Гармоническое среднее

В математике гармоническое среднее — это один из нескольких видов средних и, в частности, одно из пифагорейских средних . Иногда это подходит для ситуаций, когда средняя скорость . желательна

Среднее гармоническое может быть выражено как обратное обратных среднее арифметическое величин данного набора наблюдений. В качестве простого примера: среднее гармоническое значение 1, 4 и 4 равно

$\left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.$

Определение

Гармоническое среднее H положительных действительных чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ определяется как

$H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.$

Это величина, обратная среднему арифметическому обратных величин, и наоборот:

${\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}$

где среднее арифметическое определяется как ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Гармоническое среднее представляет собой вогнутую по Шуру функцию, в которой доминирует минимум ее аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов $\min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})$. Таким образом, среднее гармоническое нельзя сделать сколь угодно большим , изменив некоторые значения на более крупные (при этом хотя бы одно значение останется неизменным).

Среднее гармоническое также вогнуто , что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура.Однако следует позаботиться о том, чтобы использовать только положительные числа, поскольку среднее значение не может быть вогнутым, если используются отрицательные значения.

Связь с другими средствами

Геометрическое доказательство без слов , что max ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > гармоническое ( HM ) > min ( a , b ) среднее два различных положительных числа a и b

Гармоническое среднее — одно из трёх пифагорейских средств . Для всех положительных наборов данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений , гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних: в то время как среднее арифметическое всегда является наибольшим из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних значения всегда равны друг другу; например, все гармонические, геометрические и арифметические средние значения {2, 2, 2} равны 2.)

Это частный случай M ₋₁ среднего степенного значения : $$H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}$$

Поскольку среднее гармоническое списка чисел сильно стремится к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние больших выбросов и усугублять влияние маленьких.

Среднее арифметическое часто ошибочно используется там, где требуется среднее гармоническое. примере скорости Например, в приведенном ниже среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.

Среднее гармоническое связано с другими средними Пифагора, как видно из уравнения ниже. В этом можно убедиться, если интерпретировать знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел n раз, но каждый раз опуская j -й член. То есть для первого члена мы перемножаем все n чисел, кроме первого; для второго перемножаем все n чисел, кроме второго; и так далее. Числитель, за исключением n , который соответствует среднему арифметическому, представляет собой среднее геометрическое в степени n . Таким образом, n -е гармоническое среднее связано с n -м геометрическим и арифметическим средним. Общая формула $$H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.$$

Если набор неидентичных чисел подвергается разбросу с сохранением среднего значения - то есть два или более элементов набора «раздвигаются» друг от друга, оставляя среднее арифметическое неизменным, - тогда среднее гармоническое всегда уменьшается.

Гармоническое среднее двух или трех чисел

Два числа

Геометрическая конструкция трех пифагорейских средних двух чисел a и b . Среднее гармоническое обозначается буквой H фиолетовым цветом, среднее арифметическое — A красным, а среднее геометрическое — G синим. Q обозначает четвертое среднее, среднее квадратичное . Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета прямоугольного треугольника , на схеме видно, что $H\leq G\leq A\leq Q$.

Для частного случая всего двух чисел: $x_{1}$ и $x_{2}$, среднее гармоническое можно записать

$H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad$ или $\qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.$

В этом особом случае среднее гармоническое связано со средним арифметическим $A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ и среднее геометрическое $G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},$ к

$H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).$

С ${\tfrac {G}{A}}\leq 1$ по неравенству средних арифметических и геометрических это показывает для случая n = 2, что H ⩽ G (свойство, которое фактически справедливо для всех n ). Из этого также следует, что $G={\sqrt {AH}}$, что означает, что среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их арифметических и гармонических средних.

Три цифры

В частном случае трех чисел: $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, среднее гармоническое можно записать

$H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.$

Три положительных числа H , G и A являются соответственно гармоническими, геометрическими и средними арифметическими трех положительных чисел тогда и только тогда, когда имеет место следующее неравенство

${\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.$

Взвешенное гармоническое среднее

Если набор гирь $w_{1}$, ..., $w_{n}$ связан с набором данных $x_{1}$, ..., $x_{n}$ определяется среднее взвешенное гармоническое выражением

$H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.$

Невзвешенное гармоническое среднее можно рассматривать как особый случай, когда все веса равны.

Примеры

По физике

Средняя скорость

Во многих ситуациях, связанных со ставками и соотношениями , среднее гармоническое обеспечивает правильное среднее значение . Например, если транспортное средство проезжает определенное расстояние d со скоростью x (например, 60 км/ч) и возвращается на то же расстояние со скоростью y (например, 20 км/ч), то его средняя скорость является средним гармоническим значением x. и y (30 км/ч), а не среднее арифметическое (40 км/ч). Общее время в пути такое же, как если бы он проехал все расстояние с этой средней скоростью. Это можно доказать следующим образом:

Средняя скорость на всем пути= ⁠ Общее пройденное расстояние / Сумма времени для каждого сегмента ⁠ = ⁠ 2 d / ⁠ d / x ⁠ + ⁠ d / y ⁠ ⁠ = ⁠ 2 / ⁠ 1 / x ⁠ + ⁠ 1 / y ⁠ ⁠

Однако если транспортное средство какое-то время движется со скоростью x , а затем такое же количество времени со скоростью y , то его средняя скорость представляет собой арифметическое среднее x и y , которое в приведенном выше примере составляет 40 км/ч. час

Средняя скорость на всем пути= ⁠ Общее пройденное расстояние / Сумма времени для каждого сегмента ⁠ = ⁠ xt+yt / 2t ⁠ = ⁠ х+у / 2 ⁠

Тот же принцип применяется к более чем двум сегментам: учитывая серию дополнительных поездок с разными скоростями, если каждая часть поездки проходит одно и то же расстояние , то средняя скорость является гармоническим средним значением всех скоростей части поездки; и если каждая часть поездки занимает одинаковое количество времени , то средняя скорость является средним арифметическим всех скоростей части поездки. (Если это не так, то необходимо взвешенное гармоническое среднее или взвешенное среднее арифметическое . Для среднего арифметического скорость каждого участка поездки взвешивается по продолжительности этого участка, а для среднего гармонического — соответствующий вес — расстояние. В обоих случаях полученная формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования среднего гармонического значения в случае «взвешивания по расстоянию». Поставьте задачу так: найдите «медленность» поездки, где «медленность» (в часах на километр) обратна скорости. Когда будет найдена медлительность поездки, инвертируйте ее, чтобы найти «истинную» среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i медленность s _i = 1/скорость _i . Затем возьмите взвешенное среднее арифметическое значений s _i , взвешенных по их соответствующим расстояниям (необязательно, с нормализованными весами, чтобы их сумма была равна 1 путем деления их на длину поездки). Это дает истинную среднюю медлительность (по времени на километр). Оказывается, что эта процедура, которую можно выполнить без знания среднего гармонического, сводится к тем же математическим операциям, которые можно было бы использовать при решении этой проблемы с использованием среднего гармонического. Таким образом, это иллюстрирует, почему среднее гармоническое работает в этом случае.

Плотность

Аналогичным образом, если кто-то хочет оценить плотность сплава, зная плотности его составляющих элементов и их массовые доли (или, что то же самое, проценты по массе), то прогнозируемая плотность сплава (исключая обычно незначительные изменения объема из-за атомов эффекты упаковки) — это средневзвешенное гармоническое значение индивидуальных плотностей, взвешенное по массе, а не среднее арифметическое, как можно было бы поначалу ожидать. Чтобы использовать взвешенное среднее арифметическое, плотности должны быть взвешены по объему. Применение анализа размерностей к проблеме с маркировкой единиц массы по элементам и обеспечением того, чтобы только одинаковые массы элементов сокращались, проясняет это.

Электричество

См. также: Параллельно (оператор)

Если соединить два электрических резистора параллельно , один из которых имеет сопротивление x (например, 60 Ом ), а другой - сопротивление y (например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы вы использовали два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равно среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом (половина среднего гармонического значения). Тот же принцип применим к конденсаторам , включенным последовательно, или к катушкам индуктивности, включенным параллельно.

Однако если резисторы соединить последовательно, то среднее сопротивление будет средним арифметическим x и y (50 Ом), при этом общее сопротивление будет равно удвоенной сумме x и y (100 Ом). Этот принцип применим к конденсаторам , включенным параллельно, или к катушкам индуктивности, включенным последовательно.

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется при подключении более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности при условии, что все они включены параллельно или все последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений.

Оптика

Что касается других оптических уравнений , то уравнение тонкой линзы ⁠ 1 / f ⁠ = ⁠ 1 / u ⁠ + ⁠ 1 / v ⁠ можно переписать так, чтобы фокусное расстояние f составляло половину среднего гармонического расстояния субъекта u и объекта v от линзы.

Две тонкие линзы с фокусным расстоянием f ₁ и f _2, соединенные последовательно, эквивалентны двум тонким линзам с фокусным расстоянием f _hm , их средним гармоническим расстоянием, соединенным последовательно. Выражаясь в оптической силе , две тонкие линзы с оптической силой P ₁ и P _2, последовательно соединенные, эквивалентны двум тонким линзам с оптической силой P _am , их средним арифметическим значением, включенным последовательно.

В финансах

Средневзвешенное гармоническое значение является предпочтительным методом усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цены и прибыли (P/E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического значения, точкам с высокими показателями присваиваются большие веса, чем точкам с низкими значениями. С другой стороны, взвешенное гармоническое среднее правильно взвешивает каждую точку данных. Простое средневзвешенное арифметическое при применении к неценовым нормализованным коэффициентам, таким как P/E, смещено вверх и не может быть численно обосновано, поскольку оно основано на уравненных прибылях; точно так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше).

Например, рассмотрим две фирмы: одну с рыночной капитализацией 150 миллиардов долларов и прибылью 5 миллиардов долларов (P/E 30), а другую с рыночной капитализацией 1 миллиард долларов и прибылью 1 миллион долларов (P/E 1000). Рассмотрим индекс , составленный из двух акций, в котором 30% инвестировано в первую и 70% — во вторую. Мы хотим рассчитать соотношение P/E этого индекса.

Использование взвешенного среднего арифметического (неверно):

$P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709$

Использование взвешенного гармонического среднего (правильно):

$P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46$

Таким образом, правильный P/E 93,46 этого индекса можно найти только с помощью взвешенного гармонического среднего, тогда как взвешенное среднее арифметическое будет его значительно переоценивать.

В геометрии

В любом треугольнике радиус вписанной окружности составляет одну треть среднего гармонического значения высот .

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC с расстояниями q и t от B и C соответственно, а пересечение PA и BC находится на расстоянии y от точки P, мы имеем, что y является половиной среднего гармонического q и t .

В прямоугольном треугольнике с катетами и b и высотой h от гипотенузы до угла h² составляет половину среднего гармонического значения a² и . b² a прямого

Пусть t и s ( t > s ) — стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда s² значения среднего гармонического c² равно и t² половине .

Пусть трапеция имеет последовательно расположенные вершины A, B, C и D и параллельные стороны AB и CD. Пусть E — пересечение диагоналей , F — на стороне DA, а G — на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG — среднее гармоническое AB и DC. (Это доказывается с помощью подобных треугольников.)

Перекрещенные лестницы. h — половина среднего гармонического значения A и B.

Одним из применений этого результата о трапеции является задача о скрещенных лестницах , где две лестницы лежат напротив через переулок, каждая с ступнями у основания одной боковой стены, при этом одна прислонена к стене на высоте A , а другая прислонена к противоположной стене на высоте A. высота B , как показано. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда h половина среднего гармонического A и B. — Этот результат по-прежнему справедлив, если стены наклонены, но по-прежнему параллельны, а «высоты» A , B и h измеряются как расстояния от пола вдоль линий, параллельных стенам. Это легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площадей.

В эллипсе полуширокая прямая кишка (расстояние от фокуса до эллипса по линии, параллельной малой оси) представляет собой среднее гармоническое максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса.

В других науках

В информатике , особенно в поиске информации и машинном обучении , среднее гармоническое значение точности (истинные положительные результаты на предсказанные положительные результаты) и отзыва (истинные положительные результаты на реальные положительные результаты) часто используется в качестве совокупного показателя производительности для оценки алгоритмов и систем: F -показатель (или F-мера). Это используется при поиске информации, поскольку имеет значение только положительный класс , в то время как количество отрицательных значений, как правило, велико и неизвестно. Таким образом, это компромисс относительно того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к количеству предсказанных положительных результатов или количеству реальных положительных результатов, поэтому они измеряются в сравнении с предполагаемым количеством положительных результатов, которое является средним арифметическим из двух возможные знаменатели.

Последствия возникают из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают вместе. Например, если газовый насос может осушить бассейн за 4 часа, а насос с батарейным питанием может осушить тот же бассейн за 6 часов, то для этого потребуются оба насоса. ⁠ 6·4 / 6 + 4 ⁠ , что равно 2,4 часам, чтобы осушить бассейн вместе. Это половина среднего гармонического значения 6 и 4: ⁠ 2·6·4 / 6 + 4 ⁠ = 4,8 . То есть подходящим средним значением для двух типов насосов является среднее гармоническое, и для одной пары насосов (двух насосов) это занимает половину этого среднего гармонического времени, тогда как для двух пар насосов (четырех насосов) это займет четверть этого гармонического среднего времени.

В гидрологии среднее гармоническое аналогично используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, который перпендикулярен слоям (например, геологическим или почвенным) - поток, параллельный слоям, использует среднее арифметическое. Эта кажущаяся разница в усреднении объясняется тем, что в гидрологии используется проводимость, обратная удельному сопротивлению.

В саберметрике бейсболиста показатель «сила-скорость» представляет собой гармоническое среднее его общего количества хоум-ранов и украденных базовых результатов.

В популяционной генетике среднее гармоническое используется при расчете влияния колебаний численности переписной популяции на эффективную численность популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как узкое место в популяции , увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это результат того, что после возникновения узкого места очень немногие особи вносят вклад в генофонд, ограничивающий генетическую изменчивость, присутствующую в популяции на многие будущие поколения.

При рассмотрении экономии топлива в автомобилях обычно используются два показателя: мили на галлон (миль на галлон) и литры на 100 км. Поскольку размеры этих величин являются обратными друг другу (одна — это расстояние на объем, другая — объем на расстояние), при определении среднего значения экономии топлива для ряда автомобилей одна мера будет давать гармоническое среднее значение другой — т.е. преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон, даст гармоническое среднее значение экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива парка транспортных средств на основе индивидуального расхода топлива следует использовать среднее гармоническое, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если парк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные стандарты расхода автомобильного топлива) используют среднее гармоническое значение.

В химии и ядерной физике средняя масса частицы смеси, состоящей из разных видов (например, молекул или изотопов), определяется как среднее гармоническое значение масс отдельных видов, взвешенных по их соответствующей массовой доле.

Бета-дистрибутив

Среднее гармоническое для бета-распределения для 0 < α < 5 и 0 < β < 5

(Среднее – HarmonicMean) для бета-распределения в зависимости от альфа и бета от 0 до 2

Гармонические средние значения для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), меньшие значения альфа и бета впереди

Гармонические средние значения для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), большие значения альфа и бета впереди

Среднее гармоническое бета-распределения с параметрами формы α и β :

$H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0$

Гармоническое среднее с α < 1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Полагая α = β

$H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}$

показывая, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0 для α = β = 1 до 1/2 для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (ненулевой), а другой параметр приближается к этим пределам:

${\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}$

При использовании среднего геометрического среднее гармоническое может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае с четырьмя параметрами.

второе гармоническое среднее ( H _{1 − X} Для этого распределения также существует ).

$H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0$

Это гармоническое среднее с β <1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Полагая α = β в приведенном выше выражении

$H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}$

показывая, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0, для α = β = 1, до 1/2, для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (отличен от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}$

Хотя оба гармонических средних асимметричны, при α = β они равны.

Логнормальное распределение

Среднее гармоническое ( H ) логнормального распределения случайной величины X равно

$H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),$

где µ и σ ² являются параметрами распределения, т.е. средним и дисперсией распределения натурального логарифма X .

Гармонические и средние арифметические распределения связаны соотношением

${\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,$

где C _v и µ ^* - коэффициент вариации и среднее значение распределения соответственно.

Геометрические ( G ), арифметические и гармонические средние распределения связаны соотношением

$H\mu ^{*}=G^{2}.$

Распределение Парето

Среднее гармоническое распределения Парето типа 1 равно

$H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)$

где k — параметр масштаба, а α — параметр формы.

Статистика

Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. И среднее значение , и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).

Выборочные распределения среднего и дисперсии

Среднее значение выборки m асимптотически распределено нормально с дисперсией s ² .

$s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}$

Дисперсия самого среднего равна

$\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}$

где m — среднее арифметическое обратных величин, x — переменные, n — размер популяции, а E — оператор ожидания.

Дельта-метод

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что центральная предельная теорема применима к выборке, тогда с использованием дельта-метода дисперсия равна

$\operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}$

где H — среднее гармоническое, m — среднее арифметическое обратных величин.

$m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.$

с ² - это дисперсия обратных величин данных

$s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)$

и n — количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа

Метод складного ножа для оценки дисперсии возможен, если известно среднее значение. Этот метод представляет собой обычный метод «удалить 1», а не версию «удалить m».

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки ( m )

$m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}$

где x — выборочные значения.

ряд значений w _i Затем вычисляется , где

$w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.$

среднее значение ( h ) w i _: Затем берется

$h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}$

Дисперсия среднего значения равна

${\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.$

Проверка значимости и доверительные интервалы для среднего значения затем могут быть оценены с помощью t-критерия .

Выборка, смещенная по размеру

Предположим, что случайная величина имеет распределение f ( x ). Предположим также, что вероятность выбора переменной пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или смещения размера.

Пусть μ будет средним значением генеральной совокупности. Тогда функция плотности вероятности f *( x ) популяции, смещенной по размеру, равна

$f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}$

Ожидание этого смещенного по длине распределения E ^* ( х )

$\operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]$

где σ ² это дисперсия.

Ожидание среднего гармонического значения такое же, как и в версии без смещения по длине E( x )

$E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}$

Проблема выборки со смещением по длине возникает в ряде областей, включая текстильное производство. родословный анализ и анализ выживания

Акман и др. разработали тест для обнаружения систематической ошибки в выборках, основанной на длине.

Сдвинутые переменные

Если X — положительная случайная величина и q > 0, то для всех ε > 0

$\operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).$

Моменты

Предполагая, что X и E( X ) > 0, тогда

$\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}$

Это следует из неравенства Йенсена .

Гурланд показал, что для распределения, принимающего только положительные значения, для любого n > 0

$\operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.$

При некоторых условиях

$\operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)$

где ~ означает примерно равное.

Выборка свойств

Предполагая, что переменные ( x ) взяты из логарифмически нормального распределения, существует несколько возможных оценок для H :

${\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}$

где

$m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)$

$s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}$

Из них H _3, вероятно, является лучшим оценщиком для выборок из 25 и более.

Оценщики смещения и дисперсии

Приближение первого порядка для смещения и дисперсии H ₁ :

${\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}$

где C _v — коэффициент вариации.

Аналогично, аппроксимация первого порядка для смещения и дисперсии H ₃ равна

${\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}$

В численных экспериментах H ₃ обычно является лучшим средством оценки среднего гармонического значения, чем H ₁ . H ₂ дает оценки, которые во многом аналогичны H ₁ .

Примечания

Агентство по охране окружающей среды рекомендует использовать среднее гармоническое значение при определении максимального уровня токсинов в воде.

В геофизических исследованиях коллекторов широко используется среднее гармоническое.

См. также

• Контрагармоническое среднее
• Обобщенное среднее
• Номер гармоники
• Оценить (математика)
• Взвешенное среднее
• Параллельное суммирование
• Среднее геометрическое
• Средневзвешенное геометрическое
• HM-GM-AM-QM неравенства
• Среднее гармоническое значение p

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Среднее гармоническое» . Математический мир .
• Средние, арифметические и гармонические средние в кратчайшие сроки