Глоссарий общей топологии

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в разделе математики, известном как топология . Хотя абсолютного различия между различными областями топологии не существует, основное внимание здесь уделяется общей топологии . Следующие определения также являются фундаментальными для алгебраической топологии , дифференциальной топологии и геометрической топологии . Список терминов, относящихся к алгебраической топологии, см. в Глоссарии алгебраической топологии .

Все пространства в этом глоссарии считаются топологическими пространствами, если не указано иное.

А

Абсолютно закрыто: См. H-закрытый

Доступный: Видеть $T_{1}$ .

Точка накопления: См . предельную точку .

Топологии Александера: Топология пространства X является топологией Александрова (или конечно порождена ), если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты, или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты, или, снова то же самое, если открытые множества являются верхние множества частичного набора . ^{[ 1 ]}

Почти дискретный: Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.

α-закрытый, α-открытый: Подмножество A топологического пространства X является α-открытым, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$ , и дополнение такого множества α-замкнуто. ^{[ 2 ]}

Подход к пространству: — Пространство подхода это обобщение метрического пространства, основанное на расстояниях от точки к точке, а не от точки к точке.

Б

Пространство Бэра

Это имеет два различных общих значения:

Пространство является пространством Бэра , если пересечение любого счетного набора плотных открытых множеств плотно; см. пространство Бэра .
Пространство Бэра — это набор всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел с топологией поточечной сходимости; см. пространство Бэра (теория множеств) .

База: Коллекция B открытых множеств является базой (или базисом ) топологии. $\tau$ если каждый открытый набор в $\tau$ представляет собой объединение множеств в $B$ . Топология $\tau$ это наименьшая топология на $X$ содержащий $B$ и называется порожденным $B$ .

Основа: См . Базу .

б-открыть: См. Полупредварительно открытый .

б-открыт, б-закрыт: Подмножество $A$ топологического пространства $X$ является b-открытым, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$ . Дополнение к b-открытому множеству является b-замкнутым. ^{[ 2 ]}

Борелевская алгебра: Алгебра Бореля в топологическом пространстве $(X,\tau )$ самый маленький $\sigma$ -алгебра, содержащая все открытые множества. Его получают пересечением всех $\sigma$ -алгебры на $X$ содержащий $\tau$ .

Набор Бореля: Борелевское множество — это элемент борелевской алгебры.

Граница: Граница граница (или . ) множества — это замыкание множества за вычетом его внутренней части Аналогично, граница множества — это пересечение его замыкания с замыканием его дополнения. Граница набора $A$ обозначается $\partial A$ или $bd$ $A$ .

Ограниченный: Множество в метрическом пространстве ограничено , если оно имеет конечный диаметр. Эквивалентно, множество ограничено, если оно содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса. Функция , принимающая значения в метрическом пространстве, ограничена , если ее образ является ограниченным множеством.

С

Категория топологических пространств: Категория Top непрерывные имеет топологические пространства в качестве объектов и отображения в качестве морфизмов .

Последовательность Коши: Последовательность } в { x _n метрическом пространстве ( M , d ) является последовательностью Коши , если для каждого положительного действительного числа r существует целое число N такое, что для всех целых чисел m , n > N мы имеем d ( x _m , Икс _п ) < р .

Закрытый набор: Множество называется открыто-открытым, если оно одновременно открыто и закрыто.

Закрытый шар: Если ( M , d ) — метрическое пространство , замкнутый шар — это множество вида D ( x ; r ) := { y in M : d ( x , y ) ≤ r }, где x находится в M и r — положительное действительное число , радиус шара. Замкнутый шар радиуса r является замкнутым r -шаром . Каждый замкнутый шар является замкнутым множеством в топологии, индуцированной на M посредством d . Обратите внимание, что закрытый шар D ( x ; r ) может не совпадать с закрытием открытого шара B ( x ; r ).

Закрытый набор: Множество является замкнутым , если его дополнение является членом топологии.

Закрытая функция: Функция перехода из одного пространства в другое замкнута, если образ каждого замкнутого множества. замкнут

Закрытие: Замыкание . множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное множество Оно равно пересечению всех замкнутых множеств, которые его содержат. замыкания множества S является точка замыкания S . Элементом

Оператор закрытия: См. аксиомы замыкания Куратовского .

Более грубая топология: Если X множество, и если и _— T2 топологии _, на X , то грубее _{) ,} ( — или меньше , слабее чем T2 _T1 если T1 _{содержится} в T2 _T1 . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют этот термин сильнее .

Comeagre: Подмножество A пространства X называется со-собранным ( comager если его дополнение X \ A скудно ) , . Также называется остаточным .

Компактный: Пространство называется компактным , если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Всякий компакт линделефов и паракомпактен. Следовательно, всякий бикомпак нормален . См. также квазикомпакт .

Компактно-открытая топология: Компактно -открытая топология на множестве C ( X , Y ) всех непрерывных отображений между двумя пространствами X и Y определяется следующим образом: для данного компактного подмножества K пространства X и открытого подмножества U пространства Y пусть V ( K , U ) обозначают множество всех отображений f в C ( X , Y ) таких, что ( K ) содержится в U. f Тогда совокупность всех таких V ( K , U ) является подбазой компактно-открытой топологии.

Полный: Метрическое пространство является полным , если каждая последовательность Коши сходится.

Полностью метризуемый/полностью метризуемый: Увидеть полный космос .

Совершенно нормально: Пространство является совершенно нормальным, если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.

Совершенно нормальный Хаусдорф.: Совершенно нормальное хаусдорфово пространство (или Т ₅ пространство ) — это вполне нормальное пространство Т ₁ . (Вполне нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ , поэтому терминология непротиворечива .) Каждое вполне нормальное Хаусдорфово пространство является нормальным Хаусдорфом.

Совершенно регулярно: Пространство является полностью регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а x — точка, не принадлежащая C , то C и { x } функционально разделены.

Полностью Т ₃: См . Тихонов .

Компонент: См. Подключенный компонент / Компонент, связанный с путем .

Подключено: Пространство связно , если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются все пространство и пустое множество.

Подключенный компонент: Компонента связности пространства — это максимальное непустое связное подпространство. Каждая компонента связности замкнута, а множество компонент связности пространства является разбиением . его

Непрерывный: Функция из одного пространства в другое непрерывна , если прообраз каждого открытого множества открыт.

Континуум: Пространство называется континуумом, если оно компактное связное хаусдорфово пространство.

сжимаемый: Пространство X сжимаемо, если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Всякое сжимаемое пространство односвязно.

Топология копродукции: Если { X _i } — совокупность пространств, а X — (теоретико-множественное) несвязное объединение { X _i }, то топология копродукции (или топология несвязного объединения i ) на , топологическая сумма X _X является наилучшей топологией. для которого все отображения вложения непрерывны.

Ядро-компактное пространство

Космическое пространство: Непрерывный сепарабельного образ некоторого метрического пространства . ^{[ 3 ]}

Состояние счетной цепи: Пространство X удовлетворяет условию счетной цепи, если каждое семейство непустых попарно непересекающихся открытых множеств счетно.

Счетно компактный: Пространство называется счетно компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Всякое счетно-компактное пространство псевдокомпактно и слабо счетно-компактно.

Счётно локально конечный: Набор подмножеств пространства X счетно локально конечен (или σ-локально конечен ), если он является объединением счетного набора локально конечных наборов подмножеств X .

Крышка: Коллекция подмножеств пространства является покрытием (или покрытием ) этого пространства, если объединение коллекции представляет собой все пространство.

Покрытие: См . Обложка .

Точка разреза: Если X — связное пространство с более чем одной точкой, то точка x из X является точкой разреза, если подпространство X − { x } несвязно.

Д

δ-кластерная точка, δ-замкнутая, δ-открытая: Точка x топологического пространства X является точкой δ-кластера подмножества A , если $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$ для каждой открытой окрестности U точки x в X . Подмножество A является δ-замкнутым, если оно равно множеству его δ-кластерных точек, и δ-открытым, если его дополнение δ-замкнуто. ^{[ 4 ]}

Плотный набор: Множество является плотным, если оно имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым множеством. Аналогично, множество является плотным, если его замыканием является все пространство.

Плотный сам по себе набор: Множество является плотным в себе, если оно не имеет изолированной точки .

Плотность: минимальная мощность плотного подмножества топологического пространства. Множество плотности ℵ ₀ является сепарабельным пространством . ^{[ 5 ]}

Производный набор: Если X — пространство, а — подмножество X , производное множество S в X — это множество предельных точек S в X. S

Развивающееся пространство: Топологическое пространство с развитием . ^{[ 6 ]}

Разработка: Счетный p набор открытых покрытий топологического пространства, такой, что для любого замкнутого множества C и любой точки p в его дополнении существует такое покрытие в наборе, что каждая окрестность в покрытии не пересекается с C . ^{[ 6 ]}

Диаметр: Если ( M , d ) метрическое пространство и S является подмножеством M , диаметр S является верхней границей расстояний d ( x , y ), где x и y варьируются в пределах S .

Дискретная метрика: множестве X — это функция d : X × X → R такая, что для всех x , y в X d Дискретная метрика на ( x , x ) = 0 и d ( x , y ) = 1, если x ≠ y . Дискретная метрика индуцирует дискретную топологию на X .

Дискретное пространство: Пространство X дискретно , если каждое его подмножество открыто . Мы говорим, что X несет дискретную топологию . ^{[ 7 ]}

Дискретная топология: См. дискретное пространство .

Топология несвязного объединения: См. топологию Coproduct .

Точка рассеивания: Если X - связное пространство с более чем одной точкой, то точка x из X является точкой дисперсии, если подпространство X - { x } наследственно несвязно (его единственные компоненты связности - это одноточечные множества).

Расстояние: См. метрическое пространство .

Тупая шляпа (топология)

И

Антураж: См. Единообразное пространство .

Экстерьер: Внешняя часть множества — это внутренняя часть его дополнения.

Ф

F _σ множество: Множество F _σ объединение — это счетное замкнутых множеств. ^{[ 8 ]}

Фильтр

См. также: Фильтры в топологии . Фильтр в пространстве X — это непустое семейство F подмножеств X такое, что выполняются следующие условия:

не Пустое множество находится в F .
Пересечение любого конечного числа элементов F снова находится в F .
Если A находится в F и если содержит A , то B находится в F. B

Окончательная топология: На множестве X относительно семейства функций в $X$ , является тончайшей топологией на X , которая делает эти функции непрерывными . ^{[ 9 ]}

Тонкая топология (теория потенциала): В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , самая грубая топология, делающая все субгармонические функции (что эквивалентно всем супергармоническим функциям) непрерывными. ^{[ 10 ]}

Более тонкая топология: Если X множество, и если и _, T2 — _T1 на X , то тоньше _, ( или больше , сильнее ) чем T1 _T1 если T2 _{топологии} содержит T2 _— . Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют этот термин более слабым образом .

Конечно сгенерировано: См. топологию Александрова .

Первая категория: См . Мигер .

Первично-счетный: Пространство является первичным счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.

Фреше: Это Т ₁ .

Граница: См . Граница .

Полный комплект: Компактное если подмножество K комплексной плоскости называется полным, его дополнение связно. Например, замкнутый единичный диск заполнен, а единичный круг — нет.

Функционально разделенный: Два множества A и B в пространстве X функционально разделены, если существует непрерывное отображение f : X → [0, 1] такое, что f ( A ) = 0 и f ( B ) = 1.

Г

G _δ набор: Множество G _δ — или внутреннее предельное множество это счетное пересечение открытых множеств. ^{[ 8 ]}

G _δ пространство: Пространство, в котором каждое замкнутое множество является множеством G _δ . ^{[ 8 ]}

Общая точка: Общая точка для замкнутого множества — это точка, для которой замкнутое множество является замыканием одноэлементного множества, содержащего эту точку. ^{[ 11 ]}

ЧАС

Хаусдорф: Хаусдорфово пространство (или T ₂ пространство ) — это пространство, в котором каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Каждое Хаусдорфово пространство есть T ₁ .
H-закрытый: Пространство называется H-замкнутым, хаусдорфовым или абсолютно замкнутым , если оно замкнуто в каждом содержащем его хаусдорфовом пространстве.
Гемикомпактный: Пространство называется полукомпактным, если существует такая последовательность компактных подмножеств, что каждое компактное подмножество содержится в одном из них.
Наследственно П: Пространство наследственно P для некоторого свойства P , если каждое подпространство также является P .
наследственный: Свойство пространств называется наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое имеет и каждое его подпространство. ^{[ 12 ]} Например, секундная счетность — наследственное свойство.
Гомеоморфизм: Если X и Y — пространства, гомеоморфизм из X в Y — это биективная функция f : X → Y такая, что f и f ⁻¹ являются непрерывными. Пространства X и Y тогда называются гомеоморфными . С точки зрения топологии гомеоморфные пространства тождественны.
Однородный: Пространство X является однородным , если для любых x и y в X существует гомеоморфизм f : X → X такой, что f ( x ) = y . Интуитивно пространство выглядит одинаково в каждой точке. Любая топологическая группа однородна.
Гомотопные карты: Два непрерывных отображения f , g : X → Y гомотопны , 0 ) (в Y ), если существует непрерывное отображение H : X × [0, 1] → Y такое, что H ( x = f ( x ) и H ( x , 1) = g ( x ) для всех x в X . Здесь X × [0, 1] задана топология произведения. Функция H называется гомотопией (в Y ) между f и g .
Гомотопия: См. Гомотопные карты .
Гиперсвязь: Пространство называется гиперсвязным, если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. ^{[ 13 ]} Каждое гиперсвязное пространство связно. ^{[ 13 ]}

я

Идентификационная карта: См. карту коэффициентов .
Идентификационное пространство: См. Факторное пространство .
Нескромные пространства: См. Тривиальная топология .
Бесконечномерная топология: См. Гильбертово многообразие и Q-многообразия , т.е. (обобщенные) многообразия, моделируемые на гильбертовом пространстве и на гильбертовом кубе соответственно.
Внутренний ограничительный комплект: Набор G _δ . ^{[ 8 ]}
Интерьер: Внутренняя часть набора — это самый большой открытый набор, содержащийся в исходном наборе. Оно равно объединению всех содержащихся в нем открытых множеств. Элемент внутренности множества S является внутренней точкой S .
Внутренняя точка: См . Интерьер .
Изолированная точка: Точка x является изолированной точкой, если синглтон { x } открыт. В более общем смысле, если S — подмножество пространства X , и если x — точка S , то x — изолированная точка S , если { x } открыто в топологии подпространства S. на
Изометрический изоморфизм: Если M ₁ и M ₂ — метрические пространства, изометрический изоморфизм из M ₁ в M ₂ является биективной изометрией f : M ₁ → M ₂ . Метрические пространства тогда называются изометрически изоморфными . С точки зрения теории метрических пространств изометрически изоморфные пространства тождественны.
Изометрия: Если ( M ₁ , d ₁ ) и ( M ₂ , d ₂ ) являются метрическими пространствами, изометрией от M ₁ до M ₂ является функция f : M ₁ → M ₂ такая, что d ₂ ( f ( x ), f ( y )) знак равно d ₁ ( x , y ) для всех x , y в M ₁ . Всякая изометрия инъективна , хотя не всякая изометрия сюръективна .

К

аксиома Колмогорова: См. Т ₀ .

Аксиомы замыкания Куратовского

Аксиомы замыкания Куратовского — это набор аксиом, которым удовлетворяет функция, которая переводит каждое подмножество X в замыкание:

Изотонность : каждое множество содержится в своем замыкании.
Идемпотентность : Замыкание замыкания множества равно замыканию этого множества.
Сохранение бинарных союзов : Замыкание объединения двух множеств является объединением их замыканий.
Сохранение нулевых союзов : Замыкание пустого множества пусто.

Если c — функция из степенного множества в X себя, то c — оператор замыкания, если он удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского. Аксиомы замыкания Куратовского затем можно использовать для определения топологии на X , объявляя замкнутые множества неподвижными точками этого оператора, т. е. множество A замкнуто тогда и только тогда, когда c ( A ) = A .

Топология Колмогорова: Т _Кол = {R, $\varnothing$ }∪{(a,∞): a — действительное число}; пара (R,T _Kol ) называется прямой Колмогорова .

л

L-пространство: L -пространство — это наследственно пространство Линделефа , которое не является наследственно сепарабельным . Линия Суслина будет L-пространством. ^{[ 14 ]}

Большая топология: См. Более тонкая топология .

Предельная точка: Точка x в пространстве X является предельной точкой подмножества S , если каждое открытое множество, содержащее x, также содержит точку S, отличную от самой x . Это эквивалентно требованию, чтобы каждая окрестность x содержала точку S, отличную от самой x .

Конечная точка компактная: См. Слабо счетно компактный .

Линделёф: Пространство является линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.

Местная база: Множество B окрестностей точки x пространства X является локальной базой (или локальным базисом , базой окрестностей , базисом окрестностей ) в точке x если каждая окрестность точки x содержит некоторый член B. ,

Локальная основа: См. Локальная база .

Локально (P) пространство: Существует два определения пространства как «локального (P)», где (P) — топологическое или теоретико-множественное свойство: каждая точка имеет окрестность со свойством (P) или каждая точка имеет базу окрестностей, для которой у каждого члена есть собственность (P). Первое определение обычно принимают за локально компактные, счетно-компактные, метризуемые, сепарабельные, счетные; второй для локального подключения. ^{[ 15 ]}

Локально закрытое подмножество: Подмножество топологического пространства, являющееся пересечением открытого и закрытого подмножества. Эквивалентно, это относительно открытое подмножество своего замыкания.

Локально компактный: Пространство является локально компактным, если каждая точка имеет компактную окрестность: иногда используется альтернативное определение, согласно которому каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей: они эквивалентны для хаусдорфовых пространств. ^{[ 15 ]} Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Локальное подключение: Пространство называется локально связным , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных окрестностей. ^{[ 15 ]}

Локально плотный: см . Предварительное открытие .

Локально конечный: Набор подмножеств пространства локально конечен, если каждая точка имеет окрестность, имеющую непустое пересечение лишь с конечным числом подмножеств. См. также счетно локально конечный , точечно конечный .

Локально метризуемый / Локально метризуемый: Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность. ^{[ 15 ]}

Локальное подключение по пути: Пространство называется локально линейно связным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных окрестностей. ^{[ 15 ]} Пространство, локально связное по путям, связно тогда и только тогда, когда оно связно по путям.

Локально просто подключен: Пространство называется локально односвязным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из односвязных окрестностей.

Петля: Если x — точка в пространстве X , петля в x в X (или петля в X с базовой точкой x ) — это путь f в X , такой, что f (0) = f (1) = x . Эквивалентно, петля в X — это непрерывное отображение единичной окружности S. ¹ в Х.

М

Мигер: Если X — пространство и A — подмножество X , то A скудно в X (или относится к первой категории в X ), если оно является счетным объединением нигде не плотных множеств. Если A не является скудным в X , A принадлежит второй категории в X. то ^{[ 16 ]}

Метакомпакт: Пространство называется метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет точечное конечное открытое уточнение.

Метрика: См. Метрическое пространство .

Метрический инвариант: Метрический инвариант — это свойство, сохраняющееся при изометрическом изоморфизме.

Метрическая карта: Если X и Y — метрические пространства с метриками X _и d Y _{соответственно} , то метрическое отображение — это функция f из X в Y , такая, что для любых точек x и y в X d Y _d ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _Икс ( Икс , y ). Метрическое отображение является строго метрическим , если приведенное выше неравенство строго для всех x и y в X .

Метрическое пространство

Метрическое пространство ( M , d ) — это множество M, снабженное функцией d : M × M → R, удовлетворяющей следующим аксиомам для всех x , y и z в M :

d ( Икс , y ) ≥ 0
d ( Икс , Икс ) знак равно 0
если d ( x , y ) = 0, то x = y ( тождество неразличимых )
d ( Икс , y ) знак равно d ( y , Икс ) ( симметрия )
d ( Икс , z ) ≤ d ( Икс , y ) + d ( y , z ) ( неравенство треугольника )

Функция d является метрикой на M , а d ( x , y ) — расстояние между x и y . Совокупность всех открытых шаров M является основой топологии M ; это топология на M, индуцированная d . Каждое метрическое пространство хаусдорфово и паракомпактно (а значит, нормально и тихоново). Каждое метрическое пространство первично счетно.

Метризируемый / Метризируемый: Пространство называется метризуемым, если оно гомеоморфно метрическому пространству. Всякое метризуемое пространство является хаусдорфовым и паракомпактным (а значит, нормальным и тихоновским). Всякое метризуемое пространство первосчетно.

Монолит: Каждый непустой ультрасвязный компакт X имеет наибольшее собственное открытое подмножество; это подмножество называется монолитом .

Пространство Мура: Пространство Мура — это развертывающееся регулярное пространство Хаусдорфа . ^{[ 6 ]}

Н

Почти открыто: см . предварительное открытие .

Район / Район: Окрестность точки x — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь, содержит точку x . В более общем смысле, окрестность множества S содержит множество S. — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь , Таким образом, окрестность точки x является окрестностью одноэлементного множества { x }. (Обратите внимание, что согласно этому определению район сам по себе не обязательно должен быть открытым. Многие авторы требуют, чтобы районы были открытыми; будьте осторожны, соблюдая соглашения.)

соседства База / базис: См. Локальная база .

Система соседства для точки x: Система окрестностей в точке x в пространстве — это совокупность всех окрестностей точки x .

Сеть: Сеть A в пространстве X это отображение направленного множества в X. — Сеть от A до X обычно обозначается ( x _α ), где α — индексная переменная, в пределах A. простирающаяся Любая последовательность представляет собой сеть, в которой A представляет собой направленное множество натуральных чисел с обычным порядком.

Нормальный: Пространство является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. ^{[ 8 ]} Каждое нормальное пространство допускает разбиение единицы .

Нормальный Хаусдорф: Нормальное хаусдорфово пространство (или T4 _{) —} пространство это нормальное _{пространство T1} . (Нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ , поэтому терминология непротиворечива.) Каждое нормальное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Нигде не густо: — Нигде не плотное множество это множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.

ТО

Открыть крышку: – Открытая крышка это оболочка, состоящая из открытых множеств. ^{[ 6 ]}

Открытый мяч: Если ( M , d ) — метрическое пространство, открытый шар — это множество вида B ( x ; r ) := { y in M : d ( x , y ) < r }, где x находится в M и r — положительное действительное число , радиус шара. Открытый шар радиуса r является открытым r -шаром . Каждый открытый шар является открытым множеством в топологии на M, индуцированной d .
Открытое состояние: См. открытую собственность .
Открытый набор: является Открытое множество членом топологии.
Открытая функция: Функция перехода из одного пространства в другое открыта , если образ каждого открытого множества. открыт
Открыть собственность: Свойство точек топологического пространства называется «открытым», если те точки, которые им обладают, образуют открытое множество . Такие условия часто принимают общую форму, и эту форму можно назвать открытым состоянием ; например, в метрических пространствах один определяет открытый шар, как указано выше, и говорит, что «строгое неравенство является открытым условием».

Ортокомпакт: Пространство называется ортокомпактным, если каждое открытое покрытие имеет сохраняющее внутреннюю часть открытое уточнение .

П

Паракомпакт: Пространство называется паракомпактным , если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое уточнение. Паракомпакт подразумевает метакомпакт. ^{[ 17 ]} Паракомпакты Хаусдорфа являются нормальными. ^{[ 18 ]}

Раздел единства: Разбиение единицы пространства X — это набор непрерывных функций от X до [0, 1] такой, что любая точка имеет окрестность, в которой все функции, кроме конечного числа, равны тождественному нулю, а сумма всех функций на все пространство тождественно 1.

Путь: Путь X в пространстве X — это непрерывное отображение f единичного интервала 0, 1] в [ . Точка f (0) является начальной точкой f ; точка f (1) является конечной точкой f . ^{[ 13 ]}

Подключен по пути: Пространство X является линейно связным , если для каждых двух точек x , y в X существует путь f от x до y , т. е. путь с начальной точкой f (0) = x и конечной точкой f (1) = й . Каждое пространство, связанное путями, связно. ^{[ 13 ]}

Компонент, связанный с путем: Линейно-связная компонента пространства — это максимальное непустое линейно-связное подпространство. Множество компонентов пространства, связанных путями, представляет собой разбиение этого пространства, которое тоньше , чем разбиение на компоненты связности. ^{[ 13 ]} Множество компонент линейной связности пространства X обозначается π ₀ ( X ) .

Совершенно нормально: нормальное пространство, которое также является G _δ . ^{[ 8 ]}

π-база: Коллекция B непустых открытых множеств называется π-базой топологии τ, если каждое непустое открытое множество из τ включает в себя множество из B . ^{[ 19 ]}

Точка: Точка – это элемент топологического пространства. В более общем смысле точка — это элемент любого множества с базовой топологической структурой; например, элемент метрического пространства или топологической группы также является «точкой».

Точка закрытия: См . Закрытие .

Польский: Пространство называется польским, если оно сепарабельно и вполне метризуемо, т. е. если оно гомеоморфно сепарабельному и полному метрическому пространству.

Полиадический: Пространство называется полиадическим, если оно является непрерывным образом степени одноточечной компактификации локально компактного некомпактного хаусдорфова пространства.

Политопологическое пространство: Политопологическое пространство – это множество $X$ вместе с семьей $\{\tau _{i}\}_{i\in I}$ топологий на $X$ линейно упорядоченное соотношением включения , где $I$ представляет собой произвольный набор индексов .

P-точка: Точка топологического пространства называется P-точкой, если ее фильтр окрестностей замкнут относительно счетных пересечений.

Предварительно компактный: См. Относительно компактный .

Предварительно открытый набор: Подмножество A топологического пространства X предоткрыто, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)$ . ^{[ 4 ]}

Продискретная топология: Продискретная топология произведения A ^Г — это топология произведения, когда каждому фактору A присвоена дискретная топология. ^{[ 20 ]}

Топология продукта: Если $\left(X_{i}\right)$ — это набор пространств, а X — (теоретико-множественное) декартово произведение $\left(X_{i}\right),$ тогда топология произведения на X является самой грубой топологией, для которой все отображения проекций непрерывны.

Правильная функция/отображение: Непрерывная функция f из пространства X в пространство Y является собственной, если $f^{-1}(C)$ является компактом в X для любого компактного подпространства C в Y .

Близость пространства: Пространство близости ( X , d ) — это множество X, снабженное бинарным отношением d между подмножествами X, удовлетворяющее следующим свойствам:

Для всех подмножеств A , B и C из X ,

A d B подразумевает B d A
A d B подразумевает, что A непусто
Если A и B имеют непустое пересечение, то A d B
А д ( Б $\cup$ C ) тогда и только тогда, когда ( A d B или A d C )
Если для всех подмножеств E из X мы имеем ( A d E или B d E ), то мы должны иметь A d ( X − B )

Псевдокомпактный: Пространство называется псевдокомпактным, если каждая вещественнозначная непрерывная функция в нем ограничена.

Псевдометрический: См. Псевдометрическое пространство .

Псевдометрическое пространство: Псевдометрическое пространство ( M , d ) — это множество M, снабженное вещественной функцией $d:M\times M\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее всем условиям метрического пространства, за исключением, возможно, тождественности неразличимых. То есть точки в псевдометрическом пространстве могут быть «бесконечно близкими», но не идентичными. Функция d является псевдометрикой на M. Любая метрика является псевдометрикой.

Проколотый район / Проколотый район: Проколотая окрестность точки x — это окрестность точки минус x { x } . Например, интервал (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} является окрестностью точки x = 0 на вещественной прямой , поэтому множество $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$ является проколотой окрестностью 0.

вопрос

Квазикомпактный: См . компактный . Некоторые авторы определяют слово «компактный», включающее аксиому разделения Хаусдорфа , и они используют термин «квазикомпактный» для обозначения того, что мы называем в этом глоссарии просто «компактным» (без аксиомы Хаусдорфа). Это соглашение чаще всего встречается во французском языке, а также во многих разделах математики, находящихся под сильным влиянием французского языка.

Коэффициентная карта: Если X и Y — пространства, и если f — сюръекция из X в Y , то f — факторкарта (или идентификационная карта ), если для каждого подмножества U из Y U когда открыто в Y тогда и только тогда, f ^{- 1}( U ) открыто в X . Другими словами, Y имеет f -сильную топологию. Эквивалентно, $f$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда оно является трансфинитной композицией отображений $X\rightarrow X/Z$ , где $Z\subset X$ является подмножеством. Обратите внимание: это не означает, что f — открытая функция.

Факторное пространство: Если X — пространство, Y — множество и f : X → Y — любая сюръективная функция, то фактор-топология на Y, индуцированная f, является тончайшей топологией, для которой f непрерывна. Пространство X является фактор-пространством или идентификационным пространством . По определению, f является фактор-отображением. Наиболее распространенным примером этого является рассмотрение отношения эквивалентности на X , где Y — набор классов эквивалентности , а f — естественное отображение проекции. Эта конструкция двойственна конструкции топологии подпространства.

Р

Уточнение: Покрытие K является уточнением покрытия L, если каждый элемент K является подмножеством некоторого элемента L .
Обычный: Пространство является регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество и x — точка, не принадлежащая C , тогда C и x имеют непересекающиеся окрестности.
Обычный Хаусдорф: Пространство является регулярным по Хаусдорфу (или T ₃ ), если оно является регулярным T ₀ пространством. (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология непротиворечива.)
Регулярное открытие: Подмножество пространства X является регулярно открытым, если оно равно внутренней части его замыкания; Двойственно регулярное замкнутое множество равно замыканию его внутренности. ^{[ 21 ]} Примером нерегулярного открытого множества является множество U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ в R с его нормальной топологией, поскольку 1 находится внутри замыкания U , но не в U . Регулярные открытые подмножества пространства образуют полную булеву алгебру . ^{[ 21 ]}
Относительно компактный: Подмножество Y пространства X относительно компактно в X , если замыкание Y в X компактно.
Остаточный: Если X — пространство, а A — подмножество X , то A является остаточным в X, дополнение A скудно в X. если Также называется Comeagre или Comeager .
разрешимый: Топологическое пространство называется разрешимым, если оно выражается как объединение двух непересекающихся плотных подмножеств .
Обод-компактный: Пространство называется компактным по краю, если оно имеет базу открытых множеств, границы которых компактны.

С

S-пространство: S -пространство — это наследственно сепарабельное пространство , которое не является наследственно линделёфовым . ^{[ 14 ]}

Разбросанный: Пространство X называется рассеянным , если каждое непустое подмножество A X в содержит точку, изолированную A .

Скотт: Топология Скотта ЧУМ — это топология , в которой открытыми множествами являются те верхние множества, которые недоступны посредством направленных соединений. ^{[ 22 ]}

Вторая категория: См . Мигер .

секундно-счетный: Пространство является счетно-секундным или совершенно сепарабельным, если оно имеет счетную базу своей топологии. ^{[ 8 ]} Каждое второй счетное пространство является первым счетным, сепарабельным и линделефовым.

Полулокально односвязный: Пространство X , полулокально односвязно если для каждой точки x в X существует окрестность U точки x такая, что каждая петля в точке x в U гомотопна в X постоянной петле x . Всякое односвязное пространство и всякое локально односвязное пространство полулокально односвязно. (Сравните с локально односвязным; здесь гомотопии разрешено жить в X , тогда как в определении локально односвязного гомотопия должна жить в U. )

Полуоткрытый: Подмножество A топологического пространства X называется полуоткрытым, если $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$ . ^{[ 23 ]}

Полупредоткрытый: Подмножество A топологического пространства X называется полупредоткрытым, если $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$ ^{[ 2 ]}

Полурегулярный: Пространство полурегулярно, если регулярные открытые множества образуют базу.

Сепарабельный: Пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное плотное подмножество. ^{[ 8 ]}^{[ 16 ]}

Отдельный: Два множества A и B разделяются , если каждое из них не пересекается с замыканием другого.

Последовательно компактный: Пространство называется секвенциально компактным, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Всякое секвенциально-компактное пространство счетно компактно, и каждое счетно-компактное пространство секвенциально компактно.

Краткая карта: Посмотреть метрическую карту

Просто подключено: Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и каждая петля гомотопна постоянному отображению.

Меньшая топология: См. более грубую топологию .

Трезвый: В трезвом пространстве каждое неприводимое замкнутое подмножество является замыканием ровно одной точки, то есть имеет единственную точку общего положения . ^{[ 24 ]}

Звезда: Звезда точки в данном покрытии топологического пространства — это объединение всех множеств покрытия, содержащих эту точку. См. звездную доработку .

$f$ -Сильная топология: Позволять $f\colon X\rightarrow Y$ быть картой топологических пространств. Мы говорим, что $Y$ имеет $f$ -строгая топология, если для каждого подмножества $U\subset Y$ , у одного это есть $U$ открыт в $Y$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(U)$ открыт в $X$

Более сильная топология: См. Более тонкая топология . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин «более слабая топология» .

Подбаза: Совокупность открытых множеств называется подбазой (или подбазисом ) топологии, если каждое непустое собственное открытое множество в топологии является объединением конечного пересечения множеств в подбазе. Если ${\mathcal {B}}$ — это любая коллекция подмножеств множества X , топология X, порожденная ${\mathcal {B}}$ это наименьшая топология, содержащая ${\mathcal {B}};$ эта топология состоит из пустого множества X и всех объединений конечных пересечений элементов ${\mathcal {B}}.$ Таким образом ${\mathcal {B}}$ является подбазой для создаваемой им топологии.

Суббазис: См . Подбаза .

Под прикрытием: Покрытие K называется подпокрытием (или подпокрытием ) покрытия L, каждый элемент K является элементом L. если

Подпокрытие: См . Подобложку .
Субмаксимальное пространство: Топологическое пространство называется субмаксимальным, если каждое его подмножество локально замкнуто, то есть каждое подмножество является пересечением открытого и закрытого множества .

Вот некоторые факты о субмаксимальности как свойстве топологических пространств:

Каждое дверное пространство субмаксимально.
Каждое субмаксимальное пространство слабо субмаксимально , т. е. каждое конечное множество локально замкнуто.
Каждое субмаксимальное пространство неразрешимо . ^{[ 25 ]}

Подпространство: Если T — топология в пространстве X , и если A — подмножество X , то топология подпространства в A, T , состоит из всех пересечений открытых множеств в T с A. индуцированная Эта конструкция двойственна конструкции фактортопологии.

Т

Т ₀: Пространство называется T ₀ (или по Колмогорову ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве либо существует открытое множество, содержащее x , но не y , либо существует открытое множество, содержащее y, но не y .

Т ₁: Пространство называется T ₁ (или Фреше или доступным ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T ₁ , если все его одиночные элементы закрыты. Каждое _{T 1} пространство _{является T 0} .

T_Т2: См. пространство Хаусдорфа .

T_Т3: См. Обычный Хаусдорф .

T _3½: См . Тихоновское пространство .

Т ₄: См. Нормальный Хаусдорф .

Т ₅: См . «Совершенно нормальный Хаусдорф» .

Вершина: См. Категория топологических пространств .

θ-кластерная точка, θ-замкнутая, θ-открытая: Точка x топологического пространства X является точкой θ-кластера подмножества A , если $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$ для каждой открытой окрестности U точки x в X . Подмножество A является θ-замкнутым, если оно равно множеству точек его θ-кластера, и θ-открытым, если его дополнение θ-замкнуто. ^{[ 23 ]}

Топологический инвариант: Топологический инвариант — это свойство, сохраняющееся при гомеоморфизме. Например, компактность и связность являются топологическими свойствами, а ограниченность и полнота — нет. Алгебраическая топология — это изучение топологически инвариантных абстрактных алгебраических конструкций на топологических пространствах.

Топологическое пространство: Топологическое пространство ( X , T ) — это множество X, снабженное набором T подмножеств X, удовлетворяющих следующим аксиомам :

Пустое множество и X находятся в T .
Объединение любого набора множеств из T также находится в T .
Пересечение любой пары множеств из T также находится в T .

Коллекция T является топологией на X .

Топологическая сумма: См. топологию Coproduct .

Топологически полный: Вполне метризуемые пространства (т. е. топологические пространства, гомеоморфные полным метрическим пространствам) часто называют топологически полными ; иногда этот термин также используется для обозначения полных по Чеху пространств или полностью униформизируемых пространств .

Топология: См. Топологическое пространство .

Полностью ограниченный: Метрическое пространство M вполне ограничено, если для любого r > 0 существует конечное покрытие M открытыми шарами радиуса r . Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Полностью отключен: Пространство полностью несвязно, если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.

Тривиальная топология: Тривиальная топология (или недискретная топология на множестве X состоит именно из пустого множества и всего пространства X. )

Тихонов: Тихоновское пространство (или вполне регулярное хаусдорфово пространство, вполне пространство T ₃ , пространство T _3,5 ) — это вполне регулярное _{T 0} пространство . (Вполне регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология непротиворечива.) Каждое тихоновское пространство является регулярным Хаусдорфом.

В

Ультра-подключенный: Пространство называется ультрасвязным, если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. ^{[ 13 ]} Каждое сверхсвязное пространство связно по путям.

Ультраметрический: Метрика является ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника : для всех x , y , z в M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )) .

Равномерный изоморфизм: Если X и Y — равномерные пространства , равномерный изоморфизм из X в Y — это биективная функция f : X → Y такая, что f и f ⁻¹ непрерывны равномерно . Пространства тогда называются равномерно изоморфными и обладают одинаковыми равномерными свойствами .

Униформизируемый /Униформизируемый: Пространство называется униформизируемым, если оно гомеоморфно равномерному пространству.

Единое пространство: Равномерное пространство — это множество X, снабженное непустой совокупностью Φ подмножеств декартова произведения X × X, удовлетворяющей следующим аксиомам :

если U находится в Φ, то U содержит { ( x , x ) | х в Х }.
если U находится в Φ, то { ( y , x ) | ( x , y ) в U } также находится в Φ
если U находится в Φ, а V — подмножество X × X , содержащее U , то V находится в Φ
если U и V находятся в Φ, то U ∩ V находится в Φ
если U находится в Φ, то существует V в Φ такой, что всякий раз, когда ( x , y ) и ( y , z ) находятся в V , тогда ( x , z находится в U. )

Элементы Φ называются окружениями Φ называется однородной структурой на X. , а сама Равномерная структура индуцирует топологию на X, где основные окрестности точки x являются множествами вида { y : ( x , y )ε U } для U ∈Φ.

Единая структура: См. Единообразное пространство .

В

Слабая топология: Слабая топология множества по отношению к набору функций из этого множества в топологических пространствах — это самая грубая топология на множестве, которая делает все функции непрерывными.
Более слабая топология: См. более грубую топологию . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин «более сильная топология» .
Слабо счетно компактный: Пространство называется слабо счётно компактным (или компактным в предельной точке ), если каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку.
Слабо наследственный: Свойство пространств называется слабо наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое имеет и каждое его замкнутое подпространство. Например, компактность и свойство Линделефа являются слабо наследственными свойствами, хотя ни одно из них не является наследственным.
Масса: Вес пространства X — это наименьшее кардинальное число κ такое, что X имеет базу кардинала κ. (Обратите внимание, что такое кардинальное число существует, потому что вся топология образует базу и потому что класс кардинальных чисел хорошо упорядочен .)
Хорошие связи: См. раздел «Ультра-подключение» . (Некоторые авторы используют этот термин строго для ультрасвязных компактов.)

С

Нульмерный: Пространство нульмерно, если оно имеет базу из открытозамкнутых множеств. ^{[ 26 ]}

См. также

Наивная теория множеств , Аксиоматическая теория множеств и Функция для определений множеств и функций.
Топология для краткой истории и описания предметной области.
Топологические пространства для основных определений и примеров
Список общих тем по топологии
Список примеров общей топологии

Конкретные концепции топологии

Другие глоссарии

Ссылки

^ Викерс (1989) стр.22
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Харт, Нагата и Воган 2004 , с. 9.
^ Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2012). Энциклопедия расстояний . Спрингер Верлаг . стр. 64. ИСБН 978-3642309588 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Харт, Нагата и Воган, 2004 г. , стр. 8–9.
^ Нагата (1985) стр.104
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Стин и Сибах (1978) стр.163
^ Стин и Зеебах (1978) стр.41
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Стин и Сибах (1978) стр.162
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201087079 . Збл 0205.26601 .
^ Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 159. Шпрингер-Верлаг . стр. 367–376. ISBN 0-387-94460-5 . Збл 0887.30003 .
^ Викерс (1989) стр.65
^ Стин и Зеебах стр.4
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стин и Сибах (1978) стр.29
^ Перейти обратно: ^а ^б Габбай, Дов М.; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Хайден, ред. (2012). Наборы и расширения в двадцатом веке . Эльзевир. п. 290. ИСБН 978-0444516213 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Харт и др. (2004), стр.65.
^ Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах (1978), стр.7
^ Стин и Сибах (1978) стр.23
^ Стин и Сибах (1978) стр.25
^ Харт, Нагата, секта Воана. д-22, стр. 227
^ Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Курнарт, Мишель (2010). Клеточные автоматы и группы . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer Verlag . п. 3. ISBN 978-3-642-14033-4 . Збл 1218.37004 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах (1978), стр.6
^ Викерс (1989) стр.95
^ Перейти обратно: ^а ^б Харт, Нагата и Воган 2004 , с. 8.
^ Викерс (1989) стр.66
^ Мирослав Гушек; Дж. ван Милль (2002), Недавний прогресс в общей топологии , т. 1, с. 2, Эльзевир, с. 21, ISBN 0-444-50980-1
^ Стин и Сибах (1978) стр.33

Харт, Класс Питер; Нагата, Джун-ин; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8 .
Кунен, Кеннет ; Воган, Джерри Э., ред. (1984). Справочник по теоретико-множественной топологии . Северная Голландия. ISBN 0-444-86580-2 .
Нагата, Джун-ин (1985). Современная общая топология Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 33 (2-е исправленное изд.). Амстердам-Нью-Йорк-Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0080933793 . Збл 0598.54001 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .
Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. ISBN 0-521-36062-5 . Збл 0668.54001 .
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-08707-9 . Збл 0205.26601 . Также доступно в виде переиздания Dover.

Внешние ссылки

Глоссарий определений топологии

[1] Викерс (1989) стр.22

[FOOTNOTEHartNagataVaughan20049-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Харт, Нагата и Воган 2004 , с. 9.

[3] Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2012). Энциклопедия расстояний . Спрингер Верлаг . стр. 64. ИСБН 978-3642309588 .

[FOOTNOTEHartNagataVaughan20048–9-4] Перейти обратно: ^а ^б Харт, Нагата и Воган, 2004 г. , стр. 8–9.

[5] Нагата (1985) стр.104

[ss163-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Стин и Сибах (1978) стр.163

[ss41-7] Стин и Зеебах (1978) стр.41

[ss162-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Стин и Сибах (1978) стр.162

[9] Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201087079 . Збл 0205.26601 .

[10] Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 159. Шпрингер-Верлаг . стр. 367–376. ISBN 0-387-94460-5 . Збл 0887.30003 .

[11] Викерс (1989) стр.65

[ss4-12] Стин и Зеебах стр.4

[ss29-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стин и Сибах (1978) стр.29

[GKW290-14] Перейти обратно: ^а ^б Габбай, Дов М.; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Хайден, ред. (2012). Наборы и расширения в двадцатом веке . Эльзевир. п. 290. ИСБН 978-0444516213 .

[EGT65-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Харт и др. (2004), стр.65.

[ss7-16] Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах (1978), стр.7

[ss23-17] Стин и Сибах (1978) стр.23

[ss25-18] Стин и Сибах (1978) стр.25

[19] Харт, Нагата, секта Воана. д-22, стр. 227

[20] Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Курнарт, Мишель (2010). Клеточные автоматы и группы . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer Verlag . п. 3. ISBN 978-3-642-14033-4 . Збл 1218.37004 .

[Steen_&_Seebach_1978_p.6-21] Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах (1978), стр.6

[22] Викерс (1989) стр.95

[FOOTNOTEHartNagataVaughan20048-23] Перейти обратно: ^а ^б Харт, Нагата и Воган 2004 , с. 8.

[24] Викерс (1989) стр.66

[25] Мирослав Гушек; Дж. ван Милль (2002), Недавний прогресс в общей топологии , т. 1, с. 2, Эльзевир, с. 21, ISBN 0-444-50980-1

[ss33-26] Стин и Сибах (1978) стр.33

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

v т и Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые понятия	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный подключен Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Коллектор Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации