Тональность бриллиант

Quadrangularis Reversum , инструмент, созданный Гарри Партчем на основе алмаза с 11 пределами тональности.

В теории музыки и настройке ромб тональности представляет собой двумерную диаграмму отношений , в которой одно измерение — это Отональность, а другое — Утональность . Таким образом, ромб тональности n-предела («предел» здесь означает нечетный предел, а не простой предел) представляет собой ромбовидное расположение множества рациональных чисел r , $1\leq r<2$, так что нечетная часть как числителя так и знаменателя r n , при уменьшении до наименьших членов, меньше или равна фиксированному нечетному числу , . Аналогичным образом, ромб можно рассматривать как набор классов высоты звука , где класс высоты звука представляет собой класс эквивалентности высоты звука при октавной эквивалентности. Тональный ромб часто рассматривается как набор созвучий n-предела. Хотя первоначально он был изобретен Максом Фридрихом Мейером , ромб тональности теперь больше всего ассоциируется с Гарри Партчем («Многие теоретики справедливой интонации считают ромб тональности Партча величайшим вкладом в микротональную теорию». ).

Алмазная композиция

Партч расположил элементы тональности ромба в форме ромба и разделил на (n+1) ² /4 ромба меньшего размера. В верхней левой части ромба расположены нечетные числа от 1 до n, каждое из которых уменьшено до октавы (делено на минимальную степень 2, такую ​​что $1\leq r<2$). Затем эти интервалы располагаются в порядке возрастания. В левом нижнем углу расположены соответствующие обратные числа от 1 до 1/n, также уменьшенные до октавы (здесь умноженные на минимальную степень 2, такую ​​что $1\leq r<2$). Они расположены в порядке убывания. Во всех остальных местах размещается произведение диагональных верхних и нижних левых интервалов, приведенное к октаве. Это придает всем элементам тональности ромб, с некоторым повторением. Диагонали, наклоненные в одну сторону, образуют отональности , а диагонали в другую сторону образуют утональности. Один из инструментов Парча, алмазная маримба , устроен по тональности ромба.

Численная связь

Численная связь — это тождество, разделяемое двумя или более отношениями интервалов в их числителе или знаменателе , с разными тождествами в другом. Например, в отональности знаменатель всегда равен 1, таким образом, 1 — это числовая связь:

${\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {2}{1}}&{\frac {3}{1}}&{\frac {4}{1}}&{\frac {5}{1}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {3}{2}})&&({\frac {5}{4}})\end{array}}$

В Утональности числитель всегда равен 1, и, таким образом, числовая связь также равна 1:

${\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {4}{3}})&&({\frac {8}{5}})\end{array}}$

Например, в ромбе тональности, таком как 11-гранный ромб Гарри Партча , каждое соотношение правого наклонного ряда имеет общий числитель, а каждое соотношение левого наклонного ряда имеет общий знаменатель. Каждое соотношение верхнего левого ряда имеет 7 в качестве знаменателя, а каждое соотношение верхнего правого ряда имеет 7 (или 14) в качестве числителя.

5-лимит

		3 ⁄ 2
	5 ⁄ 4		6 ⁄ 5
1 ⁄ 1		1 ⁄ 1		1 ⁄ 1
	8 ⁄ 5		5 ⁄ 3
		4 ⁄ 3

		1 ⁄ 1		1 ⁄ 1

Этот ромб содержит три личности (1, 3, 5).

7-лимит

			7 ⁄ 4
		3 ⁄ 2		7 ⁄ 5
	5 ⁄ 4		6 ⁄ 5		7 ⁄ 6
1 ⁄ 1		1 ⁄ 1		1 ⁄ 1		1 ⁄ 1
	8 ⁄ 5		5 ⁄ 3		12 ⁄ 7
		4 ⁄ 3		10 ⁄ 7
			8 ⁄ 7

Этот ромб содержит четыре личности (1, 3, 5, 7).

11-лимит

Тональная основа системы настройки Гарри Партча : 11-лимитный ромб тональности.

Этот ромб содержит шесть тождеств (1, 3, 5, 7, 9, 11). Гарри Партч использовал ромб тональности с 11 пределами, но перевернул его на 90 градусов.

15-лимит

15 ⁄ 8

7 ⁄ 4

5 ⁄ 3

13 ⁄ 8

14 ⁄ 9

3 ⁄ 2

3 ⁄ 2

13 ⁄ 9

7 ⁄ 5

15 ⁄ 11

11 ⁄ 8

4 ⁄ 3

13 ⁄ 10

14 ⁄ 11

5 ⁄ 4

5 ⁄ 4

11 ⁄ 9

6 ⁄ 5

13 ⁄ 11

7 ⁄ 6

15 ⁄ 13

9 ⁄ 8

10 ⁄ 9

11 ⁄ 10

12 ⁄ 11

13 ⁄ 12

14 ⁄ 13

15 ⁄ 14

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

16 ⁄ 9

9 ⁄ 5

20 ⁄ 11

11 ⁄ 6

24 ⁄ 13

13 ⁄ 7

28 ⁄ 15

8 ⁄ 5

18 ⁄ 11

5 ⁄ 3

22 ⁄ 13

12 ⁄ 7

26 ⁄ 15

16 ⁄ 11

3 ⁄ 2

20 ⁄ 13

11 ⁄ 7

8 ⁄ 5

4 ⁄ 3

18 ⁄ 13

10 ⁄ 7

22 ⁄ 15

16 ⁄ 13

9 ⁄ 7

4 ⁄ 3

8 ⁄ 7

6 ⁄ 5

16 ⁄ 15

Этот ромб содержит восемь тождеств (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

Решетка, показывающая отображение ромба с пределом 15.

Геометрия тональности ромба

Алмазы с пятью и семью пределами тональности демонстрируют очень правильную геометрию в модуляционном пространстве , что означает, что все неунисонные элементы ромба находятся всего на одной единице от унисона. Тогда ромб с пятью пределами становится правильным шестиугольником, окружающим унисон, а ромб с семью пределами - кубооктаэдром, окружающим унисон. . Дальнейшие примеры решеток алмазов от триадного до огдоадического алмаза были реализованы Эрвом Уилсоном, где каждому интервалу придается свое собственное уникальное направление.

Свойства тональности бриллианта

Дополнительная информация: последовательность Фарея.

Три свойства тональности ромба и их соотношения:

1. Все отношения между соседними отношениями являются суперчастными отношениями , то есть с разницей 1 между числителем и знаменателем .
2. Отношения с относительно меньшими числами имеют больше места между ними, чем отношения с более высокими числами.
3. Система, включая соотношения между соотношениями, симметрична в пределах октавы, если измерять ее в центах, а не в соотношениях.

Например:

5-лимитная тональность бриллианта, в порядке от наименьшего к наибольшему
Соотношение	1 ⁄ 1		6 ⁄ 5		5 ⁄ 4		4 ⁄ 3		3 ⁄ 2		8 ⁄ 5		5 ⁄ 3		2 ⁄ 1
центы	0		315.64		386.31		498.04		701.96		813.69		884.36		1200
Ширина		315.64		70.67		111.73		203.91		111.73		70.67		315.64

1. Соотношение между 6 ⁄ 5 и 5 ⁄ 4 (и 8 ⁄ 5 и 5 ⁄ 3 ) есть 25 ⁄ 24 .
2. Коэффициенты с относительно низкими цифрами 4 ⁄ 3 и 3 ⁄ 2 находятся на расстоянии 203,91 цента друг от друга, в то время как отношения с относительно высокими числами 6 ⁄ 5 и Расстояние между 5 ⁄ 4 составляет 70,67 цента.
3. Соотношение между самым низким и вторым самым низким, а также самым высоким и вторым по величине коэффициентами одинаково и так далее.

Размер тональности ромба

Если φ( n ) — это функция Эйлера , которая дает количество натуральных чисел, меньших n и относительно простых с n, то есть она подсчитывает целые числа меньше n, которые не имеют общего с n, и если d(n) обозначает размер ромба n-предельной тональности, имеем формулу

$d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).$

Отсюда можно сделать вывод, что скорость роста тональности ромба асимптотически равна ${\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}$. Первые несколько значений являются важными, и тот факт, что размер ромба увеличивается пропорционально квадрату размера нечетного предела, говорит нам о том, что он становится большим довольно быстро. В алмазе с 5 лимитами семь участников, в ромбе с 7 лимитами 13, в ромбовидном с 9 лимитами 19, в ромбовидном с 11 лимитом 29, в ромбовидном с 13 лимитами 41 и в алмазном с 15 лимитом 49. алмаз; этого достаточно для большинства целей.

Перевод в соотношение длин строк

Юрий Ландман опубликовал диаграмму отональности и утональности, которая поясняет связь ромбов тональности Парча с гармоническим рядом и длиной струн (которые Партч также использовал в своем «Китарасе») и Ландмана Moodswinger . инструменте

В соотношениях Парча верхнее число соответствует количеству равных делений колеблющейся струны, а нижнее число соответствует тому, до какого деления укорачивается длина струны. Например, 5 ⁄ 4 получается в результате деления строки на 5 равных частей и сокращения ее длины до 4-й части снизу. На диаграмме Ландмана эти числа инвертированы, в результате чего отношения частот заменяются отношениями длин строк.

См. также

• Решетка (музыка)
• Поток тональности