Egorov's theorem

В теории меры области математики , теорема Егорова устанавливает условие равномерной сходимости последовательности поточечно сходящейся измеримых функций , . Ее также называют теоремой Северини-Егорова или теоремой Северини-Егорова в честь Карло Северини , итальянского математика , и Дмитрия Егорова , русского физика и геометра , которые опубликовали независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 годах.

Теорему Егорова можно использовать вместе с с компактным носителем непрерывными функциями для доказательства теоремы Лусина для интегрируемых функций .

Историческая справка

Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 году: он использовал этот результат в качестве инструмента в своих исследованиях рядов функций ортогональных . Его работа осталась, по-видимому, незамеченной за пределами Италии , вероятно, из-за того, что она написана на итальянском языке , появилась в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась лишь как средство для получения других теорем. Год спустя Дмитрий Егоров опубликовал независимо доказанные результаты: и теорема стала широко известна под его именем: однако нередко можно найти ссылки на эту теорему как на теорему Северини – Егорова. Первыми математиками, независимо доказавшими эту теорему в ныне общепринятом абстрактном пространстве меры , были Фригес Рис ( 1922 , 1928 ) и Вацлав Серпинский ( 1928 ): более раннее обобщение принадлежит Николаю Лузину , которому удалось несколько ослабить требование конечности меры области сходимости поточечно сходящихся функций в обширной статье ( Лузин, 1916 ). Дальнейшие обобщения были даны намного позже Павлом Коровкиным в статье ( Коровкин 1947 ) и Габриэлем Мокободским в статье ( Мокободский 1970 ).

Официальное заявление и доказательство

Заявление

Пусть ( fn ₎ — последовательность M -значных измеримых функций, где M — сепарабельное метрическое пространство, в некотором пространстве с мерой ( X ,Σ,μ), и предположим, что существует измеримое подмножество A ⊆ X с конечным µ- мерой, такой, что ( f _n ) сходится µ- почти всюду на A к предельной функции f . Справедлив следующий результат: для любого ε > 0 существует измеримое подмножество B в A такое, что µ( B ) < ε и ( f _n ) сходится к f равномерно на A \ B .

Здесь µ( B ) обозначает µ-меру B . Другими словами, теорема гласит, что поточечная сходимость почти всюду на A влечет, по-видимому, гораздо более сильную равномерную сходимость всюду, кроме некоторого подмножества B сколь угодно малой меры. Этот тип сходимости также называют почти равномерной сходимостью .

Обсуждение предположений и контрпримера

• Гипотеза µ( A ) < ∞ необходима. Чтобы убедиться в этом, легко построить контрпример, когда µ является мерой Лебега : рассмотрим последовательность вещественных индикаторных функций $$f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,$$ определяется на реальной линии . Эта последовательность поточечно сходится к нулевой функции всюду, но не сходится равномерно на $\mathbb {R} \setminus B$ для любого множества B конечной меры: контрпример в общем $n$-мерное реальное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ можно построить, как показал Кафьеро (1959 , стр. 302).
• Сепарабельность метрического пространства необходима для того, чтобы гарантировать, что для M -значных измеримых функций f и g расстояние d ( f ( x ), g ( x )) снова является измеримой вещественной функцией от x .

Доказательство

Исправить $\varepsilon >0$. Для натуральных чисел n и k определим множество En _, объединением k

$E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.$

Эти множества становятся меньше по мере n увеличения что En _{, а это означает , +1, k} всегда является подмножеством En _,k , поскольку первое объединение включает меньшее количество множеств. Точка x , для которой последовательность ( f _m ( x )) сходится к f ( x ), не может находиться в каждом En _,k при фиксированном k , потому что f _m ( x ) должна оставаться ближе к f ( x ) чем 1/ k в конечном итоге. Следовательно, в силу предположения о µ-почти всюду поточечной сходимости на A ,

$\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0$

для каждого к . Поскольку А имеет конечную меру, мы имеем непрерывность сверху ; существует следовательно, для каждого k некоторое натуральное число n _k такое, что

$\mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.$

Для x в этом наборе мы считаем скорость приближения к 1/ - окрестности f ( k x ) слишком медленной. Определять

$B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}$

как набор всех тех точек x в A , для которых скорость приближения хотя бы к одной из этих 1/ k -окрестностей f ( x ) слишком мала. О разнице сетов $A\setminus B$ поэтому мы имеем равномерную сходимость. Явно для любого $\epsilon$, позволять ${\frac {1}{k}}<\epsilon$, то для любого $n>n_{k}$, у нас есть $|f_{n}-f|<\epsilon$ на всех $A\setminus B$.

Апеллируя к сигма-аддитивности µ и используя геометрическую прогрессию , получаем

$\mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\mu (E_{n_{k},k})<\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .$

Обобщения

Версия Лузина

Основная статья: теорема Лусина

Здесь представлено обобщение Николаем Лузиным теоремы Северини–Егорова по Саксу (1937 , с. 19).

Заявление

В тех же условиях абстрактной теоремы Северини–Егорова предположим, что — объединение последовательности измеримых конечной множеств X µ-меры, а ( f _n ) — заданная последовательность M -значных измеримых функций на некотором пространстве с мерой ( A ,Σ,µ), такая что ( f _n ) сходится µ- почти всюду на A к предельной функции f , то A можно выразить как объединение последовательности измеримых множеств H , A ₁ , A ₂ ,... такие, что µ( H ) = 0 и ( f _n ) сходится к f равномерно на каждом множестве A _k .

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай, когда множество A само является конечной µ-мерой: используя эту гипотезу и стандартную теорему Северини–Егорова, можно методом математической индукции определить последовательность множеств { A _k } _{k=1 ,2,...} такой, что

$\mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}$

такой, что ( fn _и ) сходится к f равномерно на каждом множестве для _Ak каждого k . Выбор

$H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}$

тогда, очевидно, µ( H ) = 0 и теорема доказана.

Версия Коровкина

Доказательство версии Коровкина близко следует версии Харазишвили (2000 , с. 183–184), которая, однако, в некоторой степени обобщает ее, рассматривая допустимые функционалы вместо неотрицательных мер и неравенств. $\leq$ и $\geq$ соответственно в условиях 1 и 2.

Заявление

Пусть ( M , d ) обозначает сепарабельное метрическое пространство , а ( X , Σ) — измеримое пространство : рассмотрим измеримое множество A и класс ${\mathfrak {A}}$ содержащее A и его измеримые подмножества, такие, что их счетные в объединениях и пересечениях принадлежат одному классу. Предположим, что существует неотрицательная мера µ такая, что µ( A ) существует и

1. $\mu (\cap A_{n})=\lim \mu (A_{n})$ если $A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots$ с $A_{n}\in {\mathfrak {A}}$ для всех н
2. $\mu (\cup A_{n})=\lim \mu (A_{n})$ если $A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots$ с $\cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}$.

Если ( f _n ) — последовательность M-значных измеримых функций, сходящаяся ц- почти всюду на $A\in {\mathfrak {A}}$ к предельной функции f , то существует подмножество A′ из A такое, что 0 < µ( A ) − µ( A′ ) < ε и где сходимость также равномерна.

Доказательство

Рассмотрим индексированное семейство множеств которого , индексное множество представляет собой множество натуральных чисел. $m\in \mathbb {N} ,$ определяется следующим образом:

$A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}$

Очевидно

$A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots$

и

$A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}$

следовательно, существует натуральное число m ₀ такое, что, полагая A _{0,m 0} = A _0, справедливо следующее соотношение:

$0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon$

Используя A _0, можно определить следующее индексированное семейство

$A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}$

удовлетворяющие следующим двум соотношениям, аналогичным найденным ранее, т.е.

$A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots$

и

$A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}$

Этот факт позволяет нам определить множество A _{1,m 1} = A ₁ , где m ₁ – заведомо существующее натуральное число такое, что

$0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon$

Путем итерации показанной конструкции определяется другое индексированное семейство множества { An _{} ,} обладающее следующими свойствами:

• $A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots$
• $0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon$ для всех $m\in \mathbb {N}$
• для каждого $m\in \mathbb {N}$ существует k _m такой, что для всех $n\geq k_{m}$ затем $d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}$ для всех $x\in A_{m}$

и, наконец, поставив

$A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

тезис легко доказывается.

Ссылки

Исторические справки

• Егоров, Д.Т. (1911), «О последовательностях измеримых функций», Отчеты еженедельных сессий Академии наук (на французском языке), 152 : 244–246, JFM   42.0423.01 , доступно в Gallica .
• Рисс, Ф. (1922), «О теореме Егорова и о линейных функциональных операциях», Acta Litt. АС сенатор. унив. Хунг. Франсиско-Жозефина, сек. наук. Математика. (Сегед) (на французском языке), 1 (1): 18–26, JFM   48.1202.01 .
• Рисс, Ф. (1928), «Элементарное доказательство теоремы Егорова», Ежемесячные книги по математике и физике (на немецком языке), 35 (1): 243–248, doi : 10.1007/BF01707444 , JFM   54.0271.04 , S2CID   121337393 .
• Северини, К. (1910), «О последовательностях ортогональных функций», Atti dell'Accademia Gioenia , серия 5a (на итальянском языке), 3 (5): Memoria XIII, 1–7, JFM   41.0475.04 . Издано Академии Джоении в Катании .
• Серпинский, В. (1928), «Замечания к теореме Егорова», Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsica (на французском языке), 21 : 84–87, JFM   57.1391.03 .
• Странео, Паоло (1952), «Карло Северини» , Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 3 (на итальянском языке), 7 (3): 98–101, MR   0050531 , доступно в Biblioteca Digitale Italiana di Matematica . Некролог Карло Северини.
• Тонелли, Леонида (1924), «Она фундаментальное положение анализа», Bollettino della Unione Matematica Italiana , серия 2 (на итальянском языке), 3 : 103–104, JFM   50.0192.01 . Короткая заметка, в которой Леонида Тонелли благодарит Северини за первое доказательство теоремы Северини – Егорова.

Научные ссылки

• Билс, Ричард (2004), Анализ: Введение , Кембридж : Издательство Кембриджского университета , стр. x+261, ISBN  0-521-60047-2 , МР   2098699 , Збл   1067.26001
• Кафьеро, Федерико (1959), Misura e integrazione [ Измерение и интеграция ], Mongrafie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском языке), vol. 5, Рим : Edizioni Cremonese, стр. VII+451, MR   0215954 , Zbl   0171.01503 . Полная монография по интегрированию и теории меры: рассмотрение предельного поведения интеграла различного рода последовательностей структур, связанных с мерой (измеримых функций, измеримых множеств , мер и их комбинаций), является в некоторой степени убедительным.
• Харазишвили, А.Б. (2000), Странные функции в реальном анализе , Чистая и прикладная математика - Серия монографий и учебников, т. 1, с. 229 (1-е изд.), Нью-Йорк: Марсель Деккер , стр. viii+297, ISBN  0-8247-0320-0 , МР   1748782 , Збл   0942.26001 . Содержит раздел под названием «Теоремы типа Егорова» , где основная теорема Северини–Егорова представлена ​​в форме, слегка обобщающей теорему Коровкина (1947) .
• Коровкин, П. П. (1947), "Обобщение теоремы Д. Ф. Егорова", Доклады Академии наук СССР , 58 : 1265–1267, МР   0023322 , Збл   0038.03803
• Luzin, N. (1916), "Интегралъ и тригонометрическій рядъ" [Integral and trigonometric series], Matematicheskii Sbornik (in Russian), 30 (1): 1–242, JFM  48.1368.01
• Мокободский, Габриэль (22 июня 1970 г.), «Абсолютно измеримые ядра и ядерные операторы» , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (на французском языке), 270 : 1673–1675, MR   0270182 , Zbl   0211.44803
• Пиконе, Мауро ; Виола, Туллио (1952), Лекции по современной теории интеграции Manuali , Einaudi. Серия «Математика» (на итальянском языке), Турин : Edizioni Scientifiche Einaudi , стр. 404, МР   0049983 , Збл   0046.28102 , рассмотрено Чиммино, Джанфранко (1952), «М. Пиконе – Т. Виола, Уроки современной теории интеграции» , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , серия 3 (на итальянском языке), 7 (4): 452–454 и автор: Халмос, Пол Р. (январь 1953 г.), «Обзор: М. Пиконе и Т. Виола, Лекции по современной теории интеграции» , Бюллетень Американского математического общества , 59 (1): 94, doi : 10.1090/S0002- 9904-1953-09666-5 .
• Сакс, Станислав (1937), Теория интеграла , Monografie Matematyczne , vol. 7, перевод Янга, LC , с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха (2-е изд.), Варшава – Львов : GE Stechert & Co., стр. VI+347, JFM   63.0183.05 , Zbl   0017.30004 (доступно на польском виртуальном сайте). Научная библиотека ).

Внешние ссылки

• Egorov's theorem at PlanetMath .
• Хамприс, Алексис. «Теорема Егорова» . Математический мир .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Теорема Егорова» , Энциклопедия Математики , EMS Press