Целевая

Эта статья о математической кривой. Для других видов использования см. Catenary (устранение неоднозначности) .

«Цепочка» перенаправляет здесь. Для винного винограда, также известного как Chainette, см. Cinsaut .

Цепь , свисающая с очков, образует контактную.

Свободно висящие верхние линии электропередачи также образуют контактную часть (наиболее заметно видны с высоковольтными линиями, и с некоторым несовершенством вблизи изоляторов ) .

Шелк на веб -пауке, образующий несколько эластичных коленров.

В физики и геометрии , целевой области США : / k æ t Большинство ɛr i / , kat ee - Великобритания : / k ə ˈ t iː n ər i / kə -te -nər-ee )-это кривая , которую идеализированная висящая цепь или кабель предполагает под его собственным весом , когда поддерживается только на его концах в однородном гравитационном поле.

Контрольная кривая имеет U-подобную форму, поверхностно похожую по внешнему виду на параболу , которой это не так.

Кривая появляется в дизайне определенных типов арков и в качестве поперечного сечения катеноида - формы, принятой мыльной пленкой, ограниченной двумя параллельными круговыми кольцами.

Контюр также называется Alysoid , Chainette , Или, особенно в науках о материалах, пример фуникулера . Статика веревки описывает развлечений в классической статитической проблеме с участием висящей веревки.

Математически, конная кривая является графиком гиперболической функции косинуса . Поверхность революции контактной кривой, катеноида , представляет собой минимальную поверхность , в частности, минимальная поверхность революции . Висящая цепь примет форму наименьшей потенциальной энергии, которая является контактной. Галилео Галилей в 1638 году обсудил «Контюри» в книге « Два новых наук», признавая, что она отличается от параболы . Математические свойства контактной кривой были изучены Робертом Гуком в 1670 -х годах, и ее уравнение было получено Лейбнисом , Хейгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Контушки и связанные с ними кривые используются в архитектуре и инженерии (например, в разработке мостов и арков , чтобы силы не приводят к изгибающим моментам). В морской нефтяной и газовой промышленности «Caiterary» относится к стальному контактному подъему , трубопроводу, подвешенному между производственной платформой и морским дном, который принимает приблизительную форму константа. В железнодорожной промышленности это относится к накладной проводке , которая передает власть поездам. (Это часто поддерживает контактную проволоку, и в этом случае он не следует истинной контактной кривой.)

В оптике и электромагнетике гиперболические функции косинуса и синуса являются основными решениями уравнений Максвелла. Симметричные моды, состоящие из двух эванерских волн, будут образовывать контактную форму.

История

Антони Гауди Констанческая модель в Casa Milà

Слово «контактная» получено из латинского слова Catēna , что означает « цепь ». Английское слово «контактная» обычно приписывается Томасу Джефферсону , который написал в письме Томасу Пейну о строительстве арки для моста:

В последнее время я получил из Италии трактат о равновесии арков Аббея Машерони. Похоже, это очень научная работа. У меня еще не было времени, чтобы заняться этим; Но я обнаружил, что выводы его демонстраций заключаются в том, что каждая часть контейнера находится в идеальном равновесии.

Это часто говорят Это Галилей подумал, что кривая висящей цепи была параболической. Однако в его двух новых науках (1638) Галилео писал, что висящий шнур является только приблизительной параболой, правильно отмечая, что это приближение повышает точность, поскольку кривизна становится меньше и почти точна, когда высота меньше 45 °. Тот факт, что кривая, за которым следует цепь, не является параболой, был доказан Иоахимом Юнгиусом (1587–1657); Этот результат был опубликован посмертно в 1669 году.

Применение контактной конструкции к построению арок приписывается Роберту Гуке , чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте восстановления собора Святого Павла намекал на целеустремленность. Некоторые гораздо более старые арки приближаются к коэффициентам, примером которого является арка Taq-I Kisra в Ctesiphon .

Аналогия между аркой и висящей цепью и сравнением с куполом базилики Святого Петра в Риме ( Джованни Полини , 1748)

В 1671 году Гук объявил Королевскому обществу , что решил проблему оптимальной формы арки, а в 1675 году опубликовал зашифрованное решение в качестве латинской анаграммы в приложении к его описанию гелиоскопов, где он писал, что он нашел «настоящую математическую и механическую форму всех видов арков для строительства». Он не опубликовал решение этой анаграммы В своей жизни, но в 1705 году его исполнитель предоставил его в качестве инверсума в качестве Pendet Continuum, SIC Stabit Contiguum rigidum inversum , что означает «как висит гибкий кабель, так что, перевернутые, выдерживают трогательные кусочки арки».

В 1691 году Готфрид Лейбниц , Кристиан Хейгенс и Иоганн Бернулли вывели уравнение в ответ на вызов Якоба Бернулли ; Их решения были опубликованы в Acta Eruditorum за июнь 1691 года. Дэвид Грегори написал трактат на контейнере в 1697 году в котором он предоставил неправильный вывод правильного дифференциального уравнения.

В 1744 году Эйлер доказал, что конная часть представляет собой кривую, которая, когда вращается вокруг оси x , дает поверхность минимальной площади поверхности ( катеноид ) для заданных ограничивающих кругов. Николас Фус дал уравнения, описывающие равновесие цепи под любой силой в 1796 году.

Перевернутая контейнельная арка

Контучные арки часто используются при строительстве печей . Чтобы создать желаемую кривую, форма висящей цепи желаемых размеров переносится в форму, которая затем используется в качестве руководства для размещения кирпичей или другого строительного материала.

Арка шлюза в Сент -Луисе, штат Миссури , США, иногда считается (перевернутым) целевым контактом, но это неверно. Это близко к более общей кривой, называемой сплющенной целевой контактной, с уравнением y = a cosh ( bx ) , которая является целевым, если Ab = 1 . В то время как конная часть является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, арка шлюза уже к вершине. По данным Национальной исторической номинальной номинации США за арку, вместо этого это « взвешенная контейнера ». Его форма соответствует форме, что сформирует взвешенная цепь, имеющая более легкие связи в середине.

• 
  Целевая Хаус Милан Барселона Испания , , .
• 
  заключен Зимний сад Шеффилда в серию целевых арков .
• 
  ( Арка ворот Сент -Луис, штат Миссури ) - сплющенная контейнера.
• 
  Катаническая арка печь в строительстве по временной форме

Контрольные мосты

Простые подвесные мосты представляют собой по существу утолщенные кабели и следуют контактной кривой.

Стрессованные ленточные мосты , такие как мост Леонеля Виера в Мальдонадо, Уругвай , также следуют за контактной кривой, с кабелями, встроенными в жесткую палубу.

В свободно висящих цепях силу, оказываемая сила, является равномерной по длине цепи, и поэтому цепь следует за кривой контакта. То же самое относится и к простому подвесному мосту или «контактному мосту», где проезжая часть следует за кабелем.

Стресченный ленточный мост - это более сложная структура с той же контактной формой.

Однако в подвесном мосту с подвесной проезжей частью цепи или кабели поддерживают вес моста, и поэтому не висят свободно. В большинстве случаев проезжая часть плоская, поэтому, когда вес кабеля незначительна по сравнению с поддерживаемым весом, усиливаемая сила является равномерной по горизонтальной расстоянии, и результатом является парабола , как обсуждается ниже (хотя термин » Констанка «часто используется в неформальном смысле). Если кабель тяжелый, то полученная кривая находится между контактной и параболой.

Сравнение целевой арки (черная пунктирная кривая) и параболической арки (красная сплошная кривая) с тем же пролетом и провисанием. Контранспортная точка представляет собой профиль простого подвесного моста или кабеля подвесного подвесного моста подвесной палубы, на котором его палуба и вешалки имеют незначительный вес по сравнению с его кабелем. Парабола представляет собой профиль кабеля подвесного подвесного моста подвесной палубы, на котором его кабель и вешалки имеют незначительный вес по сравнению с его палубой. Профиль кабеля реального подвесного моста с тем же пролетом и провисанием находится между двумя кривыми. Уравнения контейнеров и параболы соответственно, $y={\text{cosh }}x$ и $y=x^{2}[({\text{cosh }}1)-1]+1$

Закрепление морских объектов

Тяжелая якорная цепь образует контактную, с низким углом тяги на якоре.

Контактная контактная работа, произведенная гравитацией, обеспечивает преимущество для тяжелых якорных родес . Якорный каталог (или якорная линия) обычно состоит из цепи или кабеля или обоих. Анкер Родес используется кораблями, нефтяными таблицами, доками, плавающими ветряными турбинами и другим морским оборудованием, которое должно быть привязано к морскому дну.

Когда веревка ослаблена, конная кривая представляет собой нижний угол тяги на якоре или причал, чем в случае, если бы она была почти прямой. Это повышает производительность якоря и повышает уровень силы, который он сопротивляется перед перетаскиванием. Для поддержания контактной формы в присутствии ветра необходима тяжелая цепь, чтобы на этот эффект могли опираться только более крупные корабли в более глубокой воде. Меньшие лодки также полагаются на контактную часть, чтобы поддерживать максимальную мощность удержания.

Кабельные паромы и цепные лодки представляют собой особый случай, когда морские транспортные средства движутся, хотя и пришвартованы двумя целевыми поездками, каждый из которых один или несколько кабелей (проволочные веревки или цепочки), проходящие через транспортное средство и перемещенные вдоль моторизованных снопок. Контранские жители могут быть оценены графически.

Математическое описание

Уравнение

значений Цепные для разных

Уравнение контейнера в картезианских координатах имеет форму

$$y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),$$ где COSH - это гиперболическая функция косинуса и где A - это расстояние от самой низкой точки над осью x. Все контактные кривые аналогичны друг другу, поскольку изменение параметра A эквивалентно равномерному масштабированию кривой.

Уравнение Уэвелла для контейнера $$\tan \varphi ={\frac {s}{a}},$$ где $\varphi$ это тангенциальный и дуги длина . угол

Дифференцирование дает $${\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},$$ и устранение $\varphi$ дает уравнение Чероро $$\kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},$$ где $\kappa$ это кривизна .

Радиус кривизны тогда $$\rho =a\sec ^{2}\varphi ,$$ которая является длиной нормальной между кривой и осью x .

Отношение к другим кривым

Когда парабола катится по прямой линии, кривая рулетки , прослеженная ее фокусом, является целевой. Оболочка Директа контактной . параболы также является Зубной из вершины, то есть рулетка, прослеженная точкой, начинающейся в вершине , когда линия свернута на целевой контакт, является Tractrix .

Другая рулетка, сформированная путем катания линии на целевой контейнере, является еще одной линией. Это подразумевает, что квадратные колеса могут совершенно плавно катиться на дороге, сделанной из ряда ударов в форме перевернутой контактной кривой. Колеса могут быть любым обычным многоугольниками, кроме треугольника, но контактный контакт должен иметь параметры, соответствующие форме и размерам колес.

Геометрические свойства

В течение любого горизонтального интервала соотношение площади под цепи к ее длине равна A , независимо от выбранного интервала. Контюр - единственная плоская кривая, кроме горизонтальной линии с этим свойством. Кроме того, геометрический центриид площади под участком цепочки контакта является средней точкой перпендикулярного сегмента, соединяющего центроид самой кривой и оси x .

Наука

Движущий заряд в однородном электрическом поле движется вдоль контейнера (которая имеет тенденцию к параболе, если скорость заряда намного меньше, чем скорость света c ).

Поверхность революции с фиксированными радиусами на обоих концах, которая имеет минимальную площадь поверхности, представляет собой контактную контакту с осью x .

Анализ

Модель цепочек и арков

В математической модели цепь (или шнур, кабель, веревка, струна и т. Д.) Идеализируется, если предположить, что она настолько тонкая, что ее можно рассматривать как кривую и что она настолько гибкая любая сила натяжения , оказываемая цепью параллельно цепи. Анализ кривой для оптимальной арки аналогичен, за исключением того, что силы напряжения становятся силами сжатия , и все перевернуто. Основным принципом является то, что цепь может считаться твердым телом, как только она достигнет равновесия. Уравнения, которые определяют форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть получены путем тщательного осмотра различных сил, действующих на сегмент, используя тот факт, что эти силы должны находиться в балансе, если цепь находится в статическом равновесии .

Пусть путь следовал цепочке, параметрически данным R = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )), где S представляет длину дуги , а R - вектор положения . Это естественная параметризация и имеет свойство, которое

$${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u}$$

где u - это единый касательный вектор .

Диаграмма сил, действующих на сегмент контейнера от C до r . Силы - это напряжение t ₀ при C , натяжение t при R и вес цепи (0, - WS ) . Поскольку цепь остается в состоянии покоя, сумма этих сил должна быть нулевой.

для Дифференциальное уравнение кривой может быть получено следующим образом. Пусть C является самой низкой точкой на цепи, называемой вершиной контейнера. Склон ⁠ DY / DX ⁠ кривой равен нулю при C, так как это минимальная точка. Предположим, что r находится справа от C, поскольку другой случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи от C до R, являются натяжением цепи в C , натяжением цепи на R и весом цепи. Натяжение в C касается кривой при C и, следовательно, является горизонтальным без какого -либо вертикального компонента, и оно тянет раздел влево, чтобы его можно было записано ( - T ₀ , 0), где t ₀ - величина силы. Напряжение в R параллельно кривой на R и тянет секцию вправо. Напряжение в r может быть разделено на два компонента, чтобы оно было записано t u = ( t cos φ , t sin φ ) , где t - величина силы, а φ - угол между кривой при r и x - Ось (см. Тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи представлен (0, - WS ) где W - вес на длину единицы, а S - длина сегмента цепи между C и R. ,

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил составляет 0 , поэтому

$$T\cos \varphi =T_{0}$$ и $$T\sin \varphi =ws\,,$$

и разделение их дает

$${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.$$

Удобно писать

$$a={\frac {T_{0}}{w}}$$

которая является длиной цепи, вес которого равен по величине натяжению при c . Затем

$${\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}$$

это уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальный компонент натяжения, t cos φ = t ₀ является постоянным, а вертикальный компонент натяжения, t sin φ = ws пропорционален длине цепи между R и вершиной.

Вывод уравнений для кривой

Дифференциальное уравнение $dy/dx=s/a$, приведенным выше, может быть решено создать уравнения для кривой. Мы решим уравнение, используя граничное условие, которое вершина расположена в $s_{0}=0$ и $(x,y)=(x_{0},y_{0})$.

Во -первых, призвать формулу для Длина дуги получить $${\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,$$ Затем отдельные переменные чтобы получить $${\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.$$

Достаточно простой подход к интеграции этого - использовать гиперболическая замена , который дает $$a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x$$ (где $x_{0}$ является постоянной интеграции ), и следовательно $${\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.$$

Но ${\textstyle s/a=dy/dx}$, так $${\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,$$ который интегрирует как $$y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta$$ (с $\delta =y_{0}-a$ быть постоянной интеграции, удовлетворяющей граничному условию).

Поскольку основной интерес здесь - это просто форма кривой, Размещение осей координат является произвольным; Так что сделайте удобный выбор ${\textstyle x_{0}=0=\delta }$ чтобы упростить результат $$y=a\cosh {\frac {x}{a}}\quad \square$$

Для полноты $y\leftrightarrow s$ отношение может быть получено Решение каждого из $x\leftrightarrow y$ и $x\leftrightarrow s$ Отношения для $x/a$, даст: $$\cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,$$ так $$y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,$$ который может быть переписан как $$y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.$$

Альтернативный вывод

Дифференциальное уравнение может быть решено с использованием другого подхода. От

$$s=a\tan \varphi$$

Это следует за этим

$${\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi$$ и $${\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.$$

Интеграция дает,

$$x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha$$ и $$y=a\sec \varphi +\beta \,.$$

Как и прежде, оси x и y могут быть сдвинуты, чтобы α и β могли быть приняты как 0. Затем

$$\sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,$$ и принимая взаимную с обеих сторон $$\sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.$$

Добавление и вычитание последних двух уравнений дает решение $$y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,$$ и $$s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.$$

Определение параметров

катеры через те же две точки, в зависимости от горизонтальной силы _. Три

В целом параметр a является положением оси. Уравнение может быть определена в этом случае следующим образом:

Relabel, если это необходимо, чтобы P ₁ был слева от P ₂ и позвольте H был горизонтальным и V был вертикальным расстоянием от P ₁ до P ₂ . Переведите оси так, чтобы вершина контейнера лежит на оси y , а его высота A регулируется, чтобы контактная работа удовлетворяла стандартному уравнению кривой

$$y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)$$

и пусть координаты P ₁ и P ₂ будут ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница в высоте

$$v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.$$

кривой от P ₁ до P ₂ и длина

$$L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.$$

Когда л ² − v ² расширяется с использованием этих выражений, результат

$$L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,$$ так $${\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.$$

Это трансцендентное уравнение в A и должно быть решено численно . С $\sinh(x)/x$ строго монотонно на $x>0$, Существует не более одного решения с > 0 , и поэтому есть не более одной позиции равновесия.

Однако, если оба конца кривой ( P ₁ и P ₂ ) находятся на одном уровне ( y ₁ = y ₂ ), можно показать, что $$a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,$$ где L - общая длина кривой между p ₁ и p ₂ и h, является провисанием (вертикальное расстояние между p ₁ , p ₂ и вершиной кривой).

Также можно показать, что $$L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,$$ и $$H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,$$ где h - горизонтальное расстояние между р ₁ и р ₂ , которые расположены на одном уровне ( h = x ₂ - x ₁ ).

Горизонтальная сила тяги при P ₁ и P ₂ составляет t ₀ = WA , где W - вес на единицу длины цепи или кабеля.

Напряженные отношения

Существует простая связь между натяжением в кабеле в точке и его x - и/или y - координата. Начните с объединения квадратов векторных компонентов напряжения: $$(T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}$$ Что (вспомнив это $T_{0}=wa$) может быть переписано как $${\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}$$ Но, как показано выше , $y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}$ (при условии, что это $y_{0}=a$), поэтому мы получаем простые отношения $$T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.$$

Вариационная формулировка

Рассмотрим цепь длины $L$ приостановлено из двух точек одинаковой высоты и на расстоянии $D$Полем Кривая должна минимизировать его потенциальную энергию $$U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$$ (где w - вес на длину единицы) и подвергается ограничению $$\int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.$$

модифицированный лагранжиан Поэтому $${\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}$$ где $\lambda$ Является ли мультипликатор Lagrange, который должен быть определен. Как независимая переменная $x$ не появляется в Лагранжиане, мы можем использовать идентичность Beltrami $${\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C$$ где $C$ является константой интеграции, чтобы получить первый интеграл $${\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C$$

Это обычное уравнение по дифференциалу первого порядка, которое может быть решено методом разделения переменных . Его решением является обычный гиперболический косинус, где параметры получаются из ограничений.

Обобщения с вертикальной силой

Неравномерные цепи

Если плотность цепи является переменной, то приведенный выше анализ может быть адаптирован для получения уравнений для кривой с учетом плотности, или с учетом кривой, чтобы найти плотность.

Пусть W обозначает вес на единицу длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

$$\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,$$

где границы интеграции являются c и r . Балансирующие силы, как и в униформе, производит

$$T\cos \varphi =T_{0}$$ и $$T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,$$ и поэтому $${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.$$

Затем дифференциация дает

$$w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.$$

В терминах φ и радиуса кривизны ρ это становится

$$w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.$$

Кривая подвесного моста

Мост Золотых Ворот . Большинство кабелей моста подвески следуют за параболической, а не контактной кривой, потому что проезжая часть намного тяжелее кабеля.

Аналогичный анализ может быть проведен, чтобы найти кривую, за которой следует кабель, поддерживающий подвесный мост с горизонтальной дорогой. Если вес дороги на единицу длины равен w , а вес кабеля и проволока, поддерживающая мост, незначителен по сравнению, то вес на кабеле (см. Рисунок в и арков Catenary# ) модели цепочек r wx , где x - горизонтальное расстояние между C и r . Работа, как и прежде, дает дифференциальное уравнение

$${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.$$

Это решается простой интеграцией, чтобы получить

$$y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta$$

И поэтому кабель следует за параболой. Если вес кабеля и вспомогательных проводов не является незначительным, то анализ является более сложным.

Контактный

В целевой контейнере равной прочности кабель укрепляется в зависимости от величины натяжения в каждой точке, поэтому его сопротивление разрыву постоянно вдоль его длины. Предполагая, что прочность кабеля пропорциональна его плотности на длину единицы, вес, w , на единицу длины цепи может быть написана ⁠ T / C ⁠ , где C является постоянным, и можно применять анализ неравномерных цепей.

В этом случае уравнения для напряжения

$${\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}$$

Объединение дает

$$c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds$$

и дифференциацией

$$c=\rho \cos \varphi$$

где ρ - радиус кривизны.

Решение об этом

$$y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.$$

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает пролет до π c . Другие отношения есть

$$x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.$$

Кривая была изучена в 1826 году Дэвисом Гилбертом и, по-видимому, независимо, Гаспардом-Густаве Кориолисом в 1836 году.

Недавно было показано, что этот тип контакта может выступать в качестве строительного блока электромагнитной метасурсии и был известен как «контактная градиент равной фазы».

Эластичная контейнера

В эластичной контейнере цепь заменяется пружиной , которая может растягиваться в ответ на натяжение. Предполагается, что весна будет расти в соответствии с законом Гука . В частности, если P - естественная длина секции пружины, то длина пружины с натяжным t имеет длину

$$s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,$$

где E постоянно, равное KP , где k - жесткость пружины. В целевой контейнере значение t является переменным, но соотношение остается действительным на локальном уровне, поэтому $${\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.$$ Кривая, сопровождаемая эластичной пружиной, теперь может быть получена в соответствии с аналогичным методом, как и для неэластичной пружины.

Уравнения для напряжения пружины

$$T\cos \varphi =T_{0}\,,$$ и $$T\sin \varphi =w_{0}p\,,$$

из которого

$${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,$$

где P - естественная длина сегмента от C до R и W ₀ - вес на единицу длины пружины без натяжения. Писать $$a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}$$ так $${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.$$

Затем $${\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}$$ из которого $${\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}$$

Интеграция дает параметрические уравнения

$${\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}$$

Опять же, оси x и y могут быть сдвинуты, чтобы α и β могли быть приняты как 0. Итак,

$${\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}$$

являются параметрическими уравнениями для кривой. На жестком пределе , где E большой, форма кривой сводится к форме неластичной цепи.

Другие обобщения

Цепь под общей силой

Без предположений о том, что сила G, действующая на цепь, может быть сделан следующий анализ.

Во -первых, пусть t = t ( s ) является силой натяжения как функции s . Цепь гибкая, поэтому она может только оказывать силу, параллельную себе. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь оказывает на себя, T должен быть параллельно цепи. Другими словами,

$$\mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,$$

где t - величина t и u - это единый тангентный вектор.

Во -вторых, пусть g = g ( s ) является внешней силой на единицу длины, действующей на небольшой сегмент цепи в зависимости от s . Силы, действующие на сегмент цепи между S и S + Δ S, являются силой натяжения T ( S + Δ S ) на одном конце сегмента, почти противоположной силы - T ( S ) на другом конце, и Внешняя сила, действующая на сегмент, который составляет приблизительно g Δ s . Эти силы должны сбалансировать так

$$\mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.$$

Разделите на Δ s и возьмите предел как Δ S → 0 , чтобы получить

$${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.$$

Эти уравнения могут быть использованы в качестве отправной точки в анализе гибкой цепи, действующей при любой внешней силе. В случае стандартной контактной сети g = (0, - w ) , где цепь имеет вес w на единицу длины.

Смотрите также

• Контурная арка
• Цепный фонтан или самоповреждение бусин
• Полная контейнера - линии электропередачи, подвешенные на железнодорожных или трамвайных транспортных средствах
• Рулетка (кривая) - эллиптическая/гиперболическая контактная тонарность
• Troposkein - форма вращающейся веревки
• Взвешенная контактная

Библиография

• Локвуд, Эх (1961). «Глава 13: Tractrix и Caintary» . Книга кривых . Кембридж.
• Лосось, Джордж (1879). Более высокие кривые плоскости . Ходжес, Фостер и Фиггис. С. 287 –289.
• Рут, Эдвард Джон (1891). «Глава X: на струнах» . Трактат по аналитической статике . Университетская пресса.
• Маурер, Эдвард Роуз (1914). «Искусство. 26 Кабельный кабель» . Техническая механика . J. Wiley & Sons.
• Лэмб, сэр Гораций (1897). «Искусство . Элементарный курс бесконечно -максимального исчисления . Университетская пресса.
• Тодхунтер, Исаак (1858). "XI Гибкие строки. Inextensible, xii Гибкие строки. Расширимые" . Трактат по аналитической статике . Макмиллан.
• Уэвелл, Уильям (1833). «Глава V: равновесие гибкого тела» . Аналитическая статика . J. & JJ Deighton. п. 65
• Вейсштейн, Эрик У. "Контактный" . MathWorld .

Дальнейшее чтение

• Swetz, Frank (1995). Учиться у мастеров . Маа С. 128–9. ISBN  978-0-88385-703-8 .
• Вентуроли, Джузеппе (1822). «Глава XXIII: на контактной сети» . Элементы теории механики . Транс. Даниэль Крессвелл. J. Nicholson & Son.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Контактный» , Архив математической истории мактутора , Университет Сент -Эндрюса
• Контактная работа в Planetmath .
• Калькулятор кривой калькуляции
• Контейнера в центре геометрии
• «Контактная» на визуальном словаре специальных самолетов кривых
• Контактные цепи, арки и мыльные пленки.
• Калькулятор ошибок провисания кабеля - вычисляет отклонение от прямой линии кривой контейнеров и обеспечивает вывод калькулятора и ссылки.
• Полученные динамические, а также статические уравнения кривой Цетена - уравнения, регулирующие форму (статический случай), а также динамика (динамический случай) столетия. Решение обсуждаемых уравнений.
• Прямая линия, конная, брахистохрон, круг и единый подход к Фермату к некоторым геодезике.
• Ира Фриман "Общая форма контактного бюллетеня моста подвески" AMS