преобразование Галилея

В физике преобразование Галилея используется для преобразования координат двух систем отсчета , которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках конструкций ньютоновской физики . Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородную группу Галилея (предполагаемую далее). Без перемещений в пространстве и времени группа является однородной группой Галилея . Группа Галилея — это группа движений теории относительности Галилея, действующих в четырех измерениях пространства и времени, образующих геометрию Галилея . Это пассивной трансформации точка зрения . В специальной теории относительности однородные и неоднородные преобразования Галилея заменяются соответственно преобразованиями Лоренца и преобразованиями Пуанкаре ; и наоборот, групповое сжатие в классическом пределе c → ∞ преобразований Пуанкаре приводит к преобразованиям Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически действительны только в рамках Ньютона и неприменимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростями, приближающимися к скорости света .

Галилей сформулировал эти понятия в своем описании равномерного движения . Тема была мотивирована его описанием движения шара, катящегося по пандусу , с помощью которого он измерил численное значение ускорения силы тяжести вблизи поверхности Земли .

Перевод

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, именно абсолютное время и пространство в понимании Исаака Ньютона обеспечивают область их определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное представление о сложении и вычитании скоростей как векторов .

Обозначения ниже описывают связь при преобразовании Галилея между координатами ( x , y , z , t ) и ( x ', y ', z ', t ') одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S' в равномерном относительном движении ( скорость v ) в их общих направлениях x и x ' , причем их пространственные начала совпадают в момент времени t = t ' = 0 :

$x'=x-vt$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=t.$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея с точностью до добавления константы и выражает предположение об универсальном времени, независимом от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейной алгебры это преобразование считается отображением сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении параллельно оси x трансформация действует только на две составляющие:

${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}$

Хотя матричные представления не являются строго необходимыми для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Преобразования Галилея

Симметрии Галилея можно однозначно записать как композицию вращения . , перемещения и равномерного движения пространства-времени Пусть x представляет собой точку в трехмерном пространстве, а t — точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой ( x , t ) .

Равномерное движение со скоростью v определяется выражением

$(\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),$

где v ∈ R ³ . Перевод предоставлен

$(\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),$

где a ∈ R ³ и s ∈ R. ​Вращение задается формулой

$(\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),$

где Р : Р ³ → Р ³ является ортогональным преобразованием .

Как группа Ли , группа преобразований Галилея имеет размерность 10.

Галилейская группа

Два преобразования Галилея G ( R , v , a , s ) и G ( R' , v ', a ', s ') составляют третье преобразование Галилея,

грамм ( р ′, v ′, а ′, s ′) ⋅ грамм ( р , v , а , s ) знак равно грамм ( р ′ р , р ′ v + v ′, р ′ а + а ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

Набор всех преобразований Галилея Gal(3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.

Группу иногда представляют как матричную группу с пространственно-временными событиями ( x , t , 1) в виде векторов, где t вещественное число и x ∈ R. ³ это положение в пространстве. Действие ​ задается

${\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},$

где s вещественный и v , x , a ∈ R ³ и R — матрица вращения . Композиция преобразований затем осуществляется путем умножения матриц . При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли связной группой компонент ортогональных преобразований.

Gal(3) имеет именованные подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal(3) .

Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v , R , s , a :

• $\{m:R=I_{3}\},$ анизотропные превращения.
• $\{m:s=0\},$ изохронные преобразования.
• $\{m:s=0,v=0\},$ пространственные евклидовы преобразования.
• $G_{1}=\{m:s=0,a=0\},$ равномерно специальные преобразования/однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• $G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),$ сдвиги происхождения/трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• $G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),$ вращения (системы отсчета) (см. SO(3) ), компактная группа.
• $G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),$ равномерные движения/ускорения кадра.

Параметры s , v , R охватывают десять измерений. Поскольку преобразования непрерывно зависят от s , v , R , a , Gal(3) является непрерывной группой , также называемой топологической группой.

Структуру Gal(3) можно понять путем восстановления по подгруппам. Полупрямая комбинация продуктов ( $A\rtimes B$) групп.

1. $G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)$ ( G2 _— подгруппа нормальная )
2. $\mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}$
3. $G_{4}\trianglelefteq G_{1}$
4. $G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}$
5. $\mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).$

Происхождение в групповом сокращении

Алгебра Ли группы Галилея натянута на H C , Pi _, ( i _ij и L _, антисимметричный тензор ), подчиняясь коммутационным соотношениям где

$[H,P_{i}]=0$

$[P_{i},P_{j}]=0$

$[L_{ij},H]=0$

$[C_{i},C_{j}]=0$

$[L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]$

$[L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]$

$[L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]$

$[C_{i},H]=iP_{i}\,\!$

$[C_{i},P_{j}]=0~.$

H — генератор сдвигов времени ( гамильтониан ), Pi _— генератор сдвигов ( оператор импульса ), C _​​i — генератор безвращенных преобразований Галилея (бустов Галилея), а L _ij обозначает генератор вращений ( оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞ . Технически группа Галилея представляет собой знаменитое групповое сокращение группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповым сокращением группы де Ситтера SO(1,4) ). Формально переименование генераторов импульса и наддува последних как в

Р ₀ ↦ Н / с

К _я ↦ c ⋅ C _я ,

где c — скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Идентифицированы генераторы временных трансляций и вращений. Также отметим групповые инварианты L _mn L ^минута и П _и П ^я .

В матричной форме для d = 3 можно рассмотреть регулярное представление (встроенное в GL(5; R ) , из которого оно может быть получено одним групповым сжатием, минуя группу Пуанкаре),

$iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad$$i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad$$i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad$$i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.$

Тогда бесконечно малый групповой элемент равен

$G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.$

Центральное расширение группы Галилея

Можно рассмотреть центральное расширение алгебры Ли группы Галилея, натянутое на H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij и оператор M : Так называемая алгебра Баргмана получается наложением $[C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}$, такой, что M лежит в центре , т.е. коммутирует со всеми остальными операторами.

В полном объеме эта алгебра задается как

$[H',P'_{i}]=0\,\!$

$[P'_{i},P'_{j}]=0\,\!$

$[L'_{ij},H']=0\,\!$

$[C'_{i},C'_{j}]=0\,\!$

$[L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!$

$[L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!$

$[L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!$

$[C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!$

и наконец

$[C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.$

где новый параметр $M$ появляется. Это расширение и проективные представления , которые оно обеспечивает, определяются его групповыми когомологиями .

См. также

• Галилеева инвариантность
• Теория представлений группы Галилея
• Ковариантная тензорная формулировка Галилея
• Группа Пуанкаре
• группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

Ссылки

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 6 . ISBN  0-387-96890-3 .
• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анналы математики . 2. 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831 . JSTOR   1969831 .
• Коперник, Николай ; Кеплер, Иоганнес ; Галилей, Галилей ; Ньютон, Исаак ; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, Лондон: Running Press . стр. 515–520 . ISBN  0-7624-1348-4 .
• Галилей, Галилей (1638i). Речи и математические демонстрации о двух новых науках (на итальянском языке). Лейден: Эльзевир . стр. 191–196.
• Галилей, Галилей (1638e). Беседы и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам [ Дискурсы и математические демонстрации вокруг двух новых наук ]. Переведено на английский в 1914 году Генри Крю и Альфонсо де Сальвио.
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Дуврские книги по математике. Дуврские публикации . ISBN  0486445291 .
• Хоффманн, Банеш (1983), Относительность и ее корни , Scientific American Books, ISBN  0-486-40676-8 , Глава 5, с. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров , том. 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN  0-7637-0460-1 , Глава 38 §38.2, с. 1046,1047
• Моулд, Ричард А. (2002), Основная теория относительности , Springer-Verlag, ISBN  0-387-95210-1 , глава 2 §2.6, с. 42
• Наджафика, Мехди; Форо, Ахмад-Реза (2009). «Галилеева геометрия движений» (PDF) . Прикладные науки . 11 : 91–105.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении (4-е изд.), Брукс / Коул - Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J , ISBN  0-534-49143-Х , Глава 9 §9.1, с. 261