Подмножество

В математике множество A является подмножеством множества B, все элементы A если также являются элементами B ; B тогда надмножеством A является . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является подмножеством B собственным . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B, что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k k -подмножество это подмножество из — элементов.

При количественной оценке, $A\subseteq B$ представлен как $\forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).$ ^{[ 1 ]}

Можно доказать утверждение $A\subseteq B$ применяя технику доказательства, известную как аргумент элемента ^{[ 2 ]}:

множества A и B. Пусть заданы Чтобы доказать это $A\subseteq B,$
предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A

покажите , что a является элементом B .

Справедливость этой техники можно рассматривать как следствие универсального обобщения : техника показывает $(c\in A)\Rightarrow (c\in B)$ для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает $\forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),$ что эквивалентно $A\subseteq B,$ как сказано выше.

Определение

Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:

A — подмножество B , обозначаемое $A\subseteq B$ или, что то же самое,
B является надмножеством A , обозначаемым $B\supseteq A.$

Если A является подмножеством B , но A не равно B хотя бы один элемент B , (т.е. существует который не является элементом A ), то:

A — собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое через $A\subsetneq B$ или, что то же самое,
B является собственным (или строгим ) надмножеством A , обозначаемым через $B\supsetneq A.$

Пустой набор , написанный $\{\}$ или $\varnothing ,$ не имеет элементов и, следовательно, является пустым подмножеством любого множества X .

Основные свойства

Рефлексивность : Учитывая любой набор $A$ , $A\subseteq A$ ^{[ 3 ]}
Транзитивность : если $A\subseteq B$ и $B\subseteq C$ , затем $A\subseteq C$
Антисимметрия : если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$ , затем $A=B$ .

Правильное подмножество

Иррефлексивность : Учитывая любой набор $A$ , $A\subsetneq A$ неверно.
Транзитивность : если $A\subsetneq B$ и $B\subsetneq C$ , затем $A\subsetneq C$
Асимметрия : если $A\subsetneq B$ затем $B\subsetneq A$ неверно.

символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы $\subset$ и $\supset$ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subseteq$ и $\supseteq .$ ^{[ 4 ]} Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что $A\subset A.$ ( рефлексивное отношение ).

Другие авторы предпочитают использовать символы $\subset$ и $\supset$ для указания правильного (также называемого строгим) подмножества и правильного надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subsetneq$ и $\supsetneq .$ ^{[ 5 ]} Это использование делает $\subseteq$ и $\subset$ аналогично неравенства символам $\leq$ и $<.$ Например, если $x\leq y,$ тогда x может равняться или не равняться y , но если $x<y,$ тогда x определенно не равен y и меньше y ) ( иррефлексивное отношение . Аналогично, используя соглашение, согласно которому $\subset$ является собственным подмножеством, если $A\subseteq B,$ тогда A может быть равно B , а может и не быть, но если $A\subset B,$ тогда A определенно не B. равно

Примеры подмножеств

Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения $A\subseteq B$ и $A\subsetneq B$ верны.
Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому $D\subseteq E$ это правда, и $D\subsetneq E$ неверно (ложно).
Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

A является собственным подмножеством B.
C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.

Набор мощности

Набор всех подмножеств $S$ называется его набором степеней и обозначается ${\mathcal {P}}(S)$ . ^{[ 6 ]}

включения Отношение $\subseteq$ представляет собой частичный порядок на множестве ${\mathcal {P}}(S)$ определяется $A\leq B\iff A\subseteq B$ . Также мы можем заказать частично ${\mathcal {P}}(S)$ путем обратного включения множества, определив $A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.$

Для набора мощности $\operatorname {\mathcal {P}} (S)$ множества S частичный порядок включения является — с точностью до порядкового изоморфизма — декартовым произведением $k=|S|$ ( мощность S ) копии частичного порядка на $\{0,1\}$ для чего $0<1.$ Это можно проиллюстрировать, перечислив $S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},$ и связывание с каждым подмножеством $T\subseteq S$ (т.е. каждый элемент $2^{S}$ ) k -кортеж из $\{0,1\}^{k},$ из которых i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда $s_{i}$ является членом Т.

Набор всего $k$ -подмножества $A$ обозначается ${\tbinom {A}{k}}$ , аналогично обозначениям биномиальных коэффициентов , подсчитывающих количество $k$ -подмножества $n$ - набор элементов. В теории множеств обозначение $[A]^{k}$ также часто встречается, особенно когда $k$ является трансфинитным кардинальным числом .

Другие свойства включения

Множество A является подмножеством B : тогда и только тогда, когда их пересечение равно A. Формально

A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.

Множество A является подмножеством B : тогда и только тогда, когда их объединение равно B. Формально

A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.

Конечное тогда множество A является подмножеством B мощность и только тогда, когда их пересечения равна мощности A. Формально:

A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.

Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .
Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество $(X,\preceq )$ изоморфно . некоторому набору множеств, упорядоченному по включению Порядковые числительные являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством $[n]$ всех порядковых номеров, меньших или равных n , то $a\leq b$ тогда и только тогда, когда $[a]\subseteq [b].$

См. также

Выпуклое подмножество — в геометрии множество, пересечение каждой линии которого представляет собой один сегмент линии.
Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
Мереология - изучение частей и целого, которое они образуют.
Регион — связанное открытое подмножество топологического пространства.
Проблема суммы подмножества - Проблема принятия решений в информатике
Субсумптивное сдерживание - система элементов, подчиненных друг другу.
Подпространство — математический набор с некоторой добавленной структурой.
Полное подмножество - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.

Ссылки

^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5 .
^ Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6 .
^ Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4 .
^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157
^ Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.

Библиография

Я, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 3-540-44085-2 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с подмножествами, на Викискладе?
Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . Математический мир .

[1] Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5 .

[2] Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6 .

[3] Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4 .

[4] Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157

[5] Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo