Теорема о запрете клонирования

В физике теорема о запрете клонирования утверждает, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантового состояния в области квантовых вычислений , и это утверждение имеет глубокие последствия, среди прочего, . Эта теорема представляет собой развитие теоремы о запрете 1970 года , автором которой является Джеймс Парк. в котором он демонстрирует, что невозмущающая схема измерения, которая была бы одновременно простой и совершенной, не может существовать (тот же результат был независимо получен в 1982 году Уильямом Вуттерсом и Войцехом Х. Зуреком). а также Деннис Дикс того же года). состояния одной системы Вышеупомянутые теоремы не исключают переплетения с состоянием другой, поскольку клонирование конкретно относится к созданию разделимого состояния с идентичными факторами. Например, можно использовать управляемый вентиль НЕ и вентиль Уолша-Адамара, чтобы запутать два кубита , не нарушая теорему о запрете клонирования, поскольку никакое четко определенное состояние не может быть определено в терминах подсистемы запутанного состояния. Теорема о запрете клонирования (в общепринятом понимании) касается только чистых состояний , тогда как обобщенное утверждение о смешанных состояниях известно как теорема о запрете трансляции .

Теорема о запрете клонирования имеет двойственную по времени двойственную теорему — теорему о запрете удаления . Вместе они лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теории категорий и, в частности, как компактной категории . Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика , позволяет, в свою очередь, установить связь между квантовой механикой и линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в том же смысле, в каком интуиционистская логика возникает из декартовых замкнутых категорий ).

История

По словам Ашера Переса и Дэвид Кайзер , публикация доказательства теоремы о запрете клонирования Вуттерса и Зурека в 1982 году. и Дикс было вызвано предложением Ника Герберта для сверхсветового устройства связи , использующего квантовую запутанность, и Джанкарло Гирарди. доказал теорему за 18 месяцев до опубликованного доказательства Вуттерса и Зурека в своем рецензийном отчете по указанному предложению (о чем свидетельствует письмо редактора ). Однако Хуан Ортигосо отметил в 2018 году, что полное доказательство вместе с интерпретацией с точки зрения отсутствия простых невозмущающих измерений в квантовой механике было уже представлено Парком в 1970 году.

Теорема и доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы A и B с общим гильбертовым пространством. $H=H_{A}=H_{B}$. Предположим, мы хотим иметь процедуру копирования состояния $|\phi \rangle _{A}$ квантовой системы A над состоянием $|e\rangle _{B}$ квантовой системы B для любого исходного состояния $|\phi \rangle _{A}$ (см. обозначение бра-кет ). То есть, начиная с государства $|\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}$, мы хотим в конечном итоге остаться с государством $|\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$. Чтобы сделать «копию» состояния A , мы объединяем его с системой B в каком-то неизвестном начальном или пустом состоянии. $|e\rangle _{B}$ независимо от $|\phi \rangle _{A}$, о которых у нас нет предварительных знаний.

Состояние исходной составной системы тогда описывается следующим тензорным произведением : $$|\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.$$ (далее мы будем опускать $\otimes$ символ и сохраняйте его неявным).

Есть только две допустимые квантовые операции , с помощью которых мы можем манипулировать составной системой:

• Мы можем выполнить наблюдение , которое необратимо схлопывает систему в некоторое собственное состояние наблюдаемой в , искажая информацию, содержащуюся кубитах . Это явно не то, чего мы хотим.
• В качестве альтернативы мы могли бы управлять гамильтонианом объединенной оператором эволюции во системы и, следовательно, времени U ( t ), например, для независимого от времени гамильтониана, $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$. Развитие до некоторого фиксированного времени $t_{0}$ дает унитарный оператор U на $H\otimes H$, гильбертово пространство объединенной системы. Однако ни один такой унитарный оператор U не может клонировать все состояния.

Теорема о запрете клонирования дает отрицательный ответ на следующий вопрос: можно ли построить унитарный оператор U , действующий на $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$, при котором состояние, в котором находится система B, всегда переходит в состояние, в котором находится система A, независимо от состояния, в котором находится система A?

Теорема — не существует унитарного оператора U на $H\otimes H$ такая, что для всех нормализованных состояний $|\phi \rangle _{A}$ и $|e\rangle _{B}$ в $H$ $$U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}$$ для некоторого действительного числа $\alpha$ в зависимости от $\phi$ и $e$.

Дополнительный фазовый множитель выражает тот факт, что квантовомеханическое состояние определяет нормализованный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового множителя, т.е. как элемент проективизированного гильбертова пространства .

Для доказательства теоремы выберем произвольную пару состояний $|\phi \rangle _{A}$ и $|\psi \rangle _{A}$ в гильбертовом пространстве $H$. Поскольку U должно быть унитарным, мы бы имели $$\langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.$$ Поскольку квантовое состояние $|e\rangle$ предполагается нормированным, таким образом, мы получаем $$|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.$$

Это означает, что либо $|\langle \phi |\psi \rangle |=1$ или $|\langle \phi |\psi \rangle |=0$. Следовательно, по неравенству Коши–Шварца либо $|\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle$ или $|\phi \rangle$ ортогонален ​ ​ $|\psi \rangle$. Однако этого не может быть в случае двух произвольных состояний. Следовательно, один универсальный U не может клонировать общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования.

Возьмем, к примеру, кубит. Его можно представить двумя комплексными числами , называемыми амплитудами вероятности ( нормированными на 1 ), то есть тремя действительными числами (два полярных угла и один радиус). Копирование трех чисел на классическом компьютере с использованием любой операции копирования и вставки тривиально (с точностью до конечной точности), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразуется (например, с помощью квантового вентиля Адамара ) в поляризованный (какое унитарное преобразование является сюръективным изометрия ). В таком случае кубит можно представить всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), а значение третьего в таком представлении может быть произвольным. Тем не менее, реализация кубита (например, фотона с поляризационным кодированием) способна хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». ни одна универсальная унитарная эволюция U Таким образом , согласно теореме о запрете клонирования, не может клонировать произвольное квантовое состояние. Оно должно было бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, следовательно, не было бы универсальный .

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние является чистым состоянием и предлагаемый копировальный аппарат действует посредством унитарной временной эволюции. Эти предположения не приводят к потере общности. Если копируемое состояние является смешанным , его можно «очистить », то есть рассматривать как чистое состояние более крупной системы. С другой стороны, можно дать другое доказательство, которое работает непосредственно со смешанными состояниями; в этом случае теорему часто называют теоремой о запрете трансляции. Аналогично, произвольную квантовую операцию можно реализовать, введя вспомогательную функцию и выполнив подходящую унитарную эволюцию. Таким образом, теорема о запрете клонирования справедлива в полной общности.

Для расширений квантовых компьютеров теорема о запрете клонирования остается в силе при использовании постселекции или двусторонних квантовых компьютеров. Однако утверждается, что добавление замкнутой времяподобной кривой позволяет клонировать квантовое состояние.

Последствия

• Теорема о запрете клонирования предотвращает использование некоторых классических методов исправления ошибок в квантовых состояниях. резервные копии состояния в середине квантового вычисления Например, нельзя создать и использовать его для исправления последующих ошибок. Исправление ошибок жизненно важно для практических квантовых вычислений, и какое-то время было неясно, возможно ли это. В 1995 году Шор и Стин показали, что это так, независимо разработав первые квантовые коды исправления ошибок , которые обходят теорему о запрете клонирования.
• Точно так же клонирование нарушило бы теорему о запрете телепортации , которая гласит, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже в бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходное квантовое состояние в новом месте. Это не следует путать с телепортацией с помощью запутанности , которая позволяет уничтожить квантовое состояние в одном месте и воссоздать точную копию в другом месте.
• Теорема о запрете клонирования подразумевается теоремой об отсутствии связи , которая утверждает, что квантовую запутанность нельзя использовать для передачи классической информации (сверхсветовой или более медленной). То есть клонирование вместе с запутанностью позволит осуществить такое общение. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим мысленный эксперимент ЭПР и предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса могла бы послать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет вращение своего электрона в направлении z , сжимая состояние Боба либо до $|z+\rangle _{B}$ или $|z-\rangle _{B}$. Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом. Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет вращение каждой копии в направлении z . Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты $|z+\rangle _{B}$ или $|z-\rangle _{B}$ с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать друг другу классические биты (возможно, через пространственное разделение, нарушая причинность ).
• Квантовые состояния не могут быть четко различены.
• Теорема о запрете клонирования не позволяет интерпретировать голографический принцип для черных дыр как означающий, что существуют две копии информации: одна лежит на горизонте событий , а другая - внутри черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как дополнительность черных дыр .
• Теорема о запрете клонирования применима ко всем компактным категориям кинжала : не существует универсального морфизма клонирования для любой нетривиальной категории такого типа. Хотя теорема присуща определению этой категории, не так-то просто увидеть, что это так; понимание важно, поскольку эта категория включает в себя вещи, которые не являются конечномерными гильбертовыми пространствами, включая категорию множеств и отношений и категорию кобордизмов .

Несовершенное клонирование

Хотя невозможно сделать идеальные копии неизвестного квантового состояния, можно создать несовершенные копии. Это можно сделать, соединив более крупную вспомогательную систему с системой, которую необходимо клонировать, и применив унитарное преобразование к объединенной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы эволюционируют в приблизительные копии исходной системы. В 1996 году В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина клонирования может создавать клон неизвестного состояния с удивительно высокой точностью 5/6.

Несовершенное квантовое клонирование может использоваться для подслушивания протоколов квантовой криптографии , а также для других целей в квантовой информатике.

См. также

• Фундаментальная группа Фисикс
• Моногамия запутанности
• Теорема о запрете трансляции
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о запрете удаления
• Теорема о несокрытии
• Квантовая запутанность
• Квантовое клонирование
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Более сильные отношения неопределенности
• Принцип неопределенности

Другие источники

• В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование , Physics World 14 (11) (2001), стр. 25–29.