Архитектурно-тектоническая и катоптрическая мозаика

В геометрии , Джон Хортон Конвей определяет архитектонические и катоптрические мозаики как однородные мозаики (или соты ) евклидова трехмерного пространства с простыми пространственными группами и их двойниками как трехмерный аналог платоновской, архимедовой и каталонской мозаики плоскости. Особая вершинная фигура архитектонической мозаики является двойственной ячейке соответствующей катоптрической мозаики , и наоборот. Кубиль — единственная платоновская (правильная) мозаика трехмерного пространства, которая самодвойственна. Существуют и другие однородные соты, построенные в виде вращающихся или призматических стопок (и их двойников), которые исключены из этих категорий.

Перечисление

Пары архитектонических и катоптрических мозаик перечислены ниже с указанием их группы симметрии . Эти мозаики представляют только четыре пространственные группы симметрии , а также все внутри кубической кристаллической системы . Многие из этих мозаик могут быть определены в нескольких группах симметрии, поэтому в каждом случае выражается высшая симметрия.

Ссылка. ^{[ 1 ]} индексы	Симметрия	Архитектурная мозаика			Катоптрическая мозаика
Ссылка. ^{[ 1 ]} индексы	Симметрия	Имя Диаграмма Кокстера Изображение	Вершинная фигура Изображение	Клетки	Имя	Клетка	Вершинные фигуры
Дж _11,15 А ₁ Вт ₁ Г ₂₂ д ₄	NC [4,3,4]	Кубилье (Кубические соты)	Октаэдр ,		Кубилье	Куб ,
Дж _12,32 В ₁₅ Вт ₁₄ G ₇ т ₁ д ₄	NC [4,3,4]	Кубоктаэдрилл (Ректифицированные кубические соты)	Кубовидный ,		Сплющенный октаэдрилл	Равнобедренная квадратная бипирамида	,
Дж ₁₃ А ₁₄ Вт ₁₅ Г ₈ т _0,1 д ₄	NC [4,3,4]	Усеченный кубиль (Усеченные кубические соты)	Равнобедренная квадратная пирамида		Для пирамиды	Равнобедренная квадратная пирамида	,
Дж ₁₄ А ₁₇ Вт ₁₂ G_G9 т _0,2 δ ₄	NC [4,3,4]	2-RCO-трель (Кантеллированные кубические соты)	Клин		Четверть сплющенный октаэдрилл	ирр. Треугольная бипирамида	, ,
Дж ₁₆ A_А3 W_П2 Г ₂₈ т _1,2 δ ₄	до нашей эры [[4,3,4]]	Усеченный октаэдрилл (Двуусеченные кубические соты)	Тетрагональный дисфеноид		Сплюснутый тетраэдрилл	Тетрагональный дисфеноид
Дж ₁₇ В _{18 лет} Вт ₁₃ Г ₂₅ т _0,1,2 δ ₄	NC [4,3,4]	трель n-tCO (Пусеные кубические соты)	Зеркальная клиновидная кость		Треугольная пирамидиль	Зеркальная клиновидная кость	, ,
Дж ₁₈ А ₁₉ Вт ₁₉ Г ₂₀ т _0,1,3 δ ₄	NC [4,3,4]	1-RCO-трель (Рыжеусеченные кубические соты)	Трапециевидная пирамида		Квадратная четверть пирамидиллы	Ирр. пирамида	, , ,
J_J19 А ₂₂ Вт ₁₈ Г ₂₇ т _0,1,2,3 δ ₄	до нашей эры [[4,3,4]]	трель b-tCO (Всеусеченные кубические соты)	Филлический дисфеноид		Восьмая пирамидиль	Филлический дисфеноид	,
Дж _21,31,51 A_А2 W_W9 Г ₁ HD ₄	ФК [4,3 ^1,1]	Тетроктаэдрилл (Тетраэдрически-октаэдрические соты) или	Кубооктаэдр ,		Додекаэдрилл или	Ромбический додекаэдр ,	,
Дж _22,34 А ₂₁ Вт ₁₇ Г ₁₀ час ₂ δ ₄	ФК [4,3 ^1,1]	усеченный тетраоктаэдрилл (Усеченные тетраэдрически-октаэдрические соты) или	Прямоугольная пирамида		Полусплюснутый октаэдрилл или	ромбическая пирамида	, ,
Дж ₂₃ И ₁₆ Вт ₁₁ Г ₅ ч ₃ д ₄	ФК [4,3 ^1,1]	3-RCO-трель (Скантеллярные тетраэдрически-октаэдрические соты) или	Усеченная треугольная пирамида		Четверть кубиль	ирр. треугольная бипирамида
Дж ₂₄ 20 Вт ₁₆ Г ₂₁ ч _2,3 δ ₄	ФК [4,3 ^1,1]	трель f-tCO (Пусечатые тетраэдрически-октаэдрические соты) или	Зеркальная клиновидная кость		Половина пирамидиллы	Зеркальная клиновидная кость
Дж _25,33 А ₁₃ Вт ₁₀ G_G6 4 _{квартала}	д [[3 ^[4]]]	Усеченный тетраэдрилл (Циклоусеченные тетраэдрически-октаэдрические соты) или	Равнобедренная треугольная призма		Сплющенный кубиль	Трехугольный трапецоэдр

Вершинные фигуры

Фигуры вершин всех архитектурных сот и двойные ячейки всех катоптрических сот показаны ниже в том же масштабе и той же ориентации:

Симметрия

Эти четыре группы симметрии обозначены как:

Этикетка	Описание	космическая группа Международный символ	Геометрический обозначение ^{[ 2 ]}	Коксетер обозначение	Фибрифолд обозначение
до нашей эры	бикубическая симметрия или расширенная кубическая симметрия	(221) Я 3 м	I43	[[4,3,4]]	8°:2
NC	нормальная кубическая симметрия	(229) Пм 3 м	P43	[4,3,4]	4 ⁻:2
ФК	полукубическая симметрия	(225) Фм 3 м	Ф43	[4,3 ^1,1] = [4,3,4,1 ⁺]	2 ⁻:2
д	алмазная симметрия или расширенная четвертькубическая симметрия	(227) Фд 3 м	Ф _д 4 _н 3	[[3 ^[4]]] = [[1 ⁺,4,3,4,1 ⁺]]	2 ⁺:2

Ссылки

^ Для перекрестных ссылок на архитектонические тела им даны индексы списков Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34). , 41–49, 51–52, 61–65) и Грюнбаум (1–28). Имена Кокстера основаны на δ ₄ как кубические соты , hδ ₄ как чередующиеся кубические соты и qδ ₄ как четвертькубические соты .
^ Хестенес, Дэвид; Холт, Джереми (27 февраля 2007 г.). «Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре» (PDF) . Журнал математической физики . 48 (2). ООО «АИП Паблишинг»: 023514. doi : 10.1063/1.2426416 . ISSN 1089-7658 .

Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры , Уолтер Стирер, София Делуди (2009), с. 54-55. 12 упаковок из 2 и более однородных многогранников кубической симметрии.

Дальнейшее чтение

Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «21. Наименование архимедовых и каталанских многогранников и мозаик». Симметрии вещей . АК Петерс, ООО, стр. 292–298. ISBN 978-1-56881-220-5 .
Инчбальд, Гай (июль 1997 г.). «Архимедовы сотовые двойники». Математический вестник . 81 (491). Лестер: Математическая ассоциация: 213–219. дои : 10.2307/3619198 . JSTOR 3619198 . [1]
Бранко Грюнбаум , (1994) Равномерные замощения трехмерного пространства. Геомбинаторика 4, 49 – 56.
Норман Джонсон (1991) Равномерные многогранники , рукопись
А. Андреини , (1905) О сетях правильных и полуправильных многогранников и о соответствующих корреляционных сетях (О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14. 75– 129. PDF [2]
Георгий Ольшевский, (2006) Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись PDF [3]
Пирс, Питер (1980). Структура в природе – это стратегия дизайна . Массачусетский технологический институт Пресс. стр. 41–47. ISBN 9780262660457 .
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [4]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45] См. стр. 318 [5]

[1] Для перекрестных ссылок на архитектонические тела им даны индексы списков Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34). , 41–49, 51–52, 61–65) и Грюнбаум (1–28). Имена Кокстера основаны на δ ₄ как кубические соты , hδ ₄ как чередующиеся кубические соты и qδ ₄ как четвертькубические соты .

[2] Хестенес, Дэвид; Холт, Джереми (27 февраля 2007 г.). «Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре» (PDF) . Журнал математической физики . 48 (2). ООО «АИП Паблишинг»: 023514. doi : 10.1063/1.2426416 . ISSN 1089-7658 .

[ 1 ]

[ 2 ]