Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

Эта статья о теореме открытого отображения в функциональном анализе . Другие результаты с таким же названием см. в разделе «Теорема об открытом отображении» .

В функциональном анализе теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха – Шаудера или теорема Банаха. (названный в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ) — фундаментальный результат, который утверждает, что если ограниченный или непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами сюръективен , то он является открытым отображением .

Особый случай также называется ограниченной обратной теоремой (также называемой теоремой об обратном отображении или теоремой банахового изоморфизма), которая утверждает, что биективный ограниченный линейный оператор $T$ из одного банахова пространства в другое имеет ограниченное обратное $T^{-1}$.

Заявление и доказательство

Теорема об открытом отображении - Позволять $T:E\to F$ быть сюръективным непрерывным линейным отображением между банаховыми пространствами (или, в более общем плане, пространствами Фреше ). Затем $T$ является открытым отображением (т.е. если $U\subset E$ является открытым подмножеством, то $T(U)$ открыт).

Доказательство здесь использует теорему Бэра о категориях и полноту обоих. $E$ и $F$ является существенным для теоремы. Утверждение теоремы перестает быть верным, если предположить, что любое пространство является только нормированным векторным пространством ; см . § Контрпример .

Доказательство основано на следующих леммах, представляющих также некоторый самостоятельный интерес. Линейная карта $f:E\to F$ между топологическими векторными пространствами называется почти открытым , если для каждой окрестности $U$ нуля, замыкание ${\overline {f(U)}}$ содержит окрестность нуля. Следующую лемму можно рассматривать как слабую версию теоремы об открытом отображении.

Лемма — Линейная карта $f:E\to F$ между нормированными пространствами почти открыт, если образ $f$ не скуден в $F$. (Непрерывность не требуется.)

Доказательство: сокращение $U$, мы можем предположить $U$ представляет собой открытый шар с центром в нуле. У нас есть $f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)$. Таким образом, некоторые ${\overline {f(nU)}}$ содержит внутреннюю точку $y$; то есть для некоторого радиуса $r>0$,

$B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.$

Тогда для любого $v$ в $F$ с $\|v\|<r$, линейностью, выпуклостью и $(-1)U\subset U$,

$v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}$,

что доказывает лемму делением на $2n$. $\square$ (То же доказательство работает, если $E,F$ являются предпространствами Фреше.)

Полнота домена позволяет обновить почти открытое до открытого.

Лемма   (вздрогнув) — Позволять $f:E\to F$ — непрерывное линейное отображение нормированных пространств.

Если $f$ почти открыт, и если $E$ завершено, то $f$ открыт и сюръективен.

Точнее, если $B(0,\delta )\subset {\overline {f(B(0,1))}}$ для некоторых $\delta >0$ и если $E$ завершено, то

$B(0,\delta )\subset f(B(0,1))$

где $B(x,r)$ представляет собой открытый шар радиуса $r$ и центр $x$.

Доказательство: Пусть $y$ быть внутри $B(0,\delta )$ и $c_{n}>0$ некоторая последовательность. У нас есть: ${\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}$. Таким образом, для каждого $\epsilon >0$ и $z$ в $F$, мы можем найти $x$ с $\|x\|<\delta ^{-1}\|z\|$ и $z$ в $B(f(x),\epsilon )$. Таким образом, взяв $z=y$, мы находим $x_{1}$ такой, что

$\|y-f(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.$

Применяя тот же аргумент с $z=y-f(x_{1})$, мы затем находим $x_{2}$ такой, что

$\|y-f(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}$

где мы наблюдали $\|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}$. Потом так далее. Таким образом, если $c:=\sum c_{n}<\infty$, мы нашли последовательность $x_{n}$ такой, что $x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}$ сходится и $f(x)=y$. Также,

$\|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.$

С $\delta ^{-1}\|y\|<1$, сделав $c$ достаточно мал, мы можем достичь $\|x\|<1$. $\square$ (Опять то же доказательство справедливо, если $E,F$ являются предпространствами Фреше.)

Доказательство теоремы. По теореме Бэра о категориях применима первая лемма. Тогда заключение теоремы следует из второй леммы. $\square$

В общем, непрерывная биекция между топологическими пространствами не обязательно является гомеоморфизмом. Теорема об открытом отображении, когда она применяется, подразумевает, что биективности достаточно:

Следствие   (Ограниченная обратная теорема) — Непрерывный биективный линейный оператор между банаховыми пространствами (или пространствами Фреше) имеет непрерывный обратный. То есть обратный оператор непрерывен.

Хотя приведенная выше ограниченная обратная теорема является частным случаем теоремы об открытом отображении, теорема об открытом отображении, в свою очередь, следует из этого. Действительно, сюръективный линейный оператор $T:E\to F$ факторы как

$T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.$

Здесь, $T_{0}$ является биективным и, следовательно, является гомеоморфизмом по ограниченной обратной теореме; в частности, это открытое отображение. Поскольку фактор-отображение топологических групп открыто, $T$ тогда открыт.

Поскольку теорема об открытом отображении и ограниченная обратная теорема по сути являются одним и тем же результатом, их часто называют просто теоремой Банаха .

Транспонировать формулировку

Вот формулировка теоремы об открытом отображении в терминах транспонирования оператора.

Теорема — Позволять $X$ и $Y$ — банахово пространство, пусть $B_{X}$ и $B_{Y}$ обозначим их открытые единичные шары, и пусть $T:X\to Y$ — ограниченный линейный оператор.Если $\delta >0$ тогда среди следующих четырех утверждений мы имеем $(1)\implies (2)\implies (3)\implies (4)$ (с тем же $\delta$)

1. $\delta \left\|y'\right\|\leq \left\|T'y'\right\|$ для всех $y'\in Y'$ = непрерывное двойственное $Y$;
2. $\delta B_{Y}\subset {\overline {T\left(B_{X}\right)}}$;
3. $\delta B_{Y}\subset {T\left(B_{X}\right)}$;
4. $T$ является сюръективным.

Кроме того, если $T$ сюръективен, то (1) выполнено для некоторого $\delta >0$

Доказательство: Идея 1. $\Rightarrow$ 2. показать: $y\notin {\overline {T(B_{X})}}\Rightarrow \|y\|>\delta ,$ и это следует из теоремы Хана–Банаха . 2. $\Rightarrow$ 3. — это в точности вторая лемма в § Утверждение и доказательство . Наконец, 3. $\Rightarrow$ 4. тривиально и 4. $\Rightarrow$ 1. легко следует из теоремы об открытом отображении. $\square$

Альтернативно, 1. подразумевает, что $T^{*}$ инъективен и имеет замкнутый образ, а затем по теореме о замкнутом диапазоне , из которой следует $T$ имеет плотное изображение и закрытое изображение соответственно; то есть, $T$ является сюръективным. Следовательно, приведенный выше результат является вариантом частного случая теоремы о замкнутом диапазоне.

Количественная формулировка

А. Т. Тао Сообщение в блоге дает следующую количественную формулировку теоремы:

Теорема — Пусть $T:E\to F$ — ограниченный оператор между банаховыми пространствами. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $T$ открыт.
2. $T$ является сюръективным.
3. Существует константа $C>0$ такой, что для каждого $f$ в $F$, уравнение $Tu=f$ есть решение $u$ с $\|u\|\leq C\|f\|$.
4. 3. держится $f$ в некотором плотном подпространстве $F$.

Доказательство: 2. $\Rightarrow$ 1. — обычная теорема об открытом отображении.

1. $\Rightarrow$ 4.: Для некоторых $r>0$, у нас есть $B(0,2)\subset T(B(0,r))$ где $B$ означает открытый шар. Затем ${\frac {f}{\|f\|}}=T\left({\frac {u}{\|f\|}}\right)$ для некоторых ${\frac {u}{\|f\|}}$ в $B(0,r)$. То есть, $Tu=f$ с $\|u\|<r\|f\|$.

4. $\Rightarrow$ 3.: Мы можем написать $f=\sum _{0}^{\infty }f_{j}$ с $f_{j}$ в плотном подпространстве и сходящейся по норме суммой. Тогда, поскольку $E$ завершен, $u=\sum _{0}^{\infty }u_{j}$ с $\|u_{j}\|\leq C\|f_{j}\|$ и $Tu_{j}=f_{j}$ является обязательным решением. Наконец, 3. $\Rightarrow$ 2. тривиально. $\square$

Контрпример

Теорема об открытом отображении может не выполняться для неполных нормированных пространств. Самый быстрый способ убедиться в этом — заметить, что теорема о замкнутом графике , являющаяся следствием теоремы об открытом отображении, терпит неудачу без полноты. Но вот более конкретный контрпример. Рассмотрим пространство X последовательностей супремум x : N → R только с конечным числом ненулевых членов, снабженных -нормой . Отображение T : X → X , определенное формулой

$Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)$

ограничен, линейен и обратим, но T ⁻¹ является неограниченным. Это не противоречит ограниченной обратной теореме, поскольку X не является полным и, следовательно, не является банаховым пространством. Чтобы убедиться в ее неполноте, рассмотрим последовательность последовательностей x ^{( н )} ∈ X , заданный формулой

$x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)$

сходится при n → ∞ к последовательности x ^(∞) данный

$x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),$

все члены которого не равны нулю и поэтому не лежат в X .

Пополнение X — это пространство $c_{0}$ всех последовательностей, сходящихся к нулю, которое является (замкнутым) подпространством пространства p _ℓ ℓ ∞ ₍ N ) , которое является пространством всех ограниченных последовательностей. Однако в этом случае отображение T не является объектным и, следовательно, не является биекцией. Чтобы убедиться в этом, достаточно просто заметить, что последовательность

$x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),$

является элементом $c_{0}$, но не входит в диапазон $T:c_{0}\to c_{0}$. Те же рассуждения применимы и к показу $T$ также не входит в $l^{\infty }$, например $x=\left(1,1,1,\dots \right)$ находится не в пределах $T$.

Последствия

Теорема об открытом отображении имеет несколько важных следствий:

• Если $T:X\to Y$ — биективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y,$ тогда обратный оператор $T^{-1}:Y\to X$ также непрерывна (это называется ограниченной обратной теоремой ).
• Если $T:X\to Y$ — линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y,$ и если для каждой последовательности $\left(x_{n}\right)$ в $X$ с $x_{n}\to 0$ и $Tx_{n}\to y$ отсюда следует, что $y=0,$ затем $T$ непрерывен ( теорема о замкнутом графике ).
• Учитывая ограниченный оператор $T:E\to F$ между нормированными пространствами, если образ $T$ не скудно, и если $E$ завершено, то $T$ является открытым и сюръективным и $F$ полно (чтобы убедиться в этом, воспользуемся двумя леммами доказательства теоремы).
• Точная последовательность банаховых пространств (или, в более общем смысле, пространств Фреше) топологически точна .
• Теорема о замкнутом диапазоне , которая гласит, что оператор (при некотором предположении) имеет замкнутый образ тогда и только тогда, когда его транспонирование имеет замкнутый образ (см. Теорему о замкнутом диапазоне#Набросок доказательства ).

Теорема об открытом отображении не означает, что непрерывный сюръективный линейный оператор допускает непрерывное линейное сечение. Что мы имеем:

• Сюръективный непрерывный линейный оператор допускает непрерывное линейное сечение тогда и только тогда, когда ядро ​​топологически дополняемо.

В частности, сказанное выше относится к оператору между гильбертовыми пространствами или к оператору с конечномерным ядром (по теореме Хана–Банаха ). Если отказаться от требования линейности сечения, то сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами допускает непрерывное сечение; это теорема Бартла-Грейвса .

Обобщения

Локальная выпуклость $X$ или $Y$ не является существенным для доказательства, но полнота важна: теорема остается верной и в том случае, когда $X$ и $Y$ являются F-пространствами . Более того, эту теорему можно объединить с теоремой о категориях Бэра следующим образом:

Теорема об открытом отображении для непрерывных отображений - Позволять $A:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор из полной псевдометризуемой TVS $X$ на ТВС Хаусдорфа $Y.$Если $\operatorname {Im} A$ скуден не в $Y$ затем $A:X\to Y$ является (сюръективным) открытым отображением и $Y$ является полной псевдометризуемой TVS.Более того, если $X$ предполагается хаусдорфовым (т.е. F-пространством ), тогда $Y$ также является F-пространством.

(Доказательство по существу такое же, как и в случае Банаха или Фреше; мы немного модифицируем доказательство, чтобы избежать использования выпуклости.)

Более того, в последнем случае, если $N$ является ядром ​ $A,$ то имеет место каноническая факторизация $A$ в форме $$X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y$$где $X/N$ является фактор-пространством (также F-пространством) $X$ замкнутым ​ подпространством $N.$Факторное отображение $X\to X/N$ открыто, и отображение $\alpha$ является изоморфизмом топологических векторных пространств .

Важный частный случай этой теоремы также можно сформулировать как

Теорема - Позволять $X$ и $Y$ быть двумя F-пространствами . Тогда каждое непрерывное линейное отображение $X$ на $Y$ является TVS-гомоморфизмом ,где линейное отображение $u:X\to Y$ является гомоморфизмом топологического векторного пространства (TVS), если индуцированное отображение ${\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y$ является TVS-изоморфизмом на свой образ.

С другой стороны, можно дать более общую формулировку, подразумевающую первую:

Теорема об открытом отображении - Позволять $A:X\to Y$ — сюръективное линейное отображение полной псевдометризуемой TVS $X$ на ТВС $Y$ и предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:

1. $Y$ является пространством Бэра , или
2. $X$ является локально выпуклым и $Y$ это бочкообразное пространство ,

Если $A$ — замкнутый линейный оператор , то $A$ является открытым отображением.Если $A$ является непрерывным линейным оператором и $Y$ тогда Хаусдорф $A$ является (замкнутым линейным оператором и, следовательно, также) открытым отображением.

Почти/почти открытые линейные карты

Линейная карта $A:X\to Y$ между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется почти открытая карта (или иногда почти открытая карта ), если для каждого района $U$ происхождения в домене, замыкание его образа $\operatorname {cl} A(U)$ является окрестностью начала координат в $Y.$ Многие авторы используют другое определение «почти/почти открытой карты», которое требует, чтобы закрытие $A(U)$ быть окрестностью начала координат в $A(X)$ а не в $Y,$ но для сюръективных отображений эти определения эквивалентны.Биективное линейное отображение почти открыто тогда и только тогда, когда его обратное непрерывно. Любое сюръективное линейное отображение локально выпуклой TVS на бочкообразную TVS почти открыто . То же самое верно для любого сюръективного линейного отображения TVS в TVS Бэра .

Теорема об открытом отображении — Если замкнутое сюръективное линейное отображение полной псевдометризуемой ТВС на хаусдорфовую ТВС почти открыто, то оно открыто.

Теорема - Если $A:X\to Y$ является непрерывной линейной биекцией полного псевдометризуемого топологического векторного пространства (TVS) на хаусдорфову TVS, которая является пространством Бэра , тогда $A:X\to Y$ является гомеоморфизмом (и, следовательно, изоморфизмом TVS).

Перепончатые пространства — это класс топологических векторных пространств, для которых справедливы теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике .

См. также

• Почти открытая линейная карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ограниченная обратная теорема – условие открытия линейного оператора. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема о замкнутом графе - Теорема о непрерывности графов
• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Теорема открытого отображения (комплексный анализ) . Теорема о том, что голоморфные функции в комплексных областях являются открытыми картами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Сюръекция пространств Фреше - Характеристика сюръективности
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том II , Academic Press
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  9780070542259 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Фогт, Дитмар (2000). «Лекции по пространствам Фреше» (PDF) . Бергишский университет, Вупперталь.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .

Эта статья включает в себя материал из «Доказательства теоремы открытого отображения» на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/383316/when-is-a-complex-of-banach-spaces-exact-as-condensed-abelian-groups