Законы движения планет Кеплера

Иллюстрация законов Кеплера с двумя орбитами планет.

1. Орбиты представляют собой эллипсы с фокусами F ₁ и F ₂ для Планеты 1 и F ₁ и F ₃ для Планеты 2. Солнце находится в точке F ₁ .
2. Заштрихованные области A ₁ и A ₂ равны и охватываются орбитой Планеты 1 в одинаковое время.
3. Отношение времени обращения Планеты 1 к времени обращения Планеты 2 равно ${\textstyle ({a_{1}}/{a_{2}})^{3/2}}$.

В астрономии , законы движения планет Кеплера опубликованные Иоганном Кеплером , описывают орбиты планет между 1609 и 1619 годами вокруг Солнца . Законы изменяются изменили гелиоцентрическую теорию Николая Коперника , заменив ее круговые орбиты и эпициклы эллиптическими скорости и объяснив, как траекториями планет . Три закона гласят, что:

1. Орбита в планеты представляет собой эллипс, которого находится Солнце одном из двух фокусов .
2. соединяющий Отрезок линии, планету и Солнце, заметает равные площади за равные промежутки времени.
3. планеты Квадрат периода обращения пропорционален кубу длины большой полуоси ее орбиты.

Эллиптические орбиты планет были указаны расчетами орбиты Марса . Из этого Кеплер сделал вывод, что другие тела Солнечной системы , в том числе находящиеся дальше от Солнца, также имеют эллиптические орбиты. Второй закон помогает установить, что когда планета находится ближе к Солнцу, она движется быстрее. Третий закон гласит, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее ее орбитальная скорость, и наоборот.

Исаак Ньютон показал в 1687 году, что соотношения, подобные тем, что были у Кеплера, будут применяться в Солнечной системе как следствие его собственных законов движения и закона всемирного тяготения .

Более точный исторический подход можно найти в Astronomia nova и Epitome Astronomiae Copernicanae .

с

Законы Иоганна Кеплера усовершенствовали модель Коперника . По словам Коперника:

1. Орбита планеты представляет собой круг с эпициклами.
2. Солнце находится примерно в центре орбиты.
3. Скорость планеты на главной орбите постоянна.

Несмотря на то, что Коперник был прав, утверждая, что планеты вращаются вокруг Солнца, он был неправ в определении их орбит. Предлагая физические объяснения движения в космосе, выходящие за рамки простой геометрии, Кеплер правильно определил орбиты планет следующим образом:

1. Орбита планеты представляет собой не круг с эпициклами, а эллипс .
2. Солнце находится не в центре, а в фокусе эллиптической орбиты.
3. Ни линейная скорость, ни угловая скорость планеты на орбите не постоянны, но площадная скорость (тесно связанная исторически с понятием углового момента ). постоянна

Эксцентриситет , составляющее около орбиты Земли делает время от мартовского равноденствия до сентябрьского равноденствия 186 дней, не равным времени от сентябрьского равноденствия до мартовского равноденствия, составляющему около 179 дней. Диаметр разрезал бы орбиту на равные части, но плоскость, проходящая через Солнце, параллельная экватору Земли , делит орбиту на две части с площадями в соотношении 186 к 179, поэтому эксцентриситет орбиты Земли примерно равен

$e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,$

что близко к правильному значению (0,016710218). Точность этого расчета требует, чтобы две выбранные даты располагались вдоль малой оси эллиптической орбиты, а средние точки каждой половины - вдоль большой оси. Поскольку две выбранные здесь даты являются равноденствиями, это будет правильно, когда перигелий , дата, когда Земля находится ближе всего к Солнцу, приходится на солнцестояние . Текущий перигелий около 4 января довольно близок к солнцестоянию 21 или 22 декабря.

Номенклатура

Потребовалось почти два столетия, чтобы нынешняя формулировка работы Кеплера приняла устоявшуюся форму. « Книга Вольтера Элементы философии Ньютона» ( «Элементы философии Ньютона ») 1738 года была первой публикацией, в которой использовалась терминология «законов». Биографическая энциклопедия астрономов в своей статье о Кеплере (стр. 620) утверждает, что терминология научных законов для этих открытий была актуальна по крайней мере со времен Жозефа де Лаланда . Именно изложение Роберта Смолла в «Отчёте об астрономических открытиях Кеплера» (1814 г.) составило набор трёх законов путём добавления третьего. Смолл также утверждал, вопреки истории, что это были эмпирические законы , основанные на индуктивных рассуждениях .

Более того, нынешнее использование «Второго закона Кеплера» является своего рода неправильным употреблением. У Кеплера было две версии, родственные в качественном смысле: «закон расстояния» и «закон площади». «Закон территории» - это то, что стало Вторым законом в наборе из трех; но сам Кеплер не придавал этому особого значения.

История

Кеплер опубликовал свои первые два закона движения планет в 1609 году. обнаружив их путем анализа астрономических наблюдений Тихо Браге . Третий закон Кеплера был опубликован в 1619 году. Кеплер верил в коперниканскую модель Солнечной системы, которая требовала круговых орбит, но он не мог совместить высокоточные наблюдения Браге с круговым соответствием орбите Марса - Марс по совпадению имел самый высокий эксцентриситет среди всех планет, кроме Меркурия. Его первый закон отразил это открытие.

что его третий закон применим к четырем ярчайшим спутникам Юпитера В 1621 году Кеплер отметил , . Годфруа Венделен также сделал это наблюдение в 1643 году. Второй закон в форме «закона площади» был оспорен Николаем Меркатором в книге 1664 года, но к 1670 году его «Философские труды» были в его пользу. В течение столетия оно получило более широкое признание. Прием в Германии заметно изменился между 1688 годом, когда были опубликованы «Начала» Ньютона , которые считались в основном коперниканскими, и 1690 годом, когда работа Готфрида Лейбница о Кеплере. была опубликована

Ньютону приписывали понимание того, что второй закон не является чем-то особенным по отношению к закону обратных квадратов гравитации, а является следствием только радиальной природы этого закона, тогда как другие законы действительно зависят от формы обратных квадратов притяжения. Карл Рунге и Вильгельм Ленц намного позже определили принцип симметрии в фазовом пространстве движения планет ( действующая ортогональная группа O(4)) который объясняет первый и третий законы в случае ньютоновской гравитации, как это делает сохранение углового момента через вращательная симметрия для второго закона.

Формуляр

Математическая модель подчиняющейся законам кинематики планеты допускает большой диапазон дальнейших расчетов.

Первый закон

Орбита каждой планеты представляет собой эллипс, в одном из двух фокусов которого находится Солнце .

Первый закон Кеплера помещает Солнце в фокус эллиптической орбиты.

Гелиоцентрическая система координат ( r ,   θ ) для эллипса. Также показаны: большая полуось a , малая полуось b и полурасширенная прямая кишка p ; центр эллипса и два его фокуса отмечены крупными точками. Для θ = 0° r = r min _и для 180° = r θ = r _max .

Математически эллипс можно представить формулой:

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},$

где $p$ — полуширокая прямая кишка , ε — эксцентриситет эллипса, r — расстояние от Солнца до планеты, а θ — угол к текущему положению планеты при ее наибольшем сближении, если смотреть с Солнца. Итак, ( r , θ ) — полярные координаты .

Для эллипса 0 < ε < 1; в предельном случае ε = 0 орбита представляет собой круг с Солнцем в центре (т. е. там, где эксцентриситет равен нулю).

При θ = 0°, перигелий , расстояние минимально.

$r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}$

При θ = 90° и при θ = 270° расстояние равно $p$.

При θ = 180°, афелии , расстояние максимально (по определению афелий — это неизменно перигелий плюс 180°).

$r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}$

Большая полуось a представляет собой среднее арифметическое между r _min и r _max :

${\begin{aligned}a&={\frac {r_{\max }+r_{\min }}{2}}\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}$

b Малая полуось представляет собой среднее геометрическое между r _min и r _max :

${\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\max }r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}$

Полурасширенная прямая кишка p — это среднее гармоническое значение между r _min и r _max :

${\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\max }^{-1}+r_{\min }^{-1}}{2}}\right)^{-1}\\pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}$

Эксцентриситет ε — это коэффициент вариации между r _min и r _max :

$\varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.$

Площадь равна эллипса

$A=\pi ab\,.$

Особым случаем круга является ε = 0, в результате чего r = p = r _min = r _max = a = b и A = πr. ² .

Второй закон

Линия , соединяющая планету и Солнце, за равные промежутки времени охватывает равные площади.

Одна и та же (синяя) область заметается в течение фиксированного периода времени. Зеленая стрелка — скорость. Фиолетовая стрелка, направленная к Солнцу, — это ускорение. Две другие фиолетовые стрелки — это компоненты ускорения, параллельные и перпендикулярные скорости.

Радиус орбиты и угловая скорость планеты на эллиптической орбите будут меняться. Это показано в анимации: планета движется быстрее, когда ближе к Солнцу, и медленнее, когда дальше от Солнца. Второй закон Кеплера гласит, что синий сектор имеет постоянную площадь.

и

Кеплер, в частности, пришел к этому закону на основе предположений, которые были либо лишь приблизительно верными, либо совершенно ложными, и их можно изложить следующим образом:

1. Планеты вращаются вокруг Солнца под действием солнечной силы. Это ложное предположение основано на неверной аристотелевской физике , согласно которой объект необходимо толкать, чтобы поддерживать движение.

2. Движущая сила Солнца обратно пропорциональна расстоянию от Солнца. Кеплер рассуждал так, полагая, что распространение гравитации в трех измерениях было бы напрасной тратой, поскольку планеты обитают в плоскости. Таким образом, обратный закон вместо [правильного] закона обратных квадратов.

3. Поскольку Кеплер считал, что сила пропорциональна скорости, из утверждений №1 и №2 следовало, что скорость будет обратно пропорциональна расстоянию от Солнца. Это также неверный принцип аристотелевской физики.

4. Поскольку скорость обратна времени, расстояние от Солнца будет пропорционально времени прохождения небольшого участка орбиты. Это примерно справедливо для эллиптических орбит.

5. Заметенная площадь пропорциональна общему времени. Это тоже примерно верно.

6. Орбиты планет круговые (Кеплер открыл свой Второй закон раньше Первого закона, что противоречит этому).

Тем не менее, результат Второго закона в точности верен, поскольку он логически эквивалентен сохранению углового момента, что справедливо для любого тела, на которое действует радиально-симметричная сила. Это может привести к правильному доказательству. Поскольку векторное произведение двух векторов дает площадь параллелограмма, стороны которого равны этим векторам, площадь треугольника dA, выметенная за короткий период времени, равна половине векторного произведения векторов r и dx для некоторого короткого куска орбита, dx .

$dA={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {dx}})={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}dt)$за небольшой участок орбиты dx и время на его покрытие dt .

Таким образом ${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}).$

${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {p}}).$

Поскольку окончательное выражение пропорционально полному угловому моменту $({\vec {r}}\times {\vec {p}})$Закон равновеликих площадей Кеплера справедлив для любой системы, сохраняющей угловой момент. Поскольку любая радиальная сила не будет создавать крутящего момента при движении планеты, угловой момент будет сохраняться.

По эллиптическим параметрам

За короткое время $dt$ планета образует небольшой треугольник с базовой линией $r$ и высота $r\,d\theta$ и площадь ${\textstyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$, поэтому постоянная окружная скорость равна

$${\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.$$

Площадь, ограниченная эллиптической орбитой, равна $\pi ab$. Итак, период $T$ удовлетворяет

$T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab$

и среднее движение планеты вокруг Солнца

$n={\frac {2\pi }{T}}$

удовлетворяет

$r^{2}\,d\theta =abn\,dt.$

И так,

$${\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.$$

Орбиты планет с различным эксцентриситетом.

Низкий	Высокий
Планета, вращающаяся вокруг Солнца по круговой орбите (e=0,0)	Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,5.
Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,2.	Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,8.
Красный луч вращается с постоянной угловой скоростью и с тем же периодом обращения по орбите, что и планета. $T=1$. СУБЪЕКТ: Солнце в главном фокусе, C: Центр эллипса, С': Вторичный фокус. В каждом случае площади всех изображенных секторов одинаковы.

Третий закон

Отношение квадрата периода обращения объекта к кубу большой полуоси его орбиты одинаково для всех объектов, вращающихся вокруг одной и той же главной звезды.

Это отражает взаимосвязь между расстоянием планет от Солнца и периодами их обращения.

Кеплер провозгласил в 1619 г. этот третий закон в кропотливой попытке определить то, что он считал «музыкой сфер », согласно точным законам, и выразить это в терминах нотной записи. Поэтому он был известен как гармонический закон . Первоначальная форма этого закона (относящаяся не к большой полуоси, а к «среднему расстоянию») справедлива только для планет с небольшими эксцентриситетами, близкими к нулю.

Используя закон тяготения Ньютона (опубликованный в 1687 г.), это соотношение можно найти в случае круговой орбиты, установив центростремительную силу равной гравитационной силе:

$mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}$

Тогда, выразив угловую скорость ω через орбитальный период ${T}$ а затем перестановка приводит к третьему закону Кеплера:

$mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\rightarrow T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\rightarrow T^{2}\propto r^{3}$

Более подробный вывод можно сделать, используя общие эллиптические орбиты вместо кругов, а также вращение вокруг центра масс, а не только большой массы. Это приводит к замене кругового радиуса, $r$, с большой полуосью, $a$, эллиптического относительного движения одной массы относительно другой, а также замены большой массы $M$ с $M+m$. Однако, поскольку массы планет намного меньше Солнца, эту поправку часто игнорируют. Полная соответствующая формула:

${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}}$

где $M$ это масса Солнца , $m$ это масса планеты, $G$ гравитационная постоянная , $T$ - орбитальный период и $a$ — большая полуось эллипса, а ${\text{AU}}$ — астрономическая единица , среднее расстояние от Земли до Солнца.

Таблица

В следующей таблице показаны данные, которые Кеплер использовал для эмпирического вывода своего закона:

Данные, использованные Кеплером (1618 г.)

Планета	Среднее расстояние к солнцу (AU)	Период (дней)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10 -6  В 3 /день 2 )
Меркурий	0.389	87.77	7.64
Венера	0.724	224.70	7.52
Земля	1	365.25	7.50
Марс	1.524	686.95	7.50
Юпитер	5.20	4332.62	7.49
Сатурн	9.510	10759.2	7.43

Обнаружив эту закономерность, Кеплер написал:

Сначала я поверил, что сплю... Но совершенно достоверно и точно то, что соотношение, существующее между периодами периодов любых двух планет, представляет собой в точности соотношение 3/2 степени среднего расстояния.

- перевод из «Гармонии мира» (1619 г.) книги Кеплера

Логарифмический график зависимости периода T от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики, обозначающие значения Кеплера), показывающий, что a ³/ T ² является постоянным (зеленая линия)

Для сравнения вот современные оценки:

Современные данные

Планета	Большая полуось (АС)	Период (дни)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10 -6  В 3 /день 2 )
Меркурий	0.38710	87.9693	7.496
Венера	0.72333	224.7008	7.496
Земля	1	365.2564	7.496
Марс	1.52366	686.9796	7.495
Юпитер	5.20336	4332.8201	7.504
Сатурн	9.53707	10775.599	7.498
Уран	19.1913	30687.153	7.506
Нептун	30.0690	60190.03	7.504

Планетарное ускорение

Исаак Ньютон в своей «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» вычислил ускорение . планеты, движущейся в соответствии с первым и вторым законами Кеплера

1. Направление . ускорения — к Солнцу
2. Величина ускорения обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца ( закон обратных квадратов ).

Это означает, что Солнце может быть физической причиной ускорения планет. Однако Ньютон утверждает в своих «Началах» , что он рассматривает силы с математической, а не с физической точки зрения, тем самым придерживаясь инструменталистской точки зрения. Более того, он не приписывает гравитации причину.

Ньютон определил силу , действующую на планету, как произведение ее массы и ускорения (см. Законы движения Ньютона ). Так:

1. Каждая планета притягивается к Солнцу.
2. Сила, действующая на планету, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от Солнца.

Солнце играет несимметричную роль, что неоправданно. Поэтому он предположил в законе всемирного тяготения Ньютона :

1. Все тела Солнечной системы притягивают друг друга.
2. Сила между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Поскольку планеты имеют малую массу по сравнению с массой Солнца, их орбиты примерно соответствуют законам Кеплера. Модель Ньютона является усовершенствованной моделью Кеплера и более точно соответствует реальным наблюдениям. (См. задачу двух тел .)

Ниже приводится подробный расчет ускорения планеты, движущейся по первому и второму законам Кеплера.

Вектор ускорения

См. Также: Полярная координата § Векторное исчисление и Механика движения плоских частиц.

С гелиоцентрической точки зрения рассмотрим вектор к планете $\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$ где $r$ расстояние до планеты и ${\hat {\mathbf {r} }}$ — единичный вектор, направленный в сторону планеты.

$${\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}$$

где ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ — единичный вектор, направление которого составляет 90 градусов против часовой стрелки. ${\hat {\mathbf {r} }}$, и $\theta$ — полярный угол, и точка над переменной означает дифференцирование по времени.

Дважды продифференцируйте вектор положения, чтобы получить вектор скорости и вектор ускорения:

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}$$

Так

$${\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$$

где ускорение радиальное

$$a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}$$

а поперечное ускорение равно

$$a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.$$

Закон обратных квадратов

Второй закон Кеплера гласит, что

$$r^{2}{\dot {\theta }}=nab$$

является постоянным.

Поперечное ускорение $a_{\theta }$ равен нулю:

$${\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.$$

Итак, ускорение планеты, подчиняющейся второму закону Кеплера, направлено к Солнцу.

Радиальное ускорение $a_{\text{r}}$ является

$$a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.$$

Первый закон Кеплера гласит, что орбита описывается уравнением:

$${\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).$$

Дифференцирование по времени

$$-{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }}$$

или

$$p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).$$

Дифференцируем еще раз

$$p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).$$

Радиальное ускорение $a_{\text{r}}$ удовлетворяет

$$pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).$$

Подстановка уравнения эллипса дает

$$pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.$$

Отношение $b^{2}=pa$ дает простой конечный результат

$$a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.$$

Это означает, что вектор ускорения $\mathbf {\ddot {r}}$ любая планета, подчиняющаяся первому и второму законам Кеплера, удовлетворяет закону обратных квадратов

$$\mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$$

где

$$\alpha =n^{2}a^{3}$$

является константой, и ${\hat {\mathbf {r} }}$ - единичный вектор, направленный от Солнца к планете, и $r\,$ расстояние между планетой и Солнцем.

Поскольку среднее движение $n={\frac {2\pi }{T}}$ где $T$ период, согласно третьему закону Кеплера, $\alpha$ имеет одинаковое значение для всех планет. Таким образом, закон обратных квадратов для планетарных ускорений применяется во всей Солнечной системе.

Закон обратных квадратов представляет собой дифференциальное уравнение . Решения этого дифференциального уравнения включают, как показано, кеплеровы движения, но они также включают движения, орбита которых представляет собой гиперболу , параболу или прямую линию . (См. Орбиту Кеплера .)

Закон гравитации Ньютона

По второму закону Ньютона сила гравитации, действующая на планету, равна:

$$\mathbf {F} =m_{\text{planet}}\mathbf {\ddot {r}} =-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}$$

где $m_{\text{planet}}$ это масса планеты и $\alpha$ имеет одинаковое значение для всех планет Солнечной системы. Согласно третьему закону Ньютона , Солнце притягивается к планете силой такой же величины. Поскольку сила пропорциональна массе планеты, с точки зрения симметрии она также должна быть пропорциональна массе Солнца. $m_{\text{Sun}}$. Так

$$\alpha =Gm_{\text{Sun}}$$

где $G$ является гравитационной постоянной .

Ускорение тела номер i Солнечной системы согласно законам Ньютона составляет:

$$\mathbf {\ddot {r}} _{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}$$

где $m_{j}$ — масса тела j , $r_{ij}$ расстояние между телом i и телом j , ${\hat {\mathbf {r} }}_{ij}$ — единичный вектор от тела i к телу j , а векторное суммирование производится по всем телам Солнечной системы, кроме самого i .

В частном случае, когда в Солнечной системе есть только два тела, Земля и Солнце, ускорение становится

$$\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}$$

что является ускорением движения Кеплера. Итак, эта Земля движется вокруг Солнца по законам Кеплера.

Если двумя телами в Солнечной системе являются Луна и Земля, ускорение Луны становится

$$\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}$$

Итак, в этом приближении Луна движется вокруг Земли по законам Кеплера.

В случае трех тел ускорения равны

$${\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}\end{aligned}}$$

Эти ускорения не соответствуют орбитам Кеплера, и проблема трех тел сложна. Но кеплерово приближение является основой для вычислений возмущений . (См. Теорию Луны .)

Позиция как функция времени

Кеплер использовал два своих первых закона для расчета положения планеты в зависимости от времени. Его метод предполагает решение трансцендентного уравнения, называемого уравнением Кеплера .

Процедура расчета гелиоцентрических полярных координат ( r , θ ) планеты как функции времени t с момента перигелия состоит из следующих пяти шагов:

1. Вычислите среднее движение n = (2 π рад)/ P , где P — период.
2. Вычислите среднюю аномалию M = nt , где t — время, прошедшее с момента перигелия.
3. Вычислите эксцентрическую аномалию E, решив уравнение Кеплера:
   $$M=E-\varepsilon \sin E,$$
   где $\varepsilon$ это эксцентриситет.
4. Вычислите истинную аномалию θ, решив уравнение:
   $$(1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}$$
5. Вычислите гелиоцентрическое расстояние r :
   $$r=a(1-\varepsilon \cos E),$$
   где $a$ является большой полуосью.

Полярные координаты положения ( r , θ ) теперь можно записать как декартов вектор. $\mathbf {p} =r\left\langle \cos {\theta },\sin {\theta }\right\rangle$ и тогда декартов вектор скорости можно рассчитать как $\mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}\left\langle -\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}\right\rangle$, где $\mu$ — стандартный гравитационный параметр .

Важный частный случай круговой орбиты, ε 0, дает θ = E = M. = Поскольку равномерное круговое движение считалось нормальным , отклонение от этого движения считалось аномалией.

Доказательство этой процедуры показано ниже.

Средняя аномалия, М

Основная статья: Средняя аномалия

Геометрическая конструкция для расчета Кеплером θ. Солнце (расположенное в фокусе) обозначено S а планета P. , Вспомогательный круг является вспомогательным средством расчета. Линия xd перпендикулярна основанию и проходит через P. планету Заштрихованные сектора имеют равные площади путем расположения точки y .

Задача Кеплера предполагает эллиптическую орбиту и четыре точки:

• s Солнце (в одном фокусе эллипса);
• z перигелий ​
• в центр эллипса
• п планета

и

• $a=|cz|,$ расстояние между центром и перигелием, большой полуосью,
• $\varepsilon ={|cs| \over a},$ эксцентричность,
• $b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},$ малая полуось,
• $r=|sp|,$ расстояние между Солнцем и планетой.
• $\theta =\angle zsp,$ направление на планету, если смотреть со стороны Солнца, истинная аномалия .

Проблема состоит в том, чтобы вычислить полярные координаты ( r , θ ) планеты по времени, начиная с перигелия, t .

Решается поэтапно. Кеплер считал круг с большой осью диаметром, а

• $x,$ проекция планеты на вспомогательный круг
• $y,$ точка на окружности такая, что площади секторов | zcy | и | зсх | равны,
• $M=\angle zcy,$ средняя аномалия .

Области секторов связаны между собой $|zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.$

кругового сектора Площадь $|zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.$

Площадь, пройденная начиная с перигелия,

$$|zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},$$

по второму закону Кеплера пропорциональна времени, начиная с перигелия. Таким образом, средняя аномалия M пропорциональна времени, прошедшему с перигелия t .

$$M=nt,$$

где n — среднее движение .

Эксцентрическая аномалия, E

Когда вычисляется средняя аномалия M , цель состоит в том, чтобы вычислить истинную аномалию θ . Однако функция θ = f ( M ) не является элементарной. Решение Кеплера состоит в использовании

$$E=\angle zcx,$$

x, если смотреть из центра, эксцентрическая аномалия в качестве промежуточной переменной и сначала вычислите E как функцию от M, решив приведенное ниже уравнение Кеплера, а затем вычислите истинную аномалию θ на основе эксцентрической аномалии E . Вот подробности.

$${\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|\\with|scx|&={\frac {|cs|.|dx|}{2}}\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}\end{aligned}}$$

на Разделение ² /2 дает уравнение Кеплера

$$M=E-\varepsilon \sin E.$$

дает M как функцию E. Это уравнение Определение E для данного M является обратной задачей. Обычно используются итерационные численные алгоритмы.

После вычисления эксцентрической аномалии E следующим шагом будет вычисление истинной аномалии θ .

Но обратите внимание: декартовы координаты положения относительно центра эллипса: ( a cos E , b sin E )

По отношению к Солнцу (с координатами ( c ,0) = ( ae ,0)), r = ( a cos E – ae , b sin E )

Истинная аномалия будет arctan( r _{y / r} x ), величина r будет √ r · r .

Истинная аномалия, θ

Обратите внимание на рисунок, что

$$|cd|=|cs|+|sd|$$

так что

$$a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .$$

Деление на $a$ и подстановка из первого закона Кеплера

$${\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}$$

получить

$$\cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.$$

Результатом является полезная связь между эксцентрической аномалией E и истинной аномалией θ .

Более удобная с вычислительной точки зрения форма получается путем подстановки в тригонометрическое тождество :

$$\tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.$$

Получать

$${\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\[8pt]&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}$$

Умножение на 1 + ε дает результат

$$(1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}$$

Это третий шаг в связи времени и положения на орбите.

Расстояние, р

Четвертый шаг — вычислить гелиоцентрическое расстояние r на основе истинной аномалии θ по первому закону Кеплера:

$$r(1+\varepsilon \cos \theta )=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)$$

Используя приведенное выше соотношение между θ и E, окончательное уравнение для расстояния r будет следующим:

$$r=a(1-\varepsilon \cos E).$$

См. также

• Круговое движение
• Время свободного падения
• Гравитация
• Кеплер орбита
• проблема Кеплера
• Уравнение Кеплера
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• Удельный относительный угловой момент , относительно простой вывод законов Кеплера, начиная с сохранения углового момента.

Общая библиография

• Жизнь Кеплера кратко изложена на стр. 523–627, а пятая книга его великого опуса ( Harmonice Mundi « Гармонии мира ») переиздана на стр. 635–732 книги « На плечах гигантов : великие произведения физики и астрономии» ( работы Коперника, Кеплера , Галилея , Ньютона и Эйнштейна ). Стивен Хокинг , изд. 2002 г. ISBN   0-7624-1348-4
• Вывод третьего закона движения планет Кеплера — стандартная тема на уроках инженерной механики. См., например, стр. 161–164 из Мериам, Дж. Л. (1971) [1966]. Динамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN  978-0-471-59601-1 . .
• Мюррей и Дермотт, Динамика солнечной системы , издательство Кембриджского университета, 1999 г., ISBN   0-521-57597-4
• В. И. Арнольд, Математические методы классической механики , Гл. 2. Спрингер 1989, ISBN   0-387-96890-3

Внешние ссылки

• Б. Сурендранат Редди; анимация законов Кеплера: апплет. Архивировано 6 октября 2013 г. на Wayback Machine.
• Кроуэлл, Бенджамин, Свет и Материя , онлайн-книга , дающая доказательство первого закона без использования исчисления (см. раздел 15.7).
• Дэвид Макнамара и Джанфранко Видали, « Второй закон Кеплера – интерактивное руководство по Java », интерактивный Java-апплет, который помогает понять второй закон Кеплера.
• Каин, Гей (10 мая 2010 г.), Astronomy Cast , « Эпизод 189: Иоганн Кеплер и его законы движения планет »
• Факультет физики и астрономии Университета Теннесси: Астрономия 161, « Иоганн Кеплер: Законы движения планет ».
• Симулятор Солнечной системы ( интерактивный апплет ). Архивировано 13 декабря 2018 г. на Wayback Machine.
• « Кеплер и его законы » в От звездочетов до звездолетов» (10 октября 2016 г.) книге Дэвида П. Стерна «
• «Три закона движения планет Кеплера» на YouTube, автор Йенс Пуле (27 декабря 2023 г.) - видео, объясняющее и визуализирующее три закона движения планет Кеплера.