Теория множеств Цермело – Френкеля

«ZFC» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. ZFC (значения) .

В теории множеств теория множеств Цермело-Френкеля , названная в честь математиков Эрнста Цермело и Авраама Френкеля , представляет собой аксиоматическую систему , которая была предложена в начале двадцатого века, чтобы сформулировать теорию множеств, свободную от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Сегодня теория множеств Цермело-Френкеля, включающая исторически противоречивую аксиому выбора (AC), является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, как таковая, является наиболее распространенной основой математики . Теория множеств Цермело – Френкеля с включенной аксиомой выбора сокращенно ZFC , где C означает «выбор», и ZF относится к аксиомам теории наборов Zermelo -Fraenkel с исключенной аксиомой выбора.

Неформально, Теория набора Zermelo-Fraenkel предназначена для формализации единого примитивного представления, той наследственной обоснованного набора , так что все сущности во вселенной дискурса были такими наборами. Таким образом, аксиомы теории набора Zermelo -Fraenkel относятся только к чистым наборам и предотвращают укоров содержание . (элементы наборов, которые сами не являются наборами) Кроме того, надлежащие классы (коллекции математических объектов , определяемые свойством, разделяемым их членами, где коллекции слишком велики, чтобы быть наборами), могут рассматриваться только косвенно. В частности, теория набора Zermelo -Fraenkel не позволяет существовать универсальный набор (набор, содержащий все наборы), ни для неограниченного понимания , что избегает парадокса Рассела. Фон Нейман - Бернейс -Гёдель Теория наборов (NBG) является обычно используемым консервативным расширением теории наборов Zermelo -Fraenkel, которая позволяет явно обращаться с надлежащими классами.

Существует много эквивалентных составов аксиомов теории наборов с нулевым франкелем. Большинство аксиомов указывают существование конкретных наборов, определенных из других наборов. Например, аксиома спаривания говорит, что с учетом любых двух наборов $a$ и $b$ Есть новый набор $\{a,b\}$ Содержит точно $a$ и $b$Полем Другие аксиомы описывают свойства членства. Цель аксиомов состоит в том, что каждая аксиома должна быть правдой, если интерпретируется как утверждение о сборе всех наборов во вселенной фон Нейман (также известном как кумулятивная иерархия).

Метаматематика теории набора Zermelo -Fraenkel была тщательно изучена. Landmark приводит к тому, что эта область установила логическую независимость аксиомы выбора из оставшихся аксиомов Zermelo-Fraenkel (см. Аксиому выбора § Независимость ) и гипотезы континуума из ZFC. Последовательность второй теории, такой как ZFC, не может быть доказана в самой теории, как показано теоремой неполноты Гёделя .

История

Основная статья: История теории наборов

Современное исследование теории наборов было инициировано Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870 -х годах. Тем не менее, открытие парадоксов в теории наивных наборов , таких как парадокс Рассела , привело к стремлению к более строгой форме теории наборов, которая была свободна от этих парадоксов.

В 1908 году Эрнст Змело предложил первую аксиоматическую теорию наборов , теорию наборов Zermelo . Однако, как впервые указал Авраам Фраенкель в письме 1921 года к Zermelo, эта теория не способна доказать существование определенных наборов и кардинальных чисел , существование которых было воспринято как само собой разумеющееся теоретики того времени, в частности, кардинальное число $\aleph _{\omega }$ и набор $\{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},$ где $Z_{0}$ любое бесконечное множество и ${\mathcal {P}}$ это операция набора мощности . Более того, одна из аксиом Цермело задействовала концепцию «определенного» свойства, операционный смысл которого не ясен. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем независимо друг от друга предложили использовать «определенное» свойство как свойство, которое можно сформулировать как правильно сформированную формулу в логике первого порядка, которой атомарные формулы были ограничены набором членства и идентичности. Они также независимо предложили заменить схему аксиом спецификации на схему аксиом замены . Дополняя эту схему, а также аксиому регулярности (впервые предложенную Джоном фон Нейманом ), к теории множеств Цермело дает теорию, обозначаемую ZF . Добавление к ZF аксиомы выбора (AC) или эквивалентного ей утверждения дает ZFC.

Официальный язык

См. Также: Официальный язык

Формально ZFC — односортная теория в логике первого порядка . Символ равенства можно рассматривать либо как примитивный логический символ, либо как сокращение высокого уровня, обозначающее точно такие же элементы. Первый подход является наиболее распространенным. Подпись обозначаемый имеет единственный символ-предикат, обычно $\in$, который является символом-предикатом арности 2 (символ бинарного отношения). Этот символ символизирует установленное отношение членства . Например, формула $a\in b$ означает, что $a$ является элементом набора $b$ (Также читайте как $a$ является членом $b$).

Есть разные способы сформулировать формальный язык. Некоторые авторы могут выбрать другой набор соединений или квантиров. Например, только логический соединительный NAND может кодировать другие соединения, свойство, известное как функциональная полнота . Этот раздел пытается найти баланс между простотой и интуитивностью.

Алфавит языка состоит из:

• Счетно бесконечное количество переменных, используемых для представления наборов

• Логические соединения $\lnot$, $\land$, $\lor$

• Символы квантификатора $\forall$, $\exists$

• Символ равенства $=$

• Символ SET членства $\in$

• Скобки ()

С помощью этого алфавита рекурсивные правила формирования хорошо сформированных формул (WFF) следующие:

• Позволять $x$ и $y$ быть метавариальными для любых переменных. Это два способа построения атомных формул (самые простые WFF):

$x=y$

$x\in y$

• Позволять $\phi$ и $\psi$ быть метавариальными для любого WFF, и $x$ быть метаваризии для любой переменной. Это действительные конструкции WFF:

$\lnot \phi$

$(\phi \land \psi )$

$(\phi \lor \psi )$

$\forall x\phi$

$\exists x\phi$

Хорошо сформированная формула может рассматриваться как синтаксисное дерево. Листовые узлы всегда атомные формулы. Узлы $\land$ и $\lor$ иметь ровно два дочерних узла, в то время как узлы $\lnot$, $\forall x$ и $\exists x$ есть именно один. Существует бесконечно много WFF, однако каждый WFF имеет конечное количество узлов.

Аксиомы

Смотрите также: аксиома

Есть много эквивалентных составов аксиомов ZFC; Обсуждение этого см. В Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973 . Следующий конкретный набор аксиомы взят из Кунена (1980) . Аксиом ниже выражены в смеси логики первого порядка и аббревиатуры высокого уровня.

Аксиомы 1–8 образуют ZF, а аксиома 9 превращает ZF в ZFC. Следуя Кунену (1980) , мы используем эквивалентную теорему о хорошем порядке вместо аксиомы выбора для аксиомы 9.

Все формулировки ZFC предполагают, что существует хотя бы одно множество. Кунен включает аксиому, которая прямо утверждает существование множества, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»). Его отсутствие здесь можно оправдать двояко. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должна быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что что-то существует, обычно выражаемая как утверждение, что что-то идентично самому себе. $\exists x(x=x)$. Следовательно, теоремой любой теории первого порядка является то, что что-то существует. Однако, как отмечалось выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC существуют только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что некоторое множество существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике , в которой с помощью одной лишь логики невозможно доказать существование чего-либо, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что бесконечное множество существует. Это подразумевает, что множество существует, и поэтому, опять же, излишне включать аксиому, утверждающую это.

1. Аксиома экстенсиональности

Основная статья: Аксиома экстенсиональности

Два набора равны (одинаковые набор), если они имеют одинаковые элементы.

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$

Конверс этой аксиомы следует из свойства замены равенства . ZFC построен в логике первого порядка. Некоторые составы логики первого порядка включают идентичность; другие нет. Если разнообразие логики первого порядка, в которой вы создаете теорию наборов, не включает равенство » $=$", $x=y$ может быть определен как аббревиатура для следующей формулы: $\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].$

В этом случае аксиома расширенности может быть переформулирована как

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],$

Что говорит, что если $x$ и $y$ Имейте те же элементы, тогда они принадлежат к тем же наборам.

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой фундамента)

Основная статья: аксиома регулярности

Каждое непустое множество $x$ содержит член $y$ так что $x$ и $y$ являются непересекающимися множествами .

$\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].$

или в современных обозначениях: $\forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).$

Это (вместе с аксиомами спаривания и объединения) подразумевает, например, что ни одно множество не является элементом самого себя и что каждое множество имеет порядковый ранг .

3. Схема аксиом спецификации (или разделения, или ограниченного понимания)

Основная статья: Схема спецификации аксиом

Подмножества обычно создаются с использованием нотации построителя множеств . Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел $\mathbb {Z}$ удовлетворяющее сравнения по модулю предикату $x\equiv 0{\pmod {2}}$:

$\{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.$

В общем, подмножество набора $z$ подчиняющийся формуле $\varphi (x)$ с одной свободной переменной $x$ может быть написано как:

$\{x\in z:\varphi (x)\}.$

Аксиома схема спецификации гласит, что это подмножество всегда существует (это аксиомы схема , потому что есть одна аксиома для каждой $\varphi$) Формально, пусть $\varphi$ быть любой формулой в языке ZFC со всеми свободными переменными среди $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}$ ( $y$ не свободен в $\varphi$) Затем:

$\forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].$

Обратите внимание, что схема аксиомы спецификации может построить только подмножества и не позволяет построить объекты более общей формы:

$\{x:\varphi (x)\}.$

Это ограничение необходимо, чтобы избежать парадокса Рассела (пусть $y=\{x:x\notin x\}$ затем $y\in y\Leftrightarrow y\notin y$) и его варианты, которые сопровождают теорию наивных наборов с неограниченным пониманием (поскольку под этим ограничением $y$ относится только к множествам внутри $z$ которые не принадлежат им самим, и $y\in z$ установлено не , хотя $y\subseteq z$ дело в этом, так что $y$ стоит в отдельной позиции, из которой он не может сослаться на себя или понять себя; следовательно, в определенном смысле эта схема аксиом утверждает, что для построения $y$ на основе формулы $\varphi (x)$, нам необходимо предварительно ограничить множества $y$ рассмотрю в комплекте $z$ это оставляет $y$ снаружи так $y$ не может ссылаться на себя; или, другими словами, множества не должны ссылаться сами на себя).

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна, поскольку следует из схемы аксиом замены и аксиомы пустого множества .

С другой стороны, схема аксиом спецификации может быть использована для доказательства существования пустого множества , обозначаемого $\varnothing$, если известно, что существует хотя бы один набор (см. выше). Один из способов сделать это — использовать свойство $\varphi$ которого нет ни в одном наборе. Например, если $w$ является любым существующим набором, пустой набор может быть построен как

$\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.$

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома экстенсиональности подразумевает, что пустое множество уникально (не зависит от $w$). Обычно в расширение определения добавляется символ " $\varnothing$" на язык ZFC.

4. Аксиома спаривания

Основная статья: Аксиома спаривания

Если $x$ и $y$ наборы, тогда существует набор, который содержит $x$ и $y$ как элементы, например, если x = {1,2} и y = {2,3}, тогда z будет {{1,2}, {2,3}}

$\forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).$

Схема аксиомы спецификации должна использоваться для уменьшения этого до набора с именно этими двумя элементами. Аксиома спаривания является частью z, но является избыточной в ZF, потому что она следует из схемы аксиомы замены, если нам дают набор, по крайней мере, с двумя элементами. Существование набора по меньшей мере с двумя элементами гарантировано либо аксиомой бесконечности , либо схемой аксиомы спецификации и аксиома набора мощности, применяемой дважды к любому набору.

5. Аксиома объединения

Основная статья: Аксиома союза

Объединение элементов множества существует. Например, объединение элементов множества $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ является $\{1,2,3\}.$

Аксиома объединения гласит, что для любого множества множеств ${\mathcal {F}}$, есть набор $A$ содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена ${\mathcal {F}}$:

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].$

Хотя эта формула прямо не утверждает существование $\cup {\mathcal {F}}$, набор $\cup {\mathcal {F}}$ может быть построен из $A$ в приведенном выше примере с использованием схемы аксиом спецификации:

$\cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.$

6. Схема аксиом замены.

Основная статья: Схема аксиом замены

Схема аксиом замены утверждает, что образ множества при любой определимой функции также попадет внутрь множества.

Формально пусть $\varphi$ любая формула языка ZFC, свободные переменные которой входят в число $x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},$ так что в частности $B$ не свободен в $\varphi$. Затем:

$\forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.$

(Уникальный квантор существования $\exists !$ обозначает существование ровно одного элемента, такого, что он следует данному утверждению. Дополнительную информацию см. в разделе «Количественная оценка уникальности ».)

Другими словами, если отношение $\varphi$ представляет собой определимую функцию $f$, $A$ представляет свой домен , и $f(x)$ это набор для каждого $x\in A,$ тогда диапазон ​ $f$ является подмножеством некоторого множества $B$. Указанная здесь форма, в которой $B$ может быть больше, чем это строго необходимо, иногда называют схемой аксиом коллекции .

7. Аксиома бесконечности

Основная статья: Аксиома бесконечности

Первые несколько ординалов фон Неймана

0	=	{}	=	∅
1	=	{0}	=	{∅}
2	=	{0,1}	=	{∅,{∅}}
3	=	{0,1,2}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}}}
4	=	{0,1,2,3}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

Позволять $S(w)$ сокращать $w\cup \{w\},$ где $w$ это какой-то набор. (Мы можем видеть, что $\{w\}$ является допустимым набором, если применить аксиому спаривания с $x=y=w$ так что множество z ​​есть $\{w\}$). Тогда существует множество X такое, что пустое множество $\varnothing$, определенное аксиоматически, является членом X , и всякий раз, когда множество y является членом X , тогда $S(y)$ является членом X. также

$\exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].$

Говоря более разговорно, существует множество X, имеющее бесконечное число членов. (Однако необходимо установить, что все эти члены различны, поскольку, если два элемента одинаковы, последовательность будет зацикливаться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор X, удовлетворяющий аксиомой бесконечности является ординал фон Неймана ω, который также можно рассматривать как набор натуральных чисел. $\mathbb {N} .$

8. Аксиома набора мощности

Основная статья: Аксиома набора мощности

По определению, набор $z$ является подмножеством множества $x$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $z$ также является элементом $x$:

$(z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).$

Аксиома степенного множества гласит, что для любого множества $x$, есть набор $y$ который содержит каждое подмножество $x$:

$\forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).$

Схема аксиом спецификации затем используется для определения набора мощности. ${\mathcal {P}}(x)$ как подмножество такого $y$ содержащие подмножества $x$ точно:

${\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.$

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003) . Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует . Аксиомы спаривания, объединения, замены и набора власти часто формулируются так, что члены набора $x$ существование которых утверждается, являются именно теми множествами, которые утверждает аксиома $x$ должен содержать.

Для превращения ZF в ZFC добавляется следующая аксиома:

9. Аксиома упорядоченности (выбора)

Основная статья: Аксиома выбора

Основная статья: Теорема о хорошем порядке

Основная статья: лемма Цорна

Последняя аксиома, широко известная как аксиома выбора , представлена ​​здесь как свойство хорошо упорядоченного порядка , как у Кунена (1980) . Для любого набора $X$, существует бинарное отношение $R$ который хорошо заказывает $X$. Это означает $R$ представляет собой линейный порядок на $X$ такая, что каждое подмножество непустое $X$ имеет наименьший элемент по порядку $R$.

$\forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).$

Учитывая аксиомы 1 - 8 , многие утверждения доказуемо эквивалентны аксиоме 9 . Наиболее распространенным из них является следующее. Позволять $X$ Будьте набором, все члены, все непусты. Тогда существует функция $f$ от $X$ к союзу членов $X$, называется « функцией выбора », так что для всех $Y\in X$ один есть $f(Y)\in Y$Полем Третья версия аксиомы, также эквивалентная, - это лемма Зорна .

Поскольку существование функции выбора, когда $X$ Является ли конечный набор , легко доказанный из аксиомов 1–8 , имеет значение только для определенных бесконечных наборов . AC характеризуется неконструктивным , потому что он утверждает существование функции выбора, но ничего не говорит о том, как эта функция выбора должна быть «построена».

Мотивация через кумулятивную иерархию

Дополнительная информация: Neumann Universe

Одной из мотивации для аксиомов ZFC является совокупная иерархия наборов, представленных Джоном фон Нейманом . На этой точке зрения вселенная теории наборов создается поэтапно, с одной стадией для каждого порядкового числа . На стадии 0 еще нет наборов. На каждом следующем этапе набор добавляется во вселенную, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавляется на стадии 1, а набор, содержащий пустой набор, добавляется на стадии 2. Сбор всех наборов, которые получены таким образом, на всех этапах, известна как v . Наборы в V могут быть организованы в иерархию, назначив каждому набору первое этап, на котором этот набор был добавлен V. в

Доказуемо, что множество находится в V тогда и только тогда, когда оно чисто и обосновано . И V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов обладает соответствующими свойствами отражения. Например, предположим, что набор x добавляется на этапе α, а это означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе, предшествующем α. Затем каждое подмножество x также добавляется на этапе α (или до него), поскольку все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что любое подмножество x , которое может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α (или до него), и что набор степеней x будет добавлен на следующем этапе после α. Полный аргумент в пользу того, что V удовлетворяет ZFC, см. в Shoenfield (1977) .

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных с ней аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса-Келли . Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как « Новые основания» .

Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, что дает конструктивную вселенную L , которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. От аксиом ZFC не зависит, будет ли V = L . Хотя структура L более регулярна и хорошо ведет себя, чем структура V , немногие математики утверждают, что V = L следует добавить в ZFC в качестве дополнительной « аксиомы конструктивности ».

Метаматематика

Виртуальные занятия

Собственные классы (коллекции математических объектов, определенные свойством, общим для их членов, которое слишком велико для того, чтобы быть множествами) могут обрабатываться в ZF (и, следовательно, ZFC) только косвенно. Альтернативой собственным классам, оставаясь в пределах ZF и ZFC, является нотационная конструкция виртуального класса , введенная Куайном (1969) , где вся конструкция y ∈ { x | F x } просто определяется как F y . Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать множества, но сами не обязательно должны быть множествами, не привязываясь к онтологии классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только множества). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейса и Френкеля (1958) . Виртуальные классы также используются в Levy (2002) , Takeuti & Zaring (1982) и в Metamath реализации ZFC .

Конечная аксиоматизация

Основная статья: Фон Нейман - Бернейс - Гёдель Теория набора

Аксиома схемы замены и разделения каждая из них содержат бесконечно много экземпляров. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его доктор философии 1957 года. Тезис: если ZFC является последовательным, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечно много аксиомов. С другой стороны, фон Нейман - Бернейс -Гёдель Теория набора (NBG) может быть конечной аксиоматизированной. Онтология NBG включает в себя надлежащие классы , а также наборы; Набор - это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями установок в том смысле, что любая теорема, не упоминая классы и доказуемой в одной теории, может быть доказана в другой.

Последовательность

Вторая теорема Геделя неполноты говорит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою собственную согласованность, только если она непоследовательна. Кроме того, арифметика Робинсона может быть интерпретирована в общей теории набора , небольшой фрагмент ZFC. Следовательно, согласованность ZFC не может быть доказана в самой ZFC (если только она не является непоследовательной). Таким образом, в той степени, в которой ZFC идентифицируется с обычной математикой, согласованность ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Последовательность ZFC следует из существования слабо недоступной кардинала , которая недоказуемо в ZFC, если ZFC является последовательным. Тем не менее, считается маловероятным, что ZFC питает неожиданное противоречие; Широко распространено мнение, что если бы ZFC был непоследовательным, этот факт был бы обнаружен к настоящему времени. Это очень точно-ZFC невосприимчив к классическим парадоксам наивных наборов теории : парадокс Рассела , парадокс Бурали-Форти и парадокс Кантора .

Абиан и Ламаккиа (1978) изучили подтеорию ZFC, состоящую из аксиом экстенсиональности, объединения, набора степеней, замены и выбора. Используя модели , они доказали непротиворечивость этой подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и набора степеней независима от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эта подтеория дополнена аксиомой бесконечности, каждая из аксиом союза, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, которые удовлетворяют каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если ZFC непротиворечив, он не сможет доказать существование недоступных кардиналов , которых требует теория категорий . Огромные множества такого рода возможны, если ZF дополнить аксиомой Тарского . Предполагая, что аксиома превращает аксиомы бесконечности , набора мощности и выбора ( 7 - 9 выше) в теоремы.

Независимость

Многие важные заявления не зависят от ZFC (см. Список заявлений, независимых от ZFC ). Независимость обычно подтверждается принуждением , в результате чего показано, что каждая исчезная транзитивная модель ZFC (иногда дополняется большими кардинальными аксиомами ) может быть расширена, чтобы удовлетворить рассматриваемое утверждение. Затем показано другое расширение, чтобы удовлетворить отрицание утверждения. Доказательство независимости путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиомов. Некоторые утверждения, независимые от ZFC, могут иметь в частности, внутренние модели , например, в конструктивной вселенной . Однако некоторые утверждения, которые верны в отношении конструктивных наборов, не согласуются с гипотетическими большими кардинальными аксиомами.

Принуждение доказывает, что следующие утверждения не зависят от ZFC:

• Аксиома конструкции (v = l) (которая также не является аксиомой ZFC)
• Непрерывная гипотеза
• Алмазный принцип
• Аксиома Мартина (которая не является аксиомой ZFC)
• Гипотеза Суслина

Замечания:

• Согласованность v = L доказуемо внутренней модели , но не навязывая: каждая модель ZF может быть обрезана, чтобы стать моделью ZFC + V = L.
• Принцип алмаза подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума подразумевает гипотезу Суслина.
• Конструктивная вселенная удовлетворяет обобщенной гипотезе континуума , алмазной принципе, аксиоме Мартина и гипотезе Курепа.
• Несостоятельность гипотезы Курепы равнозначна существованию сильно недоступного кардинала .

Вариацию метода принуждения можно также использовать для демонстрации непротиворечивости и недоказуемости аксиомы выбора , т. е. того, что аксиома выбора не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, доказав, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con(ZF) влечет за собой Con(ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать форсирование для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно удовлетворяющую ZF, но не удовлетворяющую C.

Другой метод доказательства независимости результатов, не зависящий ни от чего, основан на второй теореме Гёделя о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование модели множества ZFC, и в этом случае Con(ZFC) истинно. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC действительно непротиворечива). Следовательно, ни одно утверждение, допускающее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что предположение о таких кардиналах с учетом ZFC не противоречит.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств вокруг дополнительных аксиом для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей иногда называют «программой Гёделя». Математики в настоящее время обсуждают, какие аксиомы являются наиболее вероятными или «самоочевидными», которые аксиомы являются наиболее полезными в различных областях, и примерно с какой степени полезности следует торговать с правдоподобием; Некоторые « мультивселенные » теоретики утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором аксиомы обычно принимают. Одна школа мышления опирается на расширение «итеративной» концепции набора для создания теоретичной вселенной с интересной и сложной, но разумной структурой путем принятия аксиомов для воздействия; Другая школа выступает за более аккуратную, менее загроможденную вселенную, возможно, была сосредоточена на «основной» внутренней модели.

Критика

Для критики теории наборов в целом см. Возражения против теории устанавливают теорию

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность охватить такие объекты, как правильные классы и универсальное множество .

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, таких как арифметика Пеано и арифметика второго порядка (исследуемая программой обратной математики ). Сондерс Мак Лейн и Соломон Феферман высказали эту точку зрения. Часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) находится за пределами арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть выполнена в ZC ( теория множеств Цермело с выбором), другая теория, более слабая, чем ЗФК. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаба. В отличие от New Foundations , ZFC не допускает существования универсального набора. Следовательно, вселенная множеств под действием ZFC не замкнута относительно элементарных операций алгебры множеств . В отличие от теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) и теории множеств Морса–Келли (МК), ZFC не допускает существования собственных классов . Еще одним сравнительным недостатком ZFC является то, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее, чем аксиома глобального выбора , включенная в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, независимых от ZFC . К ним относятся гипотеза континуума , проблема Уайтхеда и гипотеза нормального пространства Мура . Некоторые из этих гипотез доказуемы с добавлением аксиом, таких как аксиома Мартина или больших кардинальных аксиом в ZFC . Некоторые другие решаются в ZF+AD, где AD — аксиома детерминированности , сильное предположение, несовместимое с выбором. Одна из привлекательных сторон больших кардинальных аксиом состоит в том, что они позволяют установить многие результаты из ZF + AD в ZFC, к которому присоединяется некоторая большая кардинальная аксиома (см. Проективная детерминированность ). Система Мицара и метаматематика приняли теорию множеств Тарского-Гротендика , расширение ZFC, так что доказательства, включающие вселенные Гротендика (встречающиеся в теории категорий и алгебраической геометрии), могут быть формализованы.

См. также

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Большая кардинальная аксиома

Связанные аксиоматические теории :

• Теория множеств Морса – Келли
• Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя
• Тарски - Grothendieck Set Theory
• Конструктивная теория наборов
• Теория внутренних множеств

Работы цитируются

• Абиан, Александр (1965). Теория наборов и трансфинитовой арифметики . WB Saunders.
• ———;; Ламаккия, Самуил (1978). «О последовательности и независимости некоторых теоретических аксиом» . Нотр -Дам Журнал формальной логики . 19 : 155–58. doi : 10.1305/ndjfl/1093888220 .
• Бернайс, Пол; Фраенкель, А.А. (1958). Аксиоматическая теория наборов . Амстердам: Северная Голландия.
• Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59441-3 .
• Девлин, Кейт (1996) [Впервые опубликовано в 1984 году]. Радость наборов . Спрингер .
• Эббингауз, Хайнц-Дитер (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Спрингер. ISBN  978-3-540-49551-2 .
• Феферман, Соломон (1996). «Программа Гёделя для новых аксиом: почему, где, как и что?» . В Гайке, Петр (ред.). Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики – наследие Курта Гёделя . Спрингер-Верлаг. стр. 3–22. ISBN  3-540-61434-6 . .
• Фраенкель, Авраам ; Бар-Хиль, Иошуа ; Леви, Азриэль (1973) [впервые опубликовано 1958]. Основы теории наборов . Северная Голландия . Последнее слово Фраенкеля о ZF и ZFC.
• Halbeisen, Lorenz J. (2011). Теория комбинаторных наборов: с мягким введением в принуждение . Спрингер. С. 62–63. ISBN  978-1-4471-2172-5 .
• Хэтчер, Уильям (1982) [впервые опубликовано 1968]. Логические основы математики . Pergamon Press .
• Ван Хейдженорт, Джин (1967). От Frege до Gödel: исходная книга в математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет издательство . Включает аннотированные английские переводы классических статей Zermelo , Fraenkel и Skolem , подходящих на ZFC .
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики . А.К. Петерс . ISBN  978-1-56881-262-5 .
• Джех, Томас (2003). Теория набора: третье издание тысячелетия, пересмотренное и расширенное . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет (1980). Теория набора: введение в доказательства независимости . Elsevier . ISBN  0-444-86839-9 .
• Кунен, Кеннет (29 октября 2007 г.). Основы математики (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 сентября 2023 года.
• Леви, Азриэль (2002). Основная теория наборов . Dover Publications. ISBN  048642079-5 .
• Link, Godehard (2014). Формализм и за его пределами: о природе математического дискурса . Walter de Gruyter Gmbh & Co Kg. ISBN  978-1-61451-829-7 .
• Монтегю, Ричард (1961). «Семантическое закрытие и нефинансовая аксиоматизируемость». Инфинистичные методы . Лондон: Pergamon Press. С. 45–69.
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1969). Установка теория и ее логика (пересмотренный изд.). Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: издательство Belknap of Harvard University Press. ISBN  0-674-80207-1 .
• Shoenfield, Joseph R. (1977). «Аксиомы теории наборов». В Barwise, KJ (ред.). Справочник по математической логике . Издательская компания Северо-Голландии. ISBN  0-7204-2285-Х .
• Шонфилд, Джозеф Р. (2001) [Впервые опубликовано в 1967 году]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN  978-1-56881-135-2 .
• Суппес, Патрик (1972) [Впервые опубликовано в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дуврское переиздание.
• Такеути, Гаиси ; Заринг, ВМ (1971). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер-Верлаг .
• Такеути, Гаиси; Заринг, ВМ (1982). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер. ISBN  9780387906836 .
• Тарский, Альфред (1939). «О вполне упорядоченных подмножествах любого множества» . Фундамента Математика . 32 : 176–83. дои : 10.4064/fm-32-1-176-783 .
• Плитка, Мэри (1989). Философия теории множеств . Дуврское переиздание.
• Турлакис, Джордж (2003). Лекции по логике и теории множеств, Том. 2 . Издательство Кембриджского университета .
• Волховер, Натали (2013). «Чтобы разрешить спор о бесконечности, новый закон логики» . Журнал Кванта . .
• Цермело, Эрнст (1908). «Исследования оснований теории множеств I» . Математические летописи . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999 . S2CID   120085563 . английский перевод в Хейеноорт, Жан ван (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Справочники по истории наук. Издательство Гарвардского университета. стр. 199–215. ISBN  978-0-674-32449-7 .
• Цермело, Эрнст (1930). «О предельных числах и диапазонах величин» . Фундамента Математика . 16 :29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 . ISSN   0016-2736 .

Внешние ссылки

• Аксиомы теории множеств - Lec 02 - Фредерик Шуллер на YouTube
• «ZFC» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Стэнфордская энциклопедия философических статей Джоан Багарии :
  • Логи, Джоан (31 января 2023 г.). "Теория набора " В Залте, Эдвард Н. (ред.). Полем
  • - (31 января 2023 г.). «Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля» . В — (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Метаматематическая версия аксиом ZFC — краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фоновая логика первого порядка определена специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • Вывод в Metamath . версии схемы разделения из версии схемы замены
• Вайсштейн, Эрик В. «Теория множеств Цермело-Френкеля» . Математический мир .