Плоский коллектор

В математике риманово многообразие называется плоским , если его тензор кривизны Римана всюду равен нулю. Интуитивно понятно, что плоское многообразие — это то, что «локально похоже» на евклидово пространство с точки зрения расстояний и углов, например, сумма внутренних углов треугольника составляет 180 °.

Универсальным накрытием полного плоского многообразия является евклидово пространство. Это можно использовать для доказательства теоремы Бибербах ( 1911 , 1912 ), что все компактные плоские многообразия конечно покрыты торами; трехмерный случай был ранее доказан Шенфлисом (1891) .

Примеры

Следующие многообразия могут быть наделены плоской метрикой. Обратите внимание, что это может быть не их «стандартная» метрика (например, плоская метрика на двумерном торе не является метрикой, индуцированной ее обычным вложением в $\mathbb {R} ^{3}$ ).

Размер 1

Каждое одномерное риманово многообразие плоское. Обратно, учитывая, что каждое связное одномерное гладкое многообразие диффеоморфно либо $\mathbb {R}$ или $S^{1},$ Нетрудно видеть, что каждое связное одномерное риманово многообразие изометрично одному из следующих (каждое со своей стандартной римановой структурой):

настоящая линия
открытый интервал $(0,x)$ на какое-то число $x>0$
открытый интервал $(0,\infty )$
круг $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ радиуса $r,$ на какое-то число $r>0.$

Полными являются только первый и последний. Если включить римановы многообразия с краем, то необходимо также включить полуоткрытые и замкнутые интервалы.

Простота полного описания в этом случае может быть приписана тому факту, что каждое одномерное риманово многообразие имеет гладкое векторное поле единичной длины и что изометрия из одного из приведенных выше модельных примеров обеспечивается путем рассмотрения интегральной кривой.

Размер 2

Пять возможностей с точностью до диффеоморфизма

Если $(M,g)$ — гладкое двумерное связное полное плоское риманово многообразие, то $M$ должен быть диффеоморфен $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ $S^{1}\times S^{1},$ Лента Мёбиуса или бутылка Клейна . Обратите внимание, что единственные компактные возможности — это $S^{1}\times S^{1}$ и бутылка Клейна, в то время как единственные ориентируемые возможности $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ и $S^{1}\times S^{1}.$

Требуется больше усилий, чтобы описать отдельные полные плоские римановы метрики в этих пространствах. Например, два фактора $S^{1}\times S^{1}$ радиусами могут быть любые два действительных числа. Эти метрики отличаются друг от друга соотношением двух их радиусов, поэтому в этом пространстве имеется бесконечно много различных метрик плоского произведения, которые не являются изометрическими с точностью до масштабного коэффициента. Чтобы единообразно говорить о пяти возможностях и, в частности, конкретно работать с лентой Мёбиуса и бутылкой Клейна как абстрактными многообразиями, полезно использовать язык групповых действий.

Пять возможностей, вплоть до изометрии

Данный $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},$ позволять $T_{(x_{0},y_{0})}$ обозначаем перевод $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ данный $(x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).$ Позволять $R$ обозначаем отражение $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ данный $(x,y)\mapsto (x,-y).$ Даны два положительных числа $a,b,$ рассмотрим следующие подгруппы $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ группа изометрий $\mathbb {R} ^{2}$ со своей стандартной метрикой.

$G_{e}=\{T_{(0,0)}\}$
$G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}$
$G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ предоставил $a<b.$
$G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}$
$G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}$

Все эти группы действуют свободно и правильно, прерывисто в $\mathbb {R} ^{2},$ и поэтому различные смежные пространства $\mathbb {R} ^{2}/G$ все они естественным образом имеют структуру двумерных полных плоских римановых многообразий. Ни одно из них не изометрично друг другу, и любое гладкое двумерное полное плоское связное риманово многообразие изометрично одному из них.

Орбифолды

перечислены 17 компактных двумерных орбифолдов с плоской метрикой (включая тор и бутылку Клейна), В статье об орбифолдах которые соответствуют 17 группам обоев .

Примечания

Обратите внимание, что стандартное «изображение» тора в виде бублика не представляет его с плоской метрикой, поскольку точки, наиболее удаленные от центра, имеют положительную кривизну, а точки, ближайшие к центру, имеют отрицательную кривизну. Согласно формулировке Койпера теоремы вложения Нэша , существует $C^{1}$ встраивание $S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ что порождает любую из метрик плоского произведения, существующих на $S^{1}\times S^{1},$ но их нелегко визуализировать. С $S^{1}$ представляется как вложенное подмногообразие $\mathbb {R} ^{2},$ любая из (плоских) структур продукта на $S^{1}\times S^{1}$ естественным образом представляются как подмногообразия $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.$ Аналогичным образом, стандартные трехмерные визуализации бутылки Клейна не представляют собой плоскую метрику. Стандартное построение ленты Мёбиуса путем склеивания концов полоски бумаги действительно дает ей плоскую метрику, но она не является полной.

Размер 3

Существует 6 ориентируемых и 4 неориентируемых компактных плоских 3-многообразия, которые все являются расслоениями Зейферта ; ^[1] являются факторгруппами они $\mathbb {R} ^{3}$ 10 без кручения кристаллографическими группами . ^[2] Также существуют 4 ориентируемых и 4 неориентируемых некомпактных пространства. ^[3]

Регулируемый

Десять ориентируемых плоских трехмерных многообразий: ^[3]

Евклидово 3-мерное пространство , $\mathbb {R} ^{3}$ .
3 -тор $T^{3}$ , полученный путем склеивания противоположных граней куба .
Многообразие, изготовленное путем склейки противоположных граней куба с скруткой 1/2 по одной паре.
Многообразие, изготовленное путем склеивания противоположных граней куба с закруткой на 1/4 по одной паре.
Многообразие, изготовленное путем склеивания противоположных граней шестиугольной призмы с поворотом шестиугольных граней на 1/3.
Многообразие, изготовленное путем склеивания противоположных граней шестиугольной призмы с поворотом шестиугольных граней на 1/6.
Многообразие Ханче –Вендта .
Многообразие $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ представляет собой пространство между двумя параллельными плоскостями, склеенными вместе.
Многообразие $T^{2}\times \mathbb {R}$ изготовлен путем склеивания противоположных стенок бесконечного квадратного дымохода .
Коллектор, изготовленный путем склейки противоположных стенок бесконечного квадратного дымохода с витком 1/2 на одну пару.

Неориентируемый

Восемь неориентируемых трехмерных многообразий: ^[4]

Декартово произведение круга и бутылки Клейна. $S^{1}\times K$ .
Коллектор, аналогичный вышеупомянутому, но смещенный поступательно в одном направлении, параллельном плоскости скольжения ; движение в этом направлении возвращается на противоположную сторону многообразия.
Многообразие, созданное путем отражения точки через две перпендикулярные плоскости скольжения и перемещения в третьем направлении.
Коллектор, аналогичный вышеупомянутому, но поступательно смещенный в одном направлении, параллельном одной плоскости скольжения; движение в этом направлении возвращается на противоположную сторону многообразия.
Декартово произведение окружности и (неограниченной) ленты Мёбиуса.
Многообразие $K\times \mathbb {R}$ производится путем перемещения точки вдоль одной оси и отражения ее через перпендикулярную плоскость скольжения.
Многообразие создается путем перемещения точки вдоль одной оси и отражения ее через параллельную плоскость скольжения.
Многообразие, полученное путем отражения точки через две перпендикулярные плоскости скольжения.

Высшие измерения

Евклидово пространство
Тори
Изделия из плоских коллекторов
Факторы плоских многообразий по группам, действующим свободно.

Отношение к податливости

Среди всех замкнутых многообразий неположительной секционной кривизны плоские многообразия характеризуются именно как те, которые имеют аменабельную фундаментальную группу .

Это следствие теоремы Адамса- Балмана (1998 г.): ^[5] что устанавливает эту характеристику в гораздо более общей ситуации дискретных кокомпактных групп изометрий пространств Адамара . Это обеспечивает далеко идущее обобщение теоремы Бибербаха .

Предположение о дискретности существенно в теореме Адамса-Балмана: в противном случае классификация должна включать симметричные пространства , здания Брюа-Титса и деревья Басса-Серра ввиду «недискретной» теоремы Бибербаха Капраса - Моно . ^[6]

См. также

Ссылки

Примечания

^ Питер Скотт , Геометрия трехмерных многообразий. ( опечатка ), Бюлл. Лондонская математика. Соц. 15 (1983), вып. 5, 401–487.
^ Миателло, Р.Дж.; Россетти, JP (29 октября 1999 г.). «Изоспектральные многообразия Ганча-Вендта» . Журнал чистой и прикладной математики . 1999 (515): 1–23. дои : 10.1515/crll.1999.077 . ISSN 1435-5345 .
^ Jump up to: ^а ^б Ранняя Вселенная и космический микроволновый фон: теория и наблюдения . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. 2003. стр. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8 .
^ Конвей, Дж. Х.; Россетти, JP (24 октября 2005 г.). «Описание платикосмов». arXiv : math/0311476 .
^ Адамс, С.; Баллманн, В. (1998). «Аменабельные группы изометрий пространств Адамара». Математика. Энн . 312 (1): 183–195. дои : 10.1007/s002080050218 . S2CID 15874907 .
^ Капрас, П.-Э.; Моно, Н. (2015). «Недискретная теорема Бибербаха: от аменабельных групп CAT (0) к зданиям Титса» . Ж. Политехническая школа . 2 : 333–383. arXiv : 1502.04583 . дои : 10.5802/jep.26 .

Библиография

Бибербах, Л. (1911), «О группах движений евклидовых пространств I», Mathematical Annals , 70 (3): 297–336, doi : 10.1007/BF01564500 , S2CID 124429194 .

Бибербах, Л. (1912), «О группах движения евклидовых пространств II: группы с конечной фундаментальной площадью» , Mathematical Annals , 72 (3): 400–412, doi : 10.1007/BF01456724 , S2CID 119472023 .

Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. Том. I (Перепечатка оригинального издания 1963 года), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 209–224, ISBN. 0-471-15733-3
Шенфлис, А. (1891), Кристаллические системы и кристаллическая структура , Тойбнер .

Винберг, Э.Б. (2001) [1994], «Кристаллографическая группа» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Плоский коллектор» . Математический мир .

[1] Питер Скотт , Геометрия трехмерных многообразий. ( опечатка ), Бюлл. Лондонская математика. Соц. 15 (1983), вып. 5, 401–487.

[2] Миателло, Р.Дж.; Россетти, JP (29 октября 1999 г.). «Изоспектральные многообразия Ганча-Вендта» . Журнал чистой и прикладной математики . 1999 (515): 1–23. дои : 10.1515/crll.1999.077 . ISSN 1435-5345 .

[flatori3-3] Jump up to: ^а ^б Ранняя Вселенная и космический микроволновый фон: теория и наблюдения . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. 2003. стр. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8 .

[conway-4] Конвей, Дж. Х.; Россетти, JP (24 октября 2005 г.). «Описание платикосмов». arXiv : math/0311476 .

[5] Адамс, С.; Баллманн, В. (1998). «Аменабельные группы изометрий пространств Адамара». Математика. Энн . 312 (1): 183–195. дои : 10.1007/s002080050218 . S2CID 15874907 .

[6] Капрас, П.-Э.; Моно, Н. (2015). «Недискретная теорема Бибербаха: от аменабельных групп CAT (0) к зданиям Титса» . Ж. Политехническая школа . 2 : 333–383. arXiv : 1502.04583 . дои : 10.5802/jep.26 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]