5-клеточный

5-клеточный
(4-симплекс)
5-клеточный ; (4-симплекс)
	Трехмерная проекция пятиклеточного элемента, выполняющего простое вращение ]]
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	5 {3,3}
Лица	10 {3}
Края	10
Вершины	5
Вершинная фигура	; ( тетраэдр )
Полигон Петри	пятиугольник
Группа Коксетера	A 4 , [3,3,3]
Двойной	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный
Единый индекс	1

В геометрии — 5-ячейка это выпуклый 4-многогранник с символом Шлефли {3,3,3}. Это 5-вершинный четырехмерный объект, ограниченный пятью тетраэдрическими ячейками. Он также известен как C ₅ , гипертетраэдр , пентахорон . ^{[ 1 ]} пентатоп , пентаэдроид , ^{[ 2 ]} тетраэдрическая пирамида , или 4- симплекс (Коксетера). $\alpha _{4}$ многогранник), ^{[ 3 ]} простейший выпуклый 4-мерный многогранник, аналог тетраэдра в трех измерениях и треугольника в двух измерениях. 5-ячеечная представляет собой 4-мерную пирамиду с четырехгранным основанием и четырьмя тетраэдрическими сторонами.

Правильная 5-ячейка ограничена пятью правильными тетраэдрами и является одним из шести правильных выпуклых 4-многогранников (четырехмерных аналогов Платоновых тел ). Правильную пятиклетку можно построить из правильного тетраэдра, добавив пятую вершину, расположенную на расстоянии одной ребра от всех вершин тетраэдра. Это невозможно сделать в трехмерном пространстве. Обычная 5-ячеечная клетка — это решение проблемы: сделайте 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку, и ни один из треугольников и спичек не пересекается друг с другом. В трех измерениях решения не существует.

Характеристики

5-ячейка — это 4-мерный симплекс , простейший возможный 4-многогранник . Другими словами, 5-ячейка представляет собой полихорон , аналог тетраэдра в высокой размерности. ^{[ 4 ]} Он образован любыми пятью точками, которые не все находятся в одной и той же гиперплоскости (как тетраэдр формируется любыми четырьмя точками, которые не все находятся в одной плоскости, а треугольник образован любыми тремя точками, которые не все находятся в одной и той же плоскости). линия). Любые такие пять точек составляют 5-ячейку, хотя обычно это не обычная 5-ячейка. Правильный с 600 вершинами представляет 5-клеточный не встречается ни в одном из других правильных выпуклых 4-клеток, кроме одного: 120-клеточный собой соединение 120 правильных 5-клеточных.

5-клеточный многогранник является самодвойственным , то есть его двойственный многогранник сам является 5-клеточным. ^{[ 5 ]} Ее максимальное пересечение с трехмерным пространством — треугольная призма . Его дихоральный угол ${\textstyle \arccos(-1/4)\approx 75.52^{\circ }}$ . ^{[ 6 ]}

Это первый в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников в порядке объема при заданном радиусе или количестве вершин. ^{[ 7 ]}

Выпуклая оболочка двух 5-клеток в двойной конфигурации представляет собой дисфеноидальную 30-клетку , двойственную усеченной 5-клетке .

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-ячеечную структуру. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всей 5-клетке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного многогранника идентична его повороту на 180 градусов. ^{[ 8 ]} - грани k можно читать как строки слева от диагонали, а k -цифры читаются как строки после диагонали. ^{[ 9 ]}

к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃	к -инжир
( )	ж ₀	5	4	6	4	{3,3}
{ }	ж ₁	2	10	3	3	{3}
{3}	f_f2	3	3	10	2	{ }
{3,3}	f ₃	4	6	4	5	( )

Все эти элементы 5-клетки перечислены в Грюнбаума Бранко пятиточечной диаграмме Венна , которая буквально является иллюстрацией правильной 5-клетки в проекции на плоскость.

Геодезические и вращения

Трехмерная проекция пятиклеточной ячейки, совершающей двойное вращение .

Пятиклетка имеет только центральные плоскости двуугольников, проходящие через вершины. Он имеет 10 центральных плоскостей двуугольников, где каждая пара вершин является ребром, а не осью 5-ячейки. Каждая двуугольная плоскость ортогональна трем другим, но не ортогональна ни одной из них полностью. Характерное изоклиническое вращение 5-клеточной клетки имеет в качестве пар инвариантных плоскостей эти 10-угольные плоскости и их полностью ортогональные центральные плоскости, которые представляют собой 0-угольные плоскости, не пересекающие ни одной 5-клеточной вершины.

Есть только два способа обойти 5 -клетку через все 5 вершин вдоль 5 ребер, поэтому существует два дискретных расслоения Хопфа больших двуугольников 5-клетки. Каждое из двух расслоений соответствует паре изоклинических вращений влево-вправо, каждое из которых вращает все 5 вершин в контуре периода 5. 5-ячейка имеет только две различные изоклины периода 5 (эти окружности, проходящие через все 5 вершин), каждая из которая действует как единственная изоклина правого вращения и единственная изоклина левого вращения в двух разных расслоениях.

Ниже изображена вращающаяся 5-ячейка со сжатым четвертым измерением и отображена в цвете. изображен Тор Клиффорда в прямоугольной (оберточной) форме.

Визуализация 4D-вращений
Простое вращение в плоскости XY
Простое вращение в плоскости ZW
Двойное вращение в плоскостях XY и ZW с угловыми скоростями в соотношении 4:3.
Левое изоклиническое вращение
Правое изоклиническое вращение

Прогнозы

Плоскость Кокстера A ₄ проецирует 5-клетку в правильный пятиугольник и пентаграмму . А ₃ Проекция 5-клетки на плоскость Кокстера представляет собой проекцию квадратной пирамиды . А ₂ Проекция правильной пятиклеточной ячейки на плоскость Кокстера представляет собой проекцию треугольной бипирамиды (два тетраэдра, соединенных лицом к лицу) с двумя противоположными вершинами, расположенными по центру.

орфографические проекции
К Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	А ₂
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

Проекции в 3 измерения
Проекция 5-ячейки в 3 измерения, первая из вершин, имеет тетраэдрическую оболочку проекции. Ближайшая вершина 5-клеток выступает к центру тетраэдра, как показано здесь красным. Самая дальняя ячейка выступает на саму оболочку тетраэдра, а остальные 4 ячейки проецируются на 4 уплощенные области тетраэдра, окружающие центральную вершину.	Проекция 5-клеточной ячейки в трех измерениях, направленная вперед, имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайший край (показанный здесь красным) выступает на ось дипирамиды, а три окружающие его ячейки образуют 3 тетраэдрических объема, расположенных вокруг этой оси под углом 120 градусов друг к другу. Остальные 2 ячейки выступают на две половины дипирамиды и находятся на дальней стороне пентатопа.
Проекция 5-клеточной клетки в трех измерениях, обращенная лицом вперед, также имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайшее лицо показано здесь красным. Две ячейки, которые встречаются на этой грани, проецируются на две половины дипирамиды. Остальные три ячейки находятся на дальней стороне пентатопа с точки зрения 4D и для ясности вырезаны из изображения. Они располагаются вокруг центральной оси дипирамиды, как и в проекции «ребро вперед».	Проекция 5-клетки в 3 измерения, первая из ячеек, имеет тетраэдрическую оболочку. Ближайшая ячейка проецируется на всю оболочку и с точки зрения 4D закрывает остальные 4 ячейки; следовательно, они здесь не отображаются.

Неправильные 5-клеточные

В случае симплексов, таких как 5-клеточный, некоторые неправильные формы в некотором смысле более фундаментальны, чем правильная форма. Хотя обычные 5-клетки не могут заполнить 4-мерное пространство или правильные 4-многогранники, существуют неправильные 5-клетки, которые это делают. Эти характеристические 5-ячейки являются фундаментальными областями различных групп симметрии , которые порождают различные 4-многогранники.

Ортосхемы

— 4-ортосхема это 5-ячеечная структура, все 10 граней которой представляют собой прямоугольные треугольники . (5 вершин образуют 5 тетраэдрических ячеек , соединенных гранями друг с другом, всего 10 ребер и 10 треугольных граней.) Ортосхема — это неправильный симплекс , который представляет собой выпуклую оболочку дерева , в котором все ребра взаимно перпендикулярны. В 4-мерной ортосхеме дерево состоит из четырех перпендикулярных ребер, соединяющих все пять вершин в линейном пути, совершающем три поворота под прямым углом. Элементы ортосхемы также являются ортосхемами (так же, как элементы правильного симплекса также являются правильными симплексами). Каждая тетраэдрическая ячейка 4-ортосхемы является 3-ортосхемой , а каждая треугольная грань — 2-ортосхемой (прямоугольный треугольник).

Ортосхемы являются характеристическими симплексами правильных многогранников, поскольку каждый правильный многогранник порождается отражениями в ограничивающих гранях его конкретной характеристической ортосхемы. ^{[ 10 ]} Например, частным случаем 4-ортосхемы с перпендикулярными ребрами одинаковой длины является характеристическая ортосхема 4-куба (также называемая тессерактом или 8-клеткой ), 4-мерный аналог 3-мерного куба. Если три перпендикулярных ребра 4-ортосхемы имеют единичную длину, то все ее ребра имеют длину √ 1 , √ 2 , √ 3 или √ 4 , что в точности соответствует длине хорды единичного 4-куба (длины Ребра 4-куба и его различные диагонали). Следовательно, эта 4-ортосхема вписывается в 4-куб, и 4-куб (как и любой правильный выпуклый многогранник) можно разобрать на экземпляры его характеристической ортосхемы .

3-ортосхему легко проиллюстрировать, а вот 4-ортосхему визуализировать труднее. 4-ортосхема – это тетраэдрическая пирамида, в основании которой находится 3-ортосхема. У нее на четыре ребра больше, чем у 3-ортосхемы, соединяющей четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 5-клетки). Выберите любую из трех ортосхем из шести, показанных на иллюстрации трех кубов. Обратите внимание, что он касается четырех из восьми вершин куба, и эти четыре вершины соединены трехреберным путем, который делает два поворота под прямым углом. Представьте, что эта 3-ортосхема является основанием 4-ортосхемы, так что из каждой из этих четырех вершин невидимое ребро 4-ортосхемы соединяется с пятой вершиной вершины (которая находится вне 3-куба и не появляется в кубе). иллюстрация вообще). Хотя все четыре дополнительных ребра достигают одной и той же вершины, все они будут иметь разную длину. Первый из них, на одном конце ортогонального пути с 3 ребрами, расширяет этот путь четвертым ортогональным √ 1 ребром, делая третий поворот на 90 градусов и достигая перпендикулярно четвертому измерению к вершине. Второе из четырех дополнительных ребер — это √ 2 диагонали грани куба (не иллюстрированного 3-куба, а другого из восьми 3-кубов тессеракта). Третье дополнительное ребро представляет собой диагональ √ 3 3-куба (опять же, не исходного иллюстрированного 3-куба). Четвертое дополнительное ребро (на другом конце ортогонального пути) представляет собой длинный диаметр самого тессеракта длиной √ 4 . Он проходит через точный центр тессеракта к антиподальной вершине (вершине противоположного трехмерного куба), которая является вершиной. Таким образом, характеристическая 5-ячейка 4-куба имеет четыре √ 1 ребра, три √ 2 ребра, два √ 3 ребра и одно √ 4 ребра.

4-куб можно разбить на 24 таких 4-ортосхемы. восемью различными способами, с шестью 4-ортосхемами, окружающими каждый из четырех ортогональных √ 4 диаметров тессеракта. 4-куб также можно разделить на 384 меньших экземпляра той же самой характеристической 4-ортосхемы, только в одном направлении, с помощью всех его гиперплоскостей симметрии одновременно, которые делят его на 384 4-ортосхемы, которые все встречаются в центре 4-ортосхемы. -куб.

В более общем смысле любой правильный многогранник можно разбить на g экземпляров его характеристической ортосхемы, которые все встречаются в центре правильного многогранника. ^{[ 11 ]} Число g - это порядок многогранника, количество отраженных экземпляров его характерной ортосхемы, составляющих многогранник, когда один экземпляр ортосхемы с зеркальной поверхностью отражается в своих собственных гранях. В более общем смысле характеристические симплексы способны заполнять однородные многогранники, поскольку обладают всеми необходимыми элементами многогранника. Они также обладают всеми необходимыми углами между элементами (от 90 градусов и ниже). Характерные симплексы представляют собой генетические коды многогранников: подобно швейцарскому армейскому ножу , они содержат все необходимое для построения многогранника путем репликации.

Каждый правильный многогранник, в том числе правильный 5-клеточный, имеет свою характерную ортосхему. Существует 4-ортосхема, которая является характерной 5-клеточной для обычной 5-клеточной . Это тетраэдрическая пирамида, основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Обычный 5-клеточный можно разделить на 120 экземпляров этой характерной 4-ортосхемы. только одним способом, всеми гиперплоскостями симметрии одновременно, которые делят его на 120 4-ортосхем, которые все встречаются в центре обычной 5-клетки.

Характеристики обычного 5-клеточного ^{[ 12 ]}
	край ^{[ 13 ]}	дуга		двугранный ^{[ 14 ]}
𝒍	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	104°30′40″	$\pi -2{\text{𝜂}}$	75°29′20″	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {1}{10}}}\approx 0.316$	75°29′20″	$2{\text{𝜂}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^{[ а ]}	${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}\approx 0.183$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}\approx 0.103$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387$	75°29′20″	$2{\text{𝜂}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{20}}}\approx 0.224$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}\approx 0.129$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	${\sqrt {1}}=1.0$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}=0.25$

${\text{𝜼}}$		37°44′40″	${\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}$

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) правильной 5-клетки имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), которые соединяют четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы). ортосхема, в центре правильной 5-клеточной). Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, пересекающиеся в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, центр грани. радиус и радиус центра ячейки. Если обычная 5-ячеечная клетка имеет единичный радиус и длину ребра ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ , десять ребер его характерной 5-ячейки имеют длину ${\sqrt {\tfrac {1}{10}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ а ]} плюс ${\sqrt {\tfrac {3}{20}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{20}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характеристический тетраэдр, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс ${\sqrt {1}}$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{8}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$ (ребра, являющиеся характерными радиусами правильной 5-клетки). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$ , сначала от обычной 5-ячеечной вершины к регулярному 5-ячеечному реберному центру, затем поворот на 90° к обычному 5-ячеечному центру грани, затем поворот на 90° к обычному 5-ячеечному тетраэдрическому центру ячейки, затем поворот на 90° к обычный 5-клеточный центр.

Изометрии

Существует множество форм более низкой симметрии 5-клеточной ячейки, в том числе те, которые встречаются в виде однородных вершинных фигур многогранника :

Симметрия	[3,3,3] Заказать 120	[3,3,1] Заказ 24	[3,2,1] Заказ 12	[3,1,1] Заказ 6	~[5,2] ⁺ Заказать 10
Имя	Обычный 5-клеточный	Тетраэдрическая пирамида		Треугольная пирамидальная пирамида
Шлефли	{3,3,3}	{3,3}∨( )	{3}∨{ }	{3}∨( )∨( )
Пример Вертекс фигура	5-симплекс	Усеченный 5-симплекс	Битусеченный 5-симплекс	Количественно усеченный 5-симплекс	Всеусеченные 4-симплексные соты

Тетраэдрическая пирамида — это частный случай 5-клеточной многогранной пирамиды основание правильного тетраэдра в трехмерной гиперплоскости и вершина над , построенной как гиперплоскостью. Четыре стороны пирамиды состоят из треугольных пирамидальных ячеек.

Многие однородные 5-многогранники имеют тетраэдрических пирамид вершинные фигуры с символами Шлефли ( )∨{3,3}.

Симметрия [3,3,1], порядок 24
Имя Коксетер	{ }×{3,3,3}	{ }×{4,3,3}	{ }×{5,3,3}	т{3,3,3,3}	т{4,3,3,3}	т{3,4,3,3}
Шлегель диаграмма

Другие однородные 5-многогранники имеют неправильные 5-клеточные вершинные фигуры. Симметрия вершинной фигуры однородного многогранника выражается удалением окольцованных узлов диаграммы Коксетера.

Симметрия	[3,2,1], порядок 12		[3,1,1], порядок 6		[2 ⁺,4,1], порядок 8	[2,1,1], порядок 4
Шлефли	{3}∨{ }		{3}∨( )∨( )		{ }∨{ }∨( )
Шлегель диаграмма
Имя Коксетер	т ₁₂ а ₅	т ₁₂ в ₅	т ₀₁₂ а ₅	т ₀₁₂ с ₅	т ₁₂₃ а ₅	т ₁₂₃ с ₅

Симметрия	[2,1,1], порядок 2			[2 ⁺,1,1], порядок 2	[ ] ⁺, заказ 1
Шлефли	{ }∨( )∨( )∨( )			( )∨( )∨( )∨( )∨( )
Шлегель диаграмма
Имя Коксетер	т ₀₁₂₃ а ₅	т ₀₁₂₃ с ₅	т ₀₁₂₃ б ₅	т ₀₁₂₃₄ а ₅	т ₀₁₂₃₄ с ₅

Строительство

Как спираль Бурдейка – Кокстера.

5-ячейку можно построить как спираль Бурдейка – Кокстера из пяти цепных тетраэдров, свернутых в 4-мерное кольцо. ^{[ 15 ]} 10 треугольных граней можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики с шестью треугольниками вокруг каждой вершины, хотя сворачивание в 4 измерения приводит к совпадению ребер. Пурпурные края образуют правильный пятиугольник , который является многоугольником Петри 5-клеточного элемента. Синие края соединяют каждую вторую вершину, образуя пентаграмму , которая представляет собой многоугольник Клиффорда из 5 ячеек. Синие края пентаграммы — это хорды изоклины 5-клеток , круговой путь вращения ее вершин во время изоклинического вращения , также известного как смещение Клиффорда .

Сеть

Когда сеть из пяти тетраэдров складывается в 4-мерном пространстве так, что каждый тетраэдр связан гранями с четырьмя другими, в результате получается 5-ячейка, имеющая в общей сложности 5 вершин, 10 ребер и 10 граней. В каждой вершине сходятся четыре ребра, а на каждом ребре встречаются три тетраэдрические ячейки. Это делает шесть тетраэдров его ячейкой . ^{[ 6 ]}

Координаты

Простейший набор декартовых координат : (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (𝜙 ,𝜙,𝜙,𝜙), с длиной ребра 2 √ 2 , где 𝜙 — золотое сечение . ^{[ 16 ]} Хотя эти координаты не сосредоточены в центре начала координат, вычитание $(1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\phi }})$ 4-многогранника из каждого переводит центр описанной окружности в начало координат с радиусом $2(\phi -1/(2-{\tfrac {1}{\phi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888$ , со следующими координатами:

\left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)

\left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)

\left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)

\left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)

\left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)

Следующий набор координат с центром в начале координат и тем же радиусом и длиной ребра, что и выше, можно рассматривать как гиперпирамиду с правильным тетраэдрическим основанием в трехмерном пространстве:

\left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)

Масштабирование этих или предыдущего набора координат путем ${\tfrac {\sqrt {5}}{4}}$ дать единичным радиусом , центрированными в начале координат, с длинами ребер регулярные 5 ячеек с ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ . Гиперпирамида имеет координаты:

\left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(0,0,0,1\right)

Координаты вершин другой правильной 5-ячейки с центром в начале координат с длиной ребра 2 и радиусом ${\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265$ являются:

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)

\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)

Масштабируя их по ${\sqrt {\tfrac {5}{8}}}$ к единичному радиусу и длине ребра ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ дает:

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left(-1,0,0,0\right)

Вершины 4-симплекса (с ребром √ 2 и радиусом 1) проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве как (отдельные) перестановки (0,0,0,0,1) или (0, 1,1,1,1); в этих позициях это грань соответственно 5-ортоплекса или выпрямленного пентеракта .

Сложный

Соединение двух 5-ячеек в двойной конфигурации можно увидеть на этой проекции плоскости Кокстера A5 с красными и синими 5-ячеечными вершинами и краями. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3]] порядка 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой однородную усеченную 5-ячейку . = ∩ .

Это соединение можно рассматривать как четырехмерный аналог двумерной гексаграммы { ⁠ 6/2 } ⁠ и трёхмерное соединение двух тетраэдров .

Связанные многогранники и соты

Пентахорон (5-клеточный) — простейшая из 9 однородных полихор, построенных из [3,3,3] группы Кокстера .

Шлефли	{3,3,3}	т{3,3,3}	г {3,3,3}	рр{3,3,3}	2т{3,3,3}	тр{3,3,3}	т _0,3 {3,3,3}	т _0,1,3 {3,3,3}	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Коксетер
Шлегель

1 _k2 фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry (order)	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[[3^2,2,1]]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	1_−1,2	1₀₂	1₁₂	1₂₂	1₃₂	1₄₂	1₅₂	1₆₂

2 _{k 1} фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[[3^1,2,1]]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	2_−1,1	2₀₁	2₁₁	2₂₁	2₃₁	2₄₁	2₅₁	2₆₁

Это последовательность {p,3,3} правильной полихоры с тетраэдрической вершинной фигурой : тессеракт {4,3,3} и 120 ячеек {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства и гексагональное замощение сот {6,3,3} гиперболического пространства.

{p,3,3} многогранники
Space	S³			H³
Form	Finite			Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	...{∞,3,3}
Image
Cells {p,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Это один из трех правильных 4-многогранников {3,3,p} с тетраэдрическими ячейками, а также 16-ячеечный {3,3,4} и 600-ячеечный {3,3,5}. { Тетраэдрические соты 6-го порядка 3,3,6} гиперболического пространства также имеют тетраэдрические ячейки.

{3,3,p} многогранники
Space	S³			H³
Form	Finite			Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он самодуален, как и 24-клеточный {3,4,3}, имеющий палиндромный {3,p,3} символ Шлефли .

{3, p , 3} многогранники
Space	S³		H³
Form	Finite		Compact	Paracompact	Noncompact
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Image
Cells	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vertex figure	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{p,3,p} обычные соты
Space	S³	Euclidean E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Цитаты

^ Джонсон 2018 , с. 249.
^ Гика 1977 , с. 68 .
^ Коксетер 1973 , с. 120, §7.2. рисунок Рис. 7.2 A. см .
^ Миядзаки и Исии 2021 , с. 46 .
^ Диудея 2018 , с. 41 .
^ Jump up to: ^а ^б Акияма, Хитотумату и Сато 2012 .
^ Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях.
^ Коксетер 1973 , с. 12, §1.8. Конфигурации.
^ "Ручка" .
^ Coxeter 1973 , стр. 198–202, §11.7 Правильные фигуры и их усечения.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 17–20, §10 Классификация Кокстера четырехмерных точечных групп.
^ Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); «5-клеточный, 𝛼 ₄ ».
^ Коксетер 1973 , с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.
^ Коксетер 1973 , с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».
^ Банчофф 2013 .
^ Коксетер 1991 , с. 30, §4.2. Кристаллографические правильные многогранники.

Ссылки

Акияма, Джин; Хитотумату, Без; Сато, Икуро (2012). «Определение чисел элементов правильных многогранников» Специальная геометрия . 159 : 89–97. дои : 10.1007/ s10711-011-9647-3
Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .
Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни . Дуврские публикации .
Джонсон, Северо-Запад (2018). «Группы конечной симметрии, 11,5 сферические группы Кокстера». Геометрии и преобразования . ISBN 978-1-107-10340-5 .
Миядзаки, К.; Исии, М. (2021). «Симметрия в проекции четырехмерной правильной полихоры». В Дарвасе, Дьёрдь (ред.). Сложные симметрии . дои : 10.1007/978-3-030-88059-0 . ISBN 978-3-030-88059-0 .
Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
ХСМ Коксетер :
- Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  - п. 120, §7.2. см. рисунок Рис. 7.2 A
  - п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
- Калейдоскопы: Избранные сочинения Х.С.М. Коксетера, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266 . дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пентатоп» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o3o — перо» .
5-клеточные регулярные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (Немецкий)
Джонатан Бауэрс, Регулярная полихора
Java3D-апплеты
пирохорон

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[reversed_greek_symbols-15] Jump up to: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

[FOOTNOTEJohnson2018249-1] Джонсон 2018 , с. 249.

[FOOTNOTEGhyka1977[httpsbooksgooglecombooksidh1Wm6tHAKHcCpgPA68_68]-2] Гика 1977 , с. 68 .

[FOOTNOTECoxeter1973120§7.2._see_illustration_Fig_7.2<small>A</small>-3] Коксетер 1973 , с. 120, §7.2. рисунок Рис. 7.2 A. см .

[FOOTNOTEMiyazakiIshii2021[httpsbooksgooglecombooksidd2VXEAAAQBAJpgPA46_46]-4] Миядзаки и Исии 2021 , с. 46 .

[FOOTNOTEDiudea2018[httpsbooksgooglecombooksidp_06DwAAQBAJpgPA41_41]-5] Диудея 2018 , с. 41 .

[FOOTNOTEAkiyamaHitotumatuSato2012-6] Jump up to: ^а ^б Акияма, Хитотумату и Сато 2012 .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-7] Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях.

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8._Configurations-8] Коксетер 1973 , с. 12, §1.8. Конфигурации.

[9] "Ручка" .

[FOOTNOTECoxeter1973198–202§11.7_Regular_figures_and_their_truncations-10] Coxeter 1973 , стр. 198–202, §11.7 Правильные фигуры и их усечения.

[FOOTNOTEKimRote201617–20§10_The_Coxeter_Classification_of_Four-Dimensional_Point_Groups-11] Kim & Rote 2016 , стр. 17–20, §10 Классификация Кокстера четырехмерных точечных групп.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"5-cell,_𝛼<sub>4</sub>"-12] Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); «5-клеточный, 𝛼 ₄ ».

[FOOTNOTECoxeter1973139§7.9_The_characteristic_simplex-13] Коксетер 1973 , с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-14] Коксетер 1973 , с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».

[FOOTNOTEBanchoff2013-16] Банчофф 2013 .

[FOOTNOTECoxeter199130§4.2._The_Crystallographic_regular_polytopes-17] Коксетер 1991 , с. 30, §4.2. Кристаллографические правильные многогранники.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ а ]

[ 15 ]

[ 16 ]