Интеграл объема

В математике (особенно в исчислении с несколькими переменными ) объемный интеграл (∭) — это интеграл по трехмерной области; то есть это частный случай кратных интегралов . Объемные интегралы особенно важны в физике для многих приложений, например, для расчета плотности потока или расчета массы на основе соответствующей функции плотности.

В координатах

Это также может означать тройной интеграл внутри региона. $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ функции ​ $f(x,y,z),$ и обычно записывается так: $$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

Интеграл по объёму в цилиндрических координатах равен $$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$$и интеграл объема в сферических координатах (с использованием соглашения ISO для углов с $\varphi$ как азимут и $\theta$ измеренный от полярной оси (см. подробнее об условных обозначениях )) имеет вид $$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$$

Пример

Интегрирование уравнения $f(x,y,z)=1$ по единичному кубу дает следующий результат: $$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$$

Таким образом, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности единичного куба, то интеграл по объему даст общую массу куба. Например, для функции плотности: $${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$$ Полная масса куба равна: $$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$$

См. также

• Теорема о дивергенции
• Поверхностный интеграл
• Элемент объема

Внешние ссылки

• «Кратный интеграл» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Объемный интеграл» . Математический мир .