Сфальсифицированное пространство Гильберта

В математике сфальсифицированное пространство Гильберта ( Гелфанд Тройное , вложенное пространство Гильберта , оборудованное пространство Hilbert ) представляет собой конструкцию, предназначенную для связи распределения и квадратных аспектов функционального анализа . Такие пространства были введены в учебную теорию спектра . Они объединяют « связанное состояние » ( собственное вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.

Используя это понятие, может быть сформулирована версия спектральной теоремы для неограниченных операторов на пространстве Гилберта. ^{[ 1 ]} «Сфальсифицированные пространства Гильберта хорошо известны как структура, которая обеспечивает правильное математическое значение для формулировки квантовой механики DIRAC ». ^{[ 2 ]}

Мотивация

Функция, такая как $x\mapsto e^{ix},$ это собственная функция дифференциального оператора $-i{\frac {d}{dx}}$ На реальной линии $r$ , но не является квадратной интегриной для обычной ( лебежской ) меры на $r$ . Чтобы правильно считать эту функцию как собственную функцию, требуется некоторый способ выходить за пределы строгих ограничений теории пространства Гильберта . Это было предоставлено аппаратом распределений , и общая теория собственной функции в 1950 году была разработана .

Подход функционального анализа

Концепция сфальсифицированного пространства Гильберта помещает эту идею в абстрактную функциональную аналитическую структуру. Формально, сфальсифицированное пространство Гильберта состоит из пространства Hilbert $H$ , а также подпространство $φ,$ которое несет более тонкую топологию , то есть та, для которого естественное включение $\Phi \subseteq H$ непрерывно. Нет потери чтобы предположить, что $φ$ плотный , в $h$ для нормы Гильберта. Мы рассмотрим включение двойных пространств $h *$ в $φ *$ Полем Последняя, двойная до $φ$ в топологии «тестовой функции», реализуется как пространство распределений или каких -либо обобщенных функций, и линейные функции на подпространстве $φ$ типа $\phi \mapsto \langle v,\phi \rangle$ для $v$ в $H$ верно представлены как распределения (потому что мы предполагаем $φ$ плотно).

Теперь, применяя теорему представления Riesz, мы можем идентифицировать $H *$ с $ч$ . Следовательно, определение сфальсифицированного пространства Гильберта находится в терминах бутерброда: $\Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.$

Наиболее значимыми примерами являются пример, для которых $φ$ является ядерным пространством ; Этот комментарий является абстрактным выражением идеи о том, что $φ$ состоит из тестовых функций и $φ*$ соответствующих распределений . Кроме того, простой пример приведен пространствами Sobolev : здесь (в простейшем случае Sobolev Spaces на $\mathbb {R} ^{n}$ ) $H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),$ где $s>0$ .

Формальное определение (Гелфанд тройной)

Пространство сфальсифицированного гильберта - это пара $(h, φ)$ с $H$ a hilbert space, $φ$ плотным подпространством, так что $φ$ дается топологическая структура пространства векторного вектора , для которой карта включения $I$ является непрерывной.

Определение $H$ с двойным пространством $h *$ , подход к $I$ - карта $i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

Сочетание двойственности между $φ$ и $φ *$ затем совместим с внутренним продуктом на $H$ , в том смысле, что: $\langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}$ в любое время $u\in \Phi \subset H$ и $v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}$ Полем В случае сложных пространств Гильберта мы используем эрмитовый внутренний продукт; Он будет сложным линейным в $U$ (математическая конвенция) или $V$ (физическая конвенция) и конъюгат-линейный (сложный антилинейный) в другой переменной.

Тройной $(\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})$ часто называют «Гелфандом тройной» (после математического Израиля Гельфанда ).

Обратите внимание, что, хотя $φ$ является изоморфным до $φ *$ (через представление Ries ) Если оно случается, что $φ$ - это пространство из гильберта само по себе, этот изоморфизм не совпадает с композицией включения $I$ с его приспособлением $I *$ $i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

Ссылки

^ Minlos, RA (2001) [1994], "Figged_hilbert_space" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Krasnoholovets, Volodymyr; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в области квантовой физики . Nova Science Publishers. п. 79. ISBN 978-1-59454-001-1 .

Дж.П. Антуан, квантовая механика за пределами Гильберта Спутника (1996), появляясь в необратимости и причинности, полугруппах и сфальсифицированных пространствах Гильберта , Арно Бом, Хайнц-Диетрих Доубнер, Петр Киелановский, ред., Спрингер-Верлаг, ISBN 3-540-64305-2 . (Предоставляет обзор опроса.)
J. Dieudonné , Elements of Analysis VII (1978). (См. Параграфы 23.8 и 23.32)
Im Gelfand и N. Ya. Виленкин . Обобщенные функции, вып. 4: Некоторые приложения гармонического анализа. Сфальсифицированные пространства Гильберта. Академическая пресса, Нью -Йорк, 1964.
К. Маурин, Обобщенные расширения собственной функции и унитарные представления топологических групп , польских научных издателей, Варшава, 1968.
Р. де ла Мадрид, «Квантовая механика на сфальсифицированном космическом языке Гильберта», PhD The Disess (2001).
Р. де ла Мадрид, «Роль сфальсифицированного пространства Гильберта в квантовой механике», Eur. J. Phys 26, 287 (2005); QUANT-PH/0502053 .

[1] Minlos, RA (2001) [1994], "Figged_hilbert_space" , Энциклопедия математики , EMS Press

[2] Krasnoholovets, Volodymyr; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в области квантовой физики . Nova Science Publishers. п. 79. ISBN 978-1-59454-001-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

v Т и Спектральная теория и ^*-алгебра
Основные понятия	Инволюция/-Алгебра Банаховая алгебра Б-Альгебра C-Algebra Некоммутативная топология Проекционная мера Спектр Спектр C-Algebra Спектральный радиус Операторский пространство
Основные результаты	Гелфанд -мазур -теорема Гелфанд - теорема Наймарка Репрезентация Гельфанда Полярное разложение Университетское разложение ценности Спектральная теорема Спектральная теория нормальной C*-Algebras
Специальные элементы/операторы	Изоспектральный Нормальный оператор Эрмитиан/самостоятельный оператор Унитарный оператор Единица
Спектр	КЕРИН -RUTMAN THEOREM Нормальное собственное значение Спектр C*-Algebra Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный разрыв
Разложение	Разложение спектра Непрерывный Точка Остаточный Приблизительный пункт Сжатие Прямой интеграл Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Функциональное исчисление бореля Мин-макс теорема Положительная оценка оператора мера Проекционная мера Riesz Projector Сфальсифицированное пространство Гильберта Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальной C*-Algebras
Специальные алгебры	Аминабельная банаха алгебра С приблизительной идентичностью Банаховая функция алгебра Диск алгебра Ядерная C*-Algebra Единая алгебра От Neumann Algebra Теория Томита-Тейксак
Конечный измеренный	Алон - Боппана связан Теорема Бауэр -Фик Числовой диапазон Теорема Шур -Хорн
Обобщения	Dirac Spectrum Основной спектр Псевдоспектр Structure space ( Shilov boundary )
Разнообразный	Абстрактная группа индекса Банаховая алгебра кохомология Теорема факторизации Коэна - Хьюитт Расширения симметричных операторов Теория Фредхольма Ограничивающий принцип поглощения Теоремы Шрёдера -Бернштейна для Алгебры оператора Шерман -Тедада Теорема Основанный оператор
Примеры	Венская алгебра
Приложения	Почти оператор Mathieu Корона теорема Услышать форму барабана ( Связи Дирихле ) Нагреть ядро Формула трассировки Kuznets Слабая пара Прото-ценность функция Рамануджан График Рэйли -Фабер -Кран неравенство Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обычных дифференциальных уравнений Штурм -Лиувильская теория Superstrong Apxamation Оператор передачи Теория преобразования Вейл Лоу Винер - теорема Хинчина

v Т и Гильбертские пространства
Основные понятия	Помощник Внутренний продукт и продукт L-SEMI-Inner Гильбертское пространство и предварительное пространство Ортогональный комплемент Ортонормальная основа
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Кохи -Шварц Репрезентация Риз
Другие результаты	Гильберт -проекционная теорема Личность Парсевала Поляризационная идентичность ( закон параллелограмма )
Карты	Компактный оператор на пространстве Гильберта Плотно определен Гермитовая форма Гильберт - Шмидт Нормальный Самостоятельно приспосабливается Сесквилинейная форма Трассировка класса Унитарный
Примеры	В ^не( K ) с K Compact & N <∞ Сегал - Баргманн ф