Материал условный
ПОДРАЗУМЕВАТЬ | |
---|---|
Определение | |
Таблица истинности | |
Логический вентиль | |
Нормальные формы | |
Дизъюнктивный | |
соединительный | |
Полином Жегалкина | |
Решетки постовые | |
0-сохраняющий | нет |
1-сохраняющий | да |
монотонный | нет |
Аффинный | нет |
Самодвойственный | нет |
Логические связки | ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||||||||||||||||||
Связанные понятия | ||||||||||||||||||||||
Приложения | ||||||||||||||||||||||
Категория | ||||||||||||||||||||||
Материальное условное выражение (также известное как материальное импликация ) — это операция, обычно используемая в логике . Когда условный символ интерпретируется как материальная импликация , формула верно, если только это правда и является ложным. Материальную импликацию можно также охарактеризовать логически с помощью modus ponens , modus tollens , условного доказательства и классического доведения до абсурда . [ нужна ссылка ]
Материальная импликация используется во всех основных системах классической логики, а также в некоторых неклассических логиках . Он считается моделью правильного условного рассуждения в математике и служит основой для команд во многих языках программирования . Однако многие логики заменяют материальную импликацию другими операторами, такими как строгий условный и переменно строгий условный . Из-за парадоксов материальной импликации и связанных с ней проблем материальная импликация обычно не считается жизнеспособным анализом условных предложений на естественном языке .
Обозначения
[ редактировать ]В логике и смежных областях существенное условное выражение обычно обозначается инфиксным оператором. . [1] Материальный кондиционал также обозначается с помощью инфиксов и . [2] В префиксной польской записи условные обозначения обозначаются как . В условной формуле , подформула называется антецедентом и называется следствием условного. Условные операторы могут быть вложенными так, что антецедент или последующий сами могут быть условными операторами, как в формуле .
История
[ редактировать ]В книге «Принципы арифметики: раскрыт новый метод» (1889) Пеано выразил утверждение: «Если , затем " как О с символом Ɔ, который является противоположностью C. [3] Он также высказал предложение как О . [а] [4] [5] Гильберт выразил положение «Если А , то В » как в 1918 году. [1] Рассел последовал за Пеано в его Principia Mathematica (1910–1913), в которых он выразил утверждение «Если A , то B » как . Вслед за Расселом Генцен выразил положение «Если А , то В » как . Гейтинг выразил утверждение «Если А , то В » как сначала, но позже стал выражать это как со стрелкой, указывающей вправо. Бурбаки выразил положение «Если А , то В » как в 1954 году. [6]
Определения
[ редактировать ]Семантика
[ редактировать ]С классической семантической точки зрения , материальная импликация — это функциональный оператор двоичной истины , который возвращает «истину», если его первый аргумент не является истинным, а второй аргумент — ложным. Эту семантику можно отобразить графически в таблице истинности, такой как приведенная ниже. Можно также рассмотреть эквивалентность .
Таблица истинности
[ редактировать ]Таблица истинности :
Ф | Ф | Т |
Ф | Т | Т |
Т | Ф | Ф |
Т | Т | Т |
Логические случаи, когда антецедент A ложен, а A → B истинен, называются « пустыми истинами ». Примеры...
- ... с B false: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то Галилео Галилей — брат Марии Кюри» ,
- ... с B true: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то у Марии Кюри есть брат или сестра». .
Дедуктивное определение
[ редактировать ]Материальную импликацию можно также охарактеризовать дедуктивно с помощью следующих правил вывода . [ нужна ссылка ]
- Настройка настроения
- Условное доказательство
- Классическое противопоставление
- Классическое сведение к абсурду
В отличие от семантического определения такой подход к логическим связкам позволяет рассматривать структурно одинаковые пропозициональные формы в различных логических системах , где могут проявляться несколько разные свойства. Например, в интуиционистской логике , которая отвергает доказательства путем противопоставления как действительные правила вывода, Это не пропозициональная теорема, но для определения отрицания используется материальное условное выражение . [ нужны разъяснения ]
Формальные свойства
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( февраль 2021 г. ) |
Когда дизъюнкция , конъюнкция и отрицание являются классическими, материальная импликация подтверждает следующие эквивалентности:
- Противопоставление:
- Импорт-экспорт :
- Отрицаемые условные предложения:
- Или-и-если:
- Коммутативность антецедентов:
- Левая дистрибутивность :
Аналогично, в классических интерпретациях других связок материальная импликация подтверждает следующие следствия :
- Предыдущее усиление:
- Пустое условное выражение :
- Транзитивность :
- Упрощение дизъюнктивных антецедентов :
К тавтологиям, связанным с материальным подтекстом, относятся:
Расхождения с естественным языком
[ редактировать ]Материальная импликация не совсем соответствует использованию условных предложений в естественном языке . Например, даже несмотря на то, что материальные условные предложения с ложными антецедентами бессмысленно верны , утверждение естественного языка «Если 8 нечетно, то 3 — простое число» обычно считается ложным. Точно так же любой материальный кондиционал с истинным консеквентом сам по себе истинен, но говорящие обычно отвергают такие предложения, как «Если у меня в кармане есть пенни, то Париж находится во Франции». Эти классические проблемы получили название парадоксов материальной импликации . [7] Помимо парадоксов, против анализа материальных последствий было приведено множество других аргументов. Например, контрфактические условные предложения были бы бессмысленно истинными. в таком случае все [8]
В середине 20-го века ряд исследователей, в том числе Х. П. Грайс и Фрэнк Джексон, предположили, что прагматические принципы могут объяснить несоответствия между кондиционалами естественного языка и материальными кондиционалами. По их мнению, условные обозначения обозначают материальный смысл, но в конечном итоге передают дополнительную информацию, когда они взаимодействуют с разговорными нормами, такими как максимы Грайса . [7] [9] Недавние работы в области формальной семантики и философии языка обычно избегали материального импликации при анализе кондиционалов естественного языка. [9] В частности, в таких работах часто отвергалось предположение о том, что кондиционалы естественного языка являются функциональными по истинности в том смысле, что значение истинности «Если P , то Q определяется исключительно значениями истинности P и Q. » [7] Таким образом, семантический анализ кондиционалов обычно предлагает альтернативные интерпретации, основанные на таких основах, как модальная логика , логика релевантности , теория вероятностей и причинные модели . [9] [7] [10]
Подобные расхождения наблюдались психологами, изучающими условное рассуждение, например, в ходе пресловутого исследования задач выбора Уэйсона , в котором менее 10% участников рассуждали в соответствии с материальным условным рассуждением. Некоторые исследователи интерпретируют этот результат как неспособность участников соответствовать нормативным законам рассуждения, в то время как другие интерпретируют участников как нормативно рассуждающих в соответствии с неклассическими законами. [11] [12] [13]
См. также
[ редактировать ]Условные предложения
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Обратите внимание, что символ подковы Ɔ был перевернут и стал подмножеством символа ⊂.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Гильберт, Д. (1918). Принципы математики (Конспекты лекций под редакцией Бернейса П.) .
- ^ Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press/Taylor & Francisco Group (Книга Чепмена и Холла). п. 2. ISBN 978-1-4822-3778-8 .
- ^ Жан ван Хейеноорт, изд. (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. стр. 84–87. ISBN 0-674-32449-8 .
- ^ Майкл Нахас (25 апреля 2022 г.). «Английский перевод книги «Принципы арифметики, изложенные в новом методе» » (PDF) . Гитхаб. п. 6 . Проверено 10 августа 2022 г.
- ^ Мауро АЛЛЕГРАНСА (13 февраля 2015 г.). «Элементарная теория множеств. Есть ли какая-либо связь между символом ⊃, когда он означает импликацию, и его значением как надмножества?» . Математический обмен стеками . Stack Exchange Inc. Ответ . Проверено 10 августа 2022 г.
- ^ Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств . Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 14.
- ^ Перейти обратно: а б с д Эджингтон, Дороти (2008). «Условия» . В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2008 г.).
- ^ Старр, Уилл (2019). «Контрфакты» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- ^ Перейти обратно: а б с Гиллис, Тони (2017). «Условные обозначения» (PDF) . Ин Хейл, Б.; Райт, К.; Миллер, А. (ред.). Компаньон по философии языка . Уайли Блэквелл. стр. 401–436. дои : 10.1002/9781118972090.ch17 . ISBN 9781118972090 .
- ^ фон Финтель, Кай (2011). «Условные обозначения» (PDF) . Фон Хойзингер, Клаус; Майенборн, Клаудия; Портнер, Пол (ред.). Семантика: Международный справочник по значению . де Грюйтер Мутон. стр. 1515–1538. дои : 10.1515/9783110255072.1515 . hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2 .
- ^ Оуксфорд, М.; Чейтер, Н. (1994). «Рациональный анализ задачи выбора как выбор оптимальных данных». Психологический обзор . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . дои : 10.1037/0033-295X.101.4.608 . S2CID 2912209 .
- ^ Стеннинг, К.; ван Ламбалген, М. (2004). «Немного логики имеет большое значение: основывайте эксперимент на семантической теории в когнитивной науке об условном рассуждении». Когнитивная наука . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . дои : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002 .
- ^ фон Сюдов, М. (2006). К гибкой байесовской и деонтической логике тестирования описательных и предписывающих правил (докторская диссертация). Геттинген: Издательство Геттингенского университета. дои : 10.53846/goediss-161 . S2CID 246924881 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений , 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл , Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications , Минеола , Нью-Йорк, 2003 г.
- Эджингтон, Дороти (2001), «Условные обозначения», в Лу Гобле (редактор), «Руководство Блэквелла по философской логике» , Блэквелл .
- Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики (1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), 4-е издание, издательство Гарвардского университета , Кембридж , Массачусетс.
- Сталнакер, Роберт , «Индикативные кондиционалы», Philosophia , 5 (1975): 269–286.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- СМИ, связанные с условными материалами, на Викискладе?
- Эджингтон, Дороти. «Условия» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .