Двойственность (математика)

О свойстве задач оптимизации см. Двойственность (оптимизация) .

В математике двойственность то переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры взаимно однозначным образом, часто (но не всегда) посредством операции инволюции : если двойственное к A есть B , двойственное B есть A. к В других случаях двойственное двойственному – двойное двойственное или бидуальное – не обязательно идентично оригиналу (также называемому первичным ). Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственное к А есть А. само Например, теорема Дезарга самодвойственна в этом смысле относительно стандартной двойственности в проективной геометрии .

В математическом контексте двойственность имеет множество значений. Его описывают как «очень распространенную и важную концепцию в (современной) математике». и «важная общая тема, которая проявляется почти во всех областях математики».

Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют спариванию билинейных функций объекта одного типа и другого объекта второго типа с некоторым семейством скаляров. Например, двойственность линейной алгебры таким образом соответствует билинейным отображениям пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и соответствующими пробными функциями соответствует спариванию, в котором распределение интегрируется с пробной функцией, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогичным образом. к числу пересечений , рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями данного многообразия.

С точки зрения теории категорий , двойственность также можно рассматривать как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор присваивает каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного образа присваивает каждой стрелке f : V → W ее двойственное f. ^∗ : В ^∗ → V ^∗ .

Вводные примеры

По словам Майкла Атьи ,

Двойственность в математике — это не теорема, а «принцип».

Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает на то, что точное значение дуальности может варьироваться от случая к случаю.

Дополнение подмножества

Простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного S. множества К любому A ⊆ S дополнение A подмножеству ^с состоит из всех тех элементов S которые не содержатся в A. , Это снова подмножество S . Прием комплемента обладает следующими свойствами:

• Его применение дважды возвращает исходный набор, т. е. ( A ^с ) ^с = А. ​Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
• Включение множеств A ⊆ B превращается во включение в противоположном направлении B. ^с ⊆ А ^с .
• Учитывая два подмножества A и B из S , A содержится в B ^с тогда и только тогда, когда B содержится в A ^с .

Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытым и замкнутым подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение закрытых множеств закрыто. Внутренность замыкание множества — это самое большое открытое множество, содержащееся в нем, а множества — это наименьшее закрытое множество, содержащее его. В силу двойственности дополнение внутренности любого множества U равно замыканию дополнения к U .

Двойной конус

Набор C (синий) и его двойной конус C. ^* (красный).

Двойственность геометрии обеспечивается за счет конструкции двойного конуса . Учитывая набор $C$ точек на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ (или, в более общем смысле, указывает на $\mathbb {R} ^{n}$), двойственный конус определяется как множество $C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ состоящий из этих точек $(x_{1},x_{2})$ удовлетворяющий $$x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0$$ по всем пунктам $(c_{1},c_{2})$ в $C$, как показано на схеме. В отличие от упомянутого выше дополнения множеств, в целом неверно, что двукратное применение конструкции двойного конуса возвращает исходный набор. $C$. Вместо, $C^{**}$ это самый маленький конус содержащий $C$ который может быть больше, чем $C$. Следовательно, эта двойственность слабее предыдущей, поскольку

• Двукратное применение операции возвращает возможно больший набор: для всех $C$, $C$ содержится в $C^{**}$. (Для некоторых $C$, а именно конусы, на самом деле они равны.)

Два других свойства сохраняются без изменений:

• По-прежнему верно, что включение $C\subseteq D$ превращается во включение в противоположном направлении ( $D^{*}\subseteq C^{*}$).
• Даны два подмножества $C$ и $D$ самолета, $C$ содержится в $D^{*}$ тогда и только тогда, когда $D$ содержится в $C^{*}$.

Двойное векторное пространство

Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре сопоставляется , когда любому векторному пространству V его двойственное векторное пространство V. ^* . Его элементами являются линейные функционалы $\varphi :V\to K$, где K — поле , над которым V. определено Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств $\mathbb {R} ^{2}$ векторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть:

• Применение операции взятия двойственного векторного пространства дважды дает другое векторное пространство V ^** . Всегда существует карта V → V ^** . Для некоторых V , а именно конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
• Линейное отображение V → W порождает отображение в обратном направлении ( W ^* → V ^* ).
• Учитывая два векторных пространства V и W , отображения из V в W ^* соответствуют отображениям от W до V ^* .

Особенностью этой двойственности является то, что V и V ^* изоморфны некоторым объектам, а именно конечномерным векторным пространствам. для обеспечения такого изоморфизма требуется определенный выбор, например выбор базиса V Однако в некотором смысле это удачное совпадение, поскольку . Это также верно в случае, если V является гильбертовым пространством , согласно теореме о представлении Рисса .

Теория Галуа

Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойник объекта того же типа, что и сам объект. Например, двойственное векторному пространству снова является векторным пространством. Многие утверждения о дуальности не относятся к этому типу. Вместо этого такая двойственность обнаруживает тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Одним из примеров такой более общей двойственности является теория Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. е. F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal( K / F ) . Обратно, любой такой подгруппе H ⊆ G существует фиксированное поле K ^ЧАС состоящий из элементов, фиксированных элементами из H .

По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:

• Расширение F ⊆ F ′ промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в обратном направлении: Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F ) .
• Связывание Gal( K / E ) с E и K ^ЧАС до H обратны друг другу. Таково содержание основной теоремы теории Галуа .

Двойственности, изменяющие порядок

Диаграмма Хассе набора степеней {1,2,3,4} , частично упорядоченного по ⊂ . Двойное ЧУУ, т. е. упорядочение по ⊃ , получается переворачиванием диаграммы вверх дном. Зеленые узлы образуют верхний набор и нижний набор в исходном и двойственном порядке соответственно.

Основная статья: Двойственность (теория порядка)

Учитывая частично упорядоченный набор P = ( X , ≤) (сокращение от частично упорядоченного набора; т. е. набор, в котором есть понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть размещены в порядке относительно друг друга), двойственное частично упорядоченное множество P ^д = ( X , ≥) содержит то же основное множество, но с обратным соотношением . Знакомые примеры двойных частичных заказов включают:

• отношения подмножества и надмножества ⊂ и ⊃ на любом наборе множеств, например подмножествах фиксированного множества S . Это порождает первый пример двойственности, упомянутый выше .
• деления отношения и кратности целых чисел .
• на людей множестве отношения потомок и предок .

— Преобразование двойственности это инволютивный антиавтоморфизм f S частично упорядоченного множества , то есть , меняющая порядок инволюция f : S → S . В некоторых важных случаях эти простые свойства однозначно определяют преобразование с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f1 _{является} , f2 _их два преобразования двойственности, то композиция порядковым автоморфизмом S — ; таким образом, любые два преобразования двойственности различаются только порядковым автоморфизмом. Например, все автоморфизмы порядка степенного множества S = 2 ^Р индуцируются перестановками R .

Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать двойственному понятию на двойственном частично упорядоченном множестве P. ^д . Например, элемент P P. будет максимальным элементом минимальный ^д : минимальность и максимальность — двойственные понятия в теории порядка. Другими парами двойственных понятий являются верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , идеалы и фильтры .

В топологии открытые множества и закрытые множества — это двойственные понятия: дополнение открытого множества является замкнутым, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества данного матроида, сами образуют другой матроид, называемый двойственным матроидом .

Двойственности, меняющие измерения

Характеристики куба и его двойного октаэдра соответствуют один к одному с обратными размерами.

Существует множество различных, но взаимосвязанных двойственностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с инверсией размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность Платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют двойственную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару, а тетраэдр самодуален. Двойственный многогранник любого из этих многогранников может быть образован как выпуклая оболочка центральных точек каждой грани основного многогранника, поэтому вершины двойственного многогранника соответствуют один к одному граням основного. Аналогично, каждое ребро двойственного соответствует ребру простого, а каждая грань двойственного соответствует вершине простого. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части основного многогранника касаются друг друга, то же касается и соответствующих двух частей двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного возвратно-поступательного движения , любое выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику, причем i -мерный признак n -мерного многогранника соответствует ( n - i - 1) -мерному признаку двойственного многогранника. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том факте, что решетки граней простых и двойственных многогранников или многогранников сами по себе являются теоретико-порядковыми двойственными . Двойственность многогранников и теоретико-порядковая двойственность являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника любого многогранника является исходным многогранником, а двукратное обращение всех отношений порядка возвращает к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.

Плоский граф выделен синим цветом, а его двойственный график — красным.

Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф — граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф — граф с одной вершиной для каждой грани многогранника и с одним ребром для каждых двух соседних граней. Та же концепция двойственности плоского графа может быть обобщена на графы, нарисованные на плоскости, но не исходящие из трехмерного многогранника, или, в более общем плане, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина внутри каждой области, ограниченной циклом ребер во вложении, и рисование ребра, соединяющего любые две области, имеющие общее граничное ребро. Важный пример этого типа взят из вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного набора S плоскости между триангуляцией Делоне S и Вороного диаграммой S. точек на Как и в случае с двойственными многогранниками и двойственными многогранниками, двойственность графов на поверхностях представляет собой инволюцию, обращающую размерность: каждая вершина в простом встроенном графе соответствует области двойственного вложения, каждое ребро в простом графе пересекается ребром в двойственном графе. , и каждая область основного соответствует вершине двойственного. Двойственный граф зависит от того, как вложен основной граф: разные планарные вложения одного графа могут привести к разным двойственным графам. Дуальность матроида — это алгебраическое расширение двойственности планарного графа в том смысле, что двойственный матроид графического матроида планарного графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа.

также встречается своего рода геометрическая двойственность В теории оптимизации , но не та, которая меняет местами измерения. Линейная программа может быть задана системой действительных переменных (координатами точки в евклидовом пространстве). $\mathbb {R} ^{n}$), систему линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств представляет собой выпуклый многогранник, допустимую область программы) и линейную функцию (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче и наоборот.

Двойственность в логике и теории множеств

В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A ( ¬x ) = ¬B ( x ) , где ¬ — логическое отрицание . Основная двойственность этого типа — это двойственность кванторов ∃ и ∀ в классической логике. Они двойственны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x , для которого P не выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности вытекают еще несколько:

• Говорят, что формула выполнима присвоены значения в определенной модели, если ее свободным переменным , которые делают ее истинной; оно действительно, если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и обоснованность двойственны, поскольку недействительными являются именно те формулы, отрицания которых выполнимы, а невыполнимыми являются те формулы, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда кванторы варьируются в зависимости от интерпретации.
• В классической логике операторы ∧ и ∨ двойственны в этом смысле, поскольку (¬ x ∧ ¬ y ) и ¬( x ∨ y ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы де Моргана являются примерами. В более общем смысле, ∧ (¬ x _i ) = ¬ ∨ x _i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда ∀ i .¬ x _i , а правая часть тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х _я .
• В модальной логике □ p означает , что предложение p «необходимо» истинно, а ◊ p что p «возможно» истинно. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в » , тогда как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W p W истинно в W ». Тогда двойственность □ и ◊ следует из аналогичной двойственности ∀ и ∃ . Другие двойственные модальные операторы ведут себя аналогично. Например, во временной логике есть операторы, обозначающие «будет истинно в какой-то момент в будущем» и «будет истинно в любое время в будущем», которые также являются двойственными.

Из этого следуют другие аналогичные двойственности:

• Теоретико-множественное объединение и пересечение двойственны относительно дополнения множеств оператора ⋅ ^С . То есть, А ^С ∩ Б ^С знак равно ( А ∪ B ) ^С и, в более общем смысле, ∩ A ^С
  _α знак равно ( ∪ А _α ) ^С . Это следует из двойственности ∀ и ∃ : элемент x является членом ∩ A ^С
  _α тогда и только тогда, когда ∀ α .¬ x ∈ A _α и является членом ( ∪ A _α ) ^С тогда и только тогда, когда ¬∃ α . Икс ∈ А _α .

Бидуальный

Дуальное двойственное, называемое бидуальным или двойным двойственным , в зависимости от контекста, часто идентично оригиналу (также называемому первичным ), а двойственность — это инволюция. В этом случае бидуальное обычно не различают, а вместо этого говорят только о первичном и двойственном. Например, двойственное ЧУ множество к двойственному ЧУ набору является в точности исходным ЧУ набором, поскольку обратное отношение определяется инволюцией.

В других случаях бидуальное не идентично первичному, хотя часто существует тесная связь. Например, двойственный конус двойственного конуса набора содержит основной набор (это наименьший конус, содержащий основной набор), и равен тогда и только тогда, когда основной набор является конусом.

Важный случай — векторные пространства, где существует отображение простого пространства в двойное, V → V. ^** , известная как «каноническая оценочная карта». Для конечномерных векторных пространств это изоморфизм, но это не тождественные пространства: это разные множества. В теории категорий это обобщается § Двойными объектами и « естественным преобразованием » тождественного функтора в двойной двойственный функтор. Для векторных пространств (рассматриваемых алгебраически) это всегда инъекция; см. Дуальное пространство § Инъекция в дабл-двойственное . Это можно алгебраически обобщить до двойственного модуля . Каноническая оценочная карта все еще существует, но она не всегда инъективна; если да, то он называется модулем без кручения ; если это изомофизм, модуль называется рефлексивным.

Для топологических векторных пространств (включая нормированные векторные пространства ) существует отдельное понятие топологического двойственного пространства , обозначаемое ⁠ $V'$⁠, чтобы отличить от алгебраического двойственного V ^* , с различными возможными топологиями на двойственном пространстве, каждая из которых определяет другое бидуальное пространство ⁠ $V''$⁠ . В этих случаях каноническая оценочная карта ⁠ $V\to V''$⁠ вообще не является изоморфизмом. Если это так, то оно известно (для некоторых локально выпуклых векторных пространств с топологией сильного двойственного пространства ) как рефлексивное пространство .

В других случаях показ связи между простым и бидуальным является важным результатом, как, например, в двойственности Понтрягина ( локально компактная абелева группа естественно изоморфна своей бидуальной группе).

Двойные объекты

Группу дуальностей можно описать, наделив для любого математического объекта X множество морфизмов ( X , D ) в некоторый фиксированный объект D со структурой, аналогичной структуре X. Hom Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только для конкретного выбора D , и в этом случае X ^* = Hom ( X , D ) называется двойственным к X . Всегда существует отображение X в бидуальное , то есть двойственное двойственному. $$X\to X^{**}:=(X^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (X,D),D).$$ Он присваивает некоторому x ∈ X карту, которая сопоставляет любому отображению f : X → D (т. е. элементу из Hom( X , D ) ) значение f ( x ) . В зависимости от конкретной рассматриваемой двойственности, а также от объекта X это отображение может быть или не быть изоморфизмом.

Еще раз о двойственных векторных пространствах

Построение двойственного векторного пространства $$V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)$$ упомянутое во введении является примером такой двойственности. Действительно, набор морфизмов, т. е. линейных отображений , сам по себе образует векторное пространство. Карта V → V ^** упомянутое выше всегда инъективно. изоморфизм тогда и только тогда, когда размерность V Он сюръективен и, следовательно , конечна. Этот факт характеризует конечномерные векторные пространства без привязки к базису.

Изоморфизмы V и V ^∗ и внутренние пространства продукта

Векторное пространство V изоморфно V ^∗ именно в том случае, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме $$\varphi :V\times V\to K$$ В этом случае V называется пространством внутреннего продукта . Например, если K — поле действительных или комплексных чисел , любая положительно определенная билинейная форма порождает такой изоморфизм. В римановой геометрии V считается касательным пространством многообразия , и такие положительные билинейные формы называются римановыми метриками . Их цель – измерение углов и расстояний. Таким образом, двойственность является фундаментальной основой этой отрасли геометрии. Еще одним применением пространств внутреннего произведения является звезда Ходжа , которая обеспечивает соответствие между элементами внешней алгебры . Для n -мерного векторного пространства звездный оператор Ходжа отображает k -формы в ( n - k ) -формы. Это можно использовать для формулировки уравнений Максвелла . В этом облике двойственность, присущая внутреннему пространству продукта, меняет роль магнитного и электрического полей .

Двойственность в проективной геометрии

Полный четырехугольник , конфигурация из четырех точек и шести линий на проективной плоскости (слева), и его двойственная конфигурация, полный четырехугольник, с четырьмя линиями и шестью точками (справа).

В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования , которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку способом, сохраняющим инцидентность. Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена повсюду терминов «точка» и «линия» приводит к новой, равно истинной теореме. Простой пример: утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение: «две линии определяют уникальную точку, точку пересечения этих двух линий». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .

Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно в плоскостях поля) предлагает двойственное векторное пространство. Действительно, точки проективной плоскости $\mathbb {RP} ^{2}$ соответствуют одномерным субвекторным пространствам $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ а прямые на проективной плоскости соответствуют субвекторным пространствам $W$ размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях возникает из-за присвоения одномерному $V$ подпространство $(\mathbb {R} ^{3})^{*}$ состоящий из этих линейных карт $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ которые удовлетворяют $f(V)=0$. Как следствие формулы размерности линейной алгебры , это пространство двумерно, т. е. соответствует прямой на проективной плоскости, ассоциированной с $(\mathbb {R} ^{3})^{*}$.

(Положительно определенная) билинейная форма $$\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}$$ дает отождествление этой проективной плоскости с $\mathbb {RP} ^{2}$. Конкретно, двойственность приписывает $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ его ортогональный $\left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\right\}$. Явные формулы двойственности в проективной геометрии возникают посредством этого отождествления.

Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства

В области топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное векторное пространство топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько представлений о топологическом дуальном пространстве, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство $X$ канонически изоморфный своему бидуальному $X''$ называется рефлексивным пространством :

$$X\cong X''.$$

Примеры:

• Как и в конечномерном случае, в каждом гильбертовом пространстве H его скалярное произведение ⟨⋅, ⋅⟩ определяет отображение $$H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),$$ которая является биекцией согласно теореме о представлении Рисса . Как следствие, каждое гильбертово пространство является рефлексивным банаховым пространством .
• Двойственное нормированное L пространство ^п -пространство — это L ^д где 1/ p + 1/ q = 1 при условии, что 1 ⩽ p < ∞ , но двойственное к L ^∞ больше, чем L ¹ . Следовательно, L ¹ не является рефлексивным.
• Распределения представляют собой линейные функционалы на соответствующих пространствах функций. Они являются важным техническим средством в теории уравнений в частных производных (УЧП): вместо непосредственного решения УЧП может быть проще сначала решить УЧП в «слабом смысле», т. е. найти распределение, которое удовлетворяет УЧП и , во-вторых, чтобы показать, что решение на самом деле должно быть функцией. Все стандартные пространства распределений — ${\mathcal {D}}'(U)$, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$, ${\mathcal {C}}^{\infty }(U)'$ — рефлексивные локально выпуклые пространства.

Дальнейшие двойные объекты

Двойственная решетка решетки L вид имеет $$\operatorname {Hom} (L,\mathbb {Z} ),$$ набор линейных функций в действительном векторном пространстве, содержащем решетку, которые отображают точки решетки в целые числа $\mathbb {Z}$. Это используется при построении торических многообразий . локально Двойственная Понтрягину компактная топологическая группа G имеет вид $$\operatorname {Hom} (G,S^{1}),$$ непрерывные групповые гомоморфизмы со значениями в окружности (с умножением комплексных чисел как групповой операцией).

Двойные категории

Основная статья: Двойной (теория категорий)

Противоположная категория и присоединенные функторы

В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а отображения между объектами первой теории переводятся в морфизмы второй теории, но с обратным направлением. На языке теории категорий это представляет собой контравариантный функтор между двумя категориями C и D :

Ф : С → Д

что для любых двух объектов X и Y из C дает карту

Хом _C ( Икс , Y ) → Хом _D ( F ( Y ), F ( Икс ))

Этот функтор может быть или не быть эквивалентностью категорий . Существуют различные ситуации, когда такой функтор является эквивалентностью противоположной категории C ^на C ​ и D. ​Используя двойственность этого типа, каждое утверждение первой теории можно перевести в «двойственное» утверждение второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально аналогична эквивалентности между C и D. ^на ( С ^на и Д ). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют собственного значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием.

Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств .

Многие теоретико-категорные понятия существуют парами в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y ₁ × Y ₂ и непересекающиеся объединения множеств Y ₁ ⊔ Y ₂ двойственны друг другу в том смысле, что

Хом ( Икс , Y ₁ × Y ₂ ) знак равно Хом ( Икс , Y ₁ ) × Хом ( Икс , Y ₂ )

и

Хом ( Y ₁ ⊔ Y ₂ , Икс ) знак равно Хом ( Y ₁ , Икс ) × Хом ( Y ₂ , Икс )

для любого X. множества Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C. ^на ; Дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы и мономорфизмы , в частности фактор-модули (или группы и т. д.) и подмодули , прямые произведения и прямые суммы (также называемые копродукциями , чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дальнейшими понятиями, связанными с такой категориальной двойственностью, являются проективные и инъективные модули в гомологической алгебре . расслоения и кофибрации в топологии и, в более общем смысле, модельных категориях .

Два функтора F : C → D и G : D → C сопряжены C если для всех объектов c в D и d в ,

Hom _D (F( c ), d ) ≅ Hom _C ( c , G ( d )) ,

естественным образом. Собственно, соответствие пределов и копределов является примером сопряженных, поскольку имеется присоединение

колим: C ^я ↔ С :Д

между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Двойственно,

Д: С ↔ С ^я : лим .

Пространства и функции

Двойственность Гельфанда — это двойственность между коммутативными C*-алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X. То же самое: он ставит в соответствие X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C — комплексных чисел. наоборот, пространство X можно восстановить из A как спектр A И . Двойственность как Гельфанда, так и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категорным способом.

существует двойственность образом в алгебраической геометрии между коммутативными кольцами и аффинными схемами : каждому коммутативному кольцу A соответствует аффинный спектр Spec A. Подобным же И наоборот, учитывая аффинную схему S можно получить обратно кольцо, взяв глобальные сечения структурного пучка OS _, . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, тем самым имеет место эквивалентность

(Коммутативные кольца) ^на ≅ (аффинные схемы)

Аффинные схемы являются локальными строительными блоками схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем — это то же самое, что и коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.

Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C*-алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Дуальность Таннаки–Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина.

Связи Галуа

В ряде ситуаций две двойственные друг другу категории фактически возникают из частично упорядоченных множеств, т. е. существует некое представление о том, что один объект «меньше», чем другой. Двойственность, которая соблюдает рассматриваемый порядок, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа , упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует — при отображении, которое ставит в соответствие любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω/ L ) — меньшая группа.

Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность Камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные места .

• Теорема Биркгофа о представлении, связывающая дистрибутивные решетки и частичные порядки

Двойственность Понтрягина

Двойственность Понтрягина дает двойственность в категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G характеров группа

χ( G ) = Hom( G , S ¹ )

задаваемые непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в группу окружностей S ¹ может быть наделен компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что

G ≅ χ(χ( G )).

Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин — частный случай гельфандовской двойственности. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. ниже.

Аналитическая двойственность

В анализе задачи часто решаются путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.

Преобразование Фурье переключает функции в векторном пространстве и его двойственном пространстве: $${\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,$$ и наоборот $$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .$$ Если f — это L ² -функция на R или R ^Н , скажем, то так и есть ${\widehat {f}}$ и $f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)$. Более того, преобразование меняет местами операции умножения и свертки в соответствующих функциональных пространствах . Концептуальное объяснение преобразования Фурье дает упомянутая выше двойственность Понтрягина, примененная к локально компактным группам R (или R ^Н и т. д.): любой характер R задается равенством ξ ↦ e ^{−2 пикс} . Дуализирующий характер преобразования Фурье имеет множество других проявлений, например, в альтернативных описаниях квантово-механических систем в терминах координатных и импульсных представлений.

• Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье и заменяет операторы умножения на многочлены линейными дифференциальными операторами с постоянным коэффициентом .
• Преобразование Лежандра — важная аналитическая двойственность, которая переключает скорости в лагранжевой механике и импульсы в гамильтоновой механике .

Гомологии и когомологии

Теоремы, показывающие, что некоторые интересующие объекты являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других интересующих объектов, часто называют двойственностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K -векторных пространств.

А ⊗ Б → К .

, для совершенных спариваний существует изоморфизм A к двойственному B Следовательно .

Двойственность Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спариванием сингулярных когомологий с C -коэффициентами (эквивалентно пучковыми когомологиями постоянного пучка C )

ЧАС ^я (X) ⊗ H ^{2 п - я} (Х) → С ,

где n размерность X. — (комплексная ) Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение

$(\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega$

(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n − k -(вещественному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.

Двойственность Пуанкаре также меняет местами измерения; это соответствует тому факту, что если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный комплекс (многомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k-й группы гомологий и ( n − k )-й группы когомологий .

Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии.

Та же модель двойственности справедлива для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , вместо этого используются l-адические когомологии с Q _ℓ -коэффициентами. Это далее обобщается на возможные сингулярные многообразия , используя вместо этого когомологии пересечения , двойственность, называемую двойственностью Вердье . Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны приведенным выше утверждениям, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков .

Оказывается, с ростом уровня общности для понимания этих теорем полезно или необходимо все больше технических знаний: современная формулировка этих дуальностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямых и обратных образов пучков (по отношению к классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адических пучков и этальной топологии во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).

Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) признать похожие пары. Например, абсолютная группа Галуа G ( F _q ) конечного поля изоморфна ${\widehat {\mathbf {Z} }}$, бесконечное пополнение Z , целые числа. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M )

ЧАС ^н ( г , M ) × ЧАС ^{1− н} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z

является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату-Тейта ).

См. также

• Сопряженный функтор
• Автономная категория
• Выпуклое тело и полярное тело.
• Двойное абелевое многообразие
• Двойной базис
• Двойной (теория категорий)
• Двойной код
• Двойственность (электротехника)
• Двойственность (оптимизация)
• Дуализирующий модуль
• Дуализирующая связка
• Двойная решетка
• Двойная норма
• Двойственные числа , некоторая ассоциативная алгебра ; термин «двойной» здесь является синонимом слова «двойной » и не имеет отношения к понятиям, данным выше.
• Двойная система
• Рубашка двойственности
• Ленглендс двойной
• Линейное программирование # Двойственность
• Список дуальностей
• Двойственность Матлиса
• Двойственность Петри
• Двойственность Понтрягина
• S-двойственность
• Т-двойственность , Зеркальная симметрия

Ссылки

Двойственность в целом

• Атья, Майкл (2007). «Конспекты лекций по двойственности в математике и физике Института математики Университета Барселоны (IMUB)» (PDF) .
• Кострикин, А.И. (2001) [1994], «Двойственность» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Гауэрс, Тимоти (2008), «III.19 Двойственность», The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 187–190 .
• Картье, Пьер (2001), «Безумный рабочий день: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция понятий пространства и симметрии» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , ISSN   0002-9904 , MR   1848254 (нетехнический обзор некоторых аспектов геометрии, включая двойственность)

Двойственность в алгебраической топологии

• Джеймс К. Беккер и Дэниел Генри Готлиб, История двойственности в алгебраической топологии

Конкретные двойственности

• Артштейн-Авидан, Графство ; Милман, Витали (2008), «Концепция двойственности для проекций меры выпуклых тел», of Functional Analysis , 254 ( 10): CiteSeerX   10.1.1.417.3470.008 , 2648–66 Journal . Также авторский сайт
• Арштейн-Авидан, Шири; Милман, Виталий (2007), «Характеристика концепции двойственности» , Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 14 : 42–59, заархивировано из оригинала 24 июля 2011 г. , получено 30 мая 2009 г. Также авторский сайт .
• Дуайер, Уильям Г .; Спалиньский, Ян (1995), «Гомотопические теории и модельные категории» , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR   1361887 , заархивировано из оригинала 09 февраля 2021 г. , получено 3 марта 2009 г. -11
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-00049-7
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523
• Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Springer-Verlag , стр. 20–48, ISBN.  978-3-540-34794-1
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , МР   0842190
• Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Введение в дуальность Таннака и квантовые группы» (PDF) , Теория категорий , Конспекты лекций по математике, том. 1488, Springer-Verlag , стр. 413–492, doi : 10.1007/BFb0084235 , ISBN.  978-3-540-46435-8 , МР   1173027
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 211, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. x+190, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98403-2
• Мазур, Барри (1973), «Заметки о распространении когомологий числовых полей», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi : 10.24033/asens.1257 , ISSN   0012-9593 , МР   0344254
• Милн, Джеймс С. (1980), Государственные когомологии , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2006), Теоремы арифметической двойственности (2-е изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  978-1-4196-4274-6 , МР   2261462
• Негрепонтис, Джоан В. (1971), «Двойственность в анализе с точки зрения троек», Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN   0021-8693 , МР   0280571
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  0-07-054235-Х
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Том. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR   0179666
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55987-4 , МР   1269324
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  0030505356 .