Инстантон

ДХ ​ ¹ ⊗σ ₃ коэффициент BPST-инстантона на (x ¹ ,х ² ) -кусок R ⁴ где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). ДХ ​ ² Коэффициент ⊗σ ₃ (справа вверху). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ Р ​ ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST представляет собой классическое инстантонное решение уравнений Янга–Миллса на R ⁴ .

Инстантон псевдочастица или ( ) — понятие, появляющееся в теоретической и математической физике . Инстантон — это классическое решение уравнений движения с конечным, ненулевым действием либо в квантовой механике , либо в квантовой теории поля . Точнее, это решение уравнений движения классической теории поля в евклидовом пространстве-времени .

В таких квантовых теориях решения уравнений движения можно рассматривать как точки действия критические . Критическими точками действия могут быть локальные максимумы действия, локальные минимумы или седловые точки . Инстантоны важны в квантовой теории поля, потому что:

• они появляются в интеграле по путям как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы и
• их можно использовать для изучения туннельного поведения в различных системах, таких как теория Янга – Миллса .

Что касается динамики , семейства инстантонов допускают, что инстантоны, т.е. различные критические точки уравнения движения, связаны друг с другом. В физике инстантоны особенно важны, поскольку считается, что конденсация инстантонов (и индуцированных шумом антиинстантонов) является объяснением индуцированной шумом хаотической фазы, известной как самоорганизованная критичность .

Математика

См. Также: уравнения Янга – Миллса и калибровочная теория (математика).

Математически инстантон Янга-Миллса представляет собой самодуальную или антиавтодуальную связность в главном расслоении над четырехмерным римановым многообразием , которое играет роль физического пространства-времени в неабелевой калибровочной теории . Инстантоны — это топологически нетривиальные решения уравнений Янга–Миллса , абсолютно минимизирующие функционал энергии в пределах своего топологического типа. Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного в четырехмерную сферу , и оказались локализованными в пространстве-времени, что привело к появлению названий псевдочастица и инстантон .

Инстантоны Янга-Миллса во многих случаях были явно построены с помощью твисторной теории , которая связывает их с алгебраическими векторными расслоениями на алгебраических поверхностях , а также с помощью конструкции ADHM или гиперкэлеровой редукции (см. гиперкэлерово многообразие ), процедуры геометрической теории инвариантов. Новаторская работа Саймона Дональдсона , за которую он позже был награжден медалью Филдса , использовала пространство модулей инстантонов над заданным четырехмерным дифференцируемым многообразием в качестве нового инварианта многообразия, зависящего от его дифференцируемой структуры , и применила его к конструкции гомеоморфных , но не диффеоморфных четырехмногообразий. Многие методы, развитые при изучении инстантонов, были применены и к монополям . Это связано с тем, что магнитные монополи возникают как решения размерной редукции уравнений Янга – Миллса.

Квантовая механика

Инстантон . можно использовать для расчета вероятности перехода квантовомеханической частицы, туннелирующей через потенциальный барьер Одним из примеров системы с инстантонным эффектом является частица в двухямном потенциале . В отличие от классической частицы, существует ненулевая вероятность того, что она пересечет область потенциальной энергии, превышающей ее собственную энергию.

Мотивация рассмотрения инстантонов

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухямного потенциала. $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.$ Потенциальная энергия принимает минимальное значение при $x=\pm 1$, и они называются классическими минимумами, потому что в классической механике частица имеет тенденцию находиться в одном из них. В классической механике есть два состояния с наименьшей энергией.

В квантовой механике мы решаем уравнение Шредингера

$-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$

идентифицировать собственные энергетические состояния. Если мы сделаем это, мы найдём только единственное состояние с наименьшей энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах $x=\pm 1$ а не только один из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования.

Инстантоны — это инструмент, позволяющий понять, почему это происходит в полуклассическом приближении формулировки интеграла по путям в евклидово время. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое приблизительно вычисляет саму волновую функцию, а затем перейдем к введению инстантонов, используя формулировку интеграла по траекториям.

Приближение ВКБ

Один из способов вычисления этой вероятности — с помощью полуклассического приближения ВКБ , для которого требуется значение $\hbar$ быть маленьким. Независимое от времени уравнение Шредингера для частицы имеет вид

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .$

Если бы потенциал был постоянным, решением была бы плоская волна с точностью до коэффициента пропорциональности:

$\psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,$

с

$k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.$

Это означает, что если энергия частицы меньше потенциальной энергии, то получается экспоненциально убывающая функция. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

$e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},$

где a и b — начало и конец туннельной траектории.

Интерпретация интеграла по траекториям через инстантоны

Альтернативно, использование интегралов по траекториям позволяет интерпретировать инстантоны , и с помощью этого подхода можно получить тот же результат. В формулировке интеграла по траектории амплитуда перехода может быть выражена как

$K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.$

Следуя процессу вращения Вика (аналитическое продолжение) к евклидову пространству-времени ( $it\rightarrow \tau$), получается

$K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},$

с евклидовым действием

$S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .$

Потенциальная энергия меняет знак $V(x)\rightarrow -V(x)$ при вращении Вика минимумы превращаются в максимумы, тем самым $V(x)$ демонстрирует два «холма» максимальной энергии.

Рассмотрим теперь локальный минимум евклидова действия $S_{E}$ с двухямным потенциалом $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}$, и мы установили $m=1$ просто для простоты вычислений. Поскольку мы хотим знать, как два классических состояния с наименьшей энергией $x=\pm 1$ связаны, давайте установим $a=-1$ и $b=1$. Для $a=-1$ и $b=1$, мы можем переписать евклидово действие как

$S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}$

$\quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).$

$\quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.$

Приведенное выше неравенство насыщается решением уравнения ${dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}$ с условием $x(\tau _{a})=-1$ и $x(\tau _{b})=1$. Такие решения существуют, и решение принимает простую форму, когда $\tau _{a}=-\infty$ и $\tau _{b}=\infty$. Явная формула для инстантонного решения имеет вид

$x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).$

Здесь $\tau _{0}$ — произвольная константа. Поскольку это решение выскакивает из одного классического вакуума $x=-1$ в другой классический вакуум $x=1$ мгновенно вокруг $\tau =\tau _{0}$, он называется инстантоном.

Явная формула для двухямного потенциала

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухямным потенциалом была дана Мюллером – Кирстеном. с выводом как методом возмущений (плюс граничные условия), примененным к уравнению Шредингера, так и явным выводом из интеграла по путям (и ВКБ). Результат следующий. Определяя параметры уравнения Шрёдингера и потенциала уравнениями

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,$

и

$V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,$

собственные значения для $q_{0}=1,3,5,...$ оказываются:

$E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})$

$\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.$

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически ( $h^{2}\rightarrow \infty$) вырождаются, как и ожидалось, вследствие гармонической части потенциала.

Результаты

Результаты, полученные с помощью математически четко определенного евклидова интеграла по путям, могут быть повернуты обратно по Вику и дать те же физические результаты, которые были бы получены при соответствующей обработке (потенциально расходящегося) интеграла по путям Минковского. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода частицы на туннелирование через классически запрещенную область ( $V(x)$) с интегралом по путям Минковского соответствует вычислению вероятности перехода на туннелирование через классически разрешенную область (с потенциалом −V ( X ) ) в интеграле по путям Евклида (образно говоря – в евклидовой картине – этот переход соответствует скатыванию частицы из один холм двухъямного потенциала, стоящий на голове по отношению к другому холму). Это классическое решение евклидовых уравнений движения часто называют «кинк-решением» и является примером инстантона . В этом примере два «вакуума» (т.е. основные состояния) двухъямного потенциала превращаются в холмы в евклидовой версии задачи.

Таким образом, решение инстантонного поля (евклидовой, т.е. с мнимым временем) (1 + 1)-мерной теории поля – первое квантованное квантовомеханическое описание – позволяет интерпретировать как эффект туннелирования между двумя вакуумами (основные состояния – высшие состояния). состояния требуют периодических инстантонов) физической (одномерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае двухямного потенциала записано

$V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}$

инстантон, т.е. решение

${\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),$

(т.е. с энергией $E_{cl}=0$), является

$\phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],$

где $\tau =it$ это евклидово время.

Обратите внимание , что наивная теория возмущений только вокруг одного из этих двух вакуумов (описания Минковского) никогда не продемонстрировала бы этот непертурбативный туннельный эффект , резко меняя картину вакуумной структуры этой квантово-механической системы. Фактически наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, и они обеспечивают непертурбативный эффект, как это видно из приведенной выше явной формулы и аналогичных расчетов для других потенциалов, таких как косинусный потенциал (ср. Функция Матье ) или другие периодические потенциалы. (ср., например, функцию Ламе и сфероидальную волновую функцию ) и независимо от того, используется ли уравнение Шредингера или интеграл по путям .

Следовательно, пертурбативный подход не может полностью описать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории «аксионов» , где нетривиальные вакуумные эффекты КХД (например, инстантоны ) явно нарушают симметрию Печчеи – Куинна и превращают безмассовые бозоны Намбу – Голдстоуна в массивные псевдо-Намбу – Голдстоуна. те .

Периодические инстантоны

Основная статья: Периодические инстантоны

В одномерной теории поля или квантовой механике под «инстантоном» понимают конфигурацию поля, которая является решением классического (ньютоновоподобного) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым действием. В контексте теории солитонов соответствующее решение известно как кинк . Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, как и другие, называются псевдочастицами или псевдоклассическими конфигурациями. «Инстантонное» (кинковое) решение сопровождается другим решением, известным как «анти-инстантонное» (анти-кинк), причем инстантон и антиинстантон отличаются «топологическими зарядами» +1 и -1 соответственно, но имеют одинаковые Евклидово действие.

«Периодические инстантоны» являются обобщением инстантонов. В явной форме они выражаются через эллиптические функции Якоби , которые являются периодическими функциями (фактически обобщениями тригонометрических функций). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны, часто известные как «отскоки», «пузыри» и т.п., превращаются в инстантоны.

Устойчивость этих псевдоклассических конфигураций можно исследовать, расширив лагранжиан, определяющий теорию, вокруг конфигурации псевдочастиц, а затем исследовав уравнение малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий потенциалов четвертой степени (двойная яма, перевернутая двойная яма) и периодических потенциалов (Матье) эти уравнения оказались уравнениями Ламе, см. функцию Ламе . Собственные значения этих уравнений известны и позволяют в случае неустойчивости рассчитать скорости затухания путем оценки интеграла по траектории.

Инстантоны в теории скорости реакции

В контексте теории скорости реакций периодические инстантоны используются для расчета скорости туннелирования атомов в химических реакциях. Ход химической реакции можно описать как движение псевдочастицы по поверхности потенциальной энергии большой размерности (ППЭ). Термическая константа скорости $k$ тогда можно отнести к мнимой части свободной энергии $F$ к

$k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}$

посредством чего $Z_{k}$— каноническая статистическая сумма, которая вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении.

$Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle$

Используя вращение Вика и отождествляя евклидово время с $\hbar \beta =1/(k_{b}T)$, можно получить представление статистической суммы в виде интеграла по траектории в массово-взвешенных координатах:

$Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau$

Затем интеграл по путям аппроксимируется с помощью интегрирования наискорейшего спуска, которое учитывает только вклады классических решений и квадратичные флуктуации вокруг них. Это дает выражение константы скорости в массово-взвешенных координатах

$k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}$

где $\mathbf {x} _{\text{Inst}}$является периодическим инстантоном и $\mathbf {x} _{\text{RS}}$представляет собой тривиальное решение покоящейся псевдочастицы, которое представляет собой конфигурацию состояния реагента.

Формула перевернутой двойной лунки

Что касается двухъямного потенциала, то можно получить собственные значения для обращенного двухъямного потенциала. Однако в этом случае собственные значения являются комплексными. Определение параметров по уравнениям

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},$

собственные значения, данные Мюллером-Кирстеном, равны: $q_{0}=1,3,5,...,$

$E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.$

Мнимая часть этого выражения согласуется с известным результатом Бендера и Ву. В их обозначениях $\hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .$

Квантовая теория поля

Гиперсфера $S^{3}$
Гиперсфера Стереографическая проекция Параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый).

При изучении квантовой теории поля (КТП) вакуумная структура теории может привлечь внимание к инстантонам. Как показывает квантовомеханическая система с двойной ямой, наивный вакуум может не быть истинным вакуумом теории поля. Более того, истинный вакуум теории поля может представлять собой «перекрытие» нескольких топологически неэквивалентных секторов, так называемый « топологический вакуум ».

Хорошо понятный и наглядный пример инстантона и его интерпретации можно найти в контексте КТП с неабелевой калибровочной группой : Теория Янга -Миллса . Для теории Янга–Миллса эти неэквивалентные сектора могут быть (в соответствующей калибровке) классифицированы третьей гомотопической группой SU (2) (групповое многообразие которой представляет собой 3-сферное $S^{3}$). Определенный топологический вакуум («сектор» истинного вакуума) помечается неизменным преобразованием — индексом Понтрягина . В качестве третьей гомотопической группы $S^{3}$ оказалось, что это набор целых чисел ,

$\pi _{3}$$(S^{3})=$$\mathbb {Z} \,$

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов, обозначаемых через $N\rangle$, где $N$ – соответствующий им индекс Понтрягина. Инстантон — это конфигурация поля , удовлетворяющая классическим уравнениям движения в евклидовом пространстве-времени, что интерпретируется как эффект туннелирования между этими различными топологическими вакуумами. Он снова помечен целым числом, его индексом Понтрягина, $Q$. Можно представить инстантон с индексом $Q$ количественно оценить туннелирование между топологическими вакуумами $|N\rangle$ и $|N+Q\rangle$. Если Q = 1, конфигурация называется BPST-инстантон в честь ее первооткрывателей Александра Белавина , Александра Полякова , Альберта С. Шварца и Ю. С. Тюпкин . Истинный вакуум теории обозначается «углом» тэты и представляет собой перекрытие топологических секторов:

$|\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .$

Джерард 'т Хоофт впервые выполнил теоретико-полевые вычисления эффектов BPST-инстантона в теории, связанной с фермионами, в [1] . Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на инстантонном фоне приводят к непертурбативному мультифермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном воздействии.

Теория Янга – Миллса

Классическое действие Янга–Миллса на главном расслоении со структурной группой G , базой M , связностью A и кривизной (тензором поля Янга–Миллса) F имеет вид

$S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},$

где $d\mathrm {vol} _{M}$ это форма тома на $M$. Если внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$, Ли алгебра $G$ в котором $F$ принимает значения, задается формой Киллинга на ${\mathfrak {g}}$, то это можно обозначить как $\int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)$, с

$F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.$

Например, в случае калибровочной группы U(1) F будет тензором электромагнитного поля . Из принципа стационарного действия следуют уравнения Янга–Миллса. Они есть

$\mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.$

Первое из них тождественно, поскольку d F = d ² A = 0, но второе является уравнением в частных производных второго порядка для связи A , и если вектор тока Минковского не обращается в нуль, нуль в правой части. второго уравнения заменяется на $\mathbf {J}$. Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются звездой Ходжа . Таким образом, решение более простого (нелинейного) уравнения первого порядка

${*F}=\pm F\,$

автоматически также является решением уравнения Янга – Миллса. Это упрощение происходит на 4 многообразиях с: $s=1$ так что $*^{2}=+1$ на 2-х формах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G.

В неабелевых теориях Янга – Миллса $DF=0$ и $D*F=0$ где D — внешняя ковариантная производная . Более того, тождество Бьянки

$DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0$

удовлетворен.

В квантовой теории поля инстантон — это топологически нетривиальная конфигурация поля в четырёхмерном евклидовом пространстве (рассматриваемая как виковское вращение ) пространства-времени Минковского . В частности, это относится к Янга – Миллса калибровочному полю A , которое приближается к чистой калибровке на пространственной бесконечности . Это означает, что напряженность поля

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

исчезает в бесконечности. Название «инстантон» происходит от того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом) времени, другими словами, в определенный момент.

Случай инстантонов в двумерном пространстве легче визуализировать, поскольку он допускает простейший случай калибровочной группы , а именно U(1), то есть абелевой группы . В этом случае поле A можно представить просто как векторное поле . Инстантон — это конфигурация, в которой, например, стрелки направлены в сторону от центральной точки (т. е. состояние «ежа»). В евклидовых четырех измерениях $\mathbb {R} ^{4}$, абелевы инстантоны невозможны.

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации поля вакуума . Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью диаграмм Фейнмана , которые включают только пертурбативные эффекты. Инстантоны принципиально непертурбативны .

Энергия Янга – Миллса определяется выражением

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

где ∗ — двойственный Ходжу . Если мы будем настаивать на том, что решения уравнений Янга–Миллса имеют конечную энергию , то кривизна решения на бесконечности (взятая за предел ) должна быть равна нулю. Это означает, что инвариант Черна–Саймонса может быть определен на границе трехмерного пространства. это эквивалентно По теореме Стокса взятию интеграла

$\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].$

Это гомотопический инвариант, который говорит нам, к какому гомотопическому классу принадлежит инстантон.

Поскольку интеграл от неотрицательного подынтегрального выражения всегда неотрицательен,

$0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

для всех действительных θ. Итак, это означает

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.$

Если эта граница насыщена, то решением является состояние BPS . Для таких состояний либо ∗ F = F , либо ∗ F = − F в зависимости от знака гомотопического инварианта .

В Стандартной модели ожидается присутствие инстантонов как в электрослабом секторе , так и в хромодинамическом секторе, однако их существование пока не подтверждено экспериментально. Эффекты инстантона важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовой хромодинамики (КХД) и для объяснения массы так называемой «эта-первичной частицы», голдстоуновского бозона. который приобрел массу за счет аксиальной аномалии тока КХД. имеется и соответствующий солитон Заметим, что иногда в теории с одним дополнительным пространственным измерением . Недавние исследования инстантонов связывают их с такими темами, как D-браны и черные дыры и, конечно же, с вакуумной структурой КХД. Например, в ориентированных теориях струн Dp-брана — это инстантон калибровочной теории в мировой объёмной ( p + 5)-мерной U ( N ) калибровочной теории на стопке N D( p + 4)-браны.

Различное количество размеров

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Вид физического возбуждения, вызывающего инстантон, зависит от числа измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно не зависит от размерности.

В 4-мерных калибровочных теориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны представляют собой калибровочные расслоения с нетривиальным четырех форм характеристическим классом . Если калибровочная симметрия является унитарной группой или специальной унитарной группой , то этот характеристический класс является вторым классом Чженя , который обращается в нуль в случае калибровочной группы U(1). Если калибровочная симметрия является ортогональной группой, то этот класс является первым классом Понтрягина .

В трехмерных калибровочных теориях с полями Хиггса роль монополи 'т Хофта–Полякова инстантонов играют . В своей статье 1977 года « Удержание кварков и топология калибровочных групп » Александр Поляков продемонстрировал, что инстантонные эффекты в 3-мерной КЭД в сочетании со скалярным полем приводят к появлению массы фотона .

В двумерных абелевых калибровочных теориях инстантоны мирового листа представляют собой магнитные вихри . Они ответственны за многие непертурбативные эффекты в теории струн, играя центральную роль в зеркальной симметрии .

В одномерной квантовой механике инстантоны описывают туннелирование , невидимое в теории возмущений.

4d суперсимметричные калибровочные теории

Суперсимметричные калибровочные теории часто подчиняются теоремам о неперенормировке , которые ограничивают виды разрешенных квантовых поправок. Многие из этих теорем применимы только к поправкам, вычисляемым в теории возмущений , и поэтому инстантоны, которые не наблюдаются в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы расчета инстантонов в суперсимметричных теориях широко изучались в 1980-х годах несколькими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует отмену фермионных и бозонных ненулевых мод на инстантонном фоне, задействованное вычисление Т-Хофтом седловой точки инстантона сводится к интегрированию по нулевым модам.

В суперсимметричных калибровочных теориях с N = 1 инстантоны могут изменять суперпотенциал , иногда поднимая весь вакуум. В 1984 году Ян Аффлек , Майкл Дайн и Натан Зайберг рассчитали инстантонные поправки к суперпотенциалу в своей статье « Динамическое нарушение суперсимметрии в суперсимметричной КХД» . Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержит на один аромат киральной материи меньше , чем количество цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов ненарушенная неабелева калибровочная симметрия приводит к инфракрасной расходимости. а в случае большего количества вкусов вклад равен нулю. Для этого особого выбора киральной материи значения вакуумного ожидания скалярных полей материи могут быть выбраны так, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет продолжить надежный квазиклассический расчет седловой точки. Рассмотрев затем возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствии произвольного числа цветов и ароматов, действительный даже тогда, когда теория больше не является слабосвязанной.

В суперсимметричных калибровочных теориях N = 2 суперпотенциал не получает квантовых поправок. поправка к метрике пространства модулей Однако в ряде работ была вычислена вакуума от инстантонов. Во-первых, одноинстантонная поправка была рассчитана Натаном Зайбергом в книге «Суперсимметрия и непертурбативные бета-функции» . Полный набор поправок к теории Янга – Миллса SU (2) был рассчитан Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном в работе « Электро-магнитный дуализм, конденсация монополей и конфайнмент в суперсимметричной теории Янга – Миллса N = 2 », в процессе создания предмет, который сегодня известен как теория Зайберга-Виттена . Они распространили свои вычисления на калибровочные теории SU(2) с фундаментальной материей в монополях, дуальностью и нарушением киральной симметрии в N=2 суперсимметричной КХД . Позднее эти результаты были распространены на различные калибровочные группы и содержания материи, причем в большинстве случаев также был получен прямой вывод калибровочной теории. Для калибровочных теорий с калибровочной группой U(N) геометрия Зайберга – Виттена была получена из калибровочной теории с использованием Статистические суммы Некрасова в 2003 году Никитой Некрасовым и Андреем Окуньковым и независимо Хираку Накадзимой и Котой Ёсиокой.

В суперсимметричных калибровочных теориях N = 4 инстантоны не приводят к квантовым поправкам к метрике в пространстве модулей вакуума.

Явные решения на R ⁴

Анзац , предоставленный Корриганом и Фэрли, дает решение антисамодвойственных уравнений Янга – Миллса с калибровочной группой SU (2) из ​​любой гармонической функции на $\mathbb {R} ^{4}$. Анзац дает явные выражения для калибровочного поля и может использоваться для построения решений со сколь угодно большим числом инстантонов.

Определение антисимметричного ${\mathfrak {su}}(2)$-ценные объекты $\sigma _{\mu \nu }$ как $$\sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},$$ где греческие индексы имеют значения от 1 до 4, латинские индексы — от 1 до 3, а $T_{i}$ является основой ${\mathfrak {su}}(2)$ удовлетворяющий $[T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}$. Затем $$A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )$$ является решением, пока $\rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ является гармоничным.

В четырех измерениях фундаментальное решение уравнения Лапласа имеет вид $|x-y|^{-2}$ для любого фиксированного $y$. Наложение $N+1$ из них дает $N$-солитонные решения вида $$\rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.$$ Все решения инстантонов с номером 1 или 2 имеют такой вид, но для инстантонов с большим номером существуют решения не такого вида.

См. также

• Инстантонная жидкость – приближение непертурбативного интеграла по траекториям
• Калорон - инстантон конечной температуры.
• Сидни Коулман – американский физик (1937–2007).
• Метод Гольштейна – Херринга - эффективный способ получения расщепления обменной энергии асимптотически вырожденных энергетических состояний в молекулярных системах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гравитационный инстантон - четырехмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна.
• Квазиклассическая теория переходного состояния - Теория скорости химических реакций
• Уравнения Янга – Миллса - уравнения в частных производных, решениями которых являются инстантоны.
• Калибровочная теория (математика) - Исследование векторных расслоений, главных расслоений и расслоений.

Ссылки и примечания

Примечания

Цитаты

Общий

• Инстантоны в калибровочных теориях , сборник статей об инстантонах под редакцией Михаила А. Шифмана , дои : 10.1142/2281
• Солитоны и инстантоны , Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN   0-444-87047-4
• Использование инстантонов , Сидни Коулман в Proc. Межд. Школа субъядерной физики (Эрике, 1977); и в «Аспектах симметрии» с. 265, Сидни Коулман, издательство Кембриджского университета, 1985, ISBN   0-521-31827-0 ; и в инстантонах в калибровочных теориях
• Солитоны, инстантоны и твисторы . М. Дунайски, Издательство Оксфордского университета. ISBN   978-0-19-857063-9 .
• Геометрия четырехмногообразий , С. К. Дональдсон, П. Б. Кронхаймер, Oxford University Press, 1990, ISBN   0-19-853553-8 .

Внешние ссылки

• Словарное определение инстантона в Викисловаре