Интегральная кривая

Не путать с интегралом кривой .

В математике интегральная кривая — это параметрическая кривая , представляющая собой конкретное решение обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений.

Имя

Интегральные кривые известны под другими названиями, в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физике интегральные кривые для электрического или магнитного поля известны как силовые линии , а интегральные кривые для скорости жидкости поля — как линии тока . В динамических системах интегральные кривые дифференциального уравнения, управляющего системой, называются траекториями или орбитами .

Определение

Предположим, что F — статическое векторное поле , то есть векторная функция с декартовыми координатами ( F ₁ , F ₂ ,..., F _n ), и что x ( t ) — параметрическая кривая с декартовыми координатами ( x ₁ ( т ), х ₂ ( т ),..., х _п ( т )). Тогда x ( t ) является интегральной кривой F , если она является решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Такую систему можно записать в виде одного векторного уравнения:

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,$

Это уравнение говорит, что вектор, касательный к кривой в любой точке x ( t ) вдоль кривой, является в точности вектором F ( x ( t )), и поэтому кривая x ( t ) касается в каждой точке векторного поля F. .

Если данное векторное поле является липшицевым , то из теоремы Пикара–Линделёфа следует, что существует единственный поток за малое время.

Примеры

Три интегральные кривые для поля наклонов, соответствующие дифференциальному уравнению dy / dx = x ² − х − 2.

Если дифференциальное уравнение представлено в виде векторного поля или поля наклонов , то соответствующие интегральные кривые касаются поля в каждой точке.

Обобщение на дифференцируемые многообразия

Определение

Пусть M — банахово многообразие класса C ^р при r ≥ 2. Как обычно, TM обозначает касательное расслоение к M с его естественной проекцией π _M : TM → M, заданной формулой

$\pi _{M}:(x,v)\mapsto x.$

Векторное поле на M — это сечение касательного расслоения TM , т. е. присвоение каждой точке многообразия M касательного вектора к M в этой точке. Пусть X — векторное поле на M класса C ^{р -1} и p ∈ M. пусть Интегральная кривая для X, проходящая через p в момент времени t _0, представляет собой кривую α : J → M класса C. ^{р -1} , определенный на интервале J вещественной прямой R, содержащей t ₀ , такой, что

$\alpha (t_{0})=p;\,$

$\alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ for all }}t\in J.$

Связь с обыкновенными дифференциальными уравнениями

Приведенное выше определение интегральной кривой α для векторного поля X , проходящего через p в момент времени t ₀ , равнозначно утверждению, что α является локальным решением обыкновенного дифференциального уравнения/задачи с начальным значением.

$\alpha (t_{0})=p;\,$

$\alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,$

Оно локально в том смысле, что оно определено только для моментов времени в J и не обязательно для всех t ≥ t ₀ (не говоря уже о t ⩽ t ₀ ). Таким образом, задача доказательства существования и единственности интегральных кривых аналогична задаче поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений/начальных задач и доказательства их единственности.

Замечания о производной по времени

В приведенном выше примере α ′( t ) обозначает производную α в момент времени t , «направление α указывает» в момент времени t . С более абстрактной точки зрения это производная Фреше :

$(\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.$

В частном случае, когда M — некоторое открытое подмножество R ^н , это знакомая производная

$\left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),$

где α ₁ , ..., α _n — координаты α относительно обычных координатных направлений.

То же самое можно сформулировать еще более абстрактно в терминах индуцированных отображений . Заметим, что касательное расслоение T J к J является тривиальным расслоением J × R и существует каноническое сечение ι этого расслоения такое, что ι ( t ) = 1 (или, точнее, ( t , 1) ∈ ι ) для t ∈ J. всех Кривая α индуцирует отображение расслоения α _∗ : T J → TM, так что следующая диаграмма коммутирует:

Тогда производная по времени α ′ — это композиция α ′ = α _∗ o ι , а α ′( t ) – ее значение в некоторой точке t ∈ J .

Ссылки

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.