Материал условный

Материал условный
ПОДРАЗУМЕВАТЬ
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный
соединительный
Полином Жегалкина
Решетки постовые
0-сохраняющий	нет
1-сохраняющий	да
монотонный	нет
Аффинный	нет
Самодвойственный	нет
	v ; т ; и ;

Материальное условное выражение (также известное как материальное импликация ) — это операция, обычно используемая в логике . Когда условный символ $\rightarrow$ интерпретируется как материальная импликация , формула $P\rightarrow Q$ верно, если только $P$ это правда и $Q$ является ложным. Материальную импликацию можно также охарактеризовать логически с помощью modus ponens , modus tollens , условного доказательства и классического доведения до абсурда . ^{[ нужна ссылка ]}

Материальная импликация используется во всех основных системах классической логики, а также в некоторых неклассических логиках . Он считается моделью правильного условного рассуждения в математике и служит основой для команд во многих языках программирования . Однако многие логики заменяют материальную импликацию другими операторами, такими как строгий условный и переменно строгий условный . Из-за парадоксов материальной импликации и связанных с ней проблем материальная импликация обычно не считается жизнеспособным анализом условных предложений на естественном языке .

Обозначения

В логике и смежных областях существенное условное выражение обычно обозначается инфиксным оператором. $\to$ . ^[1] Материальный кондиционал также обозначается с помощью инфиксов $\supset$ и $\Rightarrow$ . ^[2] В префиксной польской записи условные обозначения обозначаются как $Cpq$ . В условной формуле $p\to q$ , подформула $p$ называется антецедентом и $q$ называется следствием условного. Условные операторы могут быть вложенными так, что антецедент или последующий сами могут быть условными операторами, как в формуле $(p\to q)\to (r\to s)$ .

История

В книге «Принципы арифметики: раскрыт новый метод» (1889) Пеано выразил утверждение: «Если $A$ , затем $B$ " как $A$ О $B$ с символом Ɔ, который является противоположностью C. ^[3] Он также высказал предложение $A\supset B$ как $A$ О $B$ . ^[а]^[4]^[5] Гильберт выразил положение «Если А , то В » как $A\to B$ в 1918 году. ^[1] Рассел последовал за Пеано в его Principia Mathematica (1910–1913), в которых он выразил утверждение «Если A , то B » как $A\supset B$ . Вслед за Расселом Генцен выразил положение «Если А , то В » как $A\supset B$ . Гейтинг выразил утверждение «Если А , то В » как $A\supset B$ сначала, но позже стал выражать это как $A\to B$ со стрелкой, указывающей вправо. Бурбаки выразил положение «Если А , то В » как $A\Rightarrow B$ в 1954 году. ^[6]

Определения

Семантика

С классической семантической точки зрения , материальная импликация — это функциональный оператор двоичной истины , который возвращает «истину», если его первый аргумент не является истинным, а второй аргумент — ложным. Эту семантику можно отобразить графически в таблице истинности, такой как приведенная ниже. Можно также рассмотреть эквивалентность $A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B$ .

Таблица истинности

Таблица истинности $A\rightarrow B$ :

$A$	$B$	$A\rightarrow B$
Ф	Ф	Т
Ф	Т	Т
Т	Ф	Ф
Т	Т	Т

Логические случаи, когда антецедент $A$ ложен, а $A \to B$ истинен, называются « пустыми истинами ». Примеры...

... с $B$ false: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то Галилео Галилей — брат Марии Кюри» ,
... с $B$ true: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то у Марии Кюри есть брат или сестра». .

Дедуктивное определение

Материальную импликацию можно также охарактеризовать дедуктивно с помощью следующих правил вывода . ^{[ нужна ссылка ]}

В отличие от семантического определения такой подход к логическим связкам позволяет рассматривать структурно одинаковые пропозициональные формы в различных логических системах , где могут проявляться несколько разные свойства. Например, в интуиционистской логике , которая отвергает доказательства путем противопоставления как действительные правила вывода, $(A\to B)\Rightarrow \neg A\lor B$ Это не пропозициональная теорема, но для определения отрицания используется материальное условное выражение . ^{[ нужны разъяснения ]}

Формальные свойства

Когда дизъюнкция , конъюнкция и отрицание являются классическими, материальная импликация подтверждает следующие эквивалентности:

Противопоставление: $P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P$
Импорт-экспорт : $P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R$
Отрицаемые условные предложения: $\neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q$
Или-и-если: $P\to Q\equiv \neg P\lor Q$
Коммутативность антецедентов: ${\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}$
Левая дистрибутивность : ${\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}$

Аналогично, в классических интерпретациях других связок материальная импликация подтверждает следующие следствия :

Предыдущее усиление: $P\to Q\models (P\land R)\to Q$
Пустое условное выражение : $\neg P\models P\to Q$
Транзитивность : $(P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R$
Упрощение дизъюнктивных антецедентов : $(P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)$

К тавтологиям, связанным с материальным подтекстом, относятся:

Рефлексивность : $\models P\to P$
Тотальность : $\models (P\to Q)\lor (Q\to P)$
Условно исключенное среднее : $\models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)$

Расхождения с естественным языком

Материальная импликация не совсем соответствует использованию условных предложений в естественном языке . Например, даже несмотря на то, что материальные условные предложения с ложными антецедентами бессмысленно верны , утверждение естественного языка «Если 8 нечетно, то 3 — простое число» обычно считается ложным. Точно так же любой материальный кондиционал с истинным консеквентом сам по себе истинен, но говорящие обычно отвергают такие предложения, как «Если у меня в кармане есть пенни, то Париж находится во Франции». Эти классические проблемы получили название парадоксов материальной импликации . ^[7] Помимо парадоксов, против анализа материальных последствий было приведено множество других аргументов. Например, контрфактические условные предложения были бы бессмысленно истинными. в таком случае все ^[8]

В середине 20-го века ряд исследователей, в том числе Х. П. Грайс и Фрэнк Джексон, предположили, что прагматические принципы могут объяснить несоответствия между кондиционалами естественного языка и материальными кондиционалами. По их мнению, условные обозначения обозначают материальный смысл, но в конечном итоге передают дополнительную информацию, когда они взаимодействуют с разговорными нормами, такими как максимы Грайса . ^[7]^[9] Недавние работы в области формальной семантики и философии языка обычно избегали материального импликации при анализе кондиционалов естественного языка. ^[9] В частности, в таких работах часто отвергалось предположение о том, что кондиционалы естественного языка являются функциональными по истинности в том смысле, что значение истинности «Если P , то Q определяется исключительно значениями истинности P и Q. » ^[7] Таким образом, семантический анализ кондиционалов обычно предлагает альтернативные интерпретации, основанные на таких основах, как модальная логика , логика релевантности , теория вероятностей и причинные модели . ^[9]^[7]^[10]

Подобные расхождения наблюдались психологами, изучающими условное рассуждение, например, в ходе пресловутого исследования задач выбора Уэйсона , в котором менее 10% участников рассуждали в соответствии с материальным условным рассуждением. Некоторые исследователи интерпретируют этот результат как неспособность участников соответствовать нормативным законам рассуждения, в то время как другие интерпретируют участников как нормативно рассуждающих в соответствии с неклассическими законами. ^[11]^[12]^[13]

См. также

Условные предложения

Примечания

^ Обратите внимание, что символ подковы Ɔ был перевернут и стал подмножеством символа ⊂.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Гильберт, Д. (1918). Принципы математики (Конспекты лекций под редакцией Бернейса П.) .
^ Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press/Taylor & Francisco Group (Книга Чепмена и Холла). п. 2. ISBN 978-1-4822-3778-8 .
^ Жан ван Хейеноорт, изд. (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. стр. 84–87. ISBN 0-674-32449-8 .
^ Майкл Нахас (25 апреля 2022 г.). «Английский перевод книги «Принципы арифметики, изложенные в новом методе» » (PDF) . Гитхаб. п. 6 . Проверено 10 августа 2022 г.
^ Мауро АЛЛЕГРАНСА (13 февраля 2015 г.). «Элементарная теория множеств. Есть ли какая-либо связь между символом ⊃, когда он означает импликацию, и его значением как надмножества?» . Математический обмен стеками . Stack Exchange Inc. Ответ . Проверено 10 августа 2022 г.
^ Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств . Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 14.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Эджингтон, Дороти (2008). «Условия» . В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2008 г.).
^ Старр, Уилл (2019). «Контрфакты» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гиллис, Тони (2017). «Условные обозначения» (PDF) . Ин Хейл, Б.; Райт, К.; Миллер, А. (ред.). Компаньон по философии языка . Уайли Блэквелл. стр. 401–436. дои : 10.1002/9781118972090.ch17 . ISBN 9781118972090 .
^ фон Финтель, Кай (2011). «Условные обозначения» (PDF) . Фон Хойзингер, Клаус; Майенборн, Клаудия; Портнер, Пол (ред.). Семантика: Международный справочник по значению . де Грюйтер Мутон. стр. 1515–1538. дои : 10.1515/9783110255072.1515 . hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2 .
^ Оуксфорд, М.; Чейтер, Н. (1994). «Рациональный анализ задачи выбора как выбор оптимальных данных». Психологический обзор . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . дои : 10.1037/0033-295X.101.4.608 . S2CID 2912209 .
^ Стеннинг, К.; ван Ламбалген, М. (2004). «Немного логики имеет большое значение: основывайте эксперимент на семантической теории в когнитивной науке об условном рассуждении». Когнитивная наука . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . дои : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002 .
^ фон Сюдов, М. (2006). К гибкой байесовской и деонтической логике тестирования описательных и предписывающих правил (докторская диссертация). Геттинген: Издательство Геттингенского университета. дои : 10.53846/goediss-161 . S2CID 246924881 .

Дальнейшее чтение

Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений , 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл , Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications , Минеола , Нью-Йорк, 2003 г.
Эджингтон, Дороти (2001), «Условные обозначения», в Лу Гобле (редактор), «Руководство Блэквелла по философской логике» , Блэквелл .
Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики (1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), 4-е издание, издательство Гарвардского университета , Кембридж , Массачусетс.
Сталнакер, Роберт , «Индикативные кондиционалы», Philosophia , 5 (1975): 269–286.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с условными материалами, на Викискладе?
Эджингтон, Дороти. «Условия» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[4] Обратите внимание, что символ подковы Ɔ был перевернут и стал подмножеством символа ⊂.

[hilbert1918-1] Перейти обратно: ^а ^б Гильберт, Д. (1918). Принципы математики (Конспекты лекций под редакцией Бернейса П.) .

[2] Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press/Taylor & Francisco Group (Книга Чепмена и Холла). п. 2. ISBN 978-1-4822-3778-8 .

[3] Жан ван Хейеноорт, изд. (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. стр. 84–87. ISBN 0-674-32449-8 .

[5] Майкл Нахас (25 апреля 2022 г.). «Английский перевод книги «Принципы арифметики, изложенные в новом методе» » (PDF) . Гитхаб. п. 6 . Проверено 10 августа 2022 г.

[6] Мауро АЛЛЕГРАНСА (13 февраля 2015 г.). «Элементарная теория множеств. Есть ли какая-либо связь между символом ⊃, когда он означает импликацию, и его значением как надмножества?» . Математический обмен стеками . Stack Exchange Inc. Ответ . Проверено 10 августа 2022 г.

[bourbaki1954a-7] Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств . Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 14.

[sep-conditionals-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Эджингтон, Дороти (2008). «Условия» . В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2008 г.).

[9] Старр, Уилл (2019). «Контрфакты» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[gillies-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гиллис, Тони (2017). «Условные обозначения» (PDF) . Ин Хейл, Б.; Райт, К.; Миллер, А. (ред.). Компаньон по философии языка . Уайли Блэквелл. стр. 401–436. дои : 10.1002/9781118972090.ch17 . ISBN 9781118972090 .

[11] фон Финтель, Кай (2011). «Условные обозначения» (PDF) . Фон Хойзингер, Клаус; Майенборн, Клаудия; Портнер, Пол (ред.). Семантика: Международный справочник по значению . де Грюйтер Мутон. стр. 1515–1538. дои : 10.1515/9783110255072.1515 . hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2 .

[12] Оуксфорд, М.; Чейтер, Н. (1994). «Рациональный анализ задачи выбора как выбор оптимальных данных». Психологический обзор . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . дои : 10.1037/0033-295X.101.4.608 . S2CID 2912209 .

[13] Стеннинг, К.; ван Ламбалген, М. (2004). «Немного логики имеет большое значение: основывайте эксперимент на семантической теории в когнитивной науке об условном рассуждении». Когнитивная наука . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . дои : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002 .

[vonSydow2006-14] фон Сюдов, М. (2006). К гибкой байесовской и деонтической логике тестирования описательных и предписывающих правил (докторская диссертация). Геттинген: Издательство Геттингенского университета. дои : 10.53846/goediss-161 . S2CID 246924881 .

[1]

[2]

[3]

[а]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v т и Общие логические связи
Tautology/True $\top$
Alternative denial (NAND gate) $\uparrow$ Converse implication $\leftarrow$ Implication (IMPLY gate) $\rightarrow$ Disjunction (OR gate) $\lor$
Negation (NOT gate) $\neg$ Exclusive or (XOR gate) $\not \leftrightarrow$ Biconditional (XNOR gate) $\leftrightarrow$ Statement (Digital buffer)
Joint denial (NOR gate) $\downarrow$ Nonimplication (NIMPLY gate) $\nrightarrow$ Converse nonimplication $\nleftarrow$ Conjunction (AND gate) $\land$
Contradiction/False $\bot$
Philosophy portal