поверхность К3

Гладкая поверхность четвертой степени в трехмерном пространстве. На рисунке показана часть вещественных точек (действительной размерности 2) в некоторой комплексной поверхности К3 (комплексной размерности 2, следовательно, вещественной размерности 4).

Во второй части моего отчета речь идет о сортах Келер, известных как К3, названных так в честь Куммера, Келера, Кодайры и красивой горы К2 в Кашмире.

Во второй части моего отчета мы рассматриваем сорт Келер, известный как К3, названный в честь Куммера , Келера , Кодайры и красивой горы К2 в Кашмире .

Андре Вейль (1958 , стр. 546), описывающий причину названия «поверхность К3».

В математике комплексная аналитическая поверхность К3 — это компактное связное комплексное многообразие размерности 2 с тривиальным каноническим расслоением и нулевой неровностью . (Алгебраической) поверхностью К3 над любым полем называется гладкая собственная геометрически связная алгебраическая поверхность , удовлетворяющая тем же условиям. В классификации поверхностей Энриквеса–Кодайры поверхности K3 образуют один из четырех классов минимальных поверхностей нулевой размерности Кодайры . Простой пример - поверхность Ферма четвертой степени.

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0$

в комплексном проективном трехмерном пространстве .

Вместе с двумерными компактными комплексными торами поверхности K3 представляют собой многообразия Калаби–Яу (а также гиперкэлеровы многообразия ) размерности два. По существу, они находятся в центре классификации алгебраических поверхностей, между положительно искривленными поверхностями дель Пеццо (которые легко классифицировать) и отрицательно искривленными поверхностями общего типа (которые по существу не поддаются классификации). Поверхности К3 можно считать простейшими алгебраическими многообразиями, структура которых не сводится к кривым или абелевым многообразиям , но при этом существенное понимание которых возможно. Комплексная поверхность К3 имеет действительную размерность 4 и играет важную роль при изучении гладких 4-многообразий . Поверхности K3 были применены к алгебрам Каца – Муди , зеркальной симметрии и теории струн .

Может быть полезно рассматривать комплексные алгебраические поверхности K3 как часть более широкого семейства комплексных аналитических поверхностей K3. Многие другие типы алгебраических многообразий не имеют таких неалгебраических деформаций.

Определение

Существует несколько эквивалентных способов определения поверхностей K3. Единственными компактными комплексными поверхностями с тривиальным каноническим расслоением являются поверхности K3 и компактные комплексные торы, поэтому для определения поверхностей K3 можно добавить любое условие, исключающее последнее. Например, комплексную аналитическую поверхность КЗ эквивалентно определить как односвязное компактное комплексное многообразие размерности 2 с никуда не исчезающей голоморфной 2-формой . (Последнее условие в точности говорит о тривиальности канонического расслоения.)

Есть также несколько вариантов определения. Некоторые авторы рассматривают над комплексными числами только алгебраические поверхности К3. (Алгебраическая поверхность К3 автоматически является проективной . ) Или можно позволить поверхностям K3 иметь особенности Дюваля ( канонические особенности размерности 2), а не быть гладкими.

Расчет чисел Бетти

Числа Бетти комплексно-аналитической поверхности К3 вычисляются следующим образом. (Аналогичный аргумент дает тот же ответ для чисел Бетти алгебраической поверхности К3 над любым полем, определенным с помощью l-адических когомологий .) По определению, каноническое расслоение $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ тривиальна, а неровность q ( X ) (размерность $h^{1}(X,O_{X})$ группы когомологий когерентного пучка $H^{1}(X,O_{X})$) равен нулю. По двойственности Серра ,

$h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.$

В результате арифметический род (или голоморфная эйлерова характеристика ) X равен:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.$

С другой стороны, теорема Римана-Роха (формула Нётер) гласит:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),$

где $c_{i}(X)$ есть i -й класс Чженя касательного расслоения . С $K_{X}$ тривиален, его первый класс Черна $c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)$ равен нулю, и поэтому $c_{2}(X)=24$.

Далее экспоненциальная последовательность $0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0$ дает точную последовательность групп когомологий $0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})$, и так $H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0$. Таким образом, число Бетти $b_{1}(X)$ равен нулю, и по двойственности Пуанкаре $b_{3}(X)$ также равен нулю. Окончательно, $c_{2}(X)=24$ равна топологической эйлеровой характеристике

$\chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).$

С $b_{0}(X)=b_{4}(X)=1$ и $b_{1}(X)=b_{3}(X)=0$, отсюда следует, что $b_{2}(X)=22$.

Характеристики

• Любые две комплексные аналитические поверхности K3 диффеоморфны как гладкие 4-многообразия, по Кунихико Кодайре .
• Каждая комплексная аналитическая поверхность K3 имеет кэлерову метрику , предложенную Юм-Тонг Сиу . (Аналогично, но гораздо проще: каждая алгебраическая поверхность K3 над полем проективна.) Из решения Шинг-Тунг Яу гипотезы Калаби следует, что каждая комплексная аналитическая поверхность K3 имеет Риччи-плоскую кэлерову метрику.
• Числа Ходжа любой поверхности K3 указаны в ромбе Ходжа:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Один из способов показать это — вычислить якобиан идеал конкретной поверхности K3, а затем использовать вариацию структуры Ходжа для модулей алгебраических поверхностей K3, чтобы показать, что все такие поверхности K3 имеют одинаковые числа Ходжа. Более простой расчет можно выполнить, используя расчет чисел Бетти вместе с частями структуры Ходжа, вычисленными на $H^{2}(X;\mathbb {Z} )$ для произвольной поверхности К3. В этом случае силы симметрии Ходжа $H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C}$, следовательно $H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}$. Для поверхностей К3 в характеристике p > 0 это впервые показали Алексей Рудаков и Игорь Шафаревич .

• Для комплексной аналитической поверхности K3 X форма пересечения (или чашечное произведение ) на $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}$ представляет собой симметричную билинейную форму со значениями в целых числах, известную как решетка K3 . Это изоморфно четной унимодулярной решетке $\operatorname {II} _{3,19}$или эквивалентно $E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$, где U — гиперболическая решетка ранга 2 и $E_{8}$ представляет собой решётку E8 .
• Юкио Мацумото о Гипотеза 11/8 предсказывает, что каждое гладкое ориентированное 4-многообразие X с четной формой пересечения имеет второе число Бетти, по крайней мере, в 11/8 раз превышающее абсолютное значение сигнатуры . Если бы это было так, это было бы оптимально, поскольку равенство справедливо для комплексной поверхности K3, имеющей сигнатуру 3−19 = −16. Гипотеза будет означать, что каждое односвязное гладкое 4-многообразие с четной формой пересечения гомеоморфно копий связной сумме поверхности К3 и $S^{2}\times S^{2}$.
• Каждая комплексная поверхность, диффеоморфная поверхности K3, является поверхностью K3 согласно Роберту Фридману и Джону Моргану . С другой стороны, существуют гладкие комплексные поверхности (некоторые из них проективные), которые гомеоморфны, но не диффеоморфны поверхности K3, согласно Кодайре и Майклу Фридману . Все эти «гомотопические поверхности K3» имеют размерность Кодаиры 1.

Примеры

• Двойное накрытие X проективной плоскости, разветвленное по гладкой секстической кривой (степени 6), представляет собой поверхность К3 рода 2 (т. е. степени 2 g −2 = 2). (Эта терминология означает, что прообраз в X общей гиперплоскости в $\mathbf {P} ^{2}$ — гладкая кривая рода 2.)
• Гладкая поверхность четвертой степени (степени 4) в $\mathbf {P} ^{3}$ является поверхностью К3 рода 3 (т. е. степени 4).
• Поверхность Куммера — это фактор двумерного абелева многообразия A по действию $a\mapsto -a$. Это приводит к 16 особенностям в точках 2-кручения A . Минимальное разрешение этой особой поверхности можно также назвать поверхностью Куммера; это разрешение представляет собой поверхность K3. Когда A является якобианом кривой рода 2, Куммер показал, что фактор $A/(\pm 1)$ может быть встроен в $\mathbf {P} ^{3}$ как поверхность четвертой степени с 16 узлами .
• В более общем смысле: для любой поверхности Y квартики с особенностями Дю Валя минимальное разрешение Y является алгебраической поверхностью K3.
• Пересечение квадрики и кубики в $\mathbf {P} ^{4}$ является поверхностью К3 рода 4 (т. е. степени 6).
• Пересечение трех квадрик в $\mathbf {P} ^{5}$ является поверхностью К3 рода 5 (т. е. степени 8).
• Существует несколько баз данных поверхностей К3 с особенностями Дюваля в весовых проективных пространствах .

Решетка Пикара

Группа Пикара Pic( X ) комплексно-аналитической поверхности K3 X означает абелеву группу комплексных аналитических линейных расслоений на X . Для алгебраической поверхности K3 Pic( X ) означает группу алгебраических линейных расслоений X. на Эти два определения согласуются для комплексной алгебраической поверхности K3 согласно теореме Жана-Пьера Серра GAGA .

Группа Пикара поверхности X типа K3 всегда является конечно порожденной свободной абелевой группой; его ранг называется числом Пикара $\rho$. В комплексном случае Pic( X ) является подгруппой $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}$. Важной особенностью поверхностей K3 является то, что на них может встречаться много разных чисел Пикара. Для X — комплексная алгебраическая поверхность К3, $\rho$ может быть любым целым числом от 1 до 20. В комплексном аналитическом случае $\rho$ также может быть нулевым. (В этом случае X вообще не содержит замкнутых комплексных кривых. Напротив, алгебраическая поверхность всегда содержит множество непрерывных семейств кривых.) Над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0 существует специальный класс поверхностей K3 — суперсингулярные. Поверхности К3 с номером Пикара 22.

Решетка Пикара поверхности K3 означает абелеву группу Pic( X ) вместе с ее формой пересечения, симметричной билинейной формой со значениями в целых числах. (Над $\mathbb {C}$, форма пересечения означает ограничение формы пересечения на $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$. В общем поле форма пересечения может быть определена с использованием теории пересечения кривых на поверхности путем отождествления группы Пикара с группой классов дивизоров .) Решетка Пикара поверхности К3 всегда четна , что означает, что целое число $u^{2}$ даже для каждого $u\in \operatorname {Pic} (X)$.

Из теоремы Ходжа об индексе следует, что решетка Пикара алгебраической поверхности K3 имеет сигнатуру $(1,\rho -1)$. Многие свойства поверхности K3 определяются ее решеткой Пикара как симметричной билинейной формой над целыми числами. Это приводит к сильной связи теории поверхностей К3 с арифметикой симметричных билинейных форм. В качестве первого примера этой связи: комплексно-аналитическая поверхность К3 алгебраична тогда и только тогда, когда существует элемент $u\in \operatorname {Pic} (X)$ с $u^{2}>0$.

Грубо говоря, пространство всех комплексных аналитических поверхностей К3 имеет комплексную размерность 20, а пространство поверхностей К3 с числом Пикара $\rho$ имеет размерность $20-\rho$ (исключая суперсингулярный случай). В частности, алгебраические поверхности К3 встречаются в 19-мерных семействах. Более подробная информация о пространствах модулей поверхностей K3 приведена ниже.

Точное описание того, какие решетки могут представлять собой решетки Пикара поверхностей K3, затруднено. Одно четкое утверждение, сделанное Вячеславом Никулиным и Дэвидом Моррисоном , заключается в том, что каждая четная решетка сигнатур $(1,\rho -1)$ с $\rho \leq 11$ — решетка Пикара некоторой комплексной проективной поверхности К3. Пространство таких поверхностей имеет размерность $20-\rho$.

Эллиптические поверхности К3

Важный подкласс поверхностей К3, более простой для анализа, чем общий случай, состоит из поверхностей К3 с эллиптическим расслоением. $X\to \mathbf {P} ^{1}$. «Эллиптический» означает, что все слои этого морфизма, кроме конечного числа, являются гладкими кривыми рода 1. Особые слои представляют собой объединения рациональных кривых с возможными типами особых слоев, классифицированными Кодайрой. Всегда существуют некоторые особые слои, поскольку сумма топологических эйлеровых характеристик особых слоев равна $\chi (X)=24$. Общая эллиптическая поверхность К3 имеет ровно 24 особых слоя, каждый типа $I_{1}$ (узловая кубическая кривая).

Является ли поверхность K3 эллиптической, можно узнать по ее решетке Пикара. А именно, в характеристике, отличной от 2 или 3, поверхность X K3 имеет эллиптическое расслоение тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент $u\in \operatorname {Pic} (X)$ с $u^{2}=0$. (В характеристике 2 или 3 последнее условие может также соответствовать квазиэллиптическому расслоению .) Отсюда следует, что наличие эллиптического расслоения является условием коразмерности 1 на поверхности K3. Итак, существуют 19-мерные семейства комплексных аналитических поверхностей К3 с эллиптическим расслоением и 18-мерные пространства модулей проективных поверхностей К3 с эллиптическим расслоением.

Пример: каждая гладкая поверхность X четвертой степени в $\mathbf {P} ^{3}$ содержащая прямую L, имеет эллиптическое расслоение $X\to \mathbf {P} ^{1}$, заданный проецированием от L . Пространство модулей всех гладких поверхностей квартики (с точностью до изоморфизма) имеет размерность 19, а подпространство поверхностей квартики, содержащее прямую, имеет размерность 18.

Рациональные кривые на поверхностях К3

В отличие от многообразий положительной кривизны, таких как поверхности дель Пеццо, комплексная алгебраическая поверхность X класса K3 не является однолинейчатой ; то есть он не покрывается непрерывным семейством рациональных кривых. С другой стороны, в отличие от многообразий отрицательной кривизны, таких как поверхности общего типа, X содержит большой дискретный набор рациональных кривых (возможно, особых). В частности, Федор Богомолов и Дэвид Мамфорд показали, что каждая кривая на X положительной линейно эквивалентна линейной комбинации рациональных кривых.

Еще одним отличием от многообразий с отрицательной кривизной является то, что метрика Кобаяши на комплексной аналитической поверхности K3 X тождественно равна нулю. В доказательстве используется тот факт, что алгебраическая поверхность X класса К3 всегда покрывается непрерывным семейством образов эллиптических кривых. (Эти кривые являются сингулярными в X , если только X не является эллиптической поверхностью K3.) Более сильный вопрос, который остается открытым, состоит в том, допускает ли каждая комплексная поверхность K3 невырожденное голоморфное отображение из $\mathbb {C} ^{2}$ (где «невырожденный» означает, что производная отображения в некоторой точке является изоморфизмом).

Карта периода

Определим маркировку комплексной аналитической поверхности X класса K3 как изоморфизм решеток из $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ к решетке К3 $\Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$. Пространство N отмеченных комплексных поверхностей К3 является нехаусдорфовым комплексным многообразием размерности 20. Множество классов изоморфизма комплексно-аналитических поверхностей К3 является фактором N по ортогональной группе $O(\Lambda )$, но этот фактор не является геометрически значимым пространством модулей, поскольку действие $O(\Lambda )$ далеко не является должным образом прерывистым . (Например, пространство гладких поверхностей квартики неприводимо размером 19, и тем не менее каждая комплексная аналитическая поверхность К3 в 20-мерном семействе N имеет сколь угодно малые деформации, изоморфные гладким квартикам. ) По той же причине не существует осмысленного пространства модулей компактных комплексных торов размерности не менее 2.

Отображение периода отправляет поверхность K3 в ее структуру Ходжа . Если внимательно сформулировать, теорема Торелли верна: поверхность K3 определяется ее структурой Ходжа. Область периода определяется как 20-мерное комплексное многообразие.

$D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.$

Картирование периода $N\to D$ отправляет отмеченную поверхность X K3 на комплексную линию $H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C}$. Это сюръективно и является локальным изоморфизмом, но не изоморфизмом (в частности, потому, что D хаусдорфов, а N — нет). Однако глобальная теорема Торелли для поверхностей K3 утверждает, что фактор-отображение множеств

$N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )$

является биективным. Отсюда следует, что две комплексно-аналитические поверхности K3 X и Y изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа из $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ к $H^{2}(Y,\mathbb {Z} )$, то есть изоморфизм абелевых групп, сохраняющий форму пересечения и отправляющий $H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )$ к $H^{0}(Y,\Omega ^{2})$.

Пространства модулей проективных поверхностей К3

поверхность Поляризованная K3 X рода g является примитивным (т. е . определяется как проективная поверхность K3 вместе с обильным линейным расслоением L таким, что L не является 2 или более раз другим линейным расслоением) и $c_{1}(L)^{2}=2g-2$. Ее еще называют поляризованной поверхностью К3 степени 2 g −2.

При этих предположениях L не имеет базовой точки . В нулевой характеристике из теоремы Бертини | существует гладкая кривая C следует, что в линейной системе | Л |. Все такие кривые имеют род g , что объясняет, почему ( X , L говорят, что ) имеет род g .

Векторное пространство сечений L имеет размерность g + 1, поэтому L дает морфизм из X в проективное пространство. $\mathbf {P} ^{g}$. В большинстве случаев этот морфизм является вложением, так что X изоморфно поверхности степени 2 g −2 в $\mathbf {P} ^{g}$.

Существует неприводимое грубое пространство модулей ${\mathcal {F}}_{g}$ поляризованных комплексных поверхностей K3 рода g для каждого $g\geq 2$; его можно рассматривать как открытое Зарисского подмножество многообразия Шимуры для группы SO (2,19) . Для г каждого ${\mathcal {F}}_{g}$ является квазипроективным комплексным многообразием размерности 19. Сигэру Мукаи показал, что это пространство модулей унирационально , если $g\leq 13$ или $g=18,20$. Напротив, Валерий Гриценко, Клаус Хулек и Грегори Шанкаран показали, что ${\mathcal {F}}_{g}$ имеет общий тип, если $g\geq 63$ или $g=47,51,55,58,59,61$. Исследование этой территории было проведено Вуазеном (2008) .

Различные 19-мерные пространства модулей ${\mathcal {F}}_{g}$ перекрываются сложным образом. Действительно, существует счетное множество подмногообразий коразмерности 1 каждого ${\mathcal {F}}_{g}$ соответствующие поверхностям K3 с числом Пикара не менее 2. Эти поверхности K3 имеют поляризацию бесконечного числа различных степеней, а не только 2 г –2. Поэтому можно сказать, что бесконечно многие другие пространства модулей ${\mathcal {F}}_{h}$ встретиться ${\mathcal {F}}_{g}$. Это неточно, поскольку не существует пространства с хорошим поведением, содержащего все пространства модулей. ${\mathcal {F}}_{g}$. Однако конкретной версией этой идеи является тот факт, что любые две комплексные алгебраические поверхности K3 деформационно эквивалентны через алгебраические поверхности K3.

В более общем смысле, квазиполяризованная поверхность K3 рода g означает проективную поверхность K3 с примитивным nef и большим линейным расслоением L такую, что $c_{1}(L)^{2}=2g-2$. Такое линейное расслоение по-прежнему придает морфизм $\mathbf {P} ^{g}$, но теперь он может сжимать конечное число (−2)-кривых, так что образ Y множества X будет сингулярным. ( (−2)-кривая на поверхности означает кривую, изоморфную $\mathbf {P} ^{1}$ с самопересечением −2.) Пространство модулей квазиполяризованных поверхностей K3 рода g по-прежнему неприводимо размерности 19 (содержащее предыдущее пространство модулей как открытое подмножество). Формально лучше рассматривать это как пространство модулей K3-поверхностей Y с особенностями Дюваля.

Обширный конус и конус кривых

Замечательной особенностью алгебраических поверхностей К3 является то, что решетка Пикара определяет многие геометрические свойства поверхности, в том числе выпуклый конус обильных дивизоров (с точностью до автоморфизмов решетки Пикара). Обильный конус определяется решеткой Пикара следующим образом. По теореме Ходжа об индексе форма пересечения в вещественном векторном пространстве $N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R}$ есть подпись $(1,\rho -1)$. Отсюда следует, что множество элементов $N^{1}(X)$ с положительным самопересечением имеет две компоненты связности . назовите Положительным конусом компонент, который содержит любой обильный делитель на X .

Случай 1: не существует элемента u из Pic( X ) с $u^{2}=-2$. Тогда обильный конус равен положительному конусу. Таким образом, это стандартный круглый конус.

Случай 2. В противном случае пусть $\Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}$, множество корней решетки Пикара. Ортогональные дополнения к корням образуют набор гиперплоскостей, которые проходят через положительный конус. Тогда обильный конус является компонентой связности дополнения этих гиперплоскостей в положительном конусе. Любые два таких компонента изоморфны через ортогональную группу решетки Pic( X ), поскольку она содержит отражение через каждую корневую гиперплоскость. В этом смысле решетка Пикара определяет обильный конус с точностью до изоморфизма.

Связанное с этим утверждение Шандора Ковача заключается в том, что знание одного обильного делителя в Pic( X ) определяет весь конус кривых X. A А именно, предположим, что X имеет число Пикара $\rho \geq 3$. Если множество корней $\Delta$ пусто, то замкнутый конус кривых есть замыкание положительного конуса. В противном случае замкнутый конус кривых — это замкнутый выпуклый конус, натянутый на все элементы. $u\in \Delta$ с $A\cdot u>0$. В первом случае X не содержит (−2)-кривых; во втором случае замкнутый конус кривых — это замкнутый выпуклый конус, натянутый на все (−2)-кривые. (Если $\rho =2$, существует еще одна возможность: конус кривых может быть натянут на одну (−2)-кривую и одну кривую с самопересечением 0.) Таким образом, конус кривых является либо стандартным круглым конусом, либо имеет «острый конус». углы» (поскольку каждая (−2)-кривая охватывает изолированный экстремальный луч конуса кривых).

Группа автоморфизмов

Поверхности K3 несколько необычны среди алгебраических многообразий тем, что их группы автоморфизмов могут быть бесконечными, дискретными и сильно неабелевыми. По версии теоремы Торелли решетка Пикара комплексной алгебраической поверхности K3 X определяет группу автоморфизмов X с точностью до соизмеримости . А именно, пусть группа Вейля W — подгруппа ортогональной группы O (Pic( X )), порожденная отражениями в множестве корней $\Delta$. Тогда W — нормальная подгруппа группы O (Pic( X )), а группа автоморфизмов группы X соизмерима с факторгруппой O (Pic( X ))/ W . Связанное с этим утверждение Ганса Стерка состоит в том, что Aut( X ) действует на nef-конусе X с рациональной многогранной фундаментальной областью .

Связь со струнной двойственностью

Поверхности K3 почти повсеместно появляются в струнной дуальности и служат важным инструментом для ее понимания. Струнные компактификации на этих поверхностях нетривиальны, но они достаточно просты, чтобы подробно проанализировать большинство их свойств. Струна типа IIA, струна типа IIB, гетеротическая струна E ₈ ×E ₈ , гетеротическая струна Spin(32)/Z2 и М-теория связаны компактификацией на поверхности K3. Например, струна типа IIA, компактифицированная на поверхности K3, эквивалентна гетеротической струне, компактифицированной на 4-торе ( Aspinwall (1996) ).

История

Квартовые поверхности в $\mathbf {P} ^{3}$ изучались Эрнстом Куммером , Артуром Кэли , Фридрихом Шуром и другими геометрами XIX века. В более общем плане Федериго Энрикес заметил в 1893 году, что для различных чисел g существуют поверхности степени 2 g −2 в $\mathbf {P} ^{g}$ с тривиальным каноническим расслоением и нулевой неровностью. В 1909 году Энрикес показал, что такие поверхности существуют для всех. $g\geq 3$и Франческо Севери показали, что пространство модулей таких поверхностей имеет размерность 19 для каждого g .

Андре Вейль (1958) дал поверхностям K3 название (см. цитату выше) и сделал несколько влиятельных предположений об их классификации. Кунихико Кодайра завершил основную теорию примерно в 1960 году, в частности, проведя первое систематическое исследование комплексных аналитических поверхностей K3, которые не являются алгебраическими. Он показал, что любые две комплексные аналитические поверхности К3 деформационно эквивалентны и, следовательно, диффеоморфны, что было новым даже для алгебраических поверхностей К3. Важным более поздним достижением стало доказательство теоремы Торелли для комплексных алгебраических поверхностей K3 Ильей Пятецки-Шапиро и Игорем Шафаревичем (1971), распространенной на комплексные аналитические поверхности K3 Дэниелом Бернсом и Майклом Рапопортом (1975).

См. также

• Район Энрикес
• Гипотеза Тейта
• Самогон Матье , загадочная связь между поверхностями К3 и группой Матье М24 .

Ссылки

• Аспинуолл, Пол (1996), «Поверхности K3 и дуальность струн», Поля, струны и дуальность (Боулдер, Колорадо, 1996) , World Scientific, стр. 421–540, arXiv : hep-th/9611137 , MR   1479699
• Барт, Вольф П .; Хулек, Клаус ; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике, вып. 4, Спрингер , номер домена : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN.  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Бовилль, Арно (1983), «Поверхности K3», семинар Бурбаки, Том. 1982/83 Exp 609 , Asterisk, vol. 105, Париж: Математическое общество Франции , стр. 217–229, МР   0728990
• Бовиль, А .; Бургиньон, Ж.-П .; Демазюр, М. (1985), Геометрия поверхностей K3: модули и периоды, Séminaire Palaiseau , Asterisk, vol. 126, Париж: Математическое общество Франции , MR   0785216.
• Браун, Гэвин (2007), «База данных поляризованных поверхностей K3» , Experimental Mathematics , 16 (1): 7–20, doi : 10.1080/10586458.2007.10128983 , MR   2312974 , S2CID   24693572
• Бернс, Дэниел; Рапопорт, Майкл (1975), «О проблеме Торелли для кэлеровых поверхностей K-3» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 8 (2): 235–273, doi : 10.24033/asens.1287 , MR   0447635
• Энрикес, Федериго (1893), «Геометрические исследования на алгебраических поверхностях» , Memorie Accademia di Torino , 2, 44 : 171–232, JFM   25.1212.02
• Энрикес, Федериго (1909), «Поверхности первого жанра» , Rendiconti Accademia di Bologna , 13 : 25–28, JFM   40.0685.01
• Гриценко В.А.; Хулек, Клаус ; Шанкаран, Г.К. (2007), «Размерность Кодаиры модулей поверхностей K3», Inventiones Mathematicae , 169 (3): 519–567, arXiv : math/0607339 , Bibcode : 2007InMat.169..519G , doi : 10.1007/ с00222-007-0054-1 , МР   2336040 , С2КИД   14877568
• Хайбрехтс, Дэниел (2016), Лекции по поверхностям K3 (PDF) , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 158, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107153042 , МР   3586372
• Каменова, Людмила; Лу, Стивен; Вербицкий, Миша (2014), «Псевдометрика Кобаяши на гиперкелеровых многообразиях», Журнал Лондонского математического общества , 90 (2): 436–450, arXiv : 1308.5667 , doi : 10.1112/jlms/jdu038 , MR   3263959 , S2CID   28495199
• Мукаи, Сигэру (2006), «Поляризованные поверхности K3 тринадцатого рода», Пространства модулей и арифметическая геометрия , Адв. Стад. Чистая математика., вып. 45, Токио: Матем. Соц. Япония, стр. 315–326, MR   2310254.
• Пятецкий-Шапиро, II ; Шафаревич, И. Р. (1971), «Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа К3», Математика СССР-Известия , 5 (3): 547–588, Бибкод : 1971IzMat...5..547P , doi : 10.1070/IM1971v005n03ABEH001075 , МР   0284440
• Рудаков, А.Н. (2001) [1994], «Поверхность К3» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3749-8 , МР   2136212
• Севери, Франческо (1909), «Алгебраические поверхности с канонической кривой нулевого порядка» (PDF) , Atti del Istituto Veneto , 68 : 249–260, JFM   40.0683.03
• Вуазен, Клер (2008), «Геометрия пространств модулей кривых и поверхностей K3 (по Гриценко-Хулек-Санкаран, Фаркас-Попа, Мукаи, Верра и др.)» (PDF) , Asterisk , Семинар Бурбаки. 2006/2007. Опыт 981 (317): 467–490, ISBN.  978-2-85629-253-2 , МР   2487743
• Вейль, Андре (1958), «Итоговый отчет по контракту AF 18 (603)-57», Научные труды. Сборник статей , вып. II, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 390–395, 545–547, ISBN.  978-0-387-90330-9 , МР   0537935

Внешние ссылки

• Домашняя страница базы данных градуированных колец с каталогом поверхностей K3.
• База данных K3 для системы компьютерной алгебры Magma
• Геометрия поверхностей К3 , лекции Дэвида Моррисона (1988).