Суперпространство

Суперпространство — это координатное пространство теории, проявляющей суперсимметрию . В такой формулировке, наряду с обычными размерностями пространства x , y , z , ..., существуют также «антикоммутирующие» измерения, координаты которых обозначены числами Грассмана, а не действительными числами. Обычные размеры пространства соответствуют бозонным степеням свободы, антикоммутирующие — фермионным степеням свободы.

Слово «суперпространство» впервые было использовано Джоном Уилером в несвязанном смысле для описания конфигурационного пространства общей теории относительности ; например, это использование можно увидеть в его учебнике «Гравитация» 1973 года .

Неформальное обсуждение

Существует несколько похожих, но не эквивалентных определений суперпространства, которые использовались и продолжают использоваться в математической и физической литературе. Одним из таких вариантов использования является синоним суперпространства Минковского . В этом случае берется обычное пространство Минковского и расширяется его антикоммутирующими фермионными степенями свободы, которые считаются антикоммутирующими спинорами Вейля из алгебры Клиффорда, связанной с группой Лоренца . Эквивалентно, суперпространство Минковского можно понимать как фактор супералгебры Пуанкаре по модулю алгебры группы Лоренца. Типичное обозначение координат в таком пространстве: $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ верхняя линия указывает на то, что суперпространство Минковского является предполагаемым пространством.

Суперпространство также часто используется как синоним супервекторного пространства . Это обычное векторное пространство вместе с дополнительными координатами, взятыми из алгебры Грассмана , т.е. координатными направлениями, которые являются числами Грассмана . Существует несколько соглашений о построении супервекторного пространства; два из них описаны Роджерсом и ДеВитт.

Третье использование термина «суперпространство» — это синоним супермногообразия : суперсимметричного обобщения многообразия . Обратите внимание, что как суперпространства Минковского, так и супервекторные пространства можно рассматривать как частные случаи супермногообразий.

Четвертое, совершенно не связанное с этим значение, кратко использовалось в общей теории относительности ; более подробно это обсуждается внизу.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров. Первые несколько предполагают определение суперпространства как супервекторного пространства . Это обозначается как R ^{м | н} , Z ₂ - градуированное векторное пространство с R ^м как четное подпространство и R ^н как нечетное подпространство. То же определение применимо и к C. ^м|п .

В четырехмерных примерах суперпространство рассматривается как суперпространство Минковского . Хотя оно похоже на векторное пространство, оно имеет много важных отличий: во-первых, это аффинное пространство , не имеющее специальной точки, обозначающей начало координат. Далее, фермионные координаты считаются антикоммутирующими спинорами Вейля из алгебры Клиффорда , а не числами Грассмана . Разница здесь в том, что алгебра Клиффорда имеет значительно более богатую и тонкую структуру, чем числа Грассмана. Итак, числа Грассмана являются элементами внешней алгебры , а алгебра Клиффорда имеет изоморфизм внешней алгебре, но ее связь с ортогональной группой и спиновой группой , используемыми для построения спиновых представлений , придает ей глубокую геометрическую значимость. (Например, спиновые группы составляют нормальную часть изучения римановой геометрии . совершенно выходя за обычные рамки и проблемы физики.)

Тривиальные примеры

Наименьшее суперпространство — это точка, не содержащая ни бозонных, ни фермионных направлений. Другие тривиальные примеры включают n -мерную вещественную плоскость R ^н , которое представляет собой векторное пространство, простирающееся в n действительных бозонных направлениях и без фермионных направлений. Векторное пространство R ^0|н , которая является n -мерной вещественной алгеброй Грассмана . Пространство Р ^1|1 одного четного и одного нечетного направления известно как пространство двойственных чисел , введенное Уильямом Клиффордом в 1873 году.

Суперпространство суперсимметричной квантовой механики

Суперсимметричная квантовая механика с N суперзарядами часто формулируется в суперпространстве R ^{1|2 Н} , который содержит одно вещественное направление t, отождествленное со временем , и N комплексных направлений Грассмана, охватываемых Θ _i и Θ. ^* _i , где i 1 до N. работает от

Рассмотрим частный случай N = 1. Суперпространство R ^1|2 представляет собой трехмерное векторное пространство. Поэтому данную координату можно записать в виде тройки ( t , Θ, Θ ^* ). Координаты образуют супералгебру Ли , в которой степень градации t четная, а степень градации Θ и Θ ^* странно. Это означает, что скобка может быть определена между любыми двумя элементами этого векторного пространства и что эта скобка сводится к коммутатору по двум четным координатам, по одной четной и одной нечетной координате, в то время как она является антикоммутатором по двум нечетным координатам. Это суперпространство представляет собой абелеву супералгебру Ли, что означает, что все вышеупомянутые скобки обращаются в нуль.

$\left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0$

где $[a,b]$ является коммутатором a и b и $\{a,b\}$ является антикоммутатором a и b .

Можно определить функции из этого векторного пространства в себя, которые называются суперполями . Из приведенных выше алгебраических соотношений следует, что если мы разложим наше суперполе как степенной ряд по Θ и Θ ^* , то мы найдем члены только нулевого и первого порядков, поскольку Θ ² = Че ^*2 = 0. Следовательно, суперполя можно записать как произвольные функции от t, умноженные на члены нулевого и первого порядка в двух координатах Грассмана

$\Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)$

Суперполя, являющиеся представлениями суперсимметрии суперпространства , обобщают понятие тензоров , которые являются представлениями группы вращения бозонного пространства.

Затем можно определить производные в направлениях Грассмана, которые принимают член первого порядка в разложении суперполя до члена нулевого порядка и аннулируют член нулевого порядка. Можно выбрать такое соглашение о знаках, чтобы производные удовлетворяли антикоммутационным соотношениям

$\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1$

Эти производные могут быть собраны в суперзаряды.

$Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}$

чьи антикоммутаторы идентифицируют их как фермионные генераторы суперсимметрии алгебры

$\left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}$

где i, умноженная на производную по времени, — это оператор Гамильтона в квантовой механике . И Q , и сопряженное с ним антикоммутируют сами с собой. Изменение суперсимметрии с параметром суперсимметрии ε суперполя Φ определяется как

$\delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .$

Мы можем оценить это изменение, используя действие Q на суперполя

$\left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.$

Аналогичным образом можно определить ковариантные производные в суперпространстве.

$D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}$

которые антикоммутируют с суперзарядами и удовлетворяют алгебре суперсимметрии неправильного знака

$\left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}$.

Тот факт, что ковариантные производные антикоммутируют с суперзарядами, означает, что преобразование суперсимметрии ковариантной производной суперполя равно ковариантной производной того же преобразования суперсимметрии того же суперполя. Таким образом, обобщая ковариантную производную в бозонной геометрии, которая строит тензоры из тензоров, ковариантная производная суперпространства конструирует суперполя из суперполей.

Суперсимметричные расширения пространства Минковского.

См. Также: Пространство Супер Минковского.

N = 1 суперпространство Минковского

Пожалуй, наиболее изученным конкретным суперпространством в физике является $d=4,{\mathcal {N}}=1$ супер пространство Минковского $\mathbb {R} ^{4|4}$ или иногда написано $\mathbb {R} ^{1,3|4}$, который является прямой суммой четырех реальных бозонных измерений и четырех реальных измерений Грассмана (также известных как фермионные измерения или спиновые измерения ).

В суперсимметричных квантовых теориях поля интересуют суперпространства, которые доставляют представления супералгебры Ли, называемой алгеброй суперсимметрии . Бозонная часть алгебры суперсимметрии — это алгебра Пуанкаре , а фермионная часть построена с использованием спиноров с числовыми компонентами Грассмана.

По этой причине в физических приложениях рассматривается действие алгебры суперсимметрии на четыре фермионных направления $\mathbb {R} ^{4|4}$ такие, что они преобразуются как спиноры под алгеброй Пуанкаре. В четырех измерениях существуют три различных неприводимых 4-компонентных спинора. Существует спинор Майорана , левый спинор Вейля и правый спинор Вейля. Теорема CPT подразумевает, что в унитарной теории инвариантов Пуанкаре, которая представляет собой теорию, в которой S-матрица является унитарной матрицей и одни и те же генераторы Пуанкаре действуют на асимптотические входные состояния, как и на асимптотические выходные состояния, алгебра суперсимметрии должно содержать равное число левых и правых спиноров Вейля. Однако, поскольку каждый спинор Вейля имеет четыре компонента, это означает, что если он включает в себя какие-либо спиноры Вейля, он должен иметь 8 фермионных направлений. Говорят, что такая теория расширяет суперсимметрию , и такие модели привлекли много внимания. Например, суперсимметричные калибровочные теории с восемью суперзарядами и фундаментальной материей были решены Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном , см. калибровочную теорию Зайберга-Виттена . Однако в этом подразделе мы рассматриваем суперпространство с четырьмя фермионными компонентами, поэтому ни один спинор Вейля не соответствует теореме CPT.

Примечание . Существует множество соглашений о знаках , и это только одно из них.

Следовательно, четыре фермионных направления преобразуются в майорановский спинор. $\theta _{\alpha }$. Мы также можем сформировать сопряженный спинор

${\bar {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp }C$

где $C$ — матрица зарядового сопряжения, которая определяется тем свойством, что при сопряжении гамма-матрицы гамма-матрица инвертируется и транспонируется. Первое равенство – это определение ${\bar {\theta }}$ а второй является следствием спинорного условия Майораны $\theta ^{*}=i\gamma _{0}C\theta$. Сопряженный спинор играет роль, аналогичную роли $\theta ^{*}$ в суперпространстве $\mathbb {R} ^{1|2}$, за исключением того, что условие Майораны, как показано в приведенном выше уравнении, предполагает, что $\theta$ и $\theta ^{*}$ не являются независимыми.

В частности, мы можем построить суперзаряды

$Q=-{\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \partial _{\mu }$

которые удовлетворяют алгебре суперсимметрии

$\left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C$

где $P=i\partial _{\mu }$ – оператор 4- импульса . Опять же, ковариантная производная определяется как суперзаряд, но с отрицательным вторым членом и антикоммутирует с суперзарядами. Таким образом, ковариантная производная супермультиплета является другим супермультиплетом.

Расширенная суперсимметрия

Смотрите также: Расширенная суперсимметрия

Возможно иметь ${\mathcal {N}}$ наборы суперзарядов $Q^{I}$ с $I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$, хотя это возможно не для всех значений ${\mathcal {N}}$.

Эти суперзаряды генерируют переводы в общей сложности $4{\mathcal {N}}$ спиновые измерения, образуя, следовательно, суперпространство $\mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}$.

В общей теории относительности

Слово «суперпространство» также используется в совершенно другом и несвязанном смысле в книге «Гравитация» Миснера, Торна и Уиллера. Там оно относится к конфигурационному пространству и общей теории относительности , в частности, к взгляду на гравитацию как геометродинамику , интерпретацию общей теории относительности как формы динамической геометрии. Говоря современным языком, эта конкретная идея «суперпространства» отражена в одном из нескольких различных формализмов, используемых при решении уравнений Эйнштейна в различных ситуациях, как теоретических, так и практических, например, в численном моделировании. Сюда входит прежде всего формализм ADM , а также идеи, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби-Эйнштейна и уравнением Уиллера-ДеВитта .

См. также

• Хиральное суперпространство
• Гармоничное суперпространство
• Проективное суперпространство
• Пространство Супер Минковского
• Супергруппа
• Супералгебра Ли

Ссылки

• Дуплий , Стивен [на украинском языке] ; Сигел , Уоррен; Бэггер, Джонатан, ред. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике , Берлин, Нью-Йорк: Springer , ISBN  978-1-4020-1338-6 (Вторая печать)