Непараметрический перекос

В статистике и теории вероятностей непараметрическая асимметрия — это статистика, иногда используемая со случайными величинами , принимающими реальные значения. Это мера асимметрии распределения величины случайной , то есть склонности распределения «наклоняться» в ту или иную сторону от среднего значения . Его расчет не требует каких-либо знаний о форме основного распределения — отсюда и название «непараметрическое» . Он имеет некоторые желательные свойства: он равен нулю для любого симметричного распределения ; на него не влияет сдвиг масштаба ; и он одинаково хорошо выявляет асимметрию как влево, так и вправо. В некоторых статистических выборках было показано, что он менее эффективен. чем обычные меры асимметрии при обнаружении отклонений населения от нормальности .

Характеристики

Определение

Непараметрический перекос определяется как

$S={\frac {\mu -\nu }{\sigma }}$

где среднее значение ( μ ), медиана ( ν ) и стандартное отклонение ( σ ) популяции имеют свои обычные значения.

Характеристики

Непараметрическая асимметрия составляет одну треть коэффициента асимметрии Пирсона 2 и находится в диапазоне от -1 до +1 для любого распределения. Этот диапазон подразумевается тем фактом, что среднее значение находится в пределах одного стандартного отклонения от любой медианы.

При аффинном преобразовании переменной ( X ) значение S не меняется, за исключением возможной смены знака. В символах

$S(aX+b)=\operatorname {sign} (a)\,S(X)$

где a ≠ 0 и b — константы, а S ( X — непараметрический наклон переменной X. )

Более четкие границы

Границы этой статистики (±1) были уточнены Маджиндаром. который показал, что его абсолютное значение ограничено

${\frac {2(pq)^{1/2}}{(p+q)^{1/2}}}$

с

$p=\Pr(X>\operatorname {E} (X))$

и

$q=\Pr(X<\operatorname {E} (X)),$

где X — случайная величина с конечной дисперсией , E () — оператор ожидания, а Pr () — вероятность наступления события.

Когда p = q = 0,5 абсолютное значение этой статистики ограничено 1. При p = 0,1 и p = 0,01 абсолютное значение статистики ограничено 0,6 и 0,199 соответственно.

Расширения

Также известно, что

$|\mu -\nu _{0}|\leq \operatorname {E} (|X-\nu _{0}|)\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\leq \sigma ,$

где ν0 _E — любая медиана, а ( .) — оператор ожидания .

Было показано, что

${\frac {|\mu -x_{q}|}{\sigma }}\leq \max \left({\sqrt {\frac {(1-q)}{q}}},{\sqrt {\frac {q}{(1-q)}}}\right)$

где x _q — q ^й квантиль . Квантили лежат между 0 и 1: медиана (квантиль 0,5) имеет q = 0,5. Это неравенство также использовалось для определения меры асимметрии.

Последнее неравенство еще более обострилось.

$\mu -\sigma {\sqrt {\frac {1-q}{q}}}\leq x_{q}\leq \mu +\sigma {\sqrt {\frac {q}{1-q}}}$

Опубликовано еще одно расширение для распределения с конечным средним:

$\mu -{\frac {1}{2q}}\operatorname {E} |X-\mu |\leq x_{q}\leq \mu +{\frac {1}{(2-2q)}}\operatorname {E} |X-\mu |$

Границы в этой последней паре неравенств достигаются, когда $\Pr(X=a)=q$ и $\Pr(X=b)=1-q$ для фиксированных чисел a < b .

Конечные выборки

Для конечной выборки с размером выборки n ≥ 2 с x _r является r ^й статистика порядка , m выборочное среднее значение и s выборочное стандартное отклонение с поправкой на степени свободы,

${\frac {|m-x_{r}|}{s}}\leq {\text{max}}\left[{\sqrt {\frac {(n-1)(r-1)}{n(n-r+1)}}},{\sqrt {\frac {(n-1)(n-r)}{nr}}}\right]$

Замена r на n /2 дает результат, соответствующий медиане выборки:

${\frac {|m-a|}{s}}\leq {\sqrt {\frac {n^{2}-n}{n^{2}}}}={\sqrt {\frac {n-1}{n}}}$

где а — выборочная медиана.

Статистические тесты

Хотеллинг и Соломонс рассмотрели распределение тестовой статистики.

$D={\frac {n(m-a)}{s}}$

где n — размер выборки, m — среднее значение выборки, a — медиана выборки, а s — стандартное отклонение выборки.

Статистические тесты D предполагали, что проверяемая нулевая гипотеза заключается в том, что распределение симметрично.

оценил асимптотическую дисперсию n Гаствирт ^−1/2 Д. ​ Если распределение унимодальное и симметрично относительно 0, асимптотическая дисперсия лежит между 1/4 и 1. Допущение консервативной оценки (полагая дисперсию равной 1) может привести к тому, что истинный уровень значимости значительно ниже номинального уровня.

Предполагая, что основное распределение симметрично, Кабилио и Масаро показали, что распределение S асимптотически нормально. Асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: для нормального распределения асимптотическая дисперсия S √ n равна 0,5708...

Предполагая, что основное распределение симметрично, рассматривая распределение значений выше и ниже медианы, Чжэн и Гаствирт утверждали, что

${\sqrt {2n}}\left({\frac {m-a}{s}}\right)$

где n — размер выборки, распределяется как распределение t .

Связанная статистика

Антониетта Мира изучала распределение разницы между средним значением и медианой.

$\gamma _{1}=2(m-a),$

где m — выборочное среднее, а — медиана. Если основное распределение симметрично, γ ₁ само по себе является асимптотически нормальным. Эту статистику ранее предложил Бонферрони.

Предполагая симметричное основное распределение, модификацию S изучали Мяо, Гел и Гаствирт, которые модифицировали стандартное отклонение, чтобы создать свою статистику.

$J={\frac {1}{n}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum {|X_{i}-a|}$

где X _i — выборочные значения, || является абсолютным значением , а сумма берется по всем n выборочным значениям.

Тестовая статистика была

$T={\frac {m-a}{J}}.$

Масштабированная статистика T √ n является асимптотически нормальной со средним значением, равным нулю, для симметричного распределения. Его асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: предельные значения для нормального распределения var( T √ n ) = 0,5708... и для распределения t с тремя степенями свободы var ( T √ n ) = 0,9689. ..

Значения для отдельных дистрибутивов

Симметричные распределения

Для симметричных распределений вероятностей значение непараметрического перекоса равно 0.

Асимметричные распределения

Он положителен для распределений с перекосом вправо и отрицателен для распределений с перекосом влево. Абсолютные значения ≥ 0,2 указывают на заметную асимметрию.

может быть сложно определить S. Для некоторых распределений Обычно это происходит потому, что закрытая форма медианы неизвестна: примеры таких распределений включают гамма-распределение , обратное распределение хи-квадрат , обратное гамма-распределение и масштабированное обратное распределение хи-квадрат .

следующие значения S Известны :

• Бета-распределение : 1 < α < β , где α и β — параметры распределения, тогда с хорошим приближением

$S={\frac {1}{3}}{\frac {(\alpha -2\beta )(\alpha +\beta +1)^{1/2}}{(\alpha +\beta -2/3)(\alpha \beta )^{1/2}}}$

Если 1 < β < α , то позиции α и β в формуле меняются местами. S всегда < 0.

• Биномиальное распределение : варьируется. Если среднее значение является целым числом , то S = 0. Если среднее значение не является целым числом, S может иметь либо знак, либо быть нулем. Оно ограничено величиной ±min{ max{ p , 1 − p }, log _e 2 } / σ , где σ — стандартное отклонение биномиального распределения.
• Распределение заусенцев :
• Распределение Бирнбаума – Сондерса :

$S={\frac {2}{\beta ^{2}(4+5\alpha ^{2})}}$

где α — параметр формы, а β — параметр местоположения.

• Распределение Кантора :

${\frac {-4}{3}}\leq S\leq {\frac {4}{3}}$

• Распределение хи-квадрат : хотя S ≥ 0, его значение зависит от количества степеней свободы ( k ).

$S\approx {\frac {1-(1-{\frac {2}{k}})^{3}}{2}}$

• Распределение игл :
• Экспоненциальное распределение :

$S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31$

• Экспоненциальное распределение с двумя параметрами:

$S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31$

• Экспоненциально-логарифмическое распределение

$S=-{\frac {polylog(2,1-p)+\ln(1+{\sqrt {p}})\ln p}{\sqrt {-[2polylog(3,1-p)+polylog^{2}(2,1-p)]}}}$

Здесь S всегда > 0.

• Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса :

$0\leq S\leq 1-\log _{e}(2)$

• Распределение F с n и n степенями свободы ( n > 4):

$S=n^{-3/2}{\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}+O(n^{-5/2})$

• Распределение Фреше : дисперсия этого распределения определяется только для α > 2.

$S={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)-{\frac {1}{{\sqrt {\alpha }}\log _{e}(2)}}}{\sqrt {\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}}}$

• Гамма-распределение : для этого распределения медиану можно определить только приблизительно. Если параметр формы α ≥ 1, то

$S\approx {\frac {\beta }{3\alpha +0.2}}$

где β > 0 — параметр скорости. Здесь S всегда > 0.

• Обобщенное нормальное распределение, версия 2

$S=-{\frac {\exp({\frac {-k^{2}}{2}})-1}{\sqrt {\exp({\frac {k^{2}}{2}})-1}}}$

S всегда < 0.

• Обобщенное распределение Парето : S определяется только тогда, когда параметр формы ( k ) <1/2. S <0 для этого распределения.

$S=\left({\frac {2^{k}-1}{k}}-2^{k}\right)(1-2k)^{0.5}$

• Распространение Гумбеля :

${\frac {{\sqrt {6}}[\gamma +\log _{e}(\log _{e}(2))]}{\pi }}\approx 0.1643$

где γ — постоянная Эйлера .

• Полунормальное распределение :

$S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-0.6745{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi -2}}}\approx 0.36279$

• Распределение Кумарасвами
• Лог-логистическое распределение (распределение Фиска): пусть β будет параметром формы. Дисперсия и среднее значение этого распределения определяются только тогда, когда β > 2. Для упрощения обозначений пусть b = β / π .

$S={\frac {b-\sin(b)}{\sqrt {b\tan(b)-b^{2}}}}$

Стандартное отклонение не существует для значений b > 4,932 (приблизительно). Для значений, для которых определено стандартное отклонение, S > 0.

• Логнормальное распределение : со средним значением ( μ ) и дисперсией ( σ ² )

$S={\frac {1}{(e^{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+1)(e^{\mu +\sigma ^{2}})}}$

• Распределение Лог-Вейбулла :

$S\approx {\frac {[\log _{e}(\log _{e}(2))-0.5772]{\sqrt {6}}}{\pi }}\approx -0.1643$

• Распределение Ломакса : S определено только для α > 2.

$S={\frac {(\alpha -1)(\alpha -2)(1-(\alpha -1)(2^{1/\alpha }-1))}{\alpha ^{1/2}}}$

• Распределение Максвелла – Больцмана :

$S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-1.5382\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\sqrt {2(\Gamma ({\frac {5}{2}})-\Gamma ({\frac {3}{2}}))}}}\approx 0.0854$

• Распределение Накагами

$S=-1$

• Распределение Парето : для α > 2, где α — параметр формы распределения,

$S=(\alpha -2^{1/\alpha }[\alpha -1])({\frac {\alpha -2}{\alpha }})^{1/2},$

и S всегда > 0.

• Распределение Пуассона :

${\frac {-\log _{e}(2)}{\lambda ^{\frac {1}{2}}}}\leq S\leq {\frac {1}{3\lambda ^{\frac {1}{2}}}}$

где λ — параметр распределения.

• Распределение Рэлея :

$S={\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}[({\frac {\pi }{2}})^{0.5}-\log _{e}(4)]\approx 0.1251$

• Распределение Вейбулла :

$S={\frac {\Gamma (1+1/k)-\log _{e}(2)^{1/k}}{(\Gamma (1+2/k)-\Gamma (1+1/k))^{1/2}}},$

где k — параметр формы распределения. Здесь S всегда > 0.

История

В 1895 году Пирсон впервые предложил измерять асимметрию путем стандартизации разницы между средним значением и модой . предоставление

${\frac {\mu -\theta }{\sigma }},$

где μ , θ и σ — среднее значение, мода и стандартное отклонение распределения соответственно. Оценить популяционный режим на основе выборочных данных может быть затруднительно, но разница между средним значением и модой для многих распределений примерно в три раза превышает разницу между средним значением и медианой. что подсказало Пирсону второй коэффициент асимметрии:

${\frac {3(\mu -\nu )}{\sigma }},$

где ν — медиана распределения. Боули исключил из этой формулы коэффициент 3 в 1901 году, что привело к непараметрической статистике асимметрии.

Взаимосвязь между медианой, средним значением и модой была впервые отмечена Пирсоном, когда он исследовал распределения типа III.

Отношения между средним значением, медианой и модой

Для произвольного распределения мода, медиана и среднее значение могут появляться в любом порядке.

Был проведен анализ некоторых взаимосвязей между средним значением, медианой, модой и стандартным отклонением. и эти отношения накладывают некоторые ограничения на знак и величину непараметрической асимметрии.

Простым примером, иллюстрирующим эти взаимосвязи, является биномиальное распределение с n = 10 и p = 0,09. Это распределение при построении графика имеет длинный правый хвост. Среднее значение (0,9) находится слева от медианы (1), но перекос (0,906), определенный третьим стандартизированным моментом, положителен. Напротив, непараметрический перекос составляет -0,110.

Правило Пирсона

Правило, согласно которому для некоторых распределений разница между средним значением и модой в три раза превышает разницу между средним значением и медианой, принадлежит Пирсону, который обнаружил его при исследовании своих распределений типа 3. Его часто применяют к слегка асимметричным распределениям, напоминающим нормальное распределение, но это не всегда верно.

В 1895 году Пирсон заметил, что для того, что сейчас известно как гамма-распределение , соотношение

$\nu -\theta =2(\mu -\nu )$

где θ , ν и μ — мода, медиана и среднее значение распределения соответственно, было приблизительно верно для распределений с большим параметром формы.

Дудсон в 1917 году доказал, что медиана находится между модой и средним значением для умеренно асимметричных распределений с конечными четвертыми моментами. Это соотношение справедливо для всех распределений Пирсона , и все эти распределения имеют положительный непараметрический сдвиг.

Дудсон также отметил, что для этого семейства распределений в хорошем приближении

$\theta =3\nu -2\mu ,$

где θ , ν и μ — мода, медиана и среднее значение распределения соответственно. Приближение Дудсона было дополнительно исследовано и подтверждено Холдейном . Холдейн отметил, что выборки с идентичными и независимыми вариантами с третьим кумулянтом имели средние значения выборки, которые подчинялись соотношению Пирсона для больших размеров выборки. Для соблюдения этого соотношения Холдейну требовался ряд условий, включая существование расширения Эджворта и уникальность как медианы, так и моды. В этих условиях он обнаружил, что мода и медиана сходятся к 1/2 и 1/6 третьего момента соответственно. Этот результат был подтвержден Холлом в более слабых условиях с использованием характеристических функций .

Отношения Дудсона изучались Кендаллом и Стюартом в логарифмически нормальном распределении , для которого они нашли точное, близкое к нему соотношение.

Холл также показал, что для распределения с регулярно меняющимися хвостами и показателем степени α это

$\mu -\theta =\alpha (\mu -\nu )$

Унимодальные распределения

Гаусс показал в 1823 году, что для унимодального распределения

$\sigma \leq \omega \leq 2\sigma$

и

$|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,$

где ω — среднеквадратическое отклонение от моды.

Для большого класса унимодальных распределений, которые имеют положительную асимметрию моды, медиана и среднее располагаются в этом порядке. И наоборот, для большого класса унимодальных распределений с отрицательным перекосом среднее значение меньше медианы, которая, в свою очередь, меньше моды. В символах этих положительно асимметричных унимодальных распределений

$\theta \leq \nu \leq \mu$

и для этих отрицательно искаженных унимодальных распределений

$\mu \leq \nu \leq \theta$

Этот класс включает важные распределения F, бета и гамма.

Это правило не выполняется для унимодального распределения Вейбулла.

Для унимодального распределения известны и точны следующие оценки:

${\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},$

${\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},$

${\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},$

где μ , ν и θ — среднее значение, медиана и мода соответственно.

Средняя граница ограничивает непараметрический перекос унимодального распределения примерно до ±0,775.

состояние Ван Цвета

Следующее неравенство

$\theta \leq \nu \leq \mu ,$

где θ , ν и µ — мода, медиана и среднее значение распределения соответственно, имеет место, если

$F(\nu -x)+F(\nu +x)\geq 1{\text{ for all }}x,$

где F — кумулятивная функция распределения распределения. С тех пор эти условия были обобщены и распространено на дискретные распределения. Любое распределение, для которого это справедливо, имеет либо нулевой, либо положительный непараметрический перекос.

Примечания

Порядок асимметрии

В 1964 году ван Цвет предложил серию аксиом для упорядочения мер асимметрии. Непараметрический перекос не удовлетворяет этим аксиомам.

Закон Бенфорда

Закон Бенфорда — это эмпирический закон распределения цифр в списке чисел. Было высказано предположение, что случайные величины из распределений с положительным непараметрическим сдвигом будут подчиняться этому закону.

Связь с коэффициентом Боули

Эта статистика очень похожа на коэффициент асимметрии Боули.

$SK_{2}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}$

где Q _i — i-й квартиль распределения.

Хинкли обобщил это

$SK={\frac {F^{-1}(1-\alpha )+F^{-1}(\alpha )-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}$

где $\alpha$ лежит между 0 и 0,5. Коэффициент Боули представляет собой частный случай $\alpha$ равен 0,25.

Грюневельд и Миден убрал зависимость от $\alpha$ путем интегрирования по нему.

$SK_{3}={\frac {\mu -Q_{2}}{E|y-Q_{2}|}}$

Знаменатель является мерой дисперсии. Заменив знаменатель на стандартное отклонение, мы получим непараметрическую асимметрию.