Распределение Бирнбаума – Сондерса

Распределение Бирнбаума -Сондерса , также известное как распределение усталостной долговечности , представляет собой распределение вероятностей, широко используемое в приложениях по обеспечению надежности для моделирования времени отказов. В литературе существует несколько альтернативных формулировок этого распределения. Он назван в честь З.В. Бирнбаума и SC Saunders.

Теория

Это распределение было разработано для моделирования сбоев из-за трещин. Материал подвергается повторяющимся циклам напряжений. Дж ​ ^й цикла приводит к увеличению трещины на величину X _j . сумма X _j Предполагается, что нормально распределена со средним значением nμ и дисперсией nσ. ² . Вероятность того, что трещина не превысит критическую длину ω, равна

$P(X\leq \omega )=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)$

где Φ () — функция распределения нормального распределения.

Если T — количество циклов до отказа, то кумулятивная функция распределения (cdf) T равна

$P(T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{0.5}\right]\right)$

Более обычная форма этого распределения:

$F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\beta }{x}}\right)^{0.5}\right]\right)$

Здесь α — параметр формы , а β — параметр масштаба .

Характеристики

Бирнбаума-Сондерса является унимодальным с медианой β Распределение .

Среднее μ ( p ), дисперсия ( ² ), асимметрия ( γ ) и эксцесс ( κ ) следующие:

$\mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)$

$\sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)$

$\gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}$

$\kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}$

Учитывая набор данных, который считается распределенным по Бирнбауму-Сондерсу, значения параметров лучше всего оценивать по методу максимального правдоподобия .

Если T распределено Бирнбаумом–Сондерсом с параметрами α и β, то T ⁻¹ также является распределением Бирнбаума-Сондерса с параметрами α и β ⁻¹ .

Трансформация

Пусть T — распределенная переменная Бирнбаума-Сондерса с параметрами α и β . Полезное преобразование T :

$X={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{-0.5}\right]$.

Эквивалентно

$T=\beta \left(1+2X^{2}+2X(1+X^{2})^{0.5}\right)$.

Затем X распределяется нормально со средним значением, равным нулю, и дисперсией α. ² / 4.

Функция плотности вероятности

Общая формула функции плотности вероятности (pdf):

$f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu ;\gamma ,\beta >0$

где γ — параметр формы , µ — параметр местоположения , β — параметр масштаба , и $\phi$ — функция плотности вероятности стандартного нормального распределения .

Стандартное распределение усталостной долговечности

Случай, когда µ = 0 и β = 1, называется стандартным распределением усталостной долговечности . PDF-файл стандартного распределения усталостной долговечности сводится к

$f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0$

Поскольку общий вид функции вероятности выражается через стандартное распределение, все последующие формулы приводятся для стандартного вида функции.

Кумулятивная функция распределения

Формула кумулятивной функции распределения :

$F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0$

где Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.

Квантильная функция

Формула функции квантиля :

$G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}$

где Φ  ⁻¹ — квантильная функция стандартного нормального распределения.

Ссылки

• Бирнбаум, ZW ; Сондерс, Южная Каролина (1969), «Новое семейство распределений жизни» , Journal of Applied Probability , 6 (2): 319–327, doi : 10.2307/3212003 , JSTOR   3212003 , заархивировано из оригинала 23 сентября 2017 г.
• Десмонд, А. Ф. (1985), «Стохастические модели отказов в случайных средах», Канадский статистический журнал , 13 (3): 171–183, doi : 10.2307/3315148 , JSTOR   3315148
• Джонсон, Н.; Коц, С.; Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения , том. 2 (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley
• Лемонте, AJ; Крибари-Нето, Ф.; Васконселлос, KLP (2007), «Улучшенный статистический вывод для двухпараметрического распределения Бирнбаума – Сондерса», Computational Статистика и анализ данных , 51 : 4656–4681, doi : 10.1016/j.csda.2006.08.016
• Лемонте, AJ; Симас, АБ; Крибари-Нето, Ф. (2008), «Улучшенные оценки на основе бутстрепа для двухпараметрического распределения Бирнбаума – Сондерса» , Журнал статистических вычислений и моделирования , 78 : 37–49, doi : 10.1080/10629360600903882
• Кордейро, генеральный менеджер; Лемонте, AJ (2011), «Распределение β-Бирнбаума – Сондерса: улучшенное распределение для моделирования усталостной долговечности», Computational Статистика и анализ данных , 55 (3): 1445–1461, doi : 10.1016/j.csda.2010.10. 007
• Лемонте, AJ (2013), «Новое расширение распределения Бирнбаума – Сондерса», Бразильский журнал вероятностей и статистики , 27 (2): 133–149, doi : 10.1214/11-BJPS160

Внешние ссылки

• Распределение усталостной жизни

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.