Метод наивысших средних значений

Методы наибольшего среднего , делителя или округления ^{[ 1 ]} представляют собой семейство алгоритмов распределения , целью которых является справедливое разделение законодательного органа между несколькими группами, такими как политические партии или штаты . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} В более общем смысле, методы делителей можно использовать для округления долей общей суммы, например процентных пунктов (сумма которых должна составлять 100). ^{[ 2 ]}

Эти методы направлены на равное отношение к избирателям, гарантируя, что законодатели представляют равное количество избирателей , гарантируя, что каждая партия имеет одинаковое соотношение мест к голосам (или делитель ). ^{[ 3 ]}^: 30 Такие методы делят количество голосов на количество голосов на одно место, а затем округляют общую сумму, чтобы получить окончательное распределение. При этом метод приблизительно поддерживает пропорциональное представительство , так что партия, набравшая, например, вдвое больше голосов, чем другая, должна получить в два раза больше мест. ^{[ 3 ]}^: 30

обычно предпочитают методы делителей Теоретики социального выбора методам наибольшего остатка , поскольку они дают более пропорциональные результаты по большинству показателей и менее подвержены парадоксам распределения . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} В частности, методы делителей удовлетворяют соотношения голосов монотонности и участию , т. е. голосование за партию никогда не может привести к потере ею мест, в отличие от методов наибольшего остатка ; кроме того, они не чувствительны к эффектам спойлера . ^{[ 5 ]}

История

Методы делителей были впервые изобретены Томасом Джефферсоном, чтобы соответствовать конституционному требованию, согласно которому штаты должны иметь не более одного представителя на 30 000 человек. Его решение заключалось в том, чтобы разделить население каждого штата на 30 000 человек и затем округлить в меньшую сторону. ^{[ 6 ]}^: 20

Распределение станет основной темой дебатов в Конгрессе, особенно после обнаружения патологий во многих на первый взгляд разумных правилах округления. ^{[ 6 ]}^: 20 Подобные дебаты возникнут в Европе после принятия пропорционального представительства , как правило, в результате попыток крупных партий ввести пороговые значения и другие барьеры для входа для мелких партий. ^{[ 7 ]} Такие распределения часто имеют существенные последствия, как, например, в перераспределении 1870 года , когда Конгресс использовал специальное распределение в пользу республиканских штатов. ^{[ 8 ]} Если бы общее количество голосов выборщиков каждого штата было точно равно его праву или если бы Конгресс использовал метод Вебстера или Гамильтона (как это было с 1840 года), выборы 1876 года достались бы Тилдену , а не Хейсу . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 6 ]}^{: 3, 37}

Определения

Два названия этих методов — «высшие средние значения» и «делители» — отражают два разных подхода к ним и два независимых изобретения. Однако обе процедуры эквивалентны и дают один и тот же ответ. ^{[ 10 ]}

Методы делителей основаны на округления правилах , определенных с использованием последовательности указателей $post(k)$ , где $k \leq post(k) \leq k +1$ . Каждый указатель отмечает границу между натуральными числами, причем числа округляются в меньшую сторону тогда и только тогда, когда они меньше, чем указатель. ^{[ 11 ]}

Процедура делителя

Процедура делителя распределяет места путем поиска делителя или избирательной квоты . Этот делитель можно рассматривать как количество голосов, необходимое партии для получения одного дополнительного места в законодательном органе, идеальное население избирательного округа или количество избирателей, представленных каждым законодателем. ^{[ 12 ]}

Если бы каждый законодатель представлял равное количество избирателей, количество мест для каждого штата можно было бы найти, разделив население на делитель. ^{[ 12 ]} Однако распределение мест должно быть целым числом, поэтому, чтобы найти распределение мест для данного штата, мы должны округлить (используя последовательность указателей) после деления. Таким образом, распределение каждой партии определяется следующим образом: ^{[ 12 ]}

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Обычно делитель изначально устанавливается равным квоте Hare . Однако в результате этой процедуры может быть выделено слишком много или слишком мало мест. В этом случае пропорции для каждого штата не будут составлять общий размер законодательного органа. Допустимый делитель можно найти методом проб и ошибок . ^{[ 13 ]}

Процедура наибольшего среднего значения

При использовании алгоритма наивысшего среднего значения каждая партия начинается с 0 мест. Затем на каждой итерации мы выделяем место партии с наибольшим средним числом голосов, то есть партии с наибольшим количеством голосов на одно место . Этот метод действует до тех пор, пока не будут распределены все места. ^{[ 12 ]}

Однако неясно, лучше ли смотреть на среднее количество голосов до распределения места, каким оно будет после распределения места, или нам следует пойти на компромисс с поправкой на преемственность . Каждый из этих подходов дает немного разные пропорции. ^{[ 12 ]} В общем, мы можем определить средние значения, используя последовательность указателей:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

При использовании процедуры наибольшего среднего значения каждая партия начинается с 0 мест. Затем на каждой итерации мы выделяем место партии с наибольшим средним числом голосов, то есть партии с наибольшим количеством голосов на одно место . Этот метод действует до тех пор, пока не будут распределены все места. ^{[ 12 ]}

Конкретные методы

Хотя все методы делителей используют одну и ту же общую процедуру, они различаются выбором последовательности указателей и, следовательно, правилом округления. Обратите внимание, что для методов, в которых первый указатель равен нулю, каждая партия, имеющая хотя бы один голос, получит место до того, как какая-либо партия получит второе место; на практике это обычно означает, что каждая партия должна получить хотя бы одно место, если только она не дисквалифицирована по какому-либо избирательному порогу . ^{[ 14 ]}

Формулы делителей
Метод	Указатели	Округление мест	Прибл. первые ценности
Адамс	$к$	Вверх	$0.00 1.00 2.00 3.00$
Дин	$2÷( .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ k + 1 ⁄ k +1 )$	Гармонический	$0.00 1.33 2.40 3.43$
Хантингтон-Хилл	$\sqrt к (к + 1)$	Геометрический	$0.00 1.41 2.45 3.46$
Стационарный (например, $r = 1 ⁄ 3$ )	$к + р$	Взвешенный	$0.33 1.33 2.33 3.33$
Вебстер/Сент-Лаге	$к + 1 ⁄ 2$	Арифметика	$0.50 1.50 2.50 3.50$
Мощность означает (например, $р = 2$ )	$п \sqrt (к п + (к +1) п)/2$	Мощность означает	$0.71 1.58 2.55 3.54$
Джефферсон/Д'Ондт	$к + 1$	Вниз	$1.00 2.00 3.00 4.00$

Метод Джефферсона (Д'Ондта)

Томас Джефферсон предложил первый метод делителей в 1792 году. ^{[ 12 ]} Он назначает представителя от штата, который будет наиболее недопредставлен в конце раунда. ^{[ 12 ]} По сей день это остается наиболее распространенным методом пропорционального представительства . ^{[ 12 ]}

Метод Джефферсона использует последовательность $\operatorname {post} (k)=k+1$ , т.е. (1, 2, 3, ...), ^{[ 15 ]} это означает, что он всегда будет округлять партийную долю в меньшую сторону. ^{[ 12 ]}

Распределение никогда не опускается ниже нижней границы идеальной структуры и сводит к минимуму чрезмерное представительство в законодательном органе в худшем случае. ^{[ 12 ]} Однако метод Джефферсона плохо работает, если судить по большинству показателей пропорциональности. ^{[ 16 ]} Это правило обычно дает крупным партиям чрезмерное количество мест, причем их доля мест обычно превышает идеальную долю, округленную в большую сторону. ^{[ 6 ]}^: 81

Эта патология привела к широко распространенному насмешкам над методом Джефферсона, когда стало ясно, что он «округлит» распределение Нью-Йорка с 40,5 до 42, при этом сенатор Махлон Дикерсон заявил, что дополнительное место должно исходить от « призраков ушедших представителей ». ^{[ 6 ]}^: 34

Метод Адамса (Кембридж)

Метод Адамса был придуман Джоном Куинси Адамсом после того, как он заметил, что метод Джефферсона выделяет слишком мало мест меньшим штатам. ^{[ 17 ]} Его можно охарактеризовать как обратную методу Джефферсона; он предоставляет место партии, набравшей наибольшее количество голосов на одно место, прежде чем будет добавлено новое место. Функция делителя — $post(k) = k$ , что эквивалентно всегдаму округлению в большую сторону. ^{[ 16 ]}

Распределение по Адамсу никогда не превышает верхнего предела идеальной структуры и сводит к минимуму недопредставленность в худшем случае. ^{[ 12 ]} Однако нарушения нижней квоты мест являются обычным явлением. ^{[ 18 ]} Как и Джефферсон, метод Адамса плохо работает по большинству показателей пропорциональности. ^{[ 16 ]}

Метод Адамса был предложен как часть Кембриджского компромисса по распределению мест в Европейском парламенте между государствами-членами с целью соблюдения дегрессивной пропорциональности . ^{[ 19 ]}

Метод Вебстера (Сент-Лаге).

Метод Дэниела Вебстера использует последовательность столбов забора $post(k) = k +.5$ (т.е. 0,5, 1,5, 2,5); это соответствует стандартному правилу округления . Аналогично, вместо этого для расчета средних значений можно использовать нечетные целые числа (1, 3, 5…). ^{[ 12 ]}^{[ 20 ]}

Метод Вебстера обеспечивает более пропорциональное распределение, чем метод Д'Ондта, почти по каждому показателю искажения фактов. ^{[ 21 ]} Таким образом, политологи и математики обычно предпочитают его Д'Ондту, по крайней мере, в ситуациях, когда манипулирование затруднено или маловероятно (например, в больших парламентах). ^{[ 22 ]} Он также примечателен тем, что сводит к минимуму предвзятость мест даже при работе с партиями, которые получают очень небольшое количество мест. ^{[ 23 ]} Метод Вебстера теоретически может нарушить правило идеальной доли , хотя это крайне редко даже для парламентов умеренного размера; никогда не наблюдалось нарушения квоты, установленной Конгрессом США . ^{[ 22 ]}

В небольших округах, где нет порога , партии могут манипулировать Вебстером, разделившись на множество списков, каждый из которых получает полное место с , меньшим, чем квота Хэра количеством голосов . Эту проблему часто решают путем изменения первого делителя, чтобы он был немного больше (часто значение 0,7 или 1), что создает неявный порог . ^{[ 24 ]}

Метод Хилла (Хантингтона – Хилла).

В методе Хантингтона-Хилла последовательность указателей имеет вид $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , среднее геометрическое соседних чисел. Концептуально этот метод округляет до целого числа, имеющего наименьшую относительную (процентную) разницу . Например, разница между 2,47 и 3 составляет около 19 %, а разница с 2 — около 21 %, поэтому 2,47 округляется в большую сторону. Этот метод используется для распределения мест в Палате представителей США между штатами. ^{[ 12 ]}

Метод Хилла имеет тенденцию давать результаты, очень похожие на метод Вебстера; Когда эти два метода впервые использовались для распределения в Конгрессе , они различались только тем, отводили ли они одно место Мичигану или Арканзасу . ^{[ 6 ]}^: 58

Сравнение свойств

Распределение нулевых мест

Методы Хантингтона-Хилла, Дина и Адамса имеют значение 0 для первого столба забора, что дает среднее значение ∞. Таким образом, без порога все партии, получившие хотя бы один голос, также получат хотя бы одно место. ^{[ 12 ]} Это свойство может быть желательным (например, при распределении мест по штатам ) или нежелательным, и в этом случае первый делитель может быть скорректирован для создания естественного порога. ^{[ 25 ]}

Предвзятость

Существует множество показателей смещения мест . Хотя метод Вебстера иногда называют «исключительно» беспристрастным, ^{[ 22 ]} это свойство уникальности основано на техническом определении предвзятости как ожидаемой разницы между количеством мест в штате и его идеальной долей. Другими словами, метод называется беспристрастным, если количество мест, которое получает штат, в среднем на многих выборах равно его идеальной доле. ^{[ 22 ]}

По этому определению метод Вебстера является наименее смещенным методом распределения. ^{[ 23 ]} в то время как Хантингтон-Хилл демонстрирует умеренный уклон в сторону более мелких штатов. ^{[ 22 ]} Однако другие исследователи отметили, что несколько разные определения предвзятости, обычно основанные на процентных ошибках , дают противоположный результат (метод Хилла является несмещенным, а метод Вебстера слегка смещен в сторону крупных состояний). ^{[ 23 ]}^{[ 26 ]}

На практике разница между этими определениями невелика, когда речь идет о партиях или государствах, имеющих более одного места. ^{[ 23 ]} Таким образом, как метод Хантингтона-Хилла, так и метод Вебстера можно считать несмещенными или малосмещенными методами (в отличие от методов Джефферсона или Адамса). ^{[ 23 ]}^{[ 26 ]} Конгрессу 1929 года В отчете Национальной академии наук был рекомендован метод Хилла: ^{[ 27 ]} в то время как Верховный суд постановил, что выбор является вопросом мнения. ^{[ 26 ]}

Сравнение и примеры

Пример: Джефферсон

Следующий пример показывает, как метод Джефферсона может существенно отличаться от менее предвзятых методов, таких как метод Вебстера. На этих выборах крупнейшая партия набирает 46% голосов, но получает 52,5% мест, чего достаточно, чтобы сразу получить большинство против коалиции всех других партий (которые вместе набирают 54% голосов). Более того, она делает это с нарушением квоты: крупнейшая партия имеет право только на 9,7 мест, но все равно получает 11. Самый большой округ Конгресса почти в два раза превышает размер самого маленького округа. Метод Вебстера не демонстрирует ни одного из этих свойств с максимальной ошибкой 22,6%.


метод Джефферсона							метод Вебстера
Вечеринка	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Фиолетовый	Общий	Вечеринка	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Фиолетовый	Общий
Голоса	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	100,000	Голоса	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	100,000
Сиденья	11	6	2	1	1	21	Сиденья	9	5	3	2	2	21
Идеально	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21	Идеально	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21
Голоса/Место	4182	4183	6105	8350	8340	4762	Голоса/Место	5111	5020	4070	4175	4170	4762
% Ошибка	13.0%	13.0%	-24.8%	-56.2%	-56.0%	(100.%)	(% Диапазон)	-7.1%	-5.3%	15.7%	13.2%	13.3%	(22.6%)
Сиденья	Средние значения					Указатели	Сиденья	Средние значения					Указатели
1	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	1.00	1	92,001	50,201	24,420	16,700	16,680	0.50
2	23,000	12,550	6,105	4,175	4,170	2.00	2	30,667	16,734	8,140	5,567	5,560	1.50
3	15,333	8,367	4,070	2,783	2,780	3.00	3	18,400	10,040	4,884	3,340	3,336	2.50
4	11,500	6,275	3,053	2,088	2,085	4.00	4	13,143	7,172	3,489	2,386	2,383	3.50
5	9,200	5,020	2,442	1,670	1,668	5.00	5	10,222	5,578	2,713	1,856	1,853	4.50
6	7,667	4,183	2,035	1,392	1,390	6.00	6	8,364	4,564	2,220	1,518	1,516	5.50
7	6,571	3,586	1,744	1,193	1,191	7.00	7	7,077	3,862	1,878	1,285	1,283	6.50
8	5,750	3,138	1,526	1,044	1,043	8.00	8	6,133	3,347	1,628	1,113	1,112	7.50
9	5,111	2,789	1,357	928	927	9.00	9	5,412	2,953	1,436	982	981	8.50
10	4,600	2,510	1,221	835	834	10.00	10	4,842	2,642	1,285	879	878	9.50
11	4,182	2,282	1,110	759	758	11.00	11	4,381	2,391	1,163	795	794	10.50

Пример: Адамс

В следующем примере показан случай, когда метод Адамса не дает большинства партии, набравшей 55% голосов, что опять же является нарушением ее права на квоту.


Метод Адамса							Метод Вебстера
Вечеринка	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Фиолетовый	Общий	Вечеринка	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Фиолетовый	Общий
Голоса	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	100,000	Голоса	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	100,000
Сиденья	10	4	3	2	2	21	Сиденья	11	4	4	1	1	21
Идеально	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21	Идеально	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21
Голоса/Место	5500	4323	5533	2780	2775	4762	Голоса/Место	4583	4323	5533	5560	5550	4762
% Ошибка	-14.4%	9.7%	-15.0%	53.8%	54.0%	(99.4%)	(% Диапазон)	3.8%	9.7%	-15.0%	-15.5%	-15.3%	(28.6%)
Сиденья	Средние значения					Указатели	Сиденья	Средние значения					Указатели
1	∞	∞	∞	∞	∞	0.00	1	110,001	34,580	33,200	11,120	11,100	0.50
2	55,001	17,290	16,600	5,560	5,550	1.00	2	36,667	11,527	11,067	3,707	3,700	1.50
3	27,500	8,645	8,300	2,780	2,775	2.00	3	22,000	6,916	6,640	2,224	2,220	2.50
4	18,334	5,763	5,533	1,853	1,850	3.00	4	15,714	4,940	4,743	1,589	1,586	3.50
5	13,750	4,323	4,150	1,390	1,388	4.00	5	12,222	3,842	3,689	1,236	1,233	4.50
6	11,000	3,458	3,320	1,112	1,110	5.00	6	10,000	3,144	3,018	1,011	1,009	5.50
7	9,167	2,882	2,767	927	925	6.00	7	8,462	2,660	2,554	855	854	6.50
8	7,857	2,470	2,371	794	793	7.00	8	7,333	2,305	2,213	741	740	7.50
9	6,875	2,161	2,075	695	694	8.00	9	6,471	2,034	1,953	654	653	8.50
10	6,111	1,921	1,844	618	617	9.00	10	5,790	1,820	1,747	585	584	9.50
11	5,500	1,729	1,660	556	555	10.00	11	5,238	1,647	1,581	530	529	10.50
Сиденья	10	4	3	2	2		Сиденья	11	4	4	1	1

Пример: Все системы

Ниже показан проработанный пример для всех систем голосования. Обратите внимание, как методы Хантингтона-Хилла и Адамса дают каждой партии одно место, прежде чем распределять еще одно, в отличие от методов Вебстера или Джефферсона.


	метод Джефферсона						Метод Вебстера						Метод Хантингтона – Хилла						метод Адамса
вечеринка	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Синий	Розовый	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Синий	Розовый	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Синий	Розовый	Желтый	Белый	Красный	Зеленый	Синий	Розовый
голоса	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100
сиденья	5	2	2	1	0	0	4	2	2	1	1	0	4	2	1	1	1	1	3	2	2	1	1	1
голоса/место	9,400	8,000	7,950	12,000	∞	∞	11,750	8,000	7,950	12,000	6,000	∞	11,750	8,000	15,900	12,000	6,000	3,100	15,667	8,000	7,950	12,000	6,000	3,100
сиденье	распределение мест						распределение мест						распределение мест						распределение мест
1	47,000						47,000						∞						∞
2	23,500							16,000						∞						∞
3		16,000							15,900						∞						∞
4			15,900				15,667									∞						∞
5	15,667									12,000							∞						∞
6				12,000			9,400											∞						∞
7	11,750						6,714						33,234						47,000
8	9,400										6,000		19,187						23,500
9		8,000						5,333					13,567							16,000
10			7,950						5,300					11,314							15,900

Характеристики

Монотонность

Математики обычно предпочитают методы делителей методам наибольшего остатка. ^{[ 28 ]} потому что они менее подвержены парадоксам распределения . ^{[ 29 ]} В частности, методы делителей удовлетворяют монотонности населения , т.е. голосование за партию никогда не может привести к потере ею мест. ^{[ 29 ]} Такие демографические парадоксы возникают за счет увеличения избирательной квоты , что может привести к хаотичной реакции остальных штатов. ^{[ 6 ]}^{: Табл.А7.2} Методы делителей также удовлетворяют монотонности ресурсов или домов , которая гласит, что увеличение количества мест в законодательном органе не должно приводить к потере штата. ^{[ 29 ]}^{[ 6 ]}^{: Кор.4.3.1}

Неравенство Мин-Макс

Каждый метод делителей можно определить с помощью неравенства мин-макс. Если скобки обозначают индексацию массива, выделение допустимо тогда и только тогда, когда: ^{[ 12 ]}^: 78–81

$Макс .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ голосов[партия] / пост(мест[партия]) ⁠ ≤ мин ⁠ голоса[партия] / пост(места[партия]+1) ⁠$

Другими словами, невозможно снизить наибольшее среднее количество голосов путем передачи места от одной партии к другой. Каждое число в этом диапазоне является возможным делителем. Если неравенство строгое, решение единственное; в противном случае на финальном этапе распределения будет точно равное количество голосов. ^{[ 12 ]}^: 83

Семейства методов

Описанные выше методы делителей можно обобщить на семейства.

Обобщенное среднее

В общем, можно построить метод распределения из любой обобщенной средней функции, определив функцию указателя как $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^{[ 12 ]}

Стационарная семья

Метод делителей называется стационарным. ^{[ 30 ]}^: 68 если для какого-то действительного числа $r\in [0,1]$ , его указатели имеют вид $d(k)=k+r$ . Методы Адамса, Вебстера и Джефферсона стационарны, а методы Дина и Хантингтона-Хилла — нет. Стационарный метод соответствует округлению чисел в большую сторону, если они превышают арифметическое k $k$ и $средневзвешенное +1$ . ^{[ 12 ]} Меньшие значения $r$ более дружественны к меньшим партиям. ^{[ 23 ]}

На выборах в Дании распределяются равные места на уровне провинций с использованием избирательных округов. Он делит количество голосов, полученных партией в многомандатном округе, на 0,33, 1,33, 2,33, 3,33 и т. д. Последовательность столбов задается формулой $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ ; это направлено на распределение мест более равномерно, а не точно пропорционально. ^{[ 31 ]}

Власть означает семью

Семейство степенных средних методов делителей включает методы Адамса, Хантингтона-Хилла, Вебстера, Дина и Джефферсона (либо непосредственно, либо в виде пределов). Для данной константы $p$ метод среднего степенного значения имеет функцию указателя $post(k) = п \sqrt k п + (к +1) п$ . Метод Хантингтона-Хилла соответствует пределу, когда $p$ стремится к 0, тогда как Адамс и Джефферсон представляют пределы, когда $p$ стремится к отрицательной или положительной бесконечности. ^{[ 12 ]}

Семейство также включает менее распространенный метод Дина для $p =-1$ , который соответствует среднему гармоническому значению . Метод Дина эквивалентен округлению до ближайшего среднего значения : в каждом штате количество мест округляется таким образом, чтобы минимизировать разницу между средним размером округа и идеальным размером округа. Например: ^{[ 32 ]}^: 29

Репрезентативное население Массачусетса в 1830 году составляло 610 408 человек: если бы он получил 12 мест, его средний размер округа составил бы 50 867 человек; если бы он получил 13, это было бы 46 954. Таким образом, если бы делитель составлял 47 700, как предлагал Полк, Массачусетс должен был бы получить 13 мест, потому что 46 954 ближе к 47 700, чем к 50 867.

Округление до среднего значения голосов с наименьшей относительной ошибкой снова дает метод Хантингтона-Хилла, потому что $| бревно(Икс ⁄ у) | = | бревно(у ⁄ Икс) |$ , т.е. относительные различия обратимы. Этот факт был центральным в использовании Эдвардом В. Хантингтоном относительных (вместо абсолютных) ошибок при измерении искажения фактов, а также в его защите метода Хантингтона-Хилла: ^{[ 33 ]} Хантингтон утверждал, что выбор метода распределения не должен зависеть от того, как перестраивается уравнение равного представительства, и только относительные ошибки (т.е. метод Хантингтона-Хилла) удовлетворяют этому свойству. ^{[ 32 ]}^: 53

Столарские означают семью

Точно так же среднее Столарского можно использовать для определения семейства методов делителей, которые минимизируют обобщенный индекс энтропии искажения. ^{[ 34 ]} В это семейство входят среднее логарифмическое , среднее геометрическое , среднее тождественное и среднее арифметическое . Метод Столарского можно оправдать как минимизацию этих показателей искажения, которые имеют большое значение при изучении теории информации . ^{[ 35 ]}

Модификации

Пороги

Во многих странах существует избирательный порог для представительства, при котором партии должны набрать определенную долю голосов, чтобы быть представленными; партии, набравшие меньше голосов, чем требуется для представительства, исключаются. ^{[ 24 ]} Другие страны изменяют первый делитель, чтобы ввести естественный порог ; при использовании метода Вебстера первый делитель часто устанавливается равным 0,7 или 1,0 (последнее называется полноразмерной модификацией ). ^{[ 24 ]}

Положение о сохранении большинства

Положение о сохранении большинства гарантирует, что любая партия, набравшая большинство голосов, получит как минимум половину мест в законодательном органе. ^{[ 24 ]} Без такого пункта партия, набравшая чуть больше половины голосов, может получить чуть меньше половины мест (если использовать метод, отличный от метода Д'Ондта). ^{[ 24 ]} Обычно это достигается путем добавления мест в законодательный орган до тех пор, пока не будет найдено распределение, сохраняющее большинство в парламенте. ^{[ 24 ]}

Метод делителя с ограничением квоты

Метод делителя с ограничением квоты — это метод распределения, при котором мы начинаем с присвоения каждому штату его нижней квоты мест. Затем мы добавляем места одно за другим к штату с самым высоким средним числом голосов на одно место, при условии, что добавление дополнительного места не приводит к превышению штатом своей верхней квоты. ^{[ 36 ]} Однако методы делителей с ограничением квоты нарушают критерий участия (также называемый монотонностью населения ) — партия может потерять место в результате получения большего количества голосов. ^{[ 37 ]}^{: Табл.А7.2}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы квотного распределения: разделите и ранжируйте» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 95–105, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_5 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы разоблачения: выборы в Европейский парламент 2014 г.» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 1–40, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_1 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 3 июля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Аргерсингер, Питер Х., изд. (2012), « Несправедливость и неравенство: политика распределения, 1870–1888» , Представительство и неравенство в Америке конца девятнадцатого века: политика распределения , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 8–41, doi : 10.1017/cbo9781139149402.002 , ISBN 978-1-139-14940-2 , получено 4 августа 2024 г. , Распределение не только определяло власть различных штатов в Конгрессе, но, поскольку оно также распределяло выборщиков, напрямую влияло на выборы президента. Действительно, своеобразное распределение мест 1872 года, принятое в нарушение действующего закона, определяющего метод распределения мест, было прямой причиной избрания Резерфорда Б. Хейса в 1876 году большинством голосов избирателей. Если бы был использован предыдущий метод, даже Избирательная комиссия не смогла бы разместить Хейса в Белом доме.
^ Колфилд, Майкл Дж. (2012). «Что если? Как методы распределения выбирают наших президентов» . Учитель математики . 106 (3): 178–183. doi : 10.5951/mathteacher.106.3.0178 . ISSN 0025-5769 .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Определение размера дома: распределение несоответствий» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 107–125, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_6 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Галлахер, Майкл (1991). «Пропорциональность, непропорциональность и избирательные системы» (PDF) . Электоральные исследования . 10 (1): 33–51. дои : 10.1016/0261-3794(91)90004-C . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Галлахер, Майкл (1992). «Сравнение избирательных систем с пропорциональным представительством: квоты, пороги, парадоксы и большинство» (PDF) . Британский журнал политической науки . 22 (4): 469–496. дои : 10.1017/S0007123400006499 . ISSN 0007-1234 . S2CID 153414497 .
^ «Распределение представителей в Конгрессе США - метод распределения Адамса | Математическая ассоциация Америки» . www.maa.org . Проверено 11 ноября 2020 г. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Ишимори, Тецуо (2010). «Новые методы распределения и их квотное свойство» . Письма JSIAM . 2 : 33–36. дои : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617 .
^ Распределение мест в Европейском парламенте между государствами-членами ЕС (PDF) (Отчет). Европейский Парламент. 2011.
^ Сент-Лаге, Андре. «Пропорциональное представительство и метод наименьших квадратов». Научные анналы Высшей нормальной школы. Полет. 27. 1910.
^ Пенниси, Алин (март 1998 г.). «Индексы диспропорции и устойчивость методов пропорционального распределения» . Электоральные исследования . 17 (1): 3–19. дои : 10.1016/S0261-3794(97)00052-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Балинский, МЛ; Янг, HP (январь 1980 г.). «Метод распределения Вебстера» . Труды Национальной академии наук . 77 (1): 1–4. Бибкод : 1980PNAS...77....1B . дои : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424 . ПМК 348194 . ПМИД 16592744 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Преимущество одних за счет других: предвзятость мест» , Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Отслеживание особенностей: пороги голосования и положения большинства» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 207–223, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_11 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Усечение диапазона мест: минимально-максимальные ограничения» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 225–245, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_12 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Эрнст, Лоуренс Р. (1994). «Методы распределения в Палате представителей и судебные разбирательства» . Наука управления . 40 (10): 1207–1227. дои : 10.1287/mnsc.40.10.1207 . ISSN 0025-1909 . JSTOR 2661618 .
^ Хантингтон, Эдвард В. (1929). «Отчет Национальной академии наук о перераспределении» . Наука . 69 (1792): 471–473. ISSN 0036-8075 .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы квотного распределения: разделите и ранжируйте» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 95–105, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_5 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «От действительных чисел к целым числам: функции округления и правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Cham: Springer International Publishing, стр. 59–70, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ «Парламентская избирательная система в Дании» . Архивировано из оригинала 28 августа 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Лауэрс, Люк; Ван Пуйенбрук, Том (2008). «Минимально непропорциональное представление: методы обобщенной энтропии и распределения среднего делителя Столарского» . Электронный журнал ССРН . дои : 10.2139/ssrn.1304628 . ISSN 1556-5068 . S2CID 124797897 .
^ Вада, Дзюнъитиро (01 мая 2012 г.). «Метод распределения делителей, основанный на функции социального благосостояния Колма – Аткинсона и обобщенной энтропии» . Математические социальные науки . 63 (3): 243–247. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002 . ISSN 0165-4896 .
^ Агнью, Роберт А. (апрель 2008 г.). «Оптимальное распределение Конгресса» . Американский математический ежемесячник . 115 (4): 297–303. дои : 10.1080/00029890.2008.11920530 . ISSN 0002-9890 . S2CID 14596741 .
^ Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .
^ Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[:422-1] Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:432-2] Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:02222-3] Jump up to: ^а ^б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[:122-4] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы квотного распределения: разделите и ранжируйте» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 95–105, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_5 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:522-5] Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:0222-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[7] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы разоблачения: выборы в Европейский парламент 2014 г.» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 1–40, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_1 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 3 июля 2024 г.

[:7-8] Jump up to: ^а ^б Аргерсингер, Питер Х., изд. (2012), « Несправедливость и неравенство: политика распределения, 1870–1888» , Представительство и неравенство в Америке конца девятнадцатого века: политика распределения , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 8–41, doi : 10.1017/cbo9781139149402.002 , ISBN 978-1-139-14940-2 , получено 4 августа 2024 г. , Распределение не только определяло власть различных штатов в Конгрессе, но, поскольку оно также распределяло выборщиков, напрямую влияло на выборы президента. Действительно, своеобразное распределение мест 1872 года, принятое в нарушение действующего закона, определяющего метод распределения мест, было прямой причиной избрания Резерфорда Б. Хейса в 1876 году большинством голосов избирателей. Если бы был использован предыдущий метод, даже Избирательная комиссия не смогла бы разместить Хейса в Белом доме.

[9] Колфилд, Майкл Дж. (2012). «Что если? Как методы распределения выбирают наших президентов» . Учитель математики . 106 (3): 178–183. doi : 10.5951/mathteacher.106.3.0178 . ISSN 0025-5769 .

[:423-10] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:433-11] Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:42-12] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[13] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Определение размера дома: распределение несоответствий» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 107–125, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_6 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:43-14] Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым числам: функции округления, правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707 -4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[gallagher2-15] Галлахер, Майкл (1991). «Пропорциональность, непропорциональность и избирательные системы» (PDF) . Электоральные исследования . 10 (1): 33–51. дои : 10.1016/0261-3794(91)90004-C . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.

[:03-16] Jump up to: ^а ^б ^с Галлахер, Майкл (1992). «Сравнение избирательных систем с пропорциональным представительством: квоты, пороги, парадоксы и большинство» (PDF) . Британский журнал политической науки . 22 (4): 469–496. дои : 10.1017/S0007123400006499 . ISSN 0007-1234 . S2CID 153414497 .

[17] «Распределение представителей в Конгрессе США - метод распределения Адамса | Математическая ассоциация Америки» . www.maa.org . Проверено 11 ноября 2020 г. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[18] Ишимори, Тецуо (2010). «Новые методы распределения и их квотное свойство» . Письма JSIAM . 2 : 33–36. дои : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617 .

[19] Распределение мест в Европейском парламенте между государствами-членами ЕС (PDF) (Отчет). Европейский Парламент. 2011.

[20] Сент-Лаге, Андре. «Пропорциональное представительство и метод наименьших квадратов». Научные анналы Высшей нормальной школы. Полет. 27. 1910.

[Aline2-21] Пенниси, Алин (март 1998 г.). «Индексы диспропорции и устойчивость методов пропорционального распределения» . Электоральные исследования . 17 (1): 3–19. дои : 10.1016/S0261-3794(97)00052-8 .

[:1-22] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Балинский, МЛ; Янг, HP (январь 1980 г.). «Метод распределения Вебстера» . Труды Национальной академии наук . 77 (1): 1–4. Бибкод : 1980PNAS...77....1B . дои : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424 . ПМК 348194 . ПМИД 16592744 .

[:4-23] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Преимущество одних за счет других: предвзятость мест» , Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:3-24] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Отслеживание особенностей: пороги голосования и положения большинства» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 207–223, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_11 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[25] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Усечение диапазона мест: минимально-максимальные ограничения» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 225–245, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_12 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:2-26] Jump up to: ^а ^б ^с Эрнст, Лоуренс Р. (1994). «Методы распределения в Палате представителей и судебные разбирательства» . Наука управления . 40 (10): 1207–1227. дои : 10.1287/mnsc.40.10.1207 . ISSN 0025-1909 . JSTOR 2661618 .

[27] Хантингтон, Эдвард В. (1929). «Отчет Национальной академии наук о перераспределении» . Наука . 69 (1792): 471–473. ISSN 0036-8075 .

[28] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы квотного распределения: разделите и ранжируйте» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 95–105, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_5 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:5-29] Jump up to: ^а ^б ^с Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 10 мая 2024 г.

[:0-30] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «От действительных чисел к целым числам: функции округления и правила округления» , Пропорциональное представление: методы пропорционального распределения и их приложения , Cham: Springer International Publishing, стр. 59–70, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[31] «Парламентская избирательная система в Дании» . Архивировано из оригинала 28 августа 2016 г.

[:042-32] Jump up to: ^а ^б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[33] Лауэрс, Люк; Ван Пуйенбрук, Том (2008). «Минимально непропорциональное представление: методы обобщенной энтропии и распределения среднего делителя Столарского» . Электронный журнал ССРН . дои : 10.2139/ssrn.1304628 . ISSN 1556-5068 . S2CID 124797897 .

[34] Вада, Дзюнъитиро (01 мая 2012 г.). «Метод распределения делителей, основанный на функции социального благосостояния Колма – Аткинсона и обобщенной энтропии» . Математические социальные науки . 63 (3): 243–247. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002 . ISSN 0165-4896 .

[35] Агнью, Роберт А. (апрель 2008 г.). «Оптимальное распределение Конгресса» . Американский математический ежемесячник . 115 (4): 297–303. дои : 10.1080/00029890.2008.11920530 . ISSN 0002-9890 . S2CID 14596741 .

[:6-36] Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[:0422-37] Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]