике термин «Эрроу-Дебре» чаще всего относится к ценной бумаге Эрроу-Дебре . Каноническая ценная бумага Эрроу-Дебре - это ценная бумага, по которой выплачивается одна числовая единица , если достигается определенное состояние мира, и ноль в противном случае (цена такой ценной бумаги является так называемой « государственной ценой »). Таким образом, любой деривативный контракт, расчетная стоимость которого является функцией базового актива, стоимость которого неопределенна на дату контракта, может быть разложен на линейную комбинацию ценных бумаг Эрроу – Дебре.

Со времени работы Бридена и Лизенбергера в 1978 г. большое количество исследователей использовали варианты для извлечения цен Эрроу – Дебре для различных приложений в финансовой экономике .

Учет существования денег

Здесь не предлагается никакой теории денег, и предполагается, что экономика работает без помощи товара, выступающего в качестве средства обмена.

- Жерар Дебре, Теория стоимости: аксиоматический анализ экономического равновесия (1959).

Для чистого теоретика на данный момент самым интересным и сложным аспектом денег является то, что им не может быть места в экономике Эрроу-Дебре. Это обстоятельство также должно иметь большое значение для макроэкономистов, но это случается редко.

- Фрэнк Хан , Основы денежной теории (1987).

Обычно экономисты рассматривают функции денег как расчетной единицы, средства сбережения, средства обмена и стандарта отсрочки платежа. Однако это несовместимо с полным рынком Эрроу-Дебре, описанным выше. На полноценном рынке происходит только разовая сделка на рынке «в начале времени». После этого домохозяйства и производители просто выполняют запланированное производство, потребление и поставки товаров до скончания веков. Следовательно, нет смысла хранить ценности или средства обмена. Это относится не только к полному рынку Эрроу-Дебре, но и к моделям (например, с рынками условных товаров и договорами страхования Эрроу), которые различаются по форме, но математически эквивалентны ему.

Вычисление общего равновесия

Основная статья: Вычислимое общее равновесие

Шарф (1967) был первым алгоритмом, вычисляющим общее равновесие. См. Шарф (2018) и Кублер (2012) для отзывов.

Количество равновесий

Смотрите также: Теория общего равновесия § Единственность

Определенные экономики с определенными векторами обеспеченности могут иметь бесконечно равновесные векторы цен. Однако «в общем» экономика имеет лишь конечное число векторов равновесных цен. Здесь «в общем» означает «во всех точках, кроме замкнутого множества нулевой меры Лебега», как в теореме Сарда .

Таких теорем общности существует множество. Одним из примеров является следующее:

Генеричность — для любого строго положительного распределения обеспеченности. $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$и любой строго положительный вектор цен $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$, определим избыточный спрос $Z(p,r^{1},...,r^{I})$ как раньше.

Если на всех $p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$,

• $Z(p,r^{1},...,r^{I})$ четко определен,
• $Z$ является дифференцируемым,
• $\nabla _{p}Z$ имеет $(N-1)$,

тогда для любого распределения пожертвований $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$, существует лишь конечное число равновесий $p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$.

Доказательство (эскиз)

Определите «равновесное многообразие» как множество решений задачи. $Z=0$. По закону Вальраса одно из ограничений является избыточным. По предположениям, что $\nabla _{p}Z$ имеет ранг $(N-1)$, никакие ограничения больше не являются лишними. Таким образом, равновесное многообразие имеет размерность $N\times I$, что равно пространству всех распределений строго положительных способностей $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$.

По непрерывности $Z$, проекция закрыта. Таким образом, по теореме Сарда проекция равновесного многообразия на $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$ критичен только на множестве меры 0. Осталось проверить, что прообраз проекции в общем случае не просто дискретен, но и конечен.

См. также

• Модель (экономика)
• Неполные рынки
• Биржевой рынок Эрроу-Дебре — более простая рыночная модель, в которой есть только домохозяйства (которые могут быть как покупателями, так и продавцами), но нет производителей.
• Рынок Фишера — еще более простая модель рынка, на которой есть только покупатели; общее количество каждого товара задано, и каждый покупатель приходит только с денежным бюджетом.
• Список статей о ценах на активы
• Финансовая экономика § Основная экономика

Дальнейшее чтение

• Атрейя, Картик Б. (2013). «Современный макроэкономический подход и модель Эрроу – Дебре – Маккензи». Большие идеи в макроэкономике: нетехнический взгляд . Кембридж: MIT Press. стр. 11–46. ISBN  978-0-262-01973-6 .
• Геанакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу – Дебре». Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь . Том. 1. С. 116–124.
• Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 255–284 . ISBN  978-0-521-31498-5 .
• Дюппе, Тилль (2012). «Стрела и Дебре дегомогенизированы». Журнал истории экономической мысли . 34 (4): 491–514. CiteSeerX   10.1.1.416.2120 . дои : 10.1017/s1053837212000491 . S2CID   15771197 .

Внешние ссылки

• Заметки о модели экономики Эрроу-Дебре-Маккензи , профессор Ким К. Бордер Калифорнийский технологический институт
• «Основная теорема» финансов ; часть II . Профессор Марк Рубинштейн , Школа бизнеса Хааса