Диагонализуемая матрица

Эта статья о диагонализации матриц в линейной алгебре. Чтобы узнать о других значениях, см. Диагонализация .

В линейной алгебре квадратная матрица $A$ называется диагонализуемой или недефектной, если она подобна матрице диагональной . То есть, если существует обратимая матрица $P$ и диагональная матрица $D$ такой, что $P^{-1}AP=D$. Это эквивалентно $A=PDP^{-1}$. (Такой $P$, $D$ не единственны.) Это свойство существует для любого линейного отображения: для конечномерного векторного пространства $V$, линейная карта $T:V\to V$ называется диагонализуемым, если существует упорядоченный базис $V$ состоящий из собственных векторов $T$. Эти определения эквивалентны: если $T$ имеет матричное представление $A=PDP^{-1}$ как указано выше, тогда векторы-столбцы $P$ образуют базис, состоящий из собственных векторов $T$, и диагональные элементы $D$ являются соответствующими собственными значениями $T$; относительно этого базиса собственных векторов, $T$ представлен $D$.

Диагонализация – это процесс нахождения вышеперечисленного $P$ и $D$ и упрощает многие последующие вычисления. Можно поднять диагональную матрицу $D$ в степень, просто возведя диагональные элементы в эту степень. Определитель диагональной матрицы — это просто произведение всех диагональных элементов. Такие вычисления легко обобщаются до $A=PDP^{-1}$.

Геометрическое преобразование, представленное диагонализуемой матрицей, представляет собой неоднородное расширение (или анизотропное масштабирование ). То есть он может масштабировать пространство на разную величину в разных направлениях. Направление каждого собственного вектора масштабируется коэффициентом, заданным соответствующим собственным значением.

Квадратная матрица, не диагонализируемая, называется дефектной . Может случиться так, что матрица $A$ с реальными записями дефектен по отношению к действительным числам, а это означает, что $A=PDP^{-1}$ невозможно ни для какого обратимого $P$ и диагональ $D$ с реальными записями, но можно и со сложными записями, так что $A$ диагонализуемо по комплексным числам. Например, это относится к общей матрице вращения .

Многие результаты для диагонализируемых матриц верны только над алгебраически замкнутым полем (например, над комплексными числами). В этом случае диагонализируемые матрицы плотны в пространстве всех матриц, а это означает, что любая дефектная матрица может быть деформирована в диагонализуемую матрицу небольшим возмущением ; а разложение Жордана – Шевалле утверждает, что любая матрица является однозначно суммой диагонализуемой матрицы и нильпотентной матрицы . Над алгебраически замкнутым полем диагонализируемые матрицы эквивалентны полупростым матрицам .

Определение

Квадрат $n\times n$ матрица, $A$, с записями в поле $F$ называется диагонализируемым или недефектным , если существует $n\times n$ обратимая матрица (т.е. элемент общей линейной группы GL _n ( F )), $P$, такой, что $P^{-1}AP$ является диагональной матрицей. Формально,

$A\in F^{n\times n}{\text{ diagonalizable}}\iff \exists \,P\in \operatorname {GL} _{n}(F):\;P^{-1}\!AP{\text{ diagonal}}$

Характеристика

Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается в следующем:

• Ан $n\times n$ матрица $A$ над полем $F$ диагонализуема тогда и только тогда, когда сумма размерностей ее собственных пространств равна $n$ существует базис , что имеет место тогда и только тогда, когда $F^{n}$ состоящий из собственных векторов $A$. Если такой базис найден, можно составить матрицу $P$ имея эти базисные векторы в виде столбцов, и $P^{-1}AP$ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями $A$. Матрица $P$ известна как модальная матрица для $A$.
• Линейная карта $T:V\to V$ диагонализуема тогда и только тогда, когда сумма размерностей ее собственных пространств равна $\dim(V)$, что имеет место тогда и только тогда, когда существует базис $V$ состоящий из собственных векторов $T$. Что касается такого основания, $T$ будет представлена ​​диагональной матрицей. Диагональные элементы этой матрицы являются собственными значениями $T$.

Часто бывает полезно следующее достаточное (но не необходимое) условие.

• Ан $n\times n$ матрица $A$ диагонализуемо по полю $F$ если у него есть $n$ различные собственные значения в $F$, т. е. если его характеристический полином имеет $n$ отдельные корни в $F$; однако обратное может быть ложным. Учитывать $${\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},$$ имеет собственные значения 1, 2, 2 (не все различны) и диагонализуем в диагональной форме ( аналогично который $A$) $${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}$$ и изменение базовой матрицы $P$: $${\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.$$ Обратное неверно, когда $A$ имеет собственное пространство размерности больше 1. В этом примере собственное пространство $A$ связанное с собственным значением 2, имеет размерность 2.
• Линейная карта $T:V\to V$ с $n=\dim(V)$ диагонализируема, если она имеет $n$ различные собственные значения, т. е. если его характеристический полином имеет $n$ отдельные корни в $F$.

Позволять $A$ быть матрицей над $F$. Если $A$ диагонализуема, то и любая ее степень диагонализируема. И наоборот, если $A$ является обратимым, $F$ алгебраически замкнуто и $A^{n}$ диагонализуема для некоторых $n$ не является целым кратным характеристике $F$, затем $A$ является диагонализируемым. Доказательство: если $A^{n}$ диагонализируема, то $A$ аннулируется некоторым полиномом $\left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)$, который не имеет кратного корня (поскольку $\lambda _{j}\neq 0$) и делится на минимальный многочлен $A$.

Над комплексными числами $\mathbb {C}$, почти каждая матрица диагонализуема. Точнее: набор сложных $n\times n$ матрицы, не диагонализуемые по $\mathbb {C}$, рассматриваемый подмножество как $\mathbb {C} ^{n\times n}$, имеет нулевую меру Лебега . что диагонализируемые матрицы образуют плотное подмножество относительно топологии Зарисского : недиагонализируемые матрицы лежат внутри исчезающего множества дискриминанта Можно также сказать , характеристического многочлена, которое является гиперповерхностью . Отсюда следует и плотность в обычной ( сильной ) топологии, заданной нормой . То же самое не верно $\mathbb {R}$.

Разложение Жордана – Шевалле выражает оператор как сумму его полупростой (т. е. диагонализируемой) части и нильпотентной части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализируема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый «блок» представляет собой поочередную матрицу.

Диагонализация

См. Также: Собственное разложение матрицы.

Рассмотрим два следующих произвольных базиса $E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}$ и $F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}$. Предположим, что существует линейное преобразование, представленное матрицей $A_{E}$ которое записано относительно базиса E. Предположим также, что существует следующее собственное уравнение:

$A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}$

Собственные альфа-векторы записаны также относительно базиса E. Поскольку множество F одновременно является набором собственных векторов матрицы A и охватывает произвольное векторное пространство, то мы говорим, что существует матрица $D_{F}$ которая представляет собой диагональную матрицу, похожую на $A_{E}$. Другими словами, $A_{E}$ является диагонализуемой матрицей, если матрица записана в базисе F. Вычисление смены базиса выполним с помощью матрицы перехода $S$, который меняет основу с E на F следующим образом:

$D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}$,

где $S_{E}^{F}$ – матрица перехода от E-базиса к F-базису. Обратное затем можно приравнять к новой матрице перехода. $P$ который вместо этого меняет базис с F на E, и поэтому мы имеем следующее соотношение:

$S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}$

Оба $S$ и $P$ матрицы перехода обратимы. Таким образом, мы можем манипулировать матрицами следующим образом: $${\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}$$Матрица $A_{E}$ будет обозначаться как $A$, который пока находится в E-базе. Аналогично диагональная матрица находится в F-базисе.

Диагонализацию симметричной матрицы можно интерпретировать как поворот осей для выравнивания их по собственным векторам.

Если матрица $A$ может быть диагонализировано, т.е.

$P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,$

затем:

$AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.$

Матрица перехода S имеет векторы E-базиса в виде столбцов, записанных в базисе F. И наоборот, обратная матрица перехода P имеет векторы F-базиса. ${\boldsymbol {\alpha }}_{i}$ записано на основе E, так что мы можем представить P в форме блочной матрицы следующим образом:

$P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},$

в результате мы можем написать: $${\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}$$

В форме блочной матрицы мы можем рассматривать A-матрицу как матрицу размером 1x1, а P — как матрицу размером 1xn. D-матрицу можно записать в полной форме со всеми диагональными элементами в виде размерной матрицы nxn:

$A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.$

Выполняя вышеуказанное умножение матриц, мы получаем следующий результат: $${\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$Взяв каждый компонент блочной матрицы по отдельности с обеих сторон, мы получим следующее:

$A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).$

Таким образом, векторы-столбцы $P$ являются правыми собственными векторами $A$, а соответствующий диагональный элемент является соответствующим собственным значением . Обратимость $P$ также предполагает, что собственные векторы линейно независимы и составляют основу $F^{n}$. Это необходимое и достаточное условие диагонализуемости и канонического подхода диагонализации. Векторы строки - $P^{-1}$ являются левыми собственными векторами $A$.

Когда сложная матрица $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — эрмитова матрица (или, в более общем смысле, нормальная матрица ), собственные векторы $A$ может быть выбран для формирования ортонормированного базиса $\mathbb {C} ^{n}$, и $P$ можно выбрать унитарную матрицу . Если, кроме того, $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ является вещественной симметричной матрицей , то ее собственные векторы можно выбрать в качестве ортонормированного базиса $\mathbb {R} ^{n}$ и $P$ может быть выбрана ортогональная матрица .

Для большинства практических работ матрицы диагонализируются численно с использованием компьютерного программного обеспечения. множество алгоритмов Для этого существует .

Одновременная диагонализация

См. также: Одновременная триангуляризуемость , Вес (теория представлений) и Положительно определенная матрица.

Множество матриц называется одновременно диагонализируемым, если существует единственная обратимая матрица. $P$ такой, что $P^{-1}AP$ является диагональной матрицей для каждого $A$ в наборе. Следующая теорема характеризует одновременно диагонализируемые матрицы: множество диагонализируемых матриц коммутирует тогда и только тогда, когда это множество одновременно диагонализуемо.

Набор всего $n\times n$ диагонализуемые матрицы (более $\mathbb {C}$) с $n>1$ не является одновременно диагонализируемым. Например, матрицы

${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}$

диагонализуемы, но не диагонализуемы одновременно, поскольку они не коммутируют.

Множество состоит из коммутирующих нормальных матриц тогда и только тогда, когда оно одновременно диагонализуемо унитарной матрицей ; то есть существует унитарная матрица $U$ такой, что $U^{*}AU$ диагональна для каждого $A$ в наборе.

На языке теории Ли набор одновременно диагонализируемых матриц порождает торическую алгебру Ли .

Примеры

Диагонализуемые матрицы

• Инволюции диагонализуемы по действительным числам (да и вообще по любому полю характеристики, отличной от 2), с ±1 на диагонали.
• конечного порядка Эндоморфизмы диагонализуемы над $\mathbb {C}$ (или любое алгебраически замкнутое поле, характеристика которого не делит порядок эндоморфизма) с корнями из единицы на диагонали. Это следует из того, что минимальный полином отделим , поскольку корни из единицы различны.
• Проекции являются диагонализуемыми, с 0 и 1 на диагонали.
• Действительные симметричные матрицы диагонализуемы ортогональными матрицами ; т. е. для реальной симметричной матрицы $A$, $Q^{\mathrm {T} }AQ$ диагональна для некоторой ортогональной матрицы $Q$. В более общем смысле, матрицы диагонализуемы унитарными тогда и только тогда, когда они нормальны . В случае вещественной симметричной матрицы мы видим, что $A=A^{\mathrm {T} }$, так ясно $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ держит. Примерами нормальных матриц являются действительные симметричные (или кососимметричные ) матрицы (например, ковариационные матрицы) и эрмитовые матрицы (или косоэрмитовые матрицы). См. спектральные теоремы для обобщений на бесконечномерные векторные пространства.

Матрицы, недиагонализуемые

В общем, матрица вращения не диагонализируема по действительным числам, но все матрицы вращения диагонализуемы по комплексному полю. Даже если матрица не диагонализуема, всегда можно «сделать все возможное» и найти матрицу с теми же свойствами, состоящую из собственных значений на главной диагонали и единиц или нулей на супердиагонали, известную как жорданова нормаль. форма .

Некоторые матрицы не диагонализуемы ни в каком поле, особенно ненулевые нильпотентные матрицы . В более общем случае это происходит, если алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения не совпадают. Например, рассмотрим

$C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

Эта матрица недиагонализуема: не существует матрицы $U$ такой, что $U^{-1}CU$ является диагональной матрицей. Действительно, $C$ имеет одно собственное значение (а именно ноль), и это собственное значение имеет алгебраическую кратность 2 и геометрическую кратность 1.

Некоторые действительные матрицы не диагонализуемы по действительным числам. Рассмотрим, например, матрицу

$B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].$

Матрица $B$ не имеет действительных собственных значений, поэтому не существует реальной матрицы $Q$ такой, что $Q^{-1}BQ$ является диагональной матрицей. Однако мы можем провести диагонализацию $B$ если мы разрешим комплексные числа. Действительно, если мы возьмем

$Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},$

затем $Q^{-1}BQ$ является диагональным. Это легко найти $B$ - матрица вращения, которая вращается против часовой стрелки на угол ${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$

Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.

Как диагонализировать матрицу

Диагонализация матрицы — это тот же процесс, что и нахождение ее собственных значений и собственных векторов , в случае, если собственные векторы образуют базис. Например, рассмотрим матрицу

$A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].$

Корни характеристического многочлена $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ собственные значения $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$. Решение линейной системы $\left(I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ дает собственные векторы $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ и $\mathbf {v} _{2}=(0,2,1)$, пока $\left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ дает $\mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)$; то есть, $A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$ для $i=1,2,3$. Эти векторы составляют основу $V=\mathbb {R} ^{3}$, поэтому мы можем собрать их как векторы-столбцы смены базиса матрицы $P$ получить: $$P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.$$ Мы можем рассматривать это уравнение с точки зрения преобразований: $P$ переводит стандартный базис в собственный базис, $P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}$, поэтому мы имеем: $$P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},$$ так что $P^{-1}AP$ имеет стандартный базис в качестве собственных векторов, что является определяющим свойством $D$.

Обратите внимание, что не существует предпочтительного порядка собственных векторов в $P$; изменение порядка собственных векторов в $P$ просто меняет порядок собственных значений в диагонализированной форме $A$.

Приложение к матричным функциям

Диагонализацию можно использовать для эффективного вычисления степеней матрицы. $A=PDP^{-1}$:

${\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}$

а последнее легко вычислить, поскольку оно включает только степени диагональной матрицы. Например, для матрицы $A$ с собственными значениями $\lambda =1,1,2$ в приведенном выше примере мы вычисляем:

${\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Этот подход можно обобщить на матричную экспоненту и другие матричные функции , которые можно определить как степенные ряды. Например, определение ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$, у нас есть:

${\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Это особенно полезно при поиске выражений в замкнутой форме для членов линейных рекурсивных последовательностей , таких как числа Фибоначчи .

Особое применение

Например, рассмотрим следующую матрицу:

$M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.$

Вычисление различных степеней $M$ обнаруживает удивительную закономерность:

$M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots$

Вышеописанное явление можно объяснить диагонализацией $M$. Для этого нам понадобится основа $\mathbb {R} ^{2}$ состоящий из собственных векторов $M$. Один из таких базисов собственных векторов определяется выражением

$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},$

где e _i обозначает стандартный базис R ^н . Обратная замена базиса определяется выражением

$\mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .$

Непосредственные расчеты показывают, что

$M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .$

Таким образом, a и b — собственные значения, соответствующие u и v соответственно. Ввиду линейности умножения матриц имеем, что

$M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .$

Возвращаясь к стандартной основе, мы имеем

${\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}$

Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, имеют вид

$M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},$

тем самым объясняя вышеупомянутое явление.

Квантово-механическое применение

В квантово-механических и квантово-химических расчетах диагонализация матрицы является одним из наиболее часто применяемых численных процессов. Основная причина заключается в том, что независимое от времени уравнение Шредингера является уравнением собственных значений, хотя в большинстве физических ситуаций в бесконечномерном гильбертовом пространстве .

Очень распространенным приближением является усечение гильбертова пространства до конечной размерности, после чего уравнение Шредингера можно сформулировать как проблему собственных значений вещественной симметричной или комплексной эрмитовой матрицы. Формально это приближение основано на вариационном принципе , справедливом для ограниченных снизу гамильтонианов.

Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.

См. также

• Дефектная матрица
• Масштабирование (геометрия)
• Треугольная матрица
• Полупростой оператор
• Диагонализуемая группа
• Джордан в нормальной форме
• Весовой модуль – обобщение ассоциативной алгебры
• Ортогональная диагонализация