Переменная (математика)

В математике переменная , (от латинского variabilis — «изменяемая») — это символ обозначающий математический объект . Переменная может представлять число , вектор , матрицу , функцию , аргумент функции , набор или элемент набора. ^[1]

Алгебраические вычисления с переменными, как если бы они были явными числами, решают ряд задач за одно вычисление. Например, квадратная формула решает любое квадратное уравнение , заменяя числовыми значениями коэффициентов этого уравнения переменные, которые представляют их в квадратной формуле. В математической логике переменная — это либо символ, представляющий неопределенный термин теории ( метапеременная ), либо базовый объект теории, которым манипулируют без обращения к его возможной интуитивной интерпретации.

История

В древних произведениях, таких как «Начала» Евклида , отдельные буквы обозначают геометрические точки и формы. В VII веке Брахмагупта использовал разные цвета для обозначения неизвестных в алгебраических уравнениях « Брахмаспхутасиддханты» . Один раздел этой книги называется «Уравнения нескольких цветов». ^[2]

В конце 16 века Франсуа Виет ввел идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые сейчас называются переменными, и идею вычислений с ними, как если бы они были числами, — чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Вьета заключалось в том, чтобы использовать согласные для известных значений и гласные для неизвестных. ^[3]

В 1637 году Рене Декарт «изобрёл соглашение о представлении неизвестных в уравнениях через x , y и z , а известных — через a , b и c ». ^[4] Вопреки соглашению Вьета, термин Декарта все еще широко используется. История буквы x в математике обсуждалась в статье Scientific American 1887 года . ^[5]

Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых величин , которое по сути состоит в изучении того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер закрепил терминологию исчисления бесконечно малых и ввёл обозначение $y = f (x)$ для функции $f$ , её переменной $x$ и её значения $y$ . До конца XIX века слово «переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.

Во второй половине XIX века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не были достаточно формализованы, чтобы справиться с очевидными парадоксами, такими как нигде не дифференцируемая непрерывная функция . Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Старое понятие предела заключалось в том, что «когда переменная $x$ изменяется и стремится к $a$ , тогда $f (x)$ стремится к $L$ », без какого-либо точного определения «тенденции». Вейерштрасс заменил это предложение формулой

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,

при котором ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которая представляет собой просто символ, представляющий математический объект , который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом заданного набора (например, набора действительных чисел ).

Обозначения

Переменные обычно обозначаются одной буквой, чаще всего латинского алфавита и реже греческого , которая может быть как строчной, так и заглавной. За буквой может следовать нижний индекс: число (как в $x 2$ ), другая переменная ( $x i$ ), слово или сокращение слова ( $x total$ ) или математическое выражение ( $x 2 i + 1$ ). Под влиянием информатики некоторые имена переменных в чистой математике состоят из нескольких букв и цифр. Следуя Рене Декарту (1596–1650), буквы в начале алфавита, такие как a , b , c, обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, такие как ( x , y , z ), обозначают известные значения и параметры. обычно используется для неизвестных и переменных функций. ^[6] В печатной математике принято выделять переменные и константы курсивом. ^[7]

Например, общая квадратичная функция условно записывается как ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ , где a , b и c — параметры (также называемые константами , поскольку они являются постоянными функциями ), а x — переменная функции. Более явный способ обозначения этой функции: ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$ , который поясняет статус функции-аргумента x и постоянный статус a , b и c . Поскольку c встречается в термине, который является постоянной функцией x , его называют постоянным термином . ^[8]

В конкретных областях и приложениях математики существуют определенные соглашения об именах переменных. Переменным со схожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы или одна и та же буква с разными индексами. Например, три оси в трехмерном координатном пространстве условно называются x , y и z . В физике имена переменных во многом определяются описываемой ими физической величиной , но существуют различные соглашения об именах. часто соблюдается соглашение, В теории вероятности и статистике заключающееся в использовании X , Y , Z для имен случайных величин , оставляя x , y , z для переменных, представляющих соответствующие более определенные значения.

Определенные виды переменных

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

интерпретируется как наличие пяти переменных: четыре, $a, b, c, d$ , которые считаются заданными числами, а пятая переменная, $x,$ понимается как неизвестное число. Чтобы различать их, переменная $x$ называется неизвестной , а другие переменные называются параметрами или коэффициентами , а иногда и константами , хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функции, определяемой левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин переменная обычно относится к аргументам функций. Обычно это происходит в таких предложениях, как « функция действительной переменной », « $x$ — переменная функции $f : x \mapsto f (x)$ », « $f$ — функция переменной $x$ » (это означает, что аргумент на функцию ссылается переменная $x$ ).

В том же контексте переменные, независимые от $x,$ определяют постоянные функции и поэтому называются константами . Например, константа интегрирования — это произвольная постоянная функция, которая добавляется к определенной первообразной для получения других первообразных. Из-за сильной связи между полиномами и полиномиальными функциями термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов многочлена, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Такое использование слова «константа» как сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. Константа — , или математическая константа, другой математический объект, как, например, числа 0, 1, $π$ и единичный элемент группы это хорошо и однозначно определенное число или . Поскольку переменная может представлять любой математический объект, букву, обозначающую константу, часто называют переменной. Это, в частности, случай $e$ и $π$ , даже если они представляют число Эйлера и $3,14159...$

Другие конкретные имена переменных:

Неизвестная — это переменная в уравнении , которую необходимо решить.
Неопределенный — это символ, обычно называемый переменной, который появляется в полиноме или формальном степенном ряду . Формально говоря, неопределенное — это не переменная, а константа в кольце полиномов или кольце формальных степенных рядов . Однако из-за сильной связи между полиномами или степенными рядами и функциями , которые они определяют, многие авторы рассматривают неопределенные переменные как особый вид.
Параметр — это величина (обычно число), которая является частью входных данных задачи и остается постоянной в течение всего решения этой задачи. Например, в механике масса и размер твердого тела являются параметрами для изучения его движения. В информатике . параметр имеет другое значение и обозначает аргумент функции
Свободные переменные и связанные переменные
Случайная величина — это разновидность переменной, которая используется в теории вероятностей и ее приложениях.

Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычислений с ними ( синтаксис ) у всех одинаков.

Зависимые и независимые переменные

В исчислении и его применении к физике и другим наукам довольно часто рассматривают переменную, скажем $y$ , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем $x$ . математических терминах зависимая переменная $y$ представляет собой значение функции x $В$ . Чтобы упростить формулы, часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной $y$ и функции, отображающей $x$ на $y$ . Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление , температура , пространственное положение и т. д., и все эти величины изменяются по мере развития системы, то есть являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, неявно рассматриваются как функции времени.

Следовательно, в формуле зависимая переменная — это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. – Независимая переменная это переменная, которая не является зависимой. ^[9]

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении $f (x, y, z)$ все три переменные могут быть независимыми, и обозначение представляет собой функцию трех переменных. С другой стороны, если $y$ и $z$ зависят от $x$ (являются зависимыми переменными ), тогда обозначение представляет собой функцию единственной независимой переменной $x$ . ^[10]

Примеры

Если определить функцию f от действительных чисел к действительным числам с помощью

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

тогда x — переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом.

В личности

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

переменная i является переменной суммирования, которая, в свою очередь, обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., n (ее также называют индексом , поскольку ее изменение происходит по дискретному набору значений), а n является параметром (она не имеет значения). варьируются в пределах формулы).

В теории многочленов многочлен степени 2 обычно обозначается как ax ² + bx + c , где a , b и c называются коэффициентами (они предполагаются фиксированными, т.е. параметрами рассматриваемой задачи), а x называется переменной. При изучении этого полинома на предмет его полиномиальной функции этот x обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта самого по себе x считается неопределенным и вместо этого часто пишется с заглавной буквы, чтобы указать на этот статус.

Пример: закон идеального газа

Рассмотрим уравнение, описывающее закон идеального газа: $PV=Nk_{B}T.$ Обычно это уравнение интерпретируется как имеющее четыре переменные и одну константу. Константа $k_{B}$ , постоянная Больцмана . Одна из переменных, $N$ , количество частиц, является положительным целым числом (и, следовательно, дискретной переменной), а остальные три, $P,V$ и $T$ , для давления, объема и температуры являются непрерывными переменными.

Можно было бы перестроить это уравнение, чтобы получить $P$ как функция других переменных, $P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$ Затем $P$ , как функция других переменных, является зависимой переменной, а ее аргументы, $V,N$ и $T$ , являются независимыми переменными. Можно было бы подойти к этой функции более формально и подумать о ее области определения и диапазоне: в обозначении функции здесь $P$ это функция $P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Однако в эксперименте, чтобы определить зависимость давления от одной из независимых переменных, необходимо зафиксировать все переменные, кроме одной, скажем $T$ . Это дает функцию $P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},$ где сейчас $N$ и $V$ также считаются константами. Математически это представляет собой частичное применение предыдущей функции $P$ .

Это показывает, как независимые переменные и константы во многом зависят от выбранной точки зрения. Можно было бы даже рассматривать $k_{B}$ в качестве переменной для получения функции $P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$

Пространства модулей

Рассмотрение констант и переменных может привести к концепции пространств модулей. Для иллюстрации рассмотрим уравнение параболы : $y=ax^{2}+bx+c,$ где $a,b,c,x$ и $y$ все считаются реальными. Набор очков $(x,y)$ в двумерной плоскости, удовлетворяющей этому уравнению, нарисуйте график параболы. Здесь, $a,b$ и $c$ рассматриваются как константы, задающие параболу, а $x$ и $y$ являются переменными.

Тогда вместо этого относительно $a,b$ и $c$ в качестве переменных, мы наблюдаем, что каждый набор троек $(a,b,c)$ соответствует другая парабола. То есть они определяют координаты в «пространстве парабол»: оно известно как пространство модулей парабол .

Обычные имена переменных

a , b , c , d (иногда расширяемый до e , f ) для параметров или коэффициентов
a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... для ситуаций, когда отдельные буквы неудобны
a _i или ui _{го коэффициента} для i или го члена последовательности i - ряда -
e для числа Эйлера
f , g , h для функций (как в $f(x)$ )
я за мнимую единицу
i , j , k (иногда l или h ) для изменения целых чисел или индексов в индексированном семействе или единичных векторов
l и w для длины и ширины фигуры
l также для прямой или в теории чисел для простого числа, не равного p
n (с m например количества объектов или степени уравнения в качестве второго варианта) для фиксированного целого числа ,
p для простого числа или вероятности
q для простой степени или частного
r для радиуса , остатка или коэффициента корреляции
t на время
x , y , z для трех декартовых координат точки в евклидовой геометрии или соответствующих осей
z для комплексного числа или в статистике обычная случайная величина
a , b , c , θ , φ для угловых мер
ε (с δ в качестве второго выбора) для сколь угодно малого положительного числа
λ для собственного значения
Σ (заглавная сигма) для суммы или σ (строчная сигма) в статистике для стандартного отклонения ^[11]
μ для среднего значения

См. также

Ссылки

^ Стовер и Вайсштейн .
^ Табак 2014 , с. 40 .
^ Фрэли 1989 , с. 276 .
^ Сорелл 2000 , с. 19.
^ Научный американец . Манн и компания. 3 сентября 1887 г. с. 148.
^ Эдвардс Арт. 4
^ Хош 2010 , с. 71 .
^ Ферстер 2006 , с. 18 .
^ Эдвардс Арт. 5
^ Эдвардс Арт. 6
^ Вайсштейн, Эрик В. «Сумма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 14 февраля 2022 г.

Библиография

Эдвардс, Джозеф (1892). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению (2-е изд.). Лондон: Макмиллан и компания.
Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения (классическое изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-165711-3 .
Фрели, Джон Б. (1989). Первый курс абстрактной алгебры (4-е изд.). США: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-52821-3 .
Хош, Уильям Л., изд. (2010). Британское руководство по алгебре и тригонометрии . Образовательное издательство Британника. ISBN 978-1-61530-219-2 .
Менгер, Карл (1954). «О переменных в математике и естествознании». Британский журнал философии науки . 5 (18). Издательство Чикагского университета: 134–142. дои : 10.1093/bjps/V.18.134 . JSTOR 685170 .
Перегрин, Ярослав (2000). «Переменные в естественном языке: откуда они берутся?» (PDF) . В Беттнере, Майкл; Тюммель, Вольф (ред.). Семантика без переменных . Оснабрюк Секоло. стр. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4 .
Куайн, Уиллард В. (1960). «Разъяснение переменных» (PDF) . Труды Американского философского общества . 104 (3). Американское философское общество: 343–347. JSTOR 985250 .
Сорелл, Том (2000). Декарт: Очень краткое введение . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-285409-4 .
Стовер, Кристофер; Вайсштейн, Эрик В. «Переменная» . В Вайсштейне, Эрик В. (ред.). Вольфрам Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 22 ноября 2021 г.
Табак, Джон (2014). Алгебра: множества, символы и язык мысли . Издательство информационной базы. ISBN 978-0-8160-6875-3 .

[1] Стовер и Вайсштейн .

[2] Табак 2014 , с. 40 .

[3] Фрэли 1989 , с. 276 .

[4] Сорелл 2000 , с. 19.

[5] Научный американец . Манн и компания. 3 сентября 1887 г. с. 148.

[E004-6] Эдвардс Арт. 4

[7] Хош 2010 , с. 71 .

[8] Ферстер 2006 , с. 18 .

[9] Эдвардс Арт. 5

[10] Эдвардс Арт. 6

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Сумма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 14 февраля 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]