Виферих простое

Виферих простое
Назван в честь	Артур Виферих
Год публикации	1909
Автор публикации	Виферих, А.
Количество известных терминов	2
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный
Последовательность	Числа Крэндалла ; Числа Вифериха ; Простые числа Лукаса – Вифериха ; почти простые числа Вифериха ;
Первые сроки	1093 , 3511
Самый большой известный термин	3511
ОЭИС Индекс	А001220

В теории чисел простое число Вифериха — это простое число p такое, что p ² делит $2 п - 1 - 1$ , ^[4] следовательно, соединяя эти простые числа с малой теоремой Ферма , которая утверждает, что каждое нечетное простое число p делит $2 п - 1 - 1$ . Простые числа Вифериха были впервые описаны Артуром Виферихом в 1909 году в работах, посвященных Великой теореме Ферма , когда обе теоремы Ферма уже были хорошо известны математикам. ^[5]^[6]

С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха и различными другими темами математики, включая другие типы чисел и простых чисел, такие как числа Мерсенна и Ферма , конкретные типы псевдопростых чисел и некоторые типы чисел, обобщенные на основе исходного определения простого числа Вифериха. . Со временем эти обнаруженные связи расширились и стали охватывать больше свойств определенных простых чисел, а также более общие темы, такие как числовые поля и abc гипотеза .

По состоянию на апрель 2023 г. ^[update]единственные известные простые числа Вифериха — это 1093 и 3511 (последовательность A001220 в OEIS ).

Эквивалентные определения

Более сильная версия малой теоремы Ферма , которой удовлетворяет простое число Вифериха, обычно выражается в виде конгруэнтного отношения $2 р -1 \equiv 1 (против p 2)$ . Из определения отношения сравнения целых чисел следует, что это свойство эквивалентно определению, данному в начале. Таким образом, если простое число p удовлетворяет этому сравнению, оно делит частное Ферма ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ . Ниже приведены два иллюстративных примера использования простых чисел 11 и 1093:

При p = 11 получаем

{\tfrac {2^{10}-1}{11}}

что равно 93 и оставляет остаток 5 после деления на 11, следовательно, 11 не является простым числом Вифериха. При p = 1093 получаем

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

или 485439490310...852893958515 (302 промежуточные цифры опущены для ясности), что оставляет остаток 0 после деления на 1093 и, таким образом, 1093 является простым числом Вифериха.

Простые числа Вифериха можно определить с помощью других эквивалентных сравнений. Если p — простое число Вифериха, можно умножить обе части сравнения $на 2 р -1 \equiv 1 (против p 2)$ на 2, чтобы получить $2 п \equiv 2 (против p 2)$ . Возведение обеих частей сравнения в степень p показывает, что простое число Вифериха также удовлетворяет условию $2 п 2 \equiv2 п \equiv 2 (против p 2)$ , и, следовательно, $2 п к \equiv 2 (против p 2)$ для всех $k \geq 1$ . Обратное также верно: $2 п к \equiv 2 (против p 2)$ для некоторого $k \geq 1$ означает, что мультипликативный порядок 2 по модулю p ² делит НОД $(p к - 1$ , φ $(п 2)) = p - 1$ , то есть $2 р -1 \equiv 1 (против p 2)$ и, следовательно, p — простое число Вифериха. Это также означает, что простые числа Вифериха можно определить как простые числа p такие, что мультипликативные порядки 2 по модулю p и по модулю p ² совпадают: $ord p 2 2 = ord p 2$ , (Кстати, ord ₁₀₉₃ 2 = 364, а ord ₃₅₁₁ 2 = 1755).

Г. С. Вандивер доказал, что $2 р -1 \equiv 1 (против p 3)$ тогда и только тогда, когда $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ . ^[7]^: 187

История и статус поиска

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел Вифериха?

(еще нерешенные задачи по математике)

В 1902 году Мейер доказал теорему о решениях сравнения a ^{п - 1} ≡ 1 (против p ^р). ^[8]^: 930^[9] Позже в том же десятилетии Артур Виферих конкретно показал, что если первый случай последней теоремы Ферма имеет решения для нечетного простого показателя степени, то это простое число должно удовлетворять этому сравнению для a = 2 и r = 2. ^[10] Другими словами, если существуют решения задачи x ^п + и ^п + я ^п = 0 в целых числах x , y , z и p — нечетное простое число с p ∤ xyz , тогда p удовлетворяет 2 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ²). В 1913 Бахман исследовал остатки году ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ . Он задал вопрос, когда этот остаток исчезнет , и попытался найти выражения для ответа на этот вопрос. ^[11]

обнаружил, что простое число 1093 является простым числом Вифериха В 1913 году В. Мейснер [ cs ] , и подтвердил, что это единственное такое простое число ниже 2000. Он вычислил наименьший остаток ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ для всех простых чисел p нашел, что этот вычет равен нулю для t = 364 и p = 1093, тем самым предоставив контрпример к гипотезе Грейва < 2000 и о невозможности сравнения Вифериха. ^[12] Э. Генцшель [ де ] позже приказал проверить правильность сравнения Мейсснера только с помощью элементарных вычислений. ^[13]^: 664 Вдохновленный более ранней работой Эйлера , он упростил доказательство Мейснера, показав, что 1093 ² | (2 ¹⁸² + 1) и заметил, что (2 ¹⁸² + 1) является коэффициентом (2 ³⁶⁴ − 1). ^[14] Было также показано, что можно доказать, что 1093 является простым числом Вифериха, не используя комплексные числа, в отличие от метода Мейснера: ^[15] хотя сам Мейснер намекал, что ему известно доказательство без сложных значений. ^[12]^: 665

Простое число 3511 как простое число Вифериха. было впервые обнаружено NGWH Beeger в 1922 году ^[16] а еще одно доказательство того, что это простое число Вифериха, было опубликовано в 1965 году Гаем . ^[17] В 1960 году Кравиц ^[18] удвоил предыдущий рекорд, установленный Фрёбергом [ sv ] ^[19] а в 1961 году Ризель с помощью БЭСК расширил поиск до 500 000 . ^[20] Примерно в 1980 году Лемер смог достичь предела поиска 6 × 10. ⁹. ^[21] Этот предел был расширен до более чем 2,5 × 10 ¹⁵ в 2006 году, ^[22] наконец достигнув 3 × 10 ¹⁵. Теперь известно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха, они должны быть больше 6,7 × 10. ¹⁵. ^[23]

В 2007–2016 годах поиск простых чисел Вифериха проводил проект распределенных вычислений Wieferich@Home. ^[24] провел еще один поиск В 2011–2017 годах проект PrimeGrid , хотя позже работа, проделанная в этом проекте, была признана напрасной. ^[25] Хотя эти проекты достигли границ поиска выше 1 × 10 ¹⁷, ни один из них не сообщил о каких-либо устойчивых результатах.

В 2020 году PrimeGrid запустил еще один проект, который одновременно ищет простые числа Вифериха и Стены – Солнца – Солнца . В новом проекте используются контрольные суммы для обеспечения независимой двойной проверки каждого подинтервала, что минимизирует риск пропуска экземпляра из-за неисправного оборудования. ^[26] Проект завершился в декабре 2022 года, что определенно доказывает, что третье простое число Вифериха должно превышать 2. ⁶⁴ (около 18 × 10 ¹⁸). ^[27]

Было высказано предположение (как и в случае простых чисел Вильсона ), что существует бесконечно много простых чисел Вифериха и что число простых чисел Вифериха ниже x приблизительно равно log(log( x )), что является эвристическим результатом , который следует из правдоподобного предположения, что для простое p , $корни (p - 1)-й$ степени из единицы по модулю p ² в равномерно распределены мультипликативной группе целых чисел по модулю p ². ^[28]

Характеристики

Связь с Великой теоремой Ферма

Следующая теорема, связывающая простые числа Вифериха и Великую теорему Ферма, была доказана Виферихом в 1909 году: ^[10]

Пусть p — простое число, и пусть x , y , z — целые числа такие, что

x п + и п + я п = 0

. Кроме того, предположим, что p не делит произведение xyz . Тогда p — простое число Вифериха.

Вышеупомянутый случай (когда p не делит ни одно из x , y или z ) широко известен как первый случай Великой теоремы Ферма (FLTI). ^[29]^[30] и говорят, что FLTI не работает для простого числа p существуют решения уравнения Ферма , если для этого p , в противном случае FLTI выполняется для p . ^[31]В 1910 году Мириманов расширил ^[32] теорему, показав, что если предварительные условия теоремы справедливы для некоторого простого числа p , то p ² надо еще разделить $3 п - 1 - 1$ . Гранвилл и Монаган далее доказали, что p ² фактически должен разделить $m п - 1 - 1$ для любого простого числа m ≤ 89. ^[33] Судзуки распространил доказательство на все простые числа m ≤ 113. ^[34]

Пусть H _p — набор пар целых чисел, наибольший общий делитель которых равен 1 , причем p является простым числом x , y и x + y , ( x + y ). ^{р -1} ≡ 1 (против p ²), ( x + ξy ) — p -я степень идеала K с определяемым ξ , как cos 2 π / p + i sin 2 π / p . K = Q ( ξ ) — расширение поля, полученное присоединением всех многочленов от алгебраического числа ξ к полю ( рациональных чисел такое расширение известно как числовое поле или, в данном частном случае, где ξ — корень из единицы , поле круговых чисел ). ^[33]^: 332Из единственности факторизации идеалов в Q (ξ) следует, что если первый случай последней теоремы Ферма имеет решения x , y , z, то p делит x + y + z и ( x , y ), ( y , z ) и ( z , x ) являются элементами H _p . ^[33]^: 333Гранвилл и Монаган показали, что (1, 1) ∈ H _p тогда и только тогда, когда p — простое число Вифериха. ^[33]^: 333

Связь с гипотезой abc и простыми числами, не являющимися Виферихом.

Простое число не-Вифериха — это простое число p, удовлетворяющее $условию 2 п - 1 ≢ 1 (против п 2)$ . Дж. Х. Сильверман показал в 1988 году, что если abc гипотеза верна, то существует бесконечно много простых чисел, не являющихся Виферихом. ^[35] Точнее, он показал, что гипотеза abc подразумевает существование константы, зависящей только от α, такой, что количество простых чисел, не являющихся вифериховскими, в основе α с p, меньшим или равным переменной X , больше, чем log( X ), при X движении до бесконечности. ^[36]^: 227 Численные данные показывают, что очень немногие из простых чисел в данном интервале являются простыми числами Вифериха. Набор простых чисел Вифериха и набор простых чисел не-Вифериха, иногда обозначаемых W ₂ и W ₂^с соответственно, ^[37] являются дополнительными множествами , поэтому, если будет показано, что одно из них конечно, другое обязательно должно быть бесконечным. Позже было показано, что существование бесконечного числа не-Вифериховых простых чисел уже следует из более слабой версии гипотезы abc , называемой ABC- ( k , ε ) гипотезой . ^[38] Кроме того, существование бесконечного числа простых чисел, не являющихся Виферихом, также следовало бы, если бы существовало бесконечно много бесквадратных чисел Мерсенна. ^[39] а также если существует действительное число ξ такое, что множество { n ∈ N : λ(2 ^н − 1) < 2 − ξ } имеет плотность один, где индекс композиции λ ( n ) целого числа n определяется как ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}$ и $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ , значение $\gamma (n)$ дает произведение всех простых делителей числа n . ^[37]^: 4

Связь с простыми числами Мерсенна и Ферма.

Известно, что n- е число Мерсенна $M n = 2 н - 1$ является простым, только если n простое. Из малой теоремы Ферма следует, что если $p > 2$ простое число, то M _{p −1} $(= 2 п - 1 - 1)$ всегда делится на p . Поскольку числа Мерсенна простых индексов M _p и M _q взаимно просты,

Простой делитель p числа M _q , где q — простое число, является простым числом Вифериха тогда и только тогда, когда p ² делит M _q . ^[40]

Таким образом, простое число Мерсенна не может быть одновременно простым числом Вифериха. Заметная открытая проблема состоит в том, чтобы определить, являются ли все числа Мерсенна простого индекса свободными от квадратов . Если q простое число и число Мерсенна M _q является не свободным от квадратов, то есть существует простое число p, для которого p ² делит M _q , то p — простое число Вифериха. Следовательно, если существует только конечное число простых чисел Вифериха, то будет не более конечного числа чисел Мерсенна с простым индексом, которые не являются свободными от квадратов. Роткевич показал похожий результат: если существует бесконечно много чисел Мерсенна без квадратов, то существует бесконечно много простых чисел, не являющихся Виферихом. ^[41]

Аналогично, если p простое и p ² делит некоторое число Ферма F _n $= 2 2 н + 1$ , то p должно быть простым числом Вифериха. ^[42]

В самом деле, существуют натуральное число n и простое число p, для которых p ² делит $\Phi _{n}(2)$ (где $\Phi _{n}(x)$ — n-й круговой полином ) тогда и только тогда, когда p — простое число Вифериха. Например, 1093 ² делит $\Phi _{364}(2)$ , 3511 ² делит $\Phi _{1755}(2)$ . Числа Мерсенна и Ферма — это всего лишь особые ситуации $\Phi _{n}(2)$ . Таким образом, если 1093 и 3511 — всего лишь два простых числа Вифериха, то все $\Phi _{n}(2)$ свободны от квадратов, за исключением $\Phi _{364}(2)$ и $\Phi _{1755}(2)$ (На самом деле, когда существует простое число p, для которого p ² делит некоторые $\Phi _{n}(2)$ , то это простое число Вифериха); и ясно, если $\Phi _{n}(2)$ является простым числом, то оно не может быть простым числом Вифериха. (Любое нечетное простое число p делит только одно $\Phi _{n}(2)$ и n делит $p - 1$ , и тогда и только если длина периода 1/p в двоичном формате равна n , тогда p делит $\Phi _{n}(2)$ . Кроме того, тогда и только тогда, когда p — простое число Вифериха, тогда длина периода 1/p и 1/p ² одинаковы (в двоичном формате). В противном случае это в p раз больше.)

Для простых чисел 1093 и 3511 было показано, что ни одно из них не является делителем какого-либо числа Мерсенна с простым индексом и не является делителем какого-либо числа Ферма, поскольку 364 и 1755 не являются ни простыми числами, ни степенями 2. ^[43]

Связь с другими уравнениями

Скотт и Стайер показали, что уравнение p ^х – 2 ^и = d имеет не более одного решения в положительных целых числах ( x , y ), кроме случаев, когда p ⁴ | 2 ^{слово _п 2} – 1, если p ≢ 65 (по модулю 192) или безусловно, когда p ² | 2 ^{слово _п 2} – 1, где ord _p 2 обозначает мультипликативный порядок 2 по модулю p . ^[44]^{: 215, 217–218} Они также показали, что решение уравнения ± a ^{х ₁} ± 2 ^{у ₁} = ± a ^{х ₂} ± 2 ^{у ₂} = c должен быть из определенного набора уравнений, но это неверно, если a — простое число Вифериха, большее 1,25 x 10. ¹⁵. ^[45]^: 258

Бинарная периодичность p - 1

Джонсон заметил ^[46] что два известных простых числа Вифериха на единицу больше, чем числа с периодическими двоичными расширениями (1092 = 010001000100 ₂ =444 ₁₆ ; 3510 = 110110110110 ₂ =6666 ₈ ). Проект Wieferich@Home искал простые числа Вифериха, проверяя числа, которые на единицу больше числа с периодическим двоичным расширением, но до «битовой псевдодлины» 3500 проверенных двоичных чисел, сгенерированных комбинацией битовых строк с длиной до 24 бит он не нашел нового простого числа Вифериха. ^[47]

Обилие p − 1

Было отмечено (последовательность A239875 в OEIS ), что известные простые числа Вифериха на единицу больше, чем взаимно дружественные числа (общий индекс изобилия составляет 112/39).

Связь с псевдопростыми числами

Было замечено, что два известных простых числа Вифериха являются квадратными факторами всех неквадратных со свободным основанием 2 псевдопростых чисел Ферма до 25 × 10. ⁹. ^[48] Более поздние расчеты показали, что единственные повторяющиеся множители псевдопростых чисел до 10 ¹² это 1093 и 3511. ^[49] Кроме того, существует следующая связь:

Пусть n — псевдопростое число по основанию 2, а p — простой делитель числа n . Если

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

, тогда также

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

. ^[31]^: 378 Более того, если p — простое число Вифериха, то p ² является каталонским псевдопростым числом .

Связь с ориентированными графами

Для всех простых чисел $p$ до $100000$ , $L (p п +1) = L (п н)$ только в двух случаях: $L (1093 2) = L (1093) = 364$ и $L (3511 2) = L (3511) = 1755$ , где $L (m)$ — количество вершин в цикле 1 в диаграмме удвоения по модулю $m$ . Здесь диаграмма удвоения представляет собой ориентированный граф с целыми неотрицательными числами меньше m в качестве вершин и с направленными ребрами, идущими из каждой вершины x в вершину 2 x, уменьшенными по модулю m . ^[50]^: 74 Было показано, что для всех нечетных простых чисел либо $L (p п +1) = п \cdot L (п н)$ или $L (п п +1) = L (п н)$ . ^[50]^: 75

Свойства, связанные с числовыми полями

Было показано, что $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ и $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ тогда и только тогда, когда $2 п - 1 ≢ 1 (против п 2),$ где p — нечетное простое число и $D_{0}<0$ является фундаментальным дискриминантом мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ . Кроме того, было показано следующее: пусть p — простое число Вифериха. Если $p \equiv 3 (mod 4)$ , пусть $D_{0}<0$ быть фундаментальным дискриминантом мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )}$ и если $p \equiv 1 (mod 4)$ , пусть $D_{0}<0$ быть фундаментальным дискриминантом мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ . Затем $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ и $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ ( χ и λ в данном контексте обозначают инварианты Ивасавы ). ^[51]^: 27

Кроме того, был получен следующий результат: пусть q — нечетное простое число, k и p — простые числа такие, что $p = 2 k + 1,$ $k \equiv 3 (mod 4),$ $p \equiv -1 (mod q),$ $p ≢ - 1 (мод q 3)$ и порядок q по модулю k равен ${\tfrac {k-1}{2}}$ . Предположим, что q делит h ⁺, номер класса реального кругового поля $\mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}$ , круговое поле, полученное путем присоединения суммы корня p -й степени из единицы и обратного ему поля рациональных чисел. Тогда q — простое число Вифериха. ^[52]^: 55 Это также справедливо, если выполнены условия $p \equiv -1 (mod q)$ и $p ≢ -1 (mod q 3)$ заменяются на $p \equiv -3 (mod q)$ и $p ≢ -3 (mod q 3),$ а также когда условие $p \equiv -1 (mod q)$ заменяется на $p \equiv -5 (mod q)$ (в этом случае q является простым числом Стены–Солнца–Солнца ) и условие неконгруэнтности заменяется на $p ≢ -5 (мод q 3)$ . ^[53]^: 376

Обобщения

Почти простые числа Вифериха

Простое число p, удовлетворяющее сравнению 2 ^{( п −1)/2} $\equiv \pm1 + Ap$ (против p ²) с небольшим | А | обычно называют простым числом, близким к Вифериху (последовательность A195988 в OEIS ). ^[28]^[54] Простые числа, близкие к Вифериху, с A = 0 представляют собой простые числа Вифериха. Недавние поиски, помимо основного поиска простых чисел Вифериха, также пытались найти простые числа, близкие к Вифериху. ^[23]^[55] В следующей таблице перечислены все простые числа, близкие к Вифериху, с | А | ≤ 10 в интервале [1 × 10 ⁹, 3 × 10 ¹⁵]. ^[56] Эта граница поиска была достигнута в 2006 году в ходе поисков П. Карлайла, Р. Крэндалла и М. Роденкирха. ^[22]^[57] Большие записи принадлежат PrimeGrid.

п	1 или −1	А
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3
82687771042557349	-1	-10
3156824277937156367	+1	+7

Знак +1 или -1, указанный выше, легко предсказать по критерию Эйлера (и второму дополнению к квадратичному закону взаимности ).

Дорэ и Клив ^[23] использовал другое определение простого числа, близкого к Вифериху, определив его как простое число p с небольшим значением $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|$ где $\omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ представляет собой частное Ферма 2 по p модулю . ( операция по модулю здесь дает вычет с наименьшим абсолютным значением) В следующей таблице перечислены все простые числа p ≤ $6,7 \times 10. 15$ с $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ .

п	$\omega (p)$	$\left\|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right\|\times 10^{14}$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0.264
3167939147662997	−17	0.537
3723113065138349	−36	0.967
5131427559624857	−36	0.702
5294488110626977	−31	0.586
6517506365514181	+58	0.890

Два понятия близости связаны следующим образом. Если $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ , то возведя в квадрат, очевидно $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ . Итак, если бы $А$ было выбрано с $|A|$ маленький, тогда ясно $|\!\pm 2A|=2|A|$ также (довольно) маленькое и четное число. Однако, когда $\omega (p)$ Как ни странно выше, связанное с $ним A$ перед последним возведением в квадрат не было «маленьким». Например, с $p=3167939147662997$ , у нас есть $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ что читается крайне неблизко, но после возведения в квадрат это $2^{p-1}\equiv 1-17p{\pmod {p^{2}}}$ что по второму определению является почти виферихом.

База – простые числа Вифериха.

Простое основание Вифериха a — это простое число p , удовлетворяющее условию

а п - 1 \equiv 1 (против p 2)

, ^[8] с меньшим , р но большим 1.

Такое простое число не может делить a , так как тогда оно делило бы и 1.

Это гипотеза, что для каждого натурального числа a существует бесконечно много простых чисел Вифериха в базе a .

Бояи показал, что если p и q — простые числа, то a — целое положительное число, не делящееся на p и q, такое, что $a р -1 \equiv 1 (mod q)$ , $а q -1 \equiv 1 (mod p)$ , то $a рк -1 \equiv 1 (mod pq)$ . Установка p = q приводит $к п 2 -1 \equiv 1 (против p 2)$ . ^[58]^: 284 Было показано, $что п 2 -1 \equiv 1 (против p 2)$ тогда и только тогда, $когда р -1 \equiv 1 (против p 2)$ . ^[58]^{: 285–286}

решения $Известные р -1 \equiv 1 (против p 2)$ для малых значений a составляют: ^[59] (проверено до 5×10 ¹³)

а	простые числа p такие, что a ^{п - 1} = 1 (против p ²)	OEIS Последовательность
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все простые числа)	А000040
2	1093, 3511, ...	А001220
3	11, 1006003, ...	А014127
4	1093, 3511, ...
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ...	А123692
6	66161, 534851, 3152573, ...	А212583
7	5, 491531, ...	А123693
8	3, 1093, 3511, ...
9	2, 11, 1006003, ...
10	3, 487, 56598313, ...	А045616
11	71, ...
12	2693, 123653, ...	А111027
13	2, 863, 1747591, ...	А128667
14	29, 353, 7596952219, ...	А234810
15	29131, 119327070011, ...	А242741
16	1093, 3511, ...
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351, ...	А128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043, ...	А244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489, ...	А090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073, ...	А242982
21	2, ...
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159, ...	А298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329, ...	А128669
24	5, 25633, ...
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ...
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707, ...	А306255
27	11, 1006003, ...
28	3, 19, 23, ...
29	2, ...
30	7, 160541, 94727075783, ...	А306256
31	7, 79, 6451, 2806861, ...	А331424
32	5, 1093, 3511, ...
33	2, 233, 47441, 9639595369, ...
34	46145917691, ...
35	3, 1613, 3571, ...
36	66161, 534851, 3152573, ...
37	2, 3, 77867, 76407520781, ...	А331426
38	17, 127, ...
39	8039, ...
40	11, 17, 307, 66431, 7036306088681, ...
41	2, 29, 1025273, 138200401, ...	А331427
42	23, 719867822369, ...
43	5, 103, 13368932516573, ...
44	3, 229, 5851, ...
45	2, 1283, 131759, 157635607, ...
46	3, 829, ...
47	...
48	7, 257, ...
49	2, 5, 491531, ...
50	7, ...

Для получения дополнительной информации см. ^[60]^[61]^[62] и. ^[63] (Обратите внимание, что решения задачи a = b ^к является объединением простых делителей числа k , которое не делит b , и решений уравнения a = b )

Наименьшие решения $n р -1 \equiv 1 (против p 2)$ являются

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (Следующий член > 4,9×10 ¹³) (последовательность A039951 в OEIS )

Не существует известных решений $n р -1 \equiv 1 (против p 2)$ для n = 47, 72, 186, 187, 200, 203, 222, 231, 304, 311, 335, 355, 435, 454, 546, 554, 610, 639, 662, 760, 772, 798, 808, 812, 858, 860, 871, 983, 986, 1002, 1023, 1130, 1136, 1138, ....

Это гипотеза о том, что существует бесконечно много решений задачи $. р -1 \equiv 1 (против p 2)$ для каждого натурального числа a .

Основания b < p ² которые p — простое число Вифериха, являются (при b > p ², решения просто сдвинуты на k · p ² для k > 0), и существует $p - 1$ решений < p ² числа p и множество решений, конгруэнтных равны p, {1, 2, 3, ..., $p - 1})$ (последовательность A143548 в OEIS )

п	значения b < p ²
2	1
3	1, 8
5	1, 7, 18, 24
7	1, 18, 19, 30, 31, 48
11	1, 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120
13	1, 19, 22, 23, 70, 80, 89, 99, 146, 147, 150, 168
17	1, 38, 40, 65, 75, 110, 131, 134, 155, 158, 179, 214, 224, 249, 251, 288
19	1, 28, 54, 62, 68, 69, 99, 116, 127, 234, 245, 262, 292, 293, 299, 307, 333, 360
23	1, 28, 42, 63, 118, 130, 170, 177, 195, 255, 263, 266, 274, 334, 352, 359, 399, 411, 466, 487, 501, 528
29	1, 14, 41, 60, 63, 137, 190, 196, 221, 236, 267, 270, 374, 416, 425, 467, 571, 574, 605, 620, 645, 651, 704, 778, 781, 800, 827, 840

Наименьшее основание b > 1, простое число которого ( n ) является простым числом Вифериха, - это

5, 8, 7, 18, 3, 19, 38, 28, 28, 14, 115, 18, 51, 19, 53, 338, 53, 264, 143, 11, 306, 31, 99, 184, 53, 181, 43, 164, 96, 68, 38, 58, 19, 328, 313, 78, 226, 65, 253, 259, 532, 78, 176, 276, 143, 174, 165, 69, 330, 44, 33, 332, 94, 263, 48, 79, 171, 747, 731, 20, ... (последовательность A039678 в OEIS )

Мы также можем рассмотреть формулу $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ , (в силу обобщенной малой теоремы Ферма $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ верно для всех простых p и всех натуральных чисел a, таких что и a , и $a + 1$ не делятся на p ). Это гипотеза, что для каждого натурального числа a существует бесконечно много простых чисел таких, что $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ .

Известные решения для малых a : (проверено до 4 × 10 ¹¹) ^[64]

⁠ $a$ ⁠	простые числа ⁠ $p$ ⁠ такой, что $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$
1	1093, 3511, ...
2	23, 3842760169, 41975417117, ...
3	5, 250829, ...
4	3, 67, ...
5	3457, 893122907, ...
6	72673, 1108905403, 2375385997, ...
7	13, 819381943, ...
8	67, 139, 499, 26325777341, ...
9	67, 887, 9257, 83449, 111539, 31832131, ...
10	...
11	107, 4637, 239357, ...
12	5, 11, 51563, 363901, 224189011, ...
13	3, ...
14	11, 5749, 17733170113, 140328785783, ...
15	292381, ...
16	4157, ...
17	751, 46070159, ...
18	7, 142671309349, ...
19	17, 269, ...
20	29, 162703, ...
21	5, 2711, 104651, 112922981, 331325567, 13315963127, ...
22	3, 7, 13, 94447, 1198427, 23536243, ...
23	43, 179, 1637, 69073, ...
24	7, 353, 402153391, ...
25	43, 5399, 21107, 35879, ...
26	7, 131, 653, 5237, 97003, ...
27	2437, 1704732131, ...
28	5, 617, 677, 2273, 16243697, ...
29	73, 101, 6217, ...
30	7, 11, 23, 3301, 48589, 549667, ...
31	3, 41, 416797, ...
32	95989, 2276682269, ...
33	139, 1341678275933, ...
34	83, 139, ...
35	...
36	107, 137, 613, 2423, 74304856177, ...
37	5, ...
38	167, 2039, ...
39	659, 9413, ...
40	3, 23, 21029249, ...
41	31, 71, 1934399021, 474528373843, ...
42	4639, 1672609, ...
43	31, 4962186419, ...
44	36677, 17786501, ...
45	241, 26120375473, ...
46	5, 13877, ...
47	13, 311, 797, 906165497, ...
48	...
49	3, 13, 2141, 281833, 1703287, 4805298913, ...
50	2953, 22409, 99241, 5427425917, ...

пары Вифериха

Пара Вифериха — это пара простых чисел p и q, удовлетворяющая условиям

п ^{д - 1} ≡ 1 (против q ²) и q ^{п - 1} ≡ 1 (против p ²)

так что простое число Вифериха p ≡ 1 (mod 4) образует такую пару ( p , 2): единственный известный случай в этом случае — $p = 1093$ . Известно только 7 пар Вифериха. ^[65]

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) и (2903, 18787) (последовательность OEIS : A282293 в OEIS )

последовательность Вифериха

Начните с a(1) любого натурального числа (>1), a( n ) = наименьшее простое число p такое, что (a( n - 1)) ^{п - 1} = 1 (против p ²) но п ² не делит a( n − 1) − 1 или a( n − 1) + 1. (Если p ² делит a( n - 1) - 1 или a( n - 1) + 1, то решение является тривиальным . Это гипотеза, что каждое натуральное число k = a(1) > 1 делает эту последовательность периодической, поскольку например, пусть a(1) = 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., получается цикл: {5, 20771, 18043}.

(последовательность A359952 в OEIS )

Пусть а(1) = 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., получается цикл: {83, 4871}.

Пусть a(1) = 59 (более длинная последовательность):

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ..., тоже получается 5.

Однако существует множество значений a(1) с неизвестным статусом, например, пусть a(1) = 3:

3, 11, 71, 47, ? (Простые числа Вифериха по основанию 47 неизвестны).

Пусть а(1) = 14:

14, 29, ? (Нет известных простых чисел Вифериха по основанию 29, кроме 2, но 2 ² = 4 делит 29 − 1 = 28)

Пусть a(1) = 39 (более длинная последовательность):

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (Он также получает 29)

Неизвестно, существуют ли значения для a(1) > 1, такие, что результирующая последовательность со временем не становится периодической.

Когда a( n - 1)= k , a( n ) будет (начиная с k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (Для k = 21, 29, 47, 50 даже следующее значение неизвестно)

Числа Вифериха

Число Вифериха — это нечетное натуральное число n, удовлетворяющее равенству 2 ^{$φ$ ( п )} ≡ 1 (против n ²), где $φ$ обозначает тотент-функцию Эйлера (согласно теореме Эйлера , 2 ^{$φ$ ( п )} ≡ 1 (mod n ) для каждого нечетного натурального числа n ). Если число Вифериха n простое, то оно является простым числом Вифериха. Первые несколько чисел Вифериха:

1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (последовательность A077816 в Oeis )

Можно показать, что если существует только конечное число простых чисел Вифериха, то существует только конечное число чисел Вифериха. В частности, если единственными простыми числами Вифериха являются 1093 и 3511, то существует ровно 104 числа Вифериха, что соответствует количеству известных в настоящее время чисел Вифериха. ^[2]

В более общем смысле, натуральное число n — это число Вифериха, лежащее в основе a , если a ^{$φ$ ( п )} ≡ 1 (против n ²). ^[66]^: 31

Другое определение определяет число Вифериха как нечетное натуральное число n такое, что n и ${\tfrac {2^{m}-1}{n}}$ не являются взаимно простыми , где m — мультипликативный порядок 2 по модулю n . Первое из этих чисел: ^[67]

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399, ... (последовательность A182297 в OEIS )

Как и выше, если число Вифериха q простое, то оно является простым числом Вифериха.

Слабое простое число Вифериха

Слабое простое число Вифериха по основанию a — это простое число p, удовлетворяющее условию

а ^п ≡ а (мод р ²)

Каждое простое число Вифериха с основанием a также является слабым простым числом Вифериха с основанием a . Если основание a свободно от квадратов , то простое число p является слабым простым числом Вифериха по отношению к основанию a тогда и только тогда, когда p является простым числом Вифериха по отношению к основанию a .

Наименьшее слабое простое число Вифериха по основанию n : (начиная с n = 0)

2, 2, 1093, 11, 2, 2, 66161, 5, 2, 2, 3, 71, 2, 2, 29, 29131, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 13, 13, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 2, 2, 46145917691, 3, 2, 2, 17, 8039, 2, 2, 23, 5, 2, 2, 3, ...

Простое число Вифериха порядка n

Для целого числа n ≥2 простое число Вифериха по основанию a порядка n является простым числом p, удовлетворяющим условию

а ^{р -1} ≡ 1 (против p ^н)

Очевидно, что простое число Вифериха по основанию a порядка n также является простым числом Вифериха по основанию a порядка m для всех 2 ≤ m ≤ n , а простое число Вифериха по основанию a порядка 2 эквивалентно простому числу Вифериха по основанию a , поэтому мы может рассматривать только случай n ≥ 3. Однако не существует известных простых чисел Вифериха по основанию 2 порядка 3. Первое основание с известным простым числом Вифериха порядка 3 - это 9, где 2 - это простое число Вифериха по основанию 9 порядка 3. Кроме того, и 5, и 113 являются простыми числами Вифериха. до основания 68 с порядком 3.

Простые числа Лукаса – Вифериха

Пусть P и Q — целые числа. Последовательность Люка первого рода, связанная с парой ( P , Q ), определяется формулой

{\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\end{aligned}}

для всех $n\geq 2$ . Простое число Люка–Вифериха , связанное с ( P , Q ), — это простое число p такое, что U _{p − ε} ( P , Q ) ≡ 0 (mod p ²), где ε соответствует символу Лежандра $\left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)$ . Все простые числа Вифериха являются простыми числами Люка–Вифериха, связанными с парой (3, 2). ^[3]^: 2088

Виферихские места

Пусть K — глобальное поле , т. е. числовое поле или поле функции от одной переменной над конечным полем , и пусть E — эллиптическая кривая . Если v — неархимедово место нормы q v _поля K и a ∈ K, причем v ( a ) = 0, то $v (a q v - 1 - 1)$ ≥ 1. v называется местом Вифериха для базы a , если $v (a q v - 1 - 1)$ > 1, эллиптическое место Вифериха для базы P ∈ E , если N _v P ∈ E ₂ , и сильное эллиптическое место Вифериха для базы P ∈ E, если n _v P ∈ E ₂ , где n _v — порядок P по модулю v и N _v дает количество рациональных точек (по полю вычетов v ) приведения E в v . ^[68]^: 206

См. также

Простое число Стены – Солнца – Солнца - еще один тип простых чисел, который в самом широком смысле также возник в результате изучения FLT.
Простое число Вольстенхолма - еще один тип простых чисел, который в самом широком смысле также возник в результате изучения FLT.
Уилсон Прайм
Таблица сравнений - перечисляет другие сравнения, которым удовлетворяют простые числа.
PrimeGrid - проект поиска простых чисел
БОИНК
Распределенные вычисления

Ссылки

^ Франко, З.; Померанс, К. (1995), «О гипотезе Крэндалла относительно проблемы qx + 1» (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (211): 1333–36, Бибкод : 1995MaCom..64.1333F , doi : 10.2307/ 2153499 , JSTOR 2153499 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэнкс, штат Вашингтон; Лука, Ф.; Шпарлински, И.Э. (2007), «Оценки чисел Вифериха» (PDF) , The Ramanujan Journal , 14 (3): 361–378, doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , S2CID 39279379 , заархивировано из оригинала ( PDF) от 3 мая 2013 г. , получено 12 марта 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Макинтош, Р.Дж.; Реттгер, Э. Л. (2007), «Поиск простых чисел Фибоначчи – Вифериха и Вольстенхолма» (PDF) , Mathematics of Computation , 76 (260): 2087–2094, Бибкод : 2007MaCom..76.2087M , CiteSeerX 10.1.1.105.9393 , дои : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2
^ Основной глоссарий: простое число Вифериха
^ Исраэль Кляйнер (2000), «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой», Elemente der Mathematik , 55 : 21, doi : 10.1007/PL00000079 , S2CID 53319514 .
^ Леонард Эйлер (1736 г.), «Демонстрация некоторых теорем, касающихся простых чисел» (PDF) , New Comm. акад. Знать Петрополис (на латыни), 8 : 33–37.
^ Диксон, Л. Е. (1917), «Великая теорема Ферма, происхождение и природа теории алгебраических чисел», Annals of Mathematics , 18 (4): 161–187, doi : 10.2307/2007234 , JSTOR 2007234
^ Перейти обратно: ^а ^б Уилфрид Келлер; Йорг Рихштейн (2005), сравнения $« Решения р -1 \equiv 1 (против p р)$ » (PDF) , Математика вычислений , 74 (250): 927–936, doi : 10.1090/S0025-5718-04-01666-7 .
^ Мейер, В. Фр. (1902). «Дополнения к теоремам Ферма и Вильсона» . Арх. Математика. Физика . 3. 2 : 141–146 . Проверено 2 сентября 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Виферих, А. (1909), «О последней теореме Ферма» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1909 (136): 293–302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , S2CID 118715277 .
^ Бахманн, П. (1913). «Об остальном ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ » . Журнал математики (на немецком языке). 142 (1): 41–50.
^ Перейти обратно: ^а ^б Мейснер, В. (1913), «О делимости 2 ^п − 2 в квадрате простого числа p = 1093" (PDF) , Отчет о заседаниях Д. Кенигля. Пройсса. Акад. Д. Висса (на немецком языке), вторая половина тома. Июль-декабрь, Берлин: 663–667, ЖФМ 44.0218.02.
^ Хенцшель, Э. (1916), «О сравнении 2 ¹⁰⁹² ≡ 1 (против 1093 ²)" , Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков (на немецком языке), 25 : 284.
^ Хенцшель, Э. (1925), "О сравнении 2 ¹⁰⁹² ≡ 1 (против 1093 ²)" , Годовой отчет Ассоциации немецких математиков (на немецком языке), 34 : 184.
^ Рибенбойм, П. (1983), «1093», The Mathematical Intelligencer , 5 (2): 28–34, doi : 10.1007/BF03023623
^ Бигер, NGWH (1922), «О новом случае сравнения 2 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ²)» , Вестник математики , 51 : 149–150
^ Гай, Р.К. (1965), «Свойство простого числа 3511», The Mathematical Gazette , 49 (367): 78–79, doi : 10.2307/3614249 , JSTOR 3614249
^ Кравиц, С. (1960). «Конгруэнтность 2» ^{р -1} ≡ 1 (против p ²) для p < 100 000 дюймов (PDF) . Математика вычислений . 14 (72): 378. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7 .
^ Фрёберг CE (1958). «Некоторые вычисления остатков Вильсона и Ферма» (PDF) . Математика вычислений . 12 (64): 281. doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6 .
^ Ризель, Х. (1964). «Заметка о сравнении ^{р -1} ≡ 1 (против p ²)» (PDF) . Математика вычислений . 18 (85): 149–150. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6 .
^ Лемер, Д.Х. (1981). «О частном Ферма по основанию два» (PDF) . Математика вычислений . 36 (153): 289–290. дои : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Рибенбойм, Пауло (2004), Мир простых чисел: секреты и рекорды (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer, стр. 237, ISBN 978-3-540-34283-0
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дорэ, ФГ; Клайв, Д. (2011). «Поиск простых чисел Вифериха до 6,7 × 10 ». ¹⁵ . (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 14 (9). Zbl 1278.11003 Проверено 23 октября 2011 г.
^ «статистика» . elMath.org . 02 сентября 2016 г. Архивировано из оригинала 02 сентября 2016 г. Проверено 18 сентября 2019 г.
^ «WSS и WFS приостановлены» . Доска объявлений PrimeGrid . 11 мая 2017 г.
^ «Доски объявлений: Виферих и Wall-Sun-Sun Prime Search» . ПраймГрид .
^ «Статистика ВОВ» . ПраймГрид .
^ Перейти обратно: ^а ^б Крэндалл, Ричард Э.; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997), «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона» (PDF) , Mathematics of Computation , 66 (217): 433–449, Бибкод : 1997MaCom..66..433C , doi : 10.1090/S0025-5718 -97-00791-6 .
^ Копперсмит, Д. (1990), «Последняя теорема Ферма (случай I) и критерий Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 54 (190): 895–902, Бибкод : 1990MaCom..54..895C , doi : 10.1090/s0025-5718-1990-1010598-2 , JSTOR 2008518 .
^ Циканек, П. (1994), «Специальное расширение критерия Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 62 (206): 923–930, Бибкод : 1994MaCom..62..923C , doi : 10.2307/2153550 , JSTOR 3562296 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дилчер, К.; Скула, Л. (1995), «Новый критерий для первого случая последней теоремы Ферма» (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (209): 363–392, Бибкод : 1995MaCom..64..363D , doi : 10.1090/s0025-5718-1995-1248969-6 , JSTOR 2153341
^ Мириманофф, Д. (1910), «О последней теореме Ферма», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 150 : 204–206.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гранвиль, А.; Монаган, МБ (1988), «Первый случай Великой теоремы Ферма верен для всех простых показателей до 714 591 416 091 389», Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329–359, doi : 10.1090/S0002-9947- 1988-0927694-5 .
^ Судзуки, Дзиро (1994), «Об обобщенных критериях Вифериха» , Труды Японской академии, серия A , 70 (7): 230–234, doi : 10.3792/pjaa.70.230
^ Чарльз, DX «О простых числах Вифериха» (PDF) . Wisc.edu .
^ Сильверман, Дж. Х. (1988), «Критерий Вифериха и abc-гипотеза», Journal of Number Theory , 30 (2): 226–237, doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4
^ Перейти обратно: ^а ^б ДеКонинк, Ж.-М.; Дойон, Н. (2007), «О множестве простых чисел Вифериха и его дополнениях» (PDF) , Annales Univ. наук. Будапешт., Разд. Комп. , 27 : 3–13
^ Броган, К. (2006), «Ослабление гипотезы ABC с использованием целочисленных k корней -й степени» (PDF) , New Zealand J. Math. , 35 (2): 121–136
^ Рибенбойм, П. (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. п. 154. ИСБН 978-0-387-90432-0 .
^ Простые числа Мерсенна: гипотезы и нерешенные проблемы
^ Роткевич, А. (1965). «О числах Мерсенна, не имеющих квадратных делителей, и о натуральных числах n, таких, что $n 2 |2 н - 2$ " . Мат. Весник (на франц.). 2 (17): 78–80.
^ Рибенбойм, Пауло (1991), Маленькая книга больших простых чисел , Нью-Йорк: Springer, стр. 64, ISBN 978-0-387-97508-5
^ Брей, Х.Г.; Уоррен, LJ (1967), «О свободе от квадратов чисел Ферма и Мерсенна» , Pacific J. Math. , 22 (3): 563–564, doi : 10.2140/pjm.1967.22.563 , МР 0220666 , Збл 0149.28204
^ Скотт, Р.; Стайер, Р. (апрель 2004 г.). «На $стр. х - q и = c$ и связанные с ним трехчленные экспоненциальные диофантовые уравнения с простыми основаниями». Journal of Number Theory . 105 (2): 212–234. doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008 .
^ Скотт, Р.; Стайер, Р. (2006). «Об обобщенном уравнении Пиллаи ± a ^х± b ^и = c " . Журнал теории чисел . 118 (2): 236–265. doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001 .
^ Уэллс Джонсон (1977), «О неисчезании отношений Ферма $(mod p)$ » , Дж. Рейн Ангью. Математика. , 292 : 196–200
^ Добеш, Ян; Куреш, Мирослав (2010). «Поиск простых чисел Вифериха с помощью периодических двоичных строк» . Сердика Журнал вычислительной техники . 4 : 293–300. Збл 1246.11019 .
^ Рибенбойм, П. (2004). «Глава 2. Как определить, является ли натуральное число простым» (PDF) . Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 99. ИСБН 978-0-387-20169-6 .
^ Пинч, РГЭ (2000). Псевдопростые числа до 10 ¹³. Конспекты лекций по информатике. Том. 1838. стр. 459–473. дои : 10.1007/10722028_30 . ISBN 978-3-540-67695-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эрлих, А. (1994), «Циклы в диаграммах удвоения mod m» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 32 (1): 74–78.
^ Бён, Д. (2006), «Числа классов, инварианты Ивасавы и модульные формы» (PDF) , Trends in Mathematics , 9 (1): 25–29, заархивировано из оригинала (PDF) 26 апреля 2012 г. , извлечено. 05.09.2012
^ Якубек, С. (1995), "Связь между сравнением Вифериха и делимостью h ⁺( PDF ) , Журнал арифметики , 71 (1): 55–64, doi : 10.4064/aa-71-1-55-64
^ Якубец, С. (1998), "О делимости номера класса h ⁺ действительных круговых полей простой степени l" (PDF) , Mathematics of Computation , 67 (221): 369–398, doi : 10.1090/s0025-5718-98-00916-8
^ Джошуа Кнауэр; Йорг Рихштейн (2005), «Продолжение поиска простых чисел Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 74 (251): 1559–1563, Бибкод : 2005MaCom..74.1559K , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01723 -0 .
^ О проекте Wieferich@Home
^ PrimeGrid, Виферих и близкие к нему простые числа Вифериха p <11e15. Архивировано 18 октября 2012 г. на Wayback Machine.
^ Рибенбойм, Пауло (2000), Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел , Нью-Йорк: Springer, стр. 213–229, ISBN. 978-0-387-98911-2
^ Перейти обратно: ^а ^б Кисс, Э.; Шандор, Дж. (2004). «О сравнении Яноша Бойяи, связанном с псевдопростыми числами» (PDF) . Математика Панноника . 15 (2): 283–288.
^ Коэффициент Ферма в The Prime Glossary
^ «Виферих записывает по основанию 1052» .
^ «Виферих простое число по основанию 10125» .
^ «Частные Ферма q _p ( a ), делящиеся на p » . www1.uni-hamburg.de . 09.08.2014. Архивировано из оригинала 9 августа 2014 г. Проверено 18 сентября 2019 г.
^ «Простые числа Вифериха уровня ≥ 3» .
^ «Решение $(а + 1) р -1 - а р -1 \equiv 0 (против p 2)$ " .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная простая пара Вифериха» . Математический мир .
^ Агох, Т.; Дилчер, К.; Скула, Л. (1997), «Коэффициенты Ферма для составных модулей», Journal of Number Theory , 66 (1): 29–50, doi : 10.1006/jnth.1997.2162
^ Мюллер, Х. (2009). «О длинах периодов и гипотезах Коллатца и Крэндалла» . Объявления Математического общества в Гамбурге (на немецком языке). 28 : 121-130.
^ Волох, Дж. Ф. (2000), «Эллиптические простые числа Вифериха», Journal of Number Theory , 81 (2): 205–209, doi : 10.1006/jnth.1999.2471

Дальнейшее чтение

Хаусснер, Р. (1926), "О сравнениях $2 р -1 - 1$ ≡ 0 (против p ²) для простых чисел p = 1093 и 3511" , Archive for Mathematics og Naturvidenskab (на немецком языке), 39 (5): 7, JFM 52.0141.06 , DNB 363953469
Хаусснер, Р. (1927), «О численных решениях сравнения $и т. д.». р -1 - 1$ ≡ 0 (против p ²)" , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1927 (156): 223–226, doi : 10.1515/crll.1927.156.223 , S2CID 117969297
Рибенбойм, П. (1979), Тринадцать лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 139, 151, ISBN 978-0-387-90432-0
Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , стр. 14, ISBN 978-0-387-20860-2
Крэндалл, RE; Померанс, К. (2005), Простые числа: вычислительная перспектива (PDF) , Springer Science+Business Media, стр. 31–32, ISBN. 978-0-387-25282-7
Рибенбойм, П. (1996), Новая книга записей простых чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 333–346, ISBN. 978-0-387-94457-9

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Простое число Вифериха» . Математический мир .
Коэффициенты Ферма/Эйлера $(a р -1 - 1)/ п к$ с произвольным k
Замечание о двух известных простых числах Вифериха.
PrimeGrid Wieferich Prime Search проекта Страница

[1] Франко, З.; Померанс, К. (1995), «О гипотезе Крэндалла относительно проблемы qx + 1» (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (211): 1333–36, Бибкод : 1995MaCom..64.1333F , doi : 10.2307/ 2153499 , JSTOR 2153499 .

[Banks,_Luca-2] Перейти обратно: ^а ^б Бэнкс, штат Вашингтон; Лука, Ф.; Шпарлински, И.Э. (2007), «Оценки чисел Вифериха» (PDF) , The Ramanujan Journal , 14 (3): 361–378, doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , S2CID 39279379 , заархивировано из оригинала ( PDF) от 3 мая 2013 г. , получено 12 марта 2011 г.

[McIntosh,_2007-3] Перейти обратно: ^а ^б Макинтош, Р.Дж.; Реттгер, Э. Л. (2007), «Поиск простых чисел Фибоначчи – Вифериха и Вольстенхолма» (PDF) , Mathematics of Computation , 76 (260): 2087–2094, Бибкод : 2007MaCom..76.2087M , CiteSeerX 10.1.1.105.9393 , дои : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2

[The_Prime_Glossary-4] Основной глоссарий: простое число Вифериха

[Kleiner-5] Исраэль Кляйнер (2000), «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой», Elemente der Mathematik , 55 : 21, doi : 10.1007/PL00000079 , S2CID 53319514 .

[Euler-6] Леонард Эйлер (1736 г.), «Демонстрация некоторых теорем, касающихся простых чисел» (PDF) , New Comm. акад. Знать Петрополис (на латыни), 8 : 33–37.

[7] Диксон, Л. Е. (1917), «Великая теорема Ферма, происхождение и природа теории алгебраических чисел», Annals of Mathematics , 18 (4): 161–187, doi : 10.2307/2007234 , JSTOR 2007234

[Solutions-8] Перейти обратно: ^а ^б Уилфрид Келлер; Йорг Рихштейн (2005), сравнения $« Решения р -1 \equiv 1 (против p р)$ » (PDF) , Математика вычислений , 74 (250): 927–936, doi : 10.1090/S0025-5718-04-01666-7 .

[9] Мейер, В. Фр. (1902). «Дополнения к теоремам Ферма и Вильсона» . Арх. Математика. Физика . 3. 2 : 141–146 . Проверено 2 сентября 2020 г.

[Wieferich,_Arthur-10] Перейти обратно: ^а ^б Виферих, А. (1909), «О последней теореме Ферма» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1909 (136): 293–302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , S2CID 118715277 .

[11] Бахманн, П. (1913). «Об остальном ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ » . Журнал математики (на немецком языке). 142 (1): 41–50.

[Meissner-12] Перейти обратно: ^а ^б Мейснер, В. (1913), «О делимости 2 ^п − 2 в квадрате простого числа p = 1093" (PDF) , Отчет о заседаниях Д. Кенигля. Пройсса. Акад. Д. Висса (на немецком языке), вторая половина тома. Июль-декабрь, Берлин: 663–667, ЖФМ 44.0218.02.

[13] Хенцшель, Э. (1916), «О сравнении 2 ¹⁰⁹² ≡ 1 (против 1093 ²)" , Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков (на немецком языке), 25 : 284.

[14] Хенцшель, Э. (1925), "О сравнении 2 ¹⁰⁹² ≡ 1 (против 1093 ²)" , Годовой отчет Ассоциации немецких математиков (на немецком языке), 34 : 184.

[15] Рибенбойм, П. (1983), «1093», The Mathematical Intelligencer , 5 (2): 28–34, doi : 10.1007/BF03023623

[16] Бигер, NGWH (1922), «О новом случае сравнения 2 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ²)» , Вестник математики , 51 : 149–150

[17] Гай, Р.К. (1965), «Свойство простого числа 3511», The Mathematical Gazette , 49 (367): 78–79, doi : 10.2307/3614249 , JSTOR 3614249

[18] Кравиц, С. (1960). «Конгруэнтность 2» ^{р -1} ≡ 1 (против p ²) для p < 100 000 дюймов (PDF) . Математика вычислений . 14 (72): 378. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7 .

[19] Фрёберг CE (1958). «Некоторые вычисления остатков Вильсона и Ферма» (PDF) . Математика вычислений . 12 (64): 281. doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6 .

[20] Ризель, Х. (1964). «Заметка о сравнении ^{р -1} ≡ 1 (против p ²)» (PDF) . Математика вычислений . 18 (85): 149–150. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6 .

[21] Лемер, Д.Х. (1981). «О частном Ферма по основанию два» (PDF) . Математика вычислений . 36 (153): 289–290. дои : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5 .

[Ribenboim,_2004-22] Перейти обратно: ^а ^б Рибенбойм, Пауло (2004), Мир простых чисел: секреты и рекорды (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer, стр. 237, ISBN 978-3-540-34283-0

[Dorais-23] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дорэ, ФГ; Клайв, Д. (2011). «Поиск простых чисел Вифериха до 6,7 × 10 ». ¹⁵ . (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 14 (9). Zbl 1278.11003 Проверено 23 октября 2011 г.

[24] «статистика» . elMath.org . 02 сентября 2016 г. Архивировано из оригинала 02 сентября 2016 г. Проверено 18 сентября 2019 г.

[25] «WSS и WFS приостановлены» . Доска объявлений PrimeGrid . 11 мая 2017 г.

[26] «Доски объявлений: Виферих и Wall-Sun-Sun Prime Search» . ПраймГрид .

[27] «Статистика ВОВ» . ПраймГрид .

[Crandall-28] Перейти обратно: ^а ^б Крэндалл, Ричард Э.; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997), «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона» (PDF) , Mathematics of Computation , 66 (217): 433–449, Бибкод : 1997MaCom..66..433C , doi : 10.1090/S0025-5718 -97-00791-6 .

[29] Копперсмит, Д. (1990), «Последняя теорема Ферма (случай I) и критерий Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 54 (190): 895–902, Бибкод : 1990MaCom..54..895C , doi : 10.1090/s0025-5718-1990-1010598-2 , JSTOR 2008518 .

[30] Циканек, П. (1994), «Специальное расширение критерия Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 62 (206): 923–930, Бибкод : 1994MaCom..62..923C , doi : 10.2307/2153550 , JSTOR 3562296 .

[Dilcher,_Skula-31] Перейти обратно: ^а ^б Дилчер, К.; Скула, Л. (1995), «Новый критерий для первого случая последней теоремы Ферма» (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (209): 363–392, Бибкод : 1995MaCom..64..363D , doi : 10.1090/s0025-5718-1995-1248969-6 , JSTOR 2153341

[32] Мириманофф, Д. (1910), «О последней теореме Ферма», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 150 : 204–206.

[Granville,_Monagan-33] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гранвиль, А.; Монаган, МБ (1988), «Первый случай Великой теоремы Ферма верен для всех простых показателей до 714 591 416 091 389», Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329–359, doi : 10.1090/S0002-9947- 1988-0927694-5 .

[34] Судзуки, Дзиро (1994), «Об обобщенных критериях Вифериха» , Труды Японской академии, серия A , 70 (7): 230–234, doi : 10.3792/pjaa.70.230

[35] Чарльз, DX «О простых числах Вифериха» (PDF) . Wisc.edu .

[36] Сильверман, Дж. Х. (1988), «Критерий Вифериха и abc-гипотеза», Journal of Number Theory , 30 (2): 226–237, doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4

[DeKoninckDoyon-37] Перейти обратно: ^а ^б ДеКонинк, Ж.-М.; Дойон, Н. (2007), «О множестве простых чисел Вифериха и его дополнениях» (PDF) , Annales Univ. наук. Будапешт., Разд. Комп. , 27 : 3–13

[38] Броган, К. (2006), «Ослабление гипотезы ABC с использованием целочисленных k корней -й степени» (PDF) , New Zealand J. Math. , 35 (2): 121–136

[39] Рибенбойм, П. (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. п. 154. ИСБН 978-0-387-90432-0 .

[40] Простые числа Мерсенна: гипотезы и нерешенные проблемы

[41] Роткевич, А. (1965). «О числах Мерсенна, не имеющих квадратных делителей, и о натуральных числах n, таких, что $n 2 |2 н - 2$ " . Мат. Весник (на франц.). 2 (17): 78–80.

[42] Рибенбойм, Пауло (1991), Маленькая книга больших простых чисел , Нью-Йорк: Springer, стр. 64, ISBN 978-0-387-97508-5

[43] Брей, Х.Г.; Уоррен, LJ (1967), «О свободе от квадратов чисел Ферма и Мерсенна» , Pacific J. Math. , 22 (3): 563–564, doi : 10.2140/pjm.1967.22.563 , МР 0220666 , Збл 0149.28204

[44] Скотт, Р.; Стайер, Р. (апрель 2004 г.). «На $стр. х - q и = c$ и связанные с ним трехчленные экспоненциальные диофантовые уравнения с простыми основаниями». Journal of Number Theory . 105 (2): 212–234. doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008 .

[45] Скотт, Р.; Стайер, Р. (2006). «Об обобщенном уравнении Пиллаи ± a ^х± b ^и = c " . Журнал теории чисел . 118 (2): 236–265. doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001 .

[John-46] Уэллс Джонсон (1977), «О неисчезании отношений Ферма $(mod p)$ » , Дж. Рейн Ангью. Математика. , 292 : 196–200

[DoKu-47] Добеш, Ян; Куреш, Мирослав (2010). «Поиск простых чисел Вифериха с помощью периодических двоичных строк» . Сердика Журнал вычислительной техники . 4 : 293–300. Збл 1246.11019 .

[48] Рибенбойм, П. (2004). «Глава 2. Как определить, является ли натуральное число простым» (PDF) . Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 99. ИСБН 978-0-387-20169-6 .

[49] Пинч, РГЭ (2000). Псевдопростые числа до 10 ¹³. Конспекты лекций по информатике. Том. 1838. стр. 459–473. дои : 10.1007/10722028_30 . ISBN 978-3-540-67695-9 .

[Ehrlich-50] Перейти обратно: ^а ^б Эрлих, А. (1994), «Циклы в диаграммах удвоения mod m» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 32 (1): 74–78.

[51] Бён, Д. (2006), «Числа классов, инварианты Ивасавы и модульные формы» (PDF) , Trends in Mathematics , 9 (1): 25–29, заархивировано из оригинала (PDF) 26 апреля 2012 г. , извлечено. 05.09.2012

[Jakubec-52] Якубек, С. (1995), "Связь между сравнением Вифериха и делимостью h ⁺( PDF ) , Журнал арифметики , 71 (1): 55–64, doi : 10.4064/aa-71-1-55-64

[53] Якубец, С. (1998), "О делимости номера класса h ⁺ действительных круговых полей простой степени l" (PDF) , Mathematics of Computation , 67 (221): 369–398, doi : 10.1090/s0025-5718-98-00916-8

[Knauer-54] Джошуа Кнауэр; Йорг Рихштейн (2005), «Продолжение поиска простых чисел Вифериха» (PDF) , Mathematics of Computation , 74 (251): 1559–1563, Бибкод : 2005MaCom..74.1559K , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01723 -0 .

[elmath-55] О проекте Wieferich@Home

[56] PrimeGrid, Виферих и близкие к нему простые числа Вифериха p <11e15. Архивировано 18 октября 2012 г. на Wayback Machine.

[57] Рибенбойм, Пауло (2000), Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел , Нью-Йорк: Springer, стр. 213–229, ISBN. 978-0-387-98911-2

[Kiss-58] Перейти обратно: ^а ^б Кисс, Э.; Шандор, Дж. (2004). «О сравнении Яноша Бойяи, связанном с псевдопростыми числами» (PDF) . Математика Панноника . 15 (2): 283–288.

[59] Коэффициент Ферма в The Prime Glossary

[60] «Виферих записывает по основанию 1052» .

[61] «Виферих простое число по основанию 10125» .

[62] «Частные Ферма q _p ( a ), делящиеся на p » . www1.uni-hamburg.de . 09.08.2014. Архивировано из оригинала 9 августа 2014 г. Проверено 18 сентября 2019 г.

[63] «Простые числа Вифериха уровня ≥ 3» .

[64] «Решение $(а + 1) р -1 - а р -1 \equiv 0 (против p 2)$ " .

[65] Вайсштейн, Эрик В. «Двойная простая пара Вифериха» . Математический мир .

[66] Агох, Т.; Дилчер, К.; Скула, Л. (1997), «Коэффициенты Ферма для составных модулей», Journal of Number Theory , 66 (1): 29–50, doi : 10.1006/jnth.1997.2162

[67] Мюллер, Х. (2009). «О длинах периодов и гипотезах Коллатца и Крэндалла» . Объявления Математического общества в Гамбурге (на немецком языке). 28 : 121-130.

[68] Волох, Дж. Ф. (2000), «Эллиптические простые числа Вифериха», Journal of Number Theory , 81 (2): 205–209, doi : 10.1006/jnth.1999.2471

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers