Теория множеств Цермело – Френкеля

«ZFC» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. ZFC (значения) .

В теории множеств теория множеств Цермело-Френкеля , названная в честь математиков Эрнста Цермело и Авраама Френкеля , представляет собой аксиоматическую систему , которая была предложена в начале двадцатого века, чтобы сформулировать теорию множеств, свободную от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Сегодня теория множеств Цермело-Френкеля, включающая исторически противоречивую аксиому выбора (AC), является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, как таковая, является наиболее распространенной основой математики . Теория множеств Цермело – Френкеля с включенной аксиомой выбора сокращенно ZFC , где C означает «выбор», а ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора.

Неофициально, Теория множеств Цермело-Френкеля призвана формализовать единственное примитивное понятие — наследственное обоснованное множество , так что все сущности во вселенной дискурса являются такими множествами. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля относятся только к чистым множествам и не позволяют ее моделям содержать урэлементы (элементы множеств, которые сами не являются множествами). Более того, правильные классы (коллекции математических объектов, определяемые свойством, общим для их членов, где коллекции слишком велики, чтобы их можно было рассматривать как наборы) можно обрабатывать только косвенно. В частности, теория множеств Цермело-Френкеля не допускает ни существования универсального множества (множества, содержащего все множества), ни неограниченного понимания , тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) – это широко используемое консервативное расширение теории множеств Цермело–Френкеля, которое допускает явную трактовку собственных классов.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Большинство аксиом утверждают существование определенных множеств, определенных из других множеств. Например, аксиома спаривания гласит, что для любых двух наборов $a$ и $b$ есть новый набор $\{a,b\}$ содержащий ровно $a$ и $b$. Другие аксиомы описывают свойства членства во множестве. Цель аксиом состоит в том, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств во вселенной фон Неймана (также известной как кумулятивная иерархия).

Метаматематика теории множеств Цермело – Френкеля широко изучается. Знаменательные результаты в этой области установили логическую независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело-Френкеля (см. Аксиома выбора § Независимость ) и гипотезы континуума от ZFC. Непротиворечивость такой теории , как ZFC, не может быть доказана внутри самой теории, как показывает вторая теорема Гёделя о неполноте .

История

Основная статья: История теории множеств

Современное исследование теории множеств было инициировано Георгом Кантором и Рихардом Дедекиндом в 1870-х годах. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств , таких как парадокс Рассела , привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, свободной от этих парадоксов.

В 1908 году Эрнст Цермело предложил первую аксиоматическую теорию множеств — теорию множеств Цермело . Однако, как впервые отметил Абрахам Френкель в письме Цермело в 1921 году, эта теория была неспособна доказать существование определенных множеств и кардинальных чисел , существование которых считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков множеств того времени, особенно кардинального числа. $\aleph _{\omega }$ и набор $\{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},$ где $Z_{0}$ любое бесконечное множество и ${\mathcal {P}}$ это операция набора мощности . Более того, одна из аксиом Цермело задействовала концепцию «определенного» свойства, операционный смысл которого не ясен. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем независимо друг от друга предложили использовать «определенное» свойство как свойство, которое можно сформулировать в виде правильно сформированной формулы в логике первого порядка, которой атомарные формулы были ограничены набором членства и идентичности. Они также независимо предложили заменить схему аксиом спецификации на схему аксиом замены . Дополняя эту схему, а также аксиому регулярности (впервые предложенную Джоном фон Нейманом ), к теории множеств Цермело дает теорию, обозначаемую ZF . Добавление к ZF аксиомы выбора (AC) или эквивалентного ей утверждения дает ZFC.

Формальный язык

См. Также: Официальный язык

Формально ZFC — односортная теория в логике первого порядка . Равенство рассматривается как примитивный логический символ, а подпись имеет единственный примитивный нелогический символ, обычно обозначаемый $\in$, который является символом-предикатом арности 2 (символом отношения). Этот символ символизирует установленное отношение членства . Например, формула $a\in b$ означает, что a является элементом множества b (также читается как a является членом b ).

Алфавит языка состоит из:

• Счетное бесконечное количество переменных, используемых для представления наборов (например, букв, слов, уникальных символов).

• Логические связи $\lnot$ ( нет ), $\land$ ( и ), $\lor$ ( или )

• Символ квантора существования $\exists$

• Символ равенства $=$

• Установленный символ членства $\in$

• Скобки ( )

При использовании этого алфавита итерационные правила формирования правильных формул ( wff ) следующие:

• Это действительные корректные формулы:

$x=y$

$x\in y$

• Если $\phi$ является корректной формулой, то такова:

$\lnot \phi$

• Если $\phi$ и $\psi$ являются корректными формулами, то таковыми являются:

$(\phi \land \psi )$

$(\phi \lor \psi )$

• Если $\phi$ является корректной формулой, то таковыми являются:

$(x)\phi$

$(\exists x)\phi$

$x$ и $y$ выше приведены метапеременные, обозначающие любые переменные . Первое правило описывает два способа построения атомарной формулы . Как правило, скобки для $\land$ и $\lor$ могут быть отброшены в соответствии со следующим приоритетом: not , and , or . $(x)$ и $(\exists x)$, которые читаются как «данный любой x» и «существует такой x, что» соответственно, также могут быть записаны как $\forall x$ и $\exists x$ соответственно. Мы определяем $(\phi \Rightarrow \psi )$ как $(\lnot \phi \lor \psi )$, и $(\phi \Leftrightarrow \psi )$ как $(\phi \Rightarrow \psi )\land (\psi \Rightarrow \phi )$. Тип используемых скобок не обязательно должен быть фиксированным, и в литературе можно увидеть сочетание различных типов для облегчения чтения.

Оператор в нотации set-builder сокращает wff. Выражение , представляющее математический объект, сокращает именную фразу в метаязыке, обозначающую определенный набор, который удовлетворяет определенному (обычно длинному) wff. Следующие таблицы иллюстрируют некоторые соответствия:

Заявление о сборщике наборов	Официальный язык
$A\neq B$	$\lnot \$А $=$ Б
$A\notin B$	$\lnot \$А $\in$ Б
$A\subseteq B$	$\langle x\rangle (x\in$ А $\Rightarrow x\in$ Б $)$
$A\subset B$	$\langle x\rangle (x\in$ А $\Rightarrow x\in$ Б $)\land \lnot \$А $=$ Б
$\forall x\in A,\ x\in B$	$\langle x\rangle (x\in$ А $\Rightarrow x\in$ Б $)$
$\exists x\in A,\ x\in B$	$\langle \exists x\rangle (x\in$ А $\land \ x\in$ Б $)$

Объект-построитель наборов	Соответствующий вфф
$\varnothing$	$\langle \exists$ набор $\rangle \langle x\rangle \ \lnot \ x\in$ набор
$B\setminus A$	$\langle \exists$ набор $\rangle \langle x\rangle (x\in$ набор $\Rightarrow x\in$ Б $\land \ \lnot \ x\in$ А $)$
$A\cap B$	$\langle \exists$ набор $\rangle \langle x\rangle (x\in$ набор $\Rightarrow x\in$ А $\land \ x\in$ Б $)$
$A\cup B$	$\langle \exists$ набор $\rangle \langle x\rangle (x\in$ набор $\Rightarrow x\in$ А $\lor \ x\in$ Б $)$
$\{A,B\}$	$\langle \exists$ набор $\rangle \langle x\rangle (x\in$ набор $\Rightarrow x=$ А $\lor \ x=$ Б $)$

Символы формального языка не высечены в камне, скорее, акцент делается на форме предложения. WFF можно представить как синтаксическое дерево: атомарные формулы — это узлы в конце ветвей, а $\lnot$ , $\land$ , $\lor$ , $\langle x\rangle$ и $\langle \exists x\rangle$ являются другими узлами в дереве. Свойство $\land$ и $\lor$ заключается в том, что их можно поменять местами, вставив $\lnot$ на соседние ребра, чтобы получить эквивалентную WFF ( законы Де Моргана ). Это также относится и к $\langle x\rangle$ и $\langle \exists x\rangle$. Если два $\lnot$ если в дереве есть ребро между ними, то их обоих можно удалить из дерева ( двойное отрицание ). Существует счетное бесконечное число WFF, однако каждая WFF имеет конечное число узлов.

Аксиомы

См. также: Аксиома

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом ZFC; обсуждение этого вопроса см. в Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973 . Следующий конкретный набор аксиом взят из Кунена (1980) . Аксиомы сами по себе выражаются в символике логики первого порядка . Соответствующая английская проза предназначена только для помощи интуиции.

Аксиомы 1–8 образуют ZF, а аксиома 9 превращает ZF в ZFC. Следуя Кунену (1980) , мы используем эквивалентную теорему о хорошем порядке вместо аксиомы выбора для аксиомы 9 .

Все формулировки ZFC предполагают, что существует хотя бы одно множество. Кунен включает аксиому, которая прямо утверждает существование множества, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»). Его отсутствие здесь можно оправдать двояко. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должна быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что что-то существует, обычно выражаемая как утверждение, что что-то идентично самому себе. $\exists x(x=x)$. Следовательно, теоремой любой теории первого порядка является то, что что-то существует. Однако, как отмечалось выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC существуют только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что некоторое множество существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике , в которой с помощью одной лишь логики невозможно доказать существование чего-либо, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что бесконечное множество существует. Это подразумевает, что множество существует, и поэтому, опять же, излишне включать аксиому, утверждающую это.

1. Аксиома экстенсиональности

Основная статья: Аксиома экстенсиональности

Два множества равны (являются одним и тем же набором), если они содержат одинаковые элементы.

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$

Обратное утверждение этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства . ZFC построен на логике первого порядка. Некоторые формулировки логики первого порядка включают тождество; другие этого не делают. Если разновидность логики первого порядка, в которой вы строите теорию множеств, не включает равенство $=$", $x=y$ можно определить как сокращение следующей формулы: $\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].$

В этом случае аксиому экстенсиональности можно переформулировать как

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],$

который говорит, что если $x$ и $y$ имеют одинаковые элементы, то они принадлежат одним и тем же множествам.

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания)

Основная статья: Аксиома регулярности

Каждое непустое множество $x$ содержит член $y$ такой, что $x$ и $y$ являются непересекающимися множествами .

$\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].$

или в современных обозначениях: $\forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).$

Это (наряду с аксиомой спаривания) подразумевает, например, что ни одно множество не является элементом самого себя и что каждое множество имеет порядковый ранг .

3. Схема аксиом спецификации (или разделения, или ограниченного понимания)

Основная статья: Схема спецификации аксиом

Подмножества обычно создаются с использованием нотации построителя множеств . Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел $\mathbb {Z}$ удовлетворяющее сравнения по модулю предикату $x\equiv 0{\pmod {2}}$:

$\{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.$

В общем, подмножество множества $z$ подчиняясь формуле $\varphi (x)$ с одной свободной переменной $x$ может быть записано как:

$\{x\in z:\varphi (x)\}.$

Схема аксиом спецификации утверждает, что это подмножество всегда существует (это аксиом схема , поскольку для каждого $\varphi$). Формально пусть $\varphi$ любая формула языка ZFC со всеми свободными переменными среди $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}$ ( $y$ не является бесплатным в $\varphi$). Затем:

$\forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].$

Обратите внимание, что схема аксиом спецификации может строить только подмножества и не позволяет строить сущности более общего вида:

$\{x:\varphi (x)\}.$

Это ограничение необходимо, чтобы избежать парадокса Рассела (пусть $y=\{x:x\notin x\}$ затем $y\in y\Leftrightarrow y\notin y$) и ее варианты, сопровождающие наивную теорию множеств с неограниченным пониманием (поскольку при этом ограничении $y$ относится только к множествам внутри $z$ которые не принадлежат им самим, и $y\in z$ установлено не , хотя $y\subseteq z$ дело в этом, так что $y$ стоит в отдельной позиции, из которой он не может обратиться к самому себе или понять себя; следовательно, в определенном смысле эта схема аксиом утверждает, что для построения $y$ на основе формулы $\varphi (x)$, нам необходимо предварительно ограничить множества $y$ рассмотрю в комплекте $z$ это оставляет $y$ снаружи так $y$ не может ссылаться на себя; или, другими словами, множества не должны ссылаться сами на себя).

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна, поскольку следует из схемы аксиом замены и аксиомы пустого множества .

С другой стороны, схема аксиом спецификации может быть использована для доказательства существования пустого множества , обозначаемого $\varnothing$, если известно, что существует хотя бы один набор (см. выше). Один из способов сделать это — использовать свойство $\varphi$ которого нет ни в одном наборе. Например, если $w$ является любым существующим набором, пустой набор может быть построен как

$\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.$

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома экстенсиональности подразумевает, что пустое множество уникально (не зависит от $w$). Обычно в расширение определения добавляется символ " $\varnothing$" на язык ZFC.

4. Аксиома спаривания

Основная статья: Аксиома спаривания

Если $x$ и $y$ являются множествами, то существует множество, содержащее $x$ и $y$ как элементы, например, если x = {1,2} и y = {2,3}, то z будет {{1,2},{2,3}}

$\forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).$

Схема аксиом спецификации должна использоваться, чтобы свести это к множеству, состоящему именно из этих двух элементов. Аксиома спаривания является частью Z, но она избыточна в ZF, поскольку она следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор, состоящий как минимум из двух элементов. Существование множества, состоящего хотя бы из двух элементов, обеспечивается либо аксиомой бесконечности , либо схемой аксиом спецификации. и аксиома набора степеней, примененная дважды к любому набору.

5. Аксиома объединения

Основная статья: Аксиома союза

Объединение элементов множества существует. Например, объединение элементов множества $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ является $\{1,2,3\}.$

Аксиома объединения гласит, что для любого множества множеств ${\mathcal {F}}$, есть набор $A$ содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена ${\mathcal {F}}$:

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].$

Хотя эта формула прямо не утверждает существование $\cup {\mathcal {F}}$, набор $\cup {\mathcal {F}}$ может быть построен из $A$ в приведенном выше примере с использованием схемы аксиом спецификации:

$\cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.$

6. Схема аксиом замены

Основная статья: Схема аксиом замены

Схема аксиом замены утверждает, что образ множества при любой определимой функции также попадет внутрь множества.

Формально пусть $\varphi$ любая формула языка ZFC, свободные переменные которой входят в число $x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},$ так что в частности $B$ не является бесплатным в $\varphi$. Затем:

$\forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.$

(Уникальный квантор существования $\exists !$ обозначает существование ровно одного элемента, такого, что он следует данному утверждению. Дополнительную информацию см. в разделе «Количественная оценка уникальности ».)

Другими словами, если отношение $\varphi$ представляет собой определимую функцию $f$, $A$ представляет свой домен , и $f(x)$ это набор для каждого $x\in A,$ тогда диапазон ​ $f$ является подмножеством некоторого множества $B$. Указанная здесь форма, в которой $B$ может быть больше, чем это строго необходимо, иногда называют схемой аксиом коллекции .

7. Аксиома бесконечности

Основная статья: Аксиома бесконечности

Первые несколько ординалов фон Неймана

0	=	{}	=	∅
1	=	{0}	=	{∅}
2	=	{0,1}	=	{∅,{∅}}
3	=	{0,1,2}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}}}
4	=	{0,1,2,3}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

Позволять $S(w)$ сокращать $w\cup \{w\},$ где $w$ это некий набор. (Мы можем видеть, что $\{w\}$ является допустимым набором путем применения аксиомы спаривания с $x=y=w$ так что множество z ​​есть $\{w\}$). Тогда существует множество X такое, что пустое множество $\varnothing$, определенное аксиоматически, является членом X , и всякий раз, когда множество y является членом X , тогда $S(y)$ является членом X. также

$\exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].$

Говоря более разговорно, существует множество X, имеющее бесконечное число членов. (Однако необходимо установить, что все эти члены различны, поскольку, если два элемента одинаковы, последовательность будет зацикливаться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор X, удовлетворяющий аксиомой бесконечности является ординал фон Неймана ω, который также можно рассматривать как набор натуральных чисел. $\mathbb {N} .$

8. Аксиома набора мощности

Основная статья: Аксиома набора мощности

По определению, набор $z$ является подмножеством множества $x$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $z$ также является элементом $x$:

$(z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).$

Аксиома степенного множества гласит, что для любого множества $x$, есть набор $y$ который содержит каждое подмножество $x$:

$\forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).$

Схема аксиом спецификации затем используется для определения набора мощности. ${\mathcal {P}}(x)$ как подмножество такого $y$ содержащие подмножества $x$ точно:

${\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.$

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003) . Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует . Аксиомы спаривания, объединения, замены и набора власти часто формулируются так, что члены набора $x$ существование которых утверждается, являются именно теми множествами, которые утверждает аксиома $x$ должен содержать.

Для превращения ZF в ZFC добавляется следующая аксиома:

9. Аксиома правильного порядка (выбора)

Основная статья: Аксиома выбора

Основная статья: Теорема о хорошем порядке

Основная статья: лемма Цорна

Последняя аксиома, широко известная как аксиома выбора , представлена ​​здесь как свойство хорошо упорядоченного порядка , как у Кунена (1980) .Для любого набора $X$, существует бинарное отношение $R$ который хорошо заказывает $X$. Это означает $R$ представляет собой линейный порядок на $X$ такая, что каждое подмножество непустое $X$ имеет член, минимальный по $R$.

$\forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).$

Учитывая аксиомы 1–8 , многие утверждения доказуемо эквивалентны аксиоме 9 . Самый распространенный из них заключается в следующем. Позволять $X$ быть множеством, все члены которого непусты. Тогда существует функция $f$ от $X$ к объединению членов $X$, называемая « функцией выбора », такая, что для всех $Y\in X$ у одного есть $f(Y)\in Y$. Третья версия аксиомы, также эквивалентная, — это лемма Цорна .

Поскольку существование функции выбора, когда $X$ является конечным множеством , что легко доказать на основе аксиом 1–8 , AC имеет значение только для некоторых бесконечных множеств . AC характеризуется как неконструктивный , поскольку он утверждает существование функции выбора, но ничего не говорит о том, как эта функция выбора должна быть «построена».

Мотивация через кумулятивную иерархию

Дополнительная информация: Вселенная фон Неймана.

Одной из мотиваций аксиом ZFC является кумулятивная иерархия множеств, введенная Джоном фон Нейманом . С этой точки зрения вселенная теории множеств строится поэтапно, по одному этапу для каждого порядкового числа . На этапе 0 наборов еще нет. На каждом следующем этапе во вселенную добавляется набор, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавляется на этапе 1, а набор, содержащий пустой набор, добавляется на этапе 2. называется V. Совокупность всех множеств, полученных таким образом на всех этапах , Наборы в V можно организовать в иерархию, назначив каждому набору первый этап, на котором этот набор был добавлен V. в

Доказуемо, что множество находится в V тогда и только тогда, когда оно чисто и обосновано . И V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов обладает соответствующими свойствами отражения. Например, предположим, что набор x добавляется на этапе α, а это означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе, предшествующем α. Затем каждое подмножество x также добавляется на этапе α (или до него), поскольку все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что любое подмножество x , которое может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α (или до него), и что набор степеней x будет добавлен на следующем этапе после α. Полный аргумент в пользу того, что V удовлетворяет ZFC, см. в Shoenfield (1977) .

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных с ней аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса-Келли . Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как « Новые основания» .

Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, что дает конструктивную вселенную L , которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. От аксиом ZFC не зависит, будет ли V = L . Хотя структура L более регулярна и хорошо ведет себя, чем структура V , немногие математики утверждают, что V = L следует добавить в ZFC в качестве дополнительной « аксиомы конструктивности ».

Метаматематика

Виртуальные занятия

Собственные классы (коллекции математических объектов, определенные свойством, общим для их членов, которое слишком велико для того, чтобы быть наборами) могут обрабатываться в ZF (и, следовательно, ZFC) только косвенно.Альтернативой собственным классам, оставаясь в пределах ZF и ZFC, является нотационная конструкция виртуального класса , введенная Куайном (1969) , где вся конструкция y ∈ { x | F x } просто определяется как F y . Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать множества, но сами не обязательно должны быть множествами, не привязываясь к онтологии классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только множества). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейса и Френкеля (1958) . Виртуальные классы также используются в Levy (2002) , Takeuti & Zaring (1982) и в Metamath реализации ZFC .

Конечная аксиоматизация

Основная статья: Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя

Каждая из схем аксиом замены и разделения содержит бесконечное множество примеров. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его докторскую диссертацию 1957 года. тезис: если ZFC непротиворечив, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) может быть конечно аксиоматизирована. Онтология NBG включает в себя как собственные классы , так и множества; набор — это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теорема, не упоминающая классы и доказуемая в одной теории, может быть доказана в другой.

Консистенция

Вторая теорема Гёделя о неполноте гласит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою непротиворечивость только в том случае, если она несовместима. Более того, арифметику Робинсона можно интерпретировать в общей теории множеств — небольшом фрагменте ZFC. Следовательно, непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самого ZFC (если только он не является фактически несовместимым). Таким образом, в той степени, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Непротиворечивость ZFC действительно следует из существования слабо недостижимого кардинала , что недоказуемо в ZFC, если ZFC непротиворечив. Тем не менее, маловероятно, что ZFC таит в себе непредвиденное противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC был непоследователен, этот факт уже был бы раскрыт. Это совершенно очевидно: ZFC невосприимчив к классическим парадоксам наивной теории множеств : парадоксу Рассела , парадоксу Бурали-Форти и парадоксу Кантора .

Абиан и Ламаккиа (1978) изучили подтеорию ZFC, состоящую из аксиом экстенсиональности, объединения, набора степеней, замены и выбора. Используя модели , они доказали непротиворечивость этой подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и набора степеней независима от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, каждая из аксиом союза, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, которые удовлетворяют каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если ZFC непротиворечив, он не сможет доказать существование недоступных кардиналов , которых требует теория категорий . Огромные множества такого рода возможны, если ZF дополнить аксиомой Тарского . Предполагая, что аксиома превращает аксиомы бесконечности , набора степеней и выбора ( 7 – 9 выше) в теоремы.

Независимость

Многие важные утверждения не зависят от ZFC (см. список утверждений, независимых от ZFC ). Независимость обычно доказывается форсированием , посредством чего показывается, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополненная большими кардинальными аксиомами ) может быть расширена, чтобы удовлетворить рассматриваемому утверждению. Затем показано другое расширение, удовлетворяющее отрицанию утверждения. Доказательство независимости путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиом. Можно доказать, что некоторые утверждения, независимые от ZFC, справедливы для конкретных внутренних моделей , например, в конструируемой вселенной . Однако некоторые утверждения, верные в отношении конструктивных множеств, не согласуются с предполагаемыми большими кардинальными аксиомами.

Форсирование доказывает, что следующие утверждения независимы от ZFC:

• Аксиома конструктивности (V=L) (которая также не является аксиомой ZFC)
• Непрерывная гипотеза
• Алмазный принцип
• Аксиома Мартина (которая не является аксиомой ZFC)
• Гипотеза Суслина

Примечания:

• Непротиворечивость V=L доказывается внутренними моделями , но не принудительно: каждую модель ZF можно обрезать, чтобы она стала моделью ZFC + V=L.
• Принцип ромба подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума подразумевают гипотезу Суслина.
• Конструируемая вселенная удовлетворяет гипотезе обобщенного континуума , принципу ромба, аксиоме Мартина и гипотезе Курепы.
• Несостоятельность гипотезы Курепы равнозначна существованию сильно недоступного кардинала .

Вариацию метода принуждения можно также использовать для демонстрации непротиворечивости и недоказуемости аксиомы выбора , т. е. того, что аксиома выбора не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, доказав, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con(ZF) влечет Con(ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать форсирование для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно удовлетворяющую ZF, но не удовлетворяющую C.

Другой метод доказательства независимости результатов, не зависящий ни от чего, основан на второй теореме Гёделя о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование модели множества ZFC, и в этом случае Con(ZFC) истинно. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC действительно непротиворечива). Следовательно, ни одно утверждение, допускающее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что предположение о таких кардиналах с учетом ZFC не противоречит.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств вокруг дополнительных аксиом для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей иногда называют «программой Гёделя». Математики в настоящее время спорят о том, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы наиболее полезны в различных областях и о том, в какой степени полезность следует сочетать с правдоподобием; некоторые сторонники теории множеств « мультивселенной » утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором обычно принимаются аксиомы. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества для создания теоретико-множественной вселенной с интересной и сложной, но достаточно гибкой структурой путем принятия вынуждающих аксиом; другая школа выступает за более аккуратную и менее захламленную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели.

Критика

Критику теории множеств в целом см. в разделе « Возражения против теории множеств».

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность охватить такие объекты, как правильные классы и универсальное множество .

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, таких как арифметика Пеано и арифметика второго порядка (исследуемая программой обратной математики ). Сондерс Мак Лейн и Соломон Феферман высказали эту точку зрения. Часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) находится за пределами арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть выполнена в ZC ( теория множеств Цермело с выбором), другая теория, более слабая, чем ЗФК. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаба. В отличие от новых тональных средств , ZFC не допускает существования универсального набора. Следовательно, вселенная множеств под действием ZFC не замкнута относительно элементарных операций алгебры множеств . В отличие от теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) и теории множеств Морса–Келли (МК), ZFC не допускает существования собственных классов . Еще одним сравнительным недостатком ZFC является то, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее, чем аксиома глобального выбора , включенная в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, независимых от ZFC . К ним относятся гипотеза континуума , проблема Уайтхеда и гипотеза нормального пространства Мура . Некоторые из этих гипотез доказуемы с добавлением аксиом, таких как аксиома Мартина или больших кардинальных аксиом в ZFC . Некоторые другие решаются в ZF+AD, где AD — аксиома детерминированности , сильное предположение, несовместимое с выбором. Одна из привлекательных сторон больших кардинальных аксиом состоит в том, что они позволяют установить многие результаты из ZF + AD в ZFC, к которому примыкает некоторая большая кардинальная аксиома (см. Проективная детерминированность ). Система Мицара и метаматематика приняли теорию множеств Тарского-Гротендика , расширение ZFC, так что доказательства, включающие вселенные Гротендика (встречающиеся в теории категорий и алгебраической геометрии), могут быть формализованы.

См. также

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Большая кардинальная аксиома

Связанные аксиоматические теории множеств :

• Теория множеств Морса – Келли
• Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя
• Теория множеств Тарского – Гротендика
• Конструктивная теория множеств
• Теория внутренних множеств

Цитируемые работы

• Абиан, Александр (1965). Теория множеств и трансфинитная арифметика . УБ Сондерс.
• ———; ЛаМаккья, Сэмюэл (1978). «О непротиворечивости и независимости некоторых теоретико-множественных аксиом» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 19 : 155–58. дои : 10.1305/ndjfl/1093888220 .
• Бернейс, Пол; Френкель, А.А. (1958). Аксиоматическая теория множеств . Амстердам: Северная Голландия.
• Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59441-3 .
• Девлин, Кейт (1996) [Впервые опубликовано в 1984 году]. Радость наборов . Спрингер .
• Эббингауз, Хайнц-Дитер (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Спрингер. ISBN  978-3-540-49551-2 .
• Феферман, Соломон (1996). «Программа Гёделя для новых аксиом: почему, где, как и что?» . В Гайке, Петр (ред.). Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики – наследие Курта Гёделя . Спрингер-Верлаг. стр. 3–22. ISBN  3-540-61434-6 . .
• Френкель, Авраам ; Бар-Хилель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1973) [Впервые опубликовано в 1958 году]. Основы теории множеств . Северная Голландия . Последнее слово Френкеля о ZF и ZFC.
• Хальбайзен, Лоренц Дж. (2011). Комбинаторная теория множеств: с мягким введением в принуждение . Спрингер. стр. 62–63. ISBN  978-1-4471-2172-5 .
• Хэтчер, Уильям (1982) [Впервые опубликовано в 1968 году]. Логические основы математики . Пергамон Пресс .
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета . Включает аннотированные английские переводы классических статей Цермело , Френкеля и Сколема , касающихся ZFC .
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики . АК Петерс . ISBN  978-1-56881-262-5 .
• Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир . ISBN  0-444-86839-9 .
• Кунен, Кеннет (29 октября 2007 г.). Основы математики (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 сентября 2023 года.
• Леви, Азриэль (2002). Базовая теория множеств . Дуврские публикации. ISBN  048642079-5 .
• Линк, Годехард (2014). Формализм и не только: о природе математического дискурса . Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN  978-1-61451-829-7 .
• Монтегю, Ричард (1961). «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость». Инфинистические методы . Лондон: Пергамон Пресс. стр. 45–69.
• Куайн, Уиллард ван Орман (1969). Теория множеств и ее логика (пересмотренная ред.). Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: Издательство Belknap Press Гарвардского университета. ISBN  0-674-80207-1 .
• Шонфилд, Джозеф Р. (1977). «Аксиомы теории множеств». В Barwise, KJ (ред.). Справочник по математической логике . Издательство Северной Голландии. ISBN  0-7204-2285-Х .
• Шонфилд, Джозеф Р. (2001) [Впервые опубликовано в 1967 году]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN  978-1-56881-135-2 .
• Суппес, Патрик (1972) [Впервые опубликовано в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дуврское переиздание.
• Такеути, Гаиси ; Заринг, ВМ (1971). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер-Верлаг .
• Такеути, Гаиси; Заринг, ВМ (1982). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер. ISBN  9780387906836 .
• Тарский, Альфред (1939). «О вполне упорядоченных подмножествах любого множества» . Фундамента Математика . 32 : 176–83. дои : 10.4064/fm-32-1-176-783 .
• Плитка, Мэри (1989). Философия теории множеств . Дуврское переиздание.
• Турлакис, Джордж (2003). Лекции по логике и теории множеств, Том. 2 . Издательство Кембриджского университета .
• Волховер, Натали (2013). «Чтобы разрешить спор о бесконечности, новый закон логики» . Журнал Кванта . .
• Цермело, Эрнст (1908). «Исследования оснований теории множеств I» . Математические летописи . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999 . S2CID   120085563 . английский перевод в Хейеноорт, Жан ван (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Справочники по истории наук. Издательство Гарвардского университета. стр. 199–215. ISBN  978-0-674-32449-7 .
• Цермело, Эрнст (1930). «О предельных числах и диапазонах величин» . Фундамента Математика . 16 :29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 . ISSN   0016-2736 .

Внешние ссылки

• Аксиомы теории множеств - Lec 02 - Фредерик Шуллер на YouTube
• «ZFC» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• в Стэнфордской энциклопедии философии Статьи Джоан Багария :
  • Багария, Джоан (31 января 2023 г.). «Теория множеств» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
  • - (31 января 2023 г.). «Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля» . В — (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Метаматематическая версия аксиом ZFC — краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фоновая логика первого порядка определена специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • Вывод в Metamath . версии схемы разделения из версии схемы замены
• Вайсштейн, Эрик В. «Теория множеств Цермело-Френкеля» . Математический мир .