Коэффициент шансов

Отношение шансов ( OR ) — это статистика , которая количественно определяет силу связи между двумя событиями, A и B. Отношение шансов определяется как отношение шансов события A, происходящего в присутствии B, и шансов A в отсутствие B. Из-за симметрии отношение шансов взаимно вычисляет отношение шансов B, происходящих в присутствии A, и шансов B в отсутствие A. Два события независимы тогда и только тогда, когда OR равен 1, т. е. шансы на одно событие одинаковы как при наличии, так и при отсутствии другого события. Если OR больше 1, то A и B связаны (коррелируют) в том смысле, что по сравнению с отсутствием B присутствие B повышает шансы A, а симметрично присутствие A повышает шансы B. И наоборот, если OR меньше 1, то A и B отрицательно коррелируют, и наличие одного события снижает вероятность возникновения другого события.

Обратите внимание, что отношение шансов симметрично в двух событиях и не причинно-следственная подразумевается связь (корреляция не подразумевает причинно-следственную связь ): OR больше 1 не устанавливает, что B вызывает A или что A вызывает B. ^[1]

Двумя схожими статистическими данными, которые часто используются для количественной оценки связей, являются относительный риск (RR) и абсолютное снижение риска (ARR). Часто наиболее интересным параметром на самом деле является RR, который представляет собой отношение вероятностей, аналогичное шансам, используемым в OR. Однако имеющиеся данные часто не позволяют рассчитать RR или ARR, но позволяют рассчитать OR, как в исследованиях «случай-контроль» , как поясняется ниже. С другой стороны, если одно из свойств (А или В) достаточно редкое (в эпидемиологии это называется предположением о редком заболевании ), то OR примерно равен соответствующему RR.

ИЛИ играет важную роль в логистической модели .

Определение и основные свойства

Интуиция на примере для непрофессионалов

Если мы подбросим непредвзятую монету, вероятность выпадения орла и вероятность выпадения решки равны — обе равны 50%. Представьте, что у нас есть смещенная монета, из-за которой вероятность выпадения орла увеличивается в два раза. Но что означает «вдвое более вероятно» с точки зрения вероятности? Это не может буквально означать удвоение исходного значения вероятности, потому что удвоение 50% даст 100%. Скорее, шансы удваиваются: с шансов 1:1 до шансов 2:1. Новые вероятности составят 66⅔% для орла и 33⅓% для решки.

Мотивирующий пример в контексте предположения о редком заболевании.

Предположим, утечка радиации в деревне с населением 1000 человек увеличила заболеваемость редким заболеванием. Общее число людей, подвергшихся радиационному воздействию, составило $V_{E}=400,$ из которых $D_{E}=20$ развилось заболевание и $H_{E}=380$ остался здоровым. Общее число людей, не подвергшихся воздействию, составило $V_{N}=600,$ из которых $D_{N}=6$ развилось заболевание и $H_{N}=594$ остался здоровым. Мы можем организовать это в таблице непредвиденных обстоятельств :

{\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&380\\{\text{ Not exposed }}&6&594\\\hline \end{array}}

Риск составляет развития заболевания при воздействии $D_{E}/V_{E}=20/400=.05$ и развитие заболевания при отсутствии воздействия $D_{N}/V_{N}=6/600=.01$ . Один из очевидных способов сравнения рисков — использовать соотношение этих двух факторов, относительный риск .

{\text{Relative risk}}={\frac {D_{E}/(D_{E}+H_{E})}{D_{N}/(D_{N}+H_{N})}}={\frac {D_{E}/V_{E}}{D_{N}/V_{N}}}={\frac {20/400}{6/600}}={\frac {.05}{.01}}=5\,.

Соотношение шансов другое. Шансы заразиться в случае заражения равны $D_{E}/H_{E}=20/380\approx .0526,$ и шансы, если они не будут раскрыты, равны $D_{N}/H_{N}=6/594\approx .0101\,.$ Отношение шансов – это соотношение двух,

{\text{Odds ratio}}={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{N}/H_{N}}}={\frac {20/380}{6/594}}\approx {\frac {.0526}{.0101}}=5.2\,.

Как показано на этом примере, в случае редкого заболевания таком относительный риск и отношение шансов почти одинаковы. По определению редкое заболевание подразумевает, что $V_{E}\approx H_{E}$ и $V_{N}\approx H_{N}$ . Таким образом, знаменатели относительного риска и отношения шансов практически совпадают ( $400\approx 380$ и $600\approx 594)$ .

Относительный риск легче понять, чем отношение шансов, но одна из причин использования отношения шансов заключается в том, что обычно данные обо всей совокупности недоступны, и случайную выборку необходимо использовать . В приведенном выше примере, если бы опрос жителей деревни и выяснение того, подверглись ли они воздействию радиации, было бы очень дорогостоящим, тогда не была бы известна распространенность радиационного воздействия, равно как и значения $V_{E}$ или $V_{N}$ . Можно было бы взять случайную выборку из пятидесяти сельских жителей, но вполне возможно, что в такую случайную выборку не войдет ни один больной, поскольку только 2,6% населения больны. Вместо этого можно использовать исследование «случай-контроль». ^[2] в ходе которого опрашиваются все 26 заболевших жителей деревни, а также случайная выборка из 26 человек, у которых нет заболевания. Результаты могут оказаться следующими («возможно», поскольку это случайная выборка):

{\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&10\\{\text{ Not exposed }}&6&16\\\hline \end{array}}

Шансы на заражение в этой выборке с учетом того, что кто-то подвергся воздействию, составляют 20/10, а шансы с учетом того, что кто-то не заразился, составляют 6/16. Таким образом, отношение шансов ${\frac {20/10}{6/16}}\approx 5.3$ , что довольно близко к отношению шансов, рассчитанному для всей деревни. Относительный риск, однако, не может быть рассчитан, потому что это соотношение рисков заболеть заболеванием, и нам потребуется $V_{E}$ и $V_{N}$ чтобы разобраться в них. Поскольку исследование было выбрано для людей с этим заболеванием, половина людей в выборке страдает этим заболеванием, и известно, что это больше, чем распространенность среди населения.

В медицинской литературе принято рассчитывать отношение шансов, а затем использовать предположение о редком заболевании (что обычно разумно) и утверждать, что относительный риск примерно равен ему. Это не только позволяет использовать исследования «случай-контроль», но и упрощает контроль искажающих переменных, таких как вес или возраст, с помощью регрессионного анализа, а также обладает желательными свойствами, обсуждаемыми в других разделах этой статьи, а именно инвариантностью и нечувствительностью к типу выборки . ^[3]

Определение с точки зрения групповых шансов

Отношение шансов — это отношение шансов того , что событие произойдет в одной группе, к шансам того, что оно произойдет в другой группе. Этот термин также используется для обозначения оценок этого соотношения на основе выборки. Этими группами могут быть мужчины и женщины, экспериментальная группа и контрольная группа или любая другая дихотомическая классификация. Если вероятности события в каждой из групп равны p ₁ (первая группа) и p ₂ (вторая группа), то отношение шансов равно:

OR={\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}={\frac {p_{1}/q_{1}}{p_{2}/q_{2}}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},

где q _{Икс знак} равно 1 - п _Икс . Отношение шансов, равное 1, указывает на то, что изучаемое состояние или событие с одинаковой вероятностью произойдет в обеих группах. Отношение шансов больше 1 указывает на то, что состояние или событие с большей вероятностью произойдет в первой группе. А отношение шансов менее 1 указывает на то, что условие или событие с меньшей вероятностью произойдет в первой группе. Отношение шансов должно быть неотрицательным, если оно определено. Неопределенно, если p ₂ q ₁ равно нулю, т.е. если p ₂ равно нулю или q ₁ равно нулю.

Определение с точки зрения совместных и условных вероятностей.

Отношение шансов также можно определить как совместное распределение вероятностей двух двоичных случайных величин . Совместное распределение бинарных случайных величин $X$ и $Y$ можно записать

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{11}&p_{10}\\X=0&p_{01}&p_{00}\end{array}}

где $p$ ₁₁ , $p$ ₁₀ , $p$ ₀₁ и $p$ ₀₀ представляют собой неотрицательные «вероятности ячеек», сумма которых равна единице. Шансы на $Y$ внутри двух подгрупп, определяемых $X$ = 1 и $X$ = 0, определяются в терминах условных вероятностей, заданных $X$ , есть то $P (Y | X)$ :

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {p_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}

Таким образом, отношение шансов равно

OR={\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}={\frac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}

Простое выражение справа выше легко запомнить как произведение вероятностей «согласованных ячеек» $(X = Y),$ деленное на произведение вероятностей «несогласных ячеек» $(X \neq Y)$ . Однако в некоторых приложениях маркировка категорий как ноль и единица является произвольной, поэтому в этих приложениях нет ничего особенного в согласованных и несогласованных значениях.

Симметрия

Если бы мы рассчитали отношение шансов на основе условных вероятностей, заданных Y ,

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{10}}{p_{10}+p_{00}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{00}}{p_{10}+p_{00}}}\end{array}}

мы бы получили тот же результат

{\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.

Другие меры размера эффекта для двоичных данных , такие как относительный риск, не обладают этим свойством симметрии.

Отношение к статистической независимости

Если X и Y независимы, их совместные вероятности могут быть выражены через их предельные вероятности $p x = P (X = 1)$ и $p y = P (Y = 1)$ следующим образом:

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{x}p_{y}&p_{x}(1-p_{y})\\X=0&(1-p_{x})p_{y}&(1-p_{x})(1-p_{y})\end{array}}

В этом случае отношение шансов равно единице, и, наоборот, отношение шансов может равняться только единице, если совместные вероятности могут быть учтены таким образом. Таким образом, отношение шансов равно единице тогда и только тогда, X и Y независимы когда .

Восстановление вероятностей ячеек из отношения шансов и предельных вероятностей

Отношение шансов является функцией вероятностей ячеек, и наоборот, вероятности ячеек можно восстановить, зная отношение шансов и предельные вероятности $P (X = 1) = p 11 + p 10$ и $P (Y = 1) = п 11 + п 01$ . Если отношение шансов R отличается от 1, то

p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}

где $p 1• = p 11 + p 10, p • 1 = p 11 + p 01$ и

S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.

В случае, когда $R = 1$ , мы имеем независимость, поэтому $p 11 = p 1• p •1$ .

Как только мы получим $p 11$ , остальные три вероятности ячеек можно легко восстановить из предельных вероятностей.

Пример

Предположим, что из выборки из 100 мужчин 90 пили вино на предыдущей неделе (то есть 10 не пили), тогда как в выборке из 80 женщин только 20 пили вино за тот же период (то есть 60 не пили). Это формирует таблицу непредвиденных обстоятельств:

{\begin{array}{c|cc}&M=1&M=0\\\hline D=1&90&20\\D=0&10&60\end{array}}

Отношение шансов (OR) можно рассчитать непосредственно из этой таблицы как:

{OR}={\frac {\;90\times 60\;}{\;10\times 20\;}}=27

Альтернативно, вероятность того, что мужчина выпьет вино, составляет 90 к 10, или 9:1, тогда как вероятность того, что женщина выпьет вино, составляет всего 20 к 60, или 1:3 = 0,33. Таким образом, отношение шансов составляет 9/0,33, или 27, что показывает, что мужчины гораздо чаще пьют вино, чем женщины. Подробный расчет таков:

{0.9/0.1 \over 0.2/0.6}={\frac {\;0.9\times 0.6\;}{\;0.1\times 0.2\;}}={0.54 \over 0.02}=27

Этот пример также показывает, насколько чувствительны отношения шансов при определении относительных позиций: в этой выборке мужчины (90/100)/(20/80) = в 3,6 раза чаще выпивали вино, чем женщины, но у них в 27 раз больше шансов. Логарифм отношения шансов, разность логитов вероятностей смягчает симметричной эффект, а также делает меру этот относительно порядка групп. Например, при использовании натуральных логарифмов отношение шансов 27/1 соответствует 3,296, а отношение шансов 1/27 соответствует -3,296.

Статистический вывод

Было разработано несколько подходов к статистическим выводам для отношений шансов.

Один из подходов к выводу использует аппроксимации большой выборки выборочного распределения логарифма отношения шансов ( натуральный логарифм отношения шансов). Если мы используем обозначение совместной вероятности, определенное выше, отношение шансов журнала совокупности будет равно

{\log \left({\frac {p_{11}p_{00}}{p_{01}p_{10}}}\right)=\log(p_{11})+\log(p_{00}{\big )}-\log(p_{10})-\log(p_{01})}.\,

Если мы наблюдаем данные в виде таблицы сопряженности

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&n_{11}&n_{10}\\X=0&n_{01}&n_{00}\end{array}}

тогда вероятности совместного распределения можно оценить как

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\hat {p}}_{11}&{\hat {p}}_{10}\\X=0&{\hat {p}}_{01}&{\hat {p}}_{00}\end{array}}

где $︿ p ij = n ij / n$ , где $n = n 11 + n 10 + n 01 + n 00$ представляет собой сумму всех четырех подсчетов ячеек. Отношение шансов выборочного журнала равно

{L=\log \left({\dfrac {{\hat {p}}_{11}{\hat {p}}_{00}}{{\hat {p}}_{10}{\hat {p}}_{01}}}\right)=\log \left({\dfrac {n_{11}n_{00}}{n_{10}n_{01}}}\right)}

.

Распределение логарифмического отношения шансов примерно нормальное :

L\ \sim \ {\mathcal {N}}(\log(OR),\,\sigma ^{2}).\,

Стандартная ошибка для логарифмического отношения шансов составляет приблизительно

{{\rm {SE}}={\sqrt {{\dfrac {1}{n_{11}}}+{\dfrac {1}{n_{10}}}+{\dfrac {1}{n_{01}}}+{\dfrac {1}{n_{00}}}}}}

.

Это асимптотическое приближение, которое не даст значимого результата, если количество ячеек очень мало. Если L — отношение шансов журнала выборки, приблизительный 95% доверительный интервал для отношения шансов журнала совокупности составляет $L \pm 1,96SE$ . ^[4] Это можно сопоставить с $exp(L - 1,96SE), exp(L + 1,96SE),$ чтобы получить 95% доверительный интервал для отношения шансов. Если мы хотим проверить гипотезу о том, что отношение шансов населения равно единице, двустороннее значение p равно $2 P (Z < -| L |/SE)$ , где P обозначает вероятность, а Z обозначает стандартную нормальную случайную величину. .

Альтернативный подход к выводу для отношений шансов рассматривает распределение данных условно на предельных частотах X и Y . Преимущество этого подхода состоит в том, что выборочное распределение отношения шансов может быть выражено точно.

Роль в логистической регрессии

Логистическая регрессия — это один из способов обобщить отношение шансов за пределы двух двоичных переменных. Предположим, у нас есть бинарная переменная отклика Y и бинарная переменная-предиктор X , а кроме того, у нас есть другие переменные-предсказатели Z ₁ , ..., Z _p, которые могут быть или не быть двоичными. логистическую регрессию для регрессии Y по X , Z1 _Если ,..., Zp _{мы используем множественную} , то расчетный коэффициент ${\hat {\beta }}_{x}$ для X связано с условным отношением шансов. В частности, на уровне населения

e^{\beta _{x}}=\exp(\beta _{x})={\frac {P(Y=1\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}{P(Y=1\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}},

так $\exp({\hat {\beta }}_{x})$ является оценкой этого условного отношения шансов. Интерпретация $\exp({\hat {\beta }}_{x})$ представляет собой оценку отношения шансов между Y и X , когда значения Z ₁ , ..., Z _p остаются фиксированными.

Нечувствительность к типу отбора проб

Если данные образуют «выборку населения», то вероятности ячеек ${\widehat {p\,}}_{ij}$ интерпретируются как частоты каждой из четырех групп населения, определяемые их X и Y. значениями Во многих случаях непрактично получить генеральную выборку, поэтому используется отобранная выборка. Например, мы можем выбрать единицы выборки с $X = 1$ с заданной вероятностью f , независимо от их частоты в совокупности (что потребует выборки единиц с $X = 0$ с вероятностью $1 - f$ ). В этой ситуации наши данные будут соответствовать следующим совместным вероятностям:

{\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {fp_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {fp_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {(1-f)p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {(1-f)p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}

Отношение шансов $p 11 p 00 / p 01 p 10$ для этого распределения не зависит от значения f . Это показывает, что отношение шансов (и, следовательно, логарифм отношения шансов) инвариантно к неслучайной выборке, основанной на одной из изучаемых переменных. Однако обратите внимание, что стандартная ошибка логарифмического отношения шансов зависит от значения f . ^{[ нужна ссылка ]}

Этот факт используется в двух важных ситуациях:

Предположим, неудобно или непрактично получать выборку генеральной совокупности, но практично получить удобную выборку единиц с разными значениями X , так чтобы в $X = 0$ и $X = 1$ подвыборках значения Y были репрезентативными для генеральной совокупности (т. е. они следуют правильным условным вероятностям).
Предположим, предельное распределение одной переменной, скажем, X , очень искажено. Например, если мы изучаем взаимосвязь между высоким потреблением алкоголя и раком поджелудочной железы среди населения в целом, заболеваемость раком поджелудочной железы будет очень низкой, поэтому потребуется очень большая выборка населения, чтобы получить скромное количество случаев рака поджелудочной железы. Однако мы могли бы использовать данные из больниц, чтобы связаться с большинством или со всеми их пациентами с раком поджелудочной железы, а затем случайным образом выбрать равное количество субъектов без рака поджелудочной железы (это называется «исследование случай-контроль»).

В обоих этих случаях отношение шансов можно рассчитать на основе выбранной выборки, не искажая результаты по сравнению с тем, что было бы получено для генеральной выборки.

Использование в количественных исследованиях

Благодаря широкому использованию логистической регрессии отношение шансов широко используется во многих областях медицинских и социальных исследований. Отношение шансов обычно используется в обзорных исследованиях , в эпидемиологии и для выражения результатов некоторых клинических испытаний , например, в исследованиях «случай-контроль» . В отчетах его часто называют сокращением «ИЛИ». Когда данные нескольких опросов объединяются, это часто выражается как «объединенное ИЛИ».

Связь с относительным риском

Как поясняется в разделе «Мотивирующий пример» , относительный риск обычно лучше, чем отношение шансов, для понимания связи между риском и некоторой переменной, такой как радиация или новый препарат. В этом разделе также объясняется, что если предположение о редком заболевании справедливо, то отношение шансов является хорошим приближением к относительному риску. ^[5] и что он имеет некоторые преимущества перед относительным риском. Когда предположение о редком заболевании не выполняется, нескорректированное отношение шансов будет больше, чем относительный риск. ^[6]^[7]^[8] но новые методы могут легко использовать те же данные для оценки относительного риска, различий в рисках, базовой вероятности или других величин. ^[9]

Если доступен абсолютный риск в группе, не подвергшейся воздействию, конверсия между ними рассчитывается по формуле: ^[6]

{\text{Relative risk}}\approx {\frac {\text{Odds ratio}}{1-R_{C}+(R_{C}\times {\text{Odds ratio}})}}

где R _C — абсолютный риск необлученной группы.

Если предположение о редком заболевании неприменимо, отношение шансов может сильно отличаться от относительного риска и не должно интерпретироваться как относительный риск.

Рассмотрим уровень смертности среди пассажиров мужчин и женщин, когда корабль затонул. ^[3] Из 462 женщин 154 погибли и 308 выжили. Из 851 мужчины 709 погибли и 142 выжили. Очевидно, что мужчина на корабле погибнет с большей вероятностью, чем женщина, но насколько это более вероятно? Поскольку более половины пассажиров умерли, предположение о редком заболевании сильно нарушается.

Чтобы вычислить отношение шансов, обратите внимание, что для женщин шансы умереть составляли 1 к 2 (154/308). Для мужчин шансы были 5 к 1 (709/142). Отношение шансов составляет 9,99 (4,99/0,5). У мужчин было в десять раз больше шансов умереть, чем у женщин.

Для женщин вероятность смерти составила 33% (154/462). Для мужчин вероятность составила 83% (709/851). Относительный риск смерти составляет 2,5 (0,83/0,33). Вероятность смерти мужчины была в 2,5 раза выше, чем у женщины.

Путаница и преувеличение

В медицинской литературе отношение шансов часто путают с относительным риском. Для тех, кто не занимается статистикой, отношение шансов является трудной для понимания концепцией, и оно дает более впечатляющую цифру эффекта. ^[10] Однако большинство авторов считают, что относительный риск легко понять. ^[11] В одном исследовании члены национального фонда по борьбе с болезнями на самом деле в 3,5 раза чаще, чем нечлены, слышали об обычном методе лечения этого заболевания, но отношение шансов составляло 24, и в документе говорилось, что члены «более чем в 20 раз чаще» слышать об этом лечении. ^[12] Исследование статей, опубликованных в двух журналах, показало, что 26% статей, в которых использовалось отношение шансов, интерпретировали его как отношение риска. ^[13]

Это может отражать простой процесс, когда непонимающие авторы выбирают наиболее впечатляющую и достойную публикации фигуру. ^[11] Однако в некоторых случаях его использование может быть намеренно вводящим в заблуждение. ^[14] Было высказано предположение, что отношение шансов следует представлять как меру размера эффекта только тогда, когда соотношение рисков не может быть оценено напрямую. ^[10] но с помощью новых доступных методов всегда можно оценить соотношение рисков, которое обычно следует использовать вместо этого. ^[9]

Хотя относительные риски потенциально легче интерпретировать для широкой аудитории, использование отношения шансов вместо относительного риска дает математические и концептуальные преимущества, особенно в регрессионных моделях. По этой причине в области эпидемиологии и биостатистики нет единого мнения о том, что относительные риски или отношения шансов должны быть предпочтительными, когда оба могут быть обоснованно использованы, например, в клинических испытаниях и когортных исследованиях. ^[15]

Обратимость и инвариантность

Отношение шансов обладает еще одним уникальным свойством: оно математически обратимо независимо от того, анализируется ли ОШ как выживаемость при заболевании или заболеваемость началом заболевания – где ОШ для выживаемости прямо обратно пропорционально 1/ОШ для риска. Это известно как «инвариантность отношения шансов». Напротив, относительный риск не обладает этим математически обратимым свойством при изучении выживаемости заболевания по сравнению с заболеваемостью началом. Этот феномен обратимости OR по сравнению с необратимостью RR лучше всего иллюстрируется примером:

Предположим, что в клиническом исследовании риск нежелательных явлений составляет 4/100 в группе препарата и 2/100 в группе плацебо... что дает RR=2 и OR=2,04166 для риска нежелательных явлений при сравнении препарата и плацебо. Однако если бы анализ был инвертирован и нежелательные явления вместо этого анализировались как выживаемость без событий, то в группе препарата показатель был бы 96/100, а в группе плацебо — 98/100, что давало бы соотношение препарата против плацебо. ОР=0,9796 для выживания, но ОШ=0,48979. Как можно видеть, RR 0,9796 явно не является обратной величиной RR 2. Напротив, OR 0,48979 действительно является прямой обратной величиной OR 2,04166.

Это снова то, что называется «инвариантностью отношения шансов», и почему ОР выживаемости не то же самое, что ОР риска, в то время как OR обладает этим симметричным свойством при анализе выживания или неблагоприятного риска. Опасность для клинической интерпретации ОШ возникает, когда частота нежелательных явлений не является редкой, что приводит к преувеличению различий, когда предположение о редком заболевании ОШ не выполняется. С другой стороны, когда заболевание встречается редко, использование ОР для выживаемости (например, ОР=0,9796 из приведенного выше примера) может клинически скрыть и скрыть важное удвоение неблагоприятного риска, связанного с препаратом или воздействием. ^{[ нужна ссылка ]}

Оценщики отношения шансов

Пример отношения шансов

Отношение шансов выборки n ₁₁ n ₀₀ / n ₁₀ n ₀₁ легко рассчитать, и для средних и больших выборок оно хорошо работает в качестве оценки отношения шансов генеральной совокупности. Когда одна или несколько ячеек в таблице непредвиденных обстоятельств могут иметь небольшое значение, отношение шансов выборки может быть смещенным и иметь высокую дисперсию .

Альтернативные оценки

Был предложен ряд альтернативных оценок отношения шансов для устранения ограничений выборочного отношения шансов. Одним из альтернативных средств оценки является условная оценка максимального правдоподобия, которая учитывает поля строки и столбца при формировании вероятности максимизации (как в точном тесте Фишера ). ^[16] Другой альтернативной оценкой является оценка Мантеля-Хэнзеля . ^{[ нужна ссылка ]}

Числовые примеры

Следующие четыре таблицы непредвиденных обстоятельств содержат наблюдаемое количество клеток, а также соответствующее отношение шансов выборки ( OR ) и отношение шансов журнала выборки ( LOR ):

	ИЛИ = 1, ЛОР = 0		ИЛИ = 1, ЛОР = 0		ОШ = 4, ЛОР = 1,39		ОШ = 0,25, ЛОР = -1,39
	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0
Х = 1	10	10	100	100	20	10	10	20
Х = 0	5	5	50	50	10	20	20	10

Следующие совместные распределения вероятностей содержат вероятности ячеек популяции, а также соответствующее отношение шансов популяции ( OR ) и отношение шансов журнала популяции ( LOR ):

	ИЛИ = 1, ЛОР = 0		ИЛИ = 1, ЛОР = 0		ОШ = 16, ЛОР = 2,77		ОШ = 0,67, ЛОР = -0,41
	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0	Д = 1	Ю = 0
Х = 1	0.2	0.2	0.4	0.4	0.4	0.1	0.1	0.3
Х = 0	0.3	0.3	0.1	0.1	0.1	0.4	0.2	0.4

Численный пример

Пример снижения риска
Количество	Экспериментальная группа (Э)	Контрольная группа (С)	Общий
События (Е)	ЭЭ = 15	ЕС = 100	115
Несобытия (N)	ЕН = 135	КН = 150	285
Всего предметов (S)	ES = EE + EN = 150	КС = СЕ + CN = 250	400
Частота событий (ER)	EER = EE / ES = 0,1 или 10%	CER = CE / CS = 0,4 или 40%	—

Переменная	Сокр.	Формула	Ценить
Абсолютное снижение риска	ARR	ССВ − ЭЕР	0,3 или 30%
Количество, необходимое для лечения	ННТ	1 / ( ССВ − ЭЭК )	3.33
Относительный риск (коэффициент риска)	RR	ЭЭР / ССВ	0.25
Относительное снижение риска	$$$$	( CER − EER ) / CER , или 1 − RR	0,75 или 75%
Предотвратимая доля среди необлученных	ПФ ты	( ССВ − EER ) / ССВ	0.75
Коэффициент шансов	ИЛИ	( EE / EN )/( CE / CN )	0.167

Связанная статистика

Существуют различные другие сводные статистические данные для таблиц непредвиденных обстоятельств , которые измеряют связь между двумя событиями, например Yule's Y , Yule's Q ; эти два нормализованы, поэтому они равны 0 для независимых событий, 1 для идеально коррелированных, -1 для абсолютно отрицательно коррелированных. Эдвардс (1963) изучил их и утверждал, что эти меры связи должны быть функциями отношения шансов, которое он назвал перекрестным отношением . ^{[ нужна ссылка ]}

Отношение шансов для исследования «случай-контроль»

Исследование «случай-контроль» включает в себя отбор репрезентативных выборок случаев и контрольной группы, у которых имеется или нет какое-либо заболевание соответственно. Эти образцы обычно независимы друг от друга. У испытуемых обеих выборок наблюдается предшествующая распространенность воздействия того или иного фактора риска. Это позволяет оценить отношение шансов заболевания у подвергшихся воздействию и у необлученных людей, как отмечалось выше. ^[17] Однако иногда имеет смысл сопоставить наблюдения с контрольными значениями одной или нескольких мешающих переменных. ^[18] В этом случае предварительное воздействие, представляющее интерес, определяется для каждого случая и соответствующего контроля. Данные можно свести в следующую таблицу.

Таблица совпадений 2х2

Пары случай-контроль	Контроль открыт	Контроль неэкспонированный
Дело раскрыто	$n_{11}$	$n_{10}$
Дело не раскрыто	$n_{01}$	$n_{00}$

В этой таблице показан статус воздействия подобранных пар субъектов. Есть $n_{11}$ пары, в которых были представлены как случай, так и ее/его соответствующий контрольный образец, $n_{10}$ пары, в которых основной пациент подвергся воздействию, а контрольный субъект - нет, $n_{01}$ пары, в которых контрольный субъект подвергся воздействию, а пациент - нет, и $n_{00}$ пары не были ни один субъект не был разоблачен. Воздействие совпадающих пар случаев и контроля коррелирует из-за схожих значений их общих искажающих переменных.

Следующий вывод принадлежит Бреслоу и Дэю . ^[18] Мы рассматриваем каждую пару как принадлежащую страту с одинаковыми значениями вмешивающихся переменных. В зависимости от принадлежности к одному и тому же слою статус воздействия случаев и мер контроля не зависит друг от друга. Для любой пары случай-контроль внутри одной страты пусть

$p_{1}$ быть вероятностью того, что пациент заразится,

$p_{0}$ быть вероятностью того, что пациент из контрольной группы подвергнется воздействию,

$q_{1}=1-p_{1}$ быть вероятностью того, что пациент не заразится, и

$q_{0}=1-p_{0}$ быть вероятностью того, что пациент из контрольной группы не подвергнется воздействию.

Тогда вероятность того, что случай выявлен, а контроль нет, равна $p_{1}q_{0}$ , а вероятность того, что элемент управления открыт, а случай нет, равна $p_{0}q_{1}$ . Отношение шансов внутри слоя для заражения в случаях по сравнению с контролем равно

$\psi =(p_{1}/q_{1})/(p_{0}/q_{0})=p_{1}q_{0}/(q_{1}p_{0})$

Мы предполагаем, что $\psi$ является постоянным во всех слоях. ^[18]

Теперь согласованные пары, в которых подвергаются воздействию и случай, и контрольная группа, или ни один из них, ничего не говорят нам о шансах заражения в случаях по сравнению с шансами воздействия среди контрольных групп. Вероятность того, что случай раскрыт и не задан контроль, что пара несогласна, равна

$\pi =(p_{1}q_{0})/(p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0})=\psi /(\psi +1)$

Распределение $n_{10}$ учитывая, что число несогласных пар биномиально ~ B $(n_{10}+n_{01},\pi )$ и максимального правдоподобия оценка $\pi$ является

${\hat {\pi }}=n_{10}/(n_{10}+n_{01})={\hat {\psi }}/({\hat {\psi }}+1)$

Умножив обе части этого уравнения на $(n_{10}+n_{01})({\hat {\psi }}+1)$ и вычитание $n_{10}{\hat {\psi }}$ дает

$n_{10}={\hat {\psi }}(n_{10}+n_{01}-n_{10})$ и, следовательно,

${\hat {\psi }}=n_{10}/n_{01}$ .

Сейчас ${\hat {\pi }}$ это максимального правдоподобия оценка $\pi$ , и $\psi$ является монотонной функцией ${\hat {\pi }}$ . Отсюда следует, что ${\hat {\psi }}$ это условная оценка максимального правдоподобия ${\hat {\psi }}$ учитывая количество несогласных пар. Ротман и др. ^[19] дать альтернативный вывод ${\hat {\psi }}$ показав, что это частный случай оценки Мантеля-Хэнзеля отношения шансов внутри страты для стратифицированных таблиц 2x2. ^[19] Они также ссылаются на Бреслоу и Дэй. ^[18] как обеспечение вывода, приведенного здесь.

При нулевой гипотезе, что $\psi =1,\pi =1/(1+1)=0.5$ .

Следовательно, мы можем проверить нулевую гипотезу о том, что $\psi =1$ путем проверки нулевой гипотезы о том, что $\pi =0.5$ . Это делается с помощью теста Макнемара .

Существует несколько способов расчета доверительного интервала для $\pi$ . Позволять ${\hat {\pi }}_{LB}$ и ${\hat {\pi }}_{UB}$ обозначают нижнюю и верхнюю границу доверительного интервала для $\pi$ , соответственно. С $\psi =\pi /(1-\pi )$ , соответствующий доверительный интервал для $\psi$ является

$({\frac {{\hat {\pi }}_{LB}}{1-{\hat {\pi }}_{LB}}},{\frac {{\hat {\pi }}_{UB}}{1-{\hat {\pi }}_{UB}}})$ .

Сопоставленные таблицы 2х2 также можно анализировать с использованием условной логистической регрессии . ^[20] Преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет пользователям регрессировать статус «случай-контроль» по множеству факторов риска на основе сопоставленных данных «случай-контроль».

Пример

МакЭвой и др. ^[21] изучили использование сотовых телефонов водителями как фактор риска автомобильных аварий в перекрестном исследовании. ^[17] Все субъекты исследования попали в автомобильную аварию, потребовавшую госпитализации. Использование мобильного телефона каждым водителем во время аварии сравнивалось с использованием им/его мобильного телефона в контрольный интервал в то же время дня неделей ранее. Мы ожидаем, что использование сотового телефона человеком во время катастрофы будет коррелировать с его использованием неделей ранее. Сравнение использования во время аварии и интервалов контроля учитывает характеристики водителя, а также время суток и день недели. Данные можно свести в следующую таблицу.

Пары случай-контроль	Телефон использовался в контрольном интервале	Телефон не использовался в контрольный интервал
Телефон использовался в интервале сбоя	5	27
Телефон не использовался в интервале сбоя	6	288

Было 5 водителей, которые использовали свои телефоны в обоих интервалах, 27, которые использовали их во время аварии, но не в контрольном интервале, 6, которые использовали их в контрольном, но не в контрольном интервале, и 288, которые не использовали их ни в одном из интервалов. Отношение шансов аварии при использовании телефона по сравнению с вождением автомобиля, когда телефон не используется, составило

${\hat {\psi }}=27/6=4.5$ .

Проверка нулевой гипотезы о том, что ${\hat {\psi }}=1$ то же самое, что проверка нулевой гипотезы о том, что ${\hat {\pi }}=0.5$ дано 27 из 33 несогласованных пар, в которых водитель пользовался телефоном в момент аварии. Макнемара $\chi ^{2}=13.36$ . Эта статистика имеет одну степень свободы и дает значение P , равное 0,0003. Это позволяет отвергнуть гипотезу о том, что использование сотового телефона не влияет на риск автомобильных аварий ( $\psi =1$ ) с высоким уровнем статистической значимости.

Используя Уилсона метод , 95% доверительный интервал для $\pi$ составляет (0,6561, 0,9139). Следовательно, 95% доверительный интервал для $\psi$ является

$({\frac {0.6561}{1-0.6561}},{\frac {0.9139}{1-0.9139}})=(1.9,10.6)$

(МакЭвой и др. ^[21] проанализировали свои данные с помощью условной логистической регрессии и получили почти идентичные результатам, приведенным здесь. См. последнюю строку таблицы 3 в их статье.)

См. также

Ссылки

Цитаты

^ Шумилас М. (август 2010 г.). «Объяснение коэффициентов шансов» . Журнал Канадской академии детской и подростковой психиатрии . 19 (3): 227–229. ISSN 1719-8429 . ПМЦ 2938757 . ПМИД 20842279 .
^ LaMorte WW (13 мая 2013 г.), Исследования «случай-контроль» , Школа общественного здравоохранения Бостонского университета , заархивировано из оригинала 08 октября 2013 г. , получено 2 сентября 2013 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Саймон С. (июль – август 2001 г.). «Понимание соотношения шансов и относительного риска» . Журнал андрологии . 22 (4): 533–536. дои : 10.1002/j.1939-4640.2001.tb02212.x . ПМИД 11451349 . S2CID 6150799 .
^ Моррис Дж. А., Гарднер М. Дж. (май 1988 г.). «Расчет доверительных интервалов для относительных рисков (отношений шансов) и стандартизированных отношений и ставок» . Британский медицинский журнал (под ред. Клинических исследований) . 296 (6632): 1313–6. дои : 10.1136/bmj.296.6632.1313 . ПМЦ 2545775 . ПМИД 3133061 .
^ Виера Эй Джей (июль 2008 г.). «Отношения шансов и коэффициенты риска: в чем разница и почему это важно?». Южный медицинский журнал . 101 (7): 730–4. дои : 10.1097/SMJ.0b013e31817a7ee4 . ПМИД 18580722 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Чжан Дж, Ю К.Ф. (ноябрь 1998 г.). «Каков относительный риск? Метод коррекции отношения шансов в когортных исследованиях распространенных результатов». ДЖАМА . 280 (19): 1690–1. дои : 10.1001/jama.280.19.1690 . ПМИД 9832001 . S2CID 30509187 .
^ Роббинс А.С., Чао С.Ю., вице-президент Фонсека (октябрь 2002 г.). «Каков относительный риск? Метод прямой оценки соотношения рисков в когортных исследованиях распространенных результатов». Анналы эпидемиологии . 12 (7): 452–4. дои : 10.1016/S1047-2797(01)00278-2 . ПМИД 12377421 .
^ Нурминен М. (август 1995 г.). «Использовать или не использовать отношение шансов в эпидемиологическом анализе?». Европейский журнал эпидемиологии . 11 (4): 365–71. дои : 10.1007/BF01721219 . ПМИД 8549701 . S2CID 11609059 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кинг Джи, Цзэн Л (30 мая 2002 г.). «Оценка уровней риска и частоты, соотношений и различий в исследованиях случай-контроль» (PDF) . Статистика в медицине . 21 (10): 1409–1427. дои : 10.1002/сим.1032 . ISSN 0277-6715 . ПМИД 12185893 . S2CID 11387977 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Тэгер Д., Сунь Ю., Стрейф К. (10 августа 1998 г.). «Об использовании, неправильном использовании и интерпретации отношений шансов» .
^ Перейти обратно: ^а ^б А'Корт С., Стивенс Р., Хенеган С. (март 2012 г.). «Вопреки всему? Улучшение понимания отчетности о рисках» . Британский журнал общей практики . 62 (596): е220-3. дои : 10.3399/bjgp12X630223 . ПМК 3289830 . ПМИД 22429441 .
^ Нейстен Т., Ролстад Т., Фельдман С.Р., Стерн Р.С. (январь 2005 г.). «Члены национального фонда псориаза: более обширное заболевание и лучшая информированность о вариантах лечения». Архив дерматологии . 141 (1): 19–26. дои : 10.1001/archderm.141.1.19 . ПМИД 15655138 .
^ Холкомб В. (2001). «Странная мера риска: использование и неправильное использование отношения шансов». Акушерство и гинекология . 98 (4): 685–688. дои : 10.1016/S0029-7844(01)01488-0 . ПМИД 11576589 . S2CID 44782438 .
^ Тейлор Х.Г. (январь 1975 г.). «Социальное восприятие умственно отсталых» . Журнал клинической психологии . 31 (1): 100–2. дои : 10.1136/bmj.316.7136.989 . ПМЦ 1112884 . ПМИД 9550961 .
^ Комментарий к противоречиям и дебатам, 4 серии статей: Сомнительная полезность относительного риска в клинических исследованиях. (2022/02//). Журнал клинической эпидемиологии, 142, 268-270. дои: https://doi.org/10.1016/j.jclinepi.2021.09.016
^ Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология . Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-7817-5564-1 . ^{[ нужна страница ]}
^ Перейти обратно: ^а ^б Челентано Д.Д., Шкло М., Гордис Л. (2019). Гордис Эпидемиология, шестое издание . Филадельфия, Пенсильвания: Эльзевир. п. 149-177.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бреслоу, штат Невада, Дэй, штат Нью-Йорк (1980). Статистические методы в исследовании рака: Том. 1 – Анализ исследований «случай-контроль» . Лион, Франция: Научные публикации МАИР. п. 162-189.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология, третье издание . Филадельфия, Пенсильвания: Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. п. 287 288.
^ Бреслоу Н.Э., Дэй Н.Э., Халворсен К.Т., Прентис Р.Л., Сабай С. (1978). «Оценка множественных функций относительного риска в сопоставленных исследованиях случай-контроль» . Am J Epidemiol . 108 (4): 299–307. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a112623 . ПМИД 727199 .
^ Перейти обратно: ^а ^б МакЭвой С.П., Стивенсон М.Р., Маккартт А.Т., Вудворд М., Хауорт С., Паламара П., Черкарелли Р. (2005). «Роль мобильных телефонов в автомобильных авариях, приводящих к обращению в больницу: перекрестное исследование» . БМЖ . 331 (7514): 428. doi : 10.1136/bmj.38537.397512.55 . ПМК 1188107 . ПМИД 16012176 .

Источники

Эдвардс А.В. (1963). «Мера ассоциации в таблице 2 × 2». Журнал Королевского статистического общества . А (Общий). 126 (1): 109–114. дои : 10.2307/2982448 . JSTOR 2982448 .

Внешние ссылки

[1] Шумилас М. (август 2010 г.). «Объяснение коэффициентов шансов» . Журнал Канадской академии детской и подростковой психиатрии . 19 (3): 227–229. ISSN 1719-8429 . ПМЦ 2938757 . ПМИД 20842279 .

[BUCaseControl-2] LaMorte WW (13 мая 2013 г.), Исследования «случай-контроль» , Школа общественного здравоохранения Бостонского университета , заархивировано из оригинала 08 октября 2013 г. , получено 2 сентября 2013 г.

[Simon_533–536-3] Перейти обратно: ^а ^б Саймон С. (июль – август 2001 г.). «Понимание соотношения шансов и относительного риска» . Журнал андрологии . 22 (4): 533–536. дои : 10.1002/j.1939-4640.2001.tb02212.x . ПМИД 11451349 . S2CID 6150799 .

[pmid3133061-4] Моррис Дж. А., Гарднер М. Дж. (май 1988 г.). «Расчет доверительных интервалов для относительных рисков (отношений шансов) и стандартизированных отношений и ставок» . Британский медицинский журнал (под ред. Клинических исследований) . 296 (6632): 1313–6. дои : 10.1136/bmj.296.6632.1313 . ПМЦ 2545775 . ПМИД 3133061 .

[pmid18580722-5] Виера Эй Джей (июль 2008 г.). «Отношения шансов и коэффициенты риска: в чем разница и почему это важно?». Южный медицинский журнал . 101 (7): 730–4. дои : 10.1097/SMJ.0b013e31817a7ee4 . ПМИД 18580722 .

[pmid9832001-6] Перейти обратно: ^а ^б Чжан Дж, Ю К.Ф. (ноябрь 1998 г.). «Каков относительный риск? Метод коррекции отношения шансов в когортных исследованиях распространенных результатов». ДЖАМА . 280 (19): 1690–1. дои : 10.1001/jama.280.19.1690 . ПМИД 9832001 . S2CID 30509187 .

[pmid12377421-7] Роббинс А.С., Чао С.Ю., вице-президент Фонсека (октябрь 2002 г.). «Каков относительный риск? Метод прямой оценки соотношения рисков в когортных исследованиях распространенных результатов». Анналы эпидемиологии . 12 (7): 452–4. дои : 10.1016/S1047-2797(01)00278-2 . ПМИД 12377421 .

[8] Нурминен М. (август 1995 г.). «Использовать или не использовать отношение шансов в эпидемиологическом анализе?». Европейский журнал эпидемиологии . 11 (4): 365–71. дои : 10.1007/BF01721219 . ПМИД 8549701 . S2CID 11609059 .

[auto-9] Перейти обратно: ^а ^б Кинг Джи, Цзэн Л (30 мая 2002 г.). «Оценка уровней риска и частоты, соотношений и различий в исследованиях случай-контроль» (PDF) . Статистика в медицине . 21 (10): 1409–1427. дои : 10.1002/сим.1032 . ISSN 0277-6715 . ПМИД 12185893 . S2CID 11387977 .

[bmj.com-10] Перейти обратно: ^а ^б Тэгер Д., Сунь Ю., Стрейф К. (10 августа 1998 г.). «Об использовании, неправильном использовании и интерпретации отношений шансов» .

[ACourt-11] Перейти обратно: ^а ^б А'Корт С., Стивенс Р., Хенеган С. (март 2012 г.). «Вопреки всему? Улучшение понимания отчетности о рисках» . Британский журнал общей практики . 62 (596): е220-3. дои : 10.3399/bjgp12X630223 . ПМК 3289830 . ПМИД 22429441 .

[12] Нейстен Т., Ролстад Т., Фельдман С.Р., Стерн Р.С. (январь 2005 г.). «Члены национального фонда псориаза: более обширное заболевание и лучшая информированность о вариантах лечения». Архив дерматологии . 141 (1): 19–26. дои : 10.1001/archderm.141.1.19 . ПМИД 15655138 .

[13] Холкомб В. (2001). «Странная мера риска: использование и неправильное использование отношения шансов». Акушерство и гинекология . 98 (4): 685–688. дои : 10.1016/S0029-7844(01)01488-0 . ПМИД 11576589 . S2CID 44782438 .

[14] Тейлор Х.Г. (январь 1975 г.). «Социальное восприятие умственно отсталых» . Журнал клинической психологии . 31 (1): 100–2. дои : 10.1136/bmj.316.7136.989 . ПМЦ 1112884 . ПМИД 9550961 .

[15] Комментарий к противоречиям и дебатам, 4 серии статей: Сомнительная полезность относительного риска в клинических исследованиях. (2022/02//). Журнал клинической эпидемиологии, 142, 268-270. дои: https://doi.org/10.1016/j.jclinepi.2021.09.016

[16] Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология . Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-7817-5564-1 . ^{[ нужна страница ]}

[Gordis-17] Перейти обратно: ^а ^б Челентано Д.Д., Шкло М., Гордис Л. (2019). Гордис Эпидемиология, шестое издание . Филадельфия, Пенсильвания: Эльзевир. п. 149-177.

[Breslow2-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бреслоу, штат Невада, Дэй, штат Нью-Йорк (1980). Статистические методы в исследовании рака: Том. 1 – Анализ исследований «случай-контроль» . Лион, Франция: Научные публикации МАИР. п. 162-189.

[Rothman-19] Перейти обратно: ^а ^б Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология, третье издание . Филадельфия, Пенсильвания: Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. п. 287 288.

[pmid727199-20] Бреслоу Н.Э., Дэй Н.Э., Халворсен К.Т., Прентис Р.Л., Сабай С. (1978). «Оценка множественных функций относительного риска в сопоставленных исследованиях случай-контроль» . Am J Epidemiol . 108 (4): 299–307. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a112623 . ПМИД 727199 .

[McEvoy-21] Перейти обратно: ^а ^б МакЭвой С.П., Стивенсон М.Р., Маккартт А.Т., Вудворд М., Хауорт С., Паламара П., Черкарелли Р. (2005). «Роль мобильных телефонов в автомобильных авариях, приводящих к обращению в больницу: перекрестное исследование» . БМЖ . 331 (7514): 428. doi : 10.1136/bmj.38537.397512.55 . ПМК 1188107 . ПМИД 16012176 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]