Диффеология

В математике диффеология , декларируя , множества обобщает концепцию гладких карт в дифференцируемом многообразии что такое «гладкие параметризации» в множестве.

Эта концепция была впервые представлена Жаном-Мари Сурио в 1980-х годах под названием Espace différentiel. ^[1]^[2] и позже разработанный его учениками Полем Донато ^[3] и Патрик Иглесиас . ^[4]^[5] Похожая идея была предложена Куо-Цай Ченом (陳國才, Chen Guocai ) в 1970-х годах, когда для областей сюжетов использовались выпуклые множества вместо открытых множеств. ^[6]

Интуитивное определение [ править ]

Напомним, что топологическое многообразие — это топологическое пространство , локально гомеоморфное $\mathbb {R} ^{n}$ . Дифференцируемые многообразия обобщают понятие гладкости на $\mathbb {R} ^{n}$ в следующем смысле: дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие с дифференцируемым атласом , т. е. совокупностью отображений открытых подмножеств множества $\mathbb {R} ^{n}$ к многообразию, которые используются для «оттягивания» дифференциальной структуры от $\mathbb {R} ^{n}$ к коллектору.

Диффеологическое пространство состоит из набора вместе с набором карт (называемых диффеологией ), удовлетворяющих подходящим аксиомам, которые обобщают понятие атласа на многообразии. Таким образом, отношения между гладкими многообразиями и диффеологическими пространствами аналогичны отношениям между топологическими многообразиями и топологическими пространствами.

Точнее, гладкое многообразие можно эквивалентно определить как диффеологическое пространство, локально диффеоморфное $\mathbb {R} ^{n}$ . Действительно, каждое гладкое многообразие имеет естественную диффеологию, состоящую из его максимального атласа (все гладкие отображения открытых подмножеств многообразия). $\mathbb {R} ^{n}$ к многообразию). Эта абстрактная точка зрения не делает ссылки на конкретный атлас (и, следовательно, на фиксированное измерение). $n$ ) ни к лежащему в основе топологическому пространству, и поэтому подходит для рассмотрения примеров объектов, более общих, чем многообразия.

Формальное определение [ править ]

Диффеология на множестве $X$ состоит из набора карт, называемых графиками или параметризациями, из открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ ( $n\geq 0$ ) к $X$ такие, что выполняются следующие аксиомы:

Аксиома покрытия : каждая константная карта является сюжетом.
Аксиома локальности : для данной карты $f:U\to X$ , если каждая точка в $U$ есть район $V\subset U$ такой, что $f_{\mid V}$ это сюжет, то $f$ сам по себе является сюжетом.
Аксиома гладкой совместимости : если $p$ это сюжет, и $f$ — гладкая функция из открытого подмножества некоторого $\mathbb {R} ^{m}$ в область $p$ , то составной $p\circ f$ это сюжет.

Обратите внимание, что домены разных графиков могут быть подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$ для разных значений $n$ ; в частности, любая диффеология содержит элементы лежащего в ее основе множества в виде графиков с $n=0$ . Множество вместе с диффеологией называется диффеологическим пространством .

Говоря более абстрактно, диффеологическое пространство — это конкретный пучок , расположенный на месте открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ , для всех $n\geq 0$ и откройте крышки. ^[7]

Морфизмы [ править ]

Отображение между диффеологическими пространствами называется гладким тогда и только тогда, когда его композиция с любым сюжетом первого пространства является сюжетом второго пространства. Он называется диффеоморфизмом , если он гладкий, биективный и обратный ему также гладкий. По построению, учитывая диффеологическое пространство $X$ , его графики определены на $U$ это именно все гладкие карты из $U$ к $X$ .

Диффеологические пространства образуют категорию , в которой морфизмы являются гладкими отображениями. Категория диффеологических пространств замкнута относительно многих категориальных операций: например, она декартово замкнута , полна и кополна и, в более общем смысле, является квазитопосом . ^[7]

D-топология [ править ]

Любое диффеологическое пространство автоматически является топологическим пространством с так называемой D-топологией : ^[8] окончательная такая топология, , что все графики непрерывны (относительно евклидовой топологии на $\mathbb {R} ^{n}$ ).

Другими словами, подмножество $U\subset X$ открыт тогда и только тогда, когда $f^{-1}(U)$ открыт для любого сюжета $f$ на $X$ . На самом деле D-топология полностью определяется гладкими кривыми , т.е. подмножеством $U\subset X$ открыт тогда и только тогда, когда $c^{-1}(U)$ открыт для любой гладкой карты $c:\mathbb {R} \to X$ . ^[9]

D-топология автоматически подключается локально по путям. ^[10] и дифференцируемое отображение диффеологических пространств автоматически непрерывно между их D-топологиями. ^[5]

Дополнительные структуры [ править ]

Исчисление Картана-Де Рама может быть развито в рамках диффеологии, а также подходящей адаптации понятий расслоений , гомотопии и т. д. ^[5] Однако не существует канонического определения касательных пространств и касательных расслоений для диффеологических пространств. ^[11]

Примеры [ править ]

Тривиальные примеры [ править ]

Любое множество можно наделить грубой (или тривиальной, или недискретной) диффеологией , т. е. максимально возможной диффеологией (любая карта является сюжетом). Соответствующая D-топология является тривиальной топологией .
Любой набор может быть наделен дискретной (или тонкой) диффеологией , т. е. наименьшей возможной диффеологией (единственными графиками являются локально постоянные отображения). Соответствующая D-топология является дискретной топологией .
Любое топологическое пространство может быть наделено непрерывной диффеологией , все графики которой представляют собой непрерывные карты.

Коллекторы [ править ]

Любое дифференцируемое многообразие является диффеологическим пространством, если рассматривать его максимальный атлас (т. е. все графики представляют собой гладкие отображения открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ к коллектору); его D-топология восстанавливает исходную топологию многообразия. С помощью этой диффеологии отображение между двумя гладкими многообразиями является гладким тогда и только тогда, когда оно дифференцируемо в диффеологическом смысле. Соответственно, гладкие многообразия с гладкими отображениями образуют полную подкатегорию категории диффеологических пространств.
Точно так же комплексные многообразия , аналитические многообразия и т. д. имеют естественные диффеологии, состоящие из отображений, сохраняющих дополнительную структуру.
Этот метод моделирования диффеологических пространств можно распространить на модели локальных переменных, которые не обязательно являются евклидовым пространством. $\mathbb {R} ^{n}$ . Например, диффеологические пространства включают орбифолды , которые моделируются на фактор-пространствах. $\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ , для $\Gamma$ — конечная линейная подгруппа, ^[12] или многообразия с краем и углами, смоделированные по ортантам и т. д. ^[13]
Любое банахово многообразие является диффеологическим пространством. ^[14]
Любое многообразие Фреше является диффеологическим пространством. ^[15]^[16]

из других диффеологических пространств Конструкции

Если набор $X$ даны две разные диффеологии, их пересечение есть диффеология на $X$ , называемая диффеологией пересечения , которая тоньше обеих начальных диффеологий. D-топология диффеологии пересечений есть пересечение D-топологий исходных диффеологий.
Если $Y$ является подмножеством диффеологического пространства $X$ , то диффеология подпространства на $Y$ – это диффеология, состоящая из сюжетов $X$ чьи изображения являются подмножествами $Y$ . D-топология $Y$ тоньше, чем топология подпространства D-топологии $X$ .
Если $X$ и $Y$ являются диффеологическими пространствами, то диффеология произведения на декартовом произведении $X\times Y$ - это диффеология, порожденная всеми продуктами участков $X$ и из $Y$ . D-топология $X\times Y$ является топологией произведения D-топологий $X$ и $Y$ .
Если $X$ представляет собой диффеологическое пространство и $\sim$ является отношением эквивалентности на $X$ , то фактордиффеология на фактормножестве $X$ /~ — диффеология, порожденная всеми композициями участков $X$ с проекцией от $X$ к $X/\sim$ . D-топология на $X/\sim$ является фактортопологией D-топологии $X$ (обратите внимание, что эта топология может быть тривиальной без тривиальности диффеологии).
диффеологического Прогрессивная диффеология пространства $X$ по функции $f:X\to Y$ это диффеология на $Y$ созданный композициями $f\circ p$ , для $p$ сюжет $X$ . Другими словами, форвардная диффеология — это наименьшая диффеология на $Y$ изготовление $f$ дифференцируемый. Фактор-диффеология сводится к диффеологии продвижения вперед с помощью проекции $X\to X/\sim$ .
диффеологического Обратная диффеология пространства $Y$ по функции $f:X\to Y$ это диффеология на $X$ чьи сюжеты - карты $p$ такой, что композиция $f\circ p$ это сюжет $Y$ . Другими словами, диффеология обратного движения — это наименьшая диффеология на $X$ изготовление $f$ дифференцируемый.
Функциональная диффеология между двумя диффеологическими пространствами $X,Y$ это диффеология на множестве ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ дифференцируемых отображений, графиками которых являются отображения $\phi :U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ такой, что $(u,x)\mapsto \phi (u)(x)$ является гладким (относительно диффеологии произведения $U\times X$ ). Когда $X$ и $Y$ являются многообразиями, D-топология ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$ — наименьшая локально связная топология, содержащая слабую топологию . ^[9]

и проволоки Диффеология спагетти

Проволочная диффеология (или диффеология спагетти ) на $\mathbb {R} ^{2}$ - это диффеология, графики которой учитываются локально через $\mathbb {R}$ . Точнее карта $p:U\to \mathbb {R} ^{2}$ является сюжетом тогда и только тогда, когда для каждого $u\in U$ есть открытый район $V\subseteq U$ из $u$ такой, что $p|_{V}=q\circ F$ на два участка $F:V\to \mathbb {R}$ и $q:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ . Эта диффеология не совпадает со стандартной диффеологией на $\mathbb {R} ^{2}$ : например, личность $\mathrm {id} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ это не сюжет в проводной диффеологии. ^[5]

Этот пример можно расширить до диффеологий, графики которых учитывают локально через $\mathbb {R} ^{r}$ . В более общем плане можно рассмотреть ранг- $r$ -ограниченная диффеология на гладком многообразии $M$ : карта $U\to M$ является сюжетом тогда и только тогда, когда ранг его дифференциала меньше или равен $r$ . Для $r=1$ восстанавливается диффеология проводов. ^[17]

Другие примеры [ править ]

Факторы дают простой способ построить немногообразные диффеологии. Например, набор действительных чисел $\mathbb {R}$ является гладким многообразием. Частное $\mathbb {R} /(\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} )$ , для какой-то иррациональной $\alpha$ , называемый иррациональным тором , представляет собой диффеологическое пространство, диффеоморфное фактору регулярного 2-тора $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ по линии уклона $\alpha$ . Он имеет нетривиальную диффеологию, но его D-топология является тривиальной топологией . ^[18]
Объединив диффеологию подпространства и функциональную диффеологию, можно определить диффеологии в пространстве сечений расслоения или пространстве биссечений группоида Ли и т. д.

Субдукции и индукции [ править ]

Аналогично понятиям субмерсии и погружения между многообразиями, существует два специальных класса морфизмов между диффеологическими пространствами. Субдукция . — это сюръективная функция $f:X\to Y$ между диффеологическими пространствами так, что диффеология $Y$ является развитием диффеологии $X$ . Аналогично, индукция — это инъективная функция $f:X\to Y$ между диффеологическими пространствами так, что диффеология $X$ это откат диффеологии $Y$ . Обратите внимание, что субдукция и индукция автоматически сглаживаются.

Поучительно рассмотреть случай, когда $X$ и $Y$ являются гладкими многообразиями.

Каждое сюръективное погружение $f:X\to Y$ является субдукция.
Субдукция не обязательно должна быть сюръективным погружением. Одним из примеров является $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ данный $f(x,y):=xy$ .
Инъективное погружение не обязательно должно быть индукцией. Одним из примеров является параметризация «восьмерки». $f:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R^{2}}$ данный $f(t):=(2\cos(t),\sin(2t))$ .
Индукция не обязательно должна быть инъективным погружением. Одним из примеров является «полукубический». $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ данный $f(t):=(t^{2},t^{3})$ . ^[19]^[20]

В категории диффеологических пространств субдукции — это именно сильные эпиморфизмы , а индукции — это именно сильные мономорфизмы . Отображение, которое является одновременно субдукцией и индукцией, является диффеоморфизмом. ^[17]

Ссылки [ править ]

^ Суриау, Ж.М. (1980), Гарсия, Польша; Перес-Рендон, А.; Сурио, Ж.М. (ред.), «Дифференциальные группы» , «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , Конспекты лекций по математике, том. 836, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 91–128, doi : 10.1007/bfb0089728 , ISBN 978-3-540-10275-5 , получено 16 января 2022 г.
^ Сурио, Жан-Мари (1984), Денардо, Г.; Жирарди, Дж.; Вебер, Т. (ред.), «Различные группы и математическое телосложение» , Теоретико-групповые методы в физике , Конспекты лекций по физике, том. 201, Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. 511–513, doi : 10.1007/bfb0016198 , ISBN. 978-3-540-13335-3 , получено 16 января 2022 г.
^ Донато, Пол (1984). Накрытия и фундаментальные группы однородных дифференциальных пространств [ Накрытия и фундаментальные группы однородных дифференциальных пространств ] (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса .
^ Иглесиас, Патрик (1985). Диффеологические расслоения и гомотопия [ Диффеологические расслоения и гомотопия ] (PDF) (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Иглесиас-Земмур, Патрик (9 апреля 2013 г.). Диффеология . Математические обзоры и монографии. Том. 185. Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/185 . ISBN 978-0-8218-9131-5 .
^ Чен, Куо-Цай (1977). «Итерированные интегралы по пути» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (5): 831–879. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14320-6 . ISSN 0002-9904 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Баэз, Джон; Хоффнунг, Александр (2011). «Удобные категории гладких пространств» . Труды Американского математического общества . 363 (11): 5789–5825. arXiv : 0807.1704 . дои : 10.1090/S0002-9947-2011-05107-X . ISSN 0002-9947 .
^ Иглесиас, Патрик (1985). Диффеологические расслоения и гомотопия [ Диффеологические расслоения и гомотопия ] (PDF) (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса . Определение 1.2.3
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кристенсен, Джон Дэниел; Синнамон, Гордон; Ву, Энксин (09 октября 2014 г.). «D-топология диффеологических пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 272 (1): 87–110. arXiv : 1302.2935 . дои : 10.2140/pjm.2014.272.87 . ISSN 0030-8730 .
^ Лаубингер, Мартин (2006). «Диффеологические пространства» . Проекционы . 25 (2): 151–178. дои : 10.4067/S0716-09172006000200003 . ISSN 0717-6279 .
^ Кристенсен, Дэниел; Ву, Энксин (2016). «Касательные пространства и касательные расслоения для диффеологических пространств». Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 57 (1): 3–50. arXiv : 1411.5425 .
^ Иглесиас-Земмур, Патрик; Каршон, Яэль; Задка, Моше (2010). «Орбифолды как диффеологии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 362 (6): 2811–2831. дои : 10.1090/S0002-9947-10-05006-3 . JSTOR 25677806 . S2CID 15210173 .
^ Гюрер, Серап; Иглесиас-Земмур, Патрик (2019). «Дифференциальные формы на многообразиях с краем и углами» . Indagationes Mathematicae . 30 (5): 920–929. дои : 10.1016/j.indag.2019.07.004 .
^ Хейн, Ричард М. (1979). «Характеризация гладких функций, определенных в банаховом пространстве» . Труды Американского математического общества . 77 (1): 63–67. дои : 10.1090/S0002-9939-1979-0539632-8 . ISSN 0002-9939 .
^ Losik, Mark (1992). "О многообразиях Фреше как диффеологических пространствах" [Fréchet manifolds as diffeological spaces]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. (in Russian). 5 : 36–42 – via All-Russian Mathematical Portal .
^ Лосик, Марк (1994). «Категорическая дифференциальная геометрия» . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 35 (4): 274–290.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бломанн, Кристиан (6 января 2023 г.). «Упругие диффеологические пространства». arXiv : 2301.02583 [ math.DG ].
^ Донато, Пол; Иглесиас, Патрик (1985). «Примеры диффеологических групп: иррациональные потоки на торе». ЧР акад. наук. Париж сер. Я (по-французски). 301 (4): 127–130. МР 0799609 .
^ Каршон, Яэль; Миямото, Дэвид; Уоттс, Джордан (21 апреля 2022 г.). «Диффеологические подмногообразия и их друзья». arXiv : 2204.10381 [ math.DG ].
^ Жорис, Анри (1 сентября 1982 г.). «Неиммерсивное C∞-приложение, обладающее универсальным свойством погружения» . Archiv der Mathematik (на французском языке). 39 (3): 269–277. дои : 10.1007/BF01899535 . ISSN 1420-8938 .

Внешние ссылки [ править ]

Патрик Иглесиас-Земмур: Диффеология (книга), Математические обзоры и монографии, том. 185, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США [2013].
Патрик Иглесиас-Земмур: Диффеология (много документов)
diffeology.net Глобальный центр диффеологии и смежных тем

[1] Суриау, Ж.М. (1980), Гарсия, Польша; Перес-Рендон, А.; Сурио, Ж.М. (ред.), «Дифференциальные группы» , «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , Конспекты лекций по математике, том. 836, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 91–128, doi : 10.1007/bfb0089728 , ISBN 978-3-540-10275-5 , получено 16 января 2022 г.

[2] Сурио, Жан-Мари (1984), Денардо, Г.; Жирарди, Дж.; Вебер, Т. (ред.), «Различные группы и математическое телосложение» , Теоретико-групповые методы в физике , Конспекты лекций по физике, том. 201, Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. 511–513, doi : 10.1007/bfb0016198 , ISBN. 978-3-540-13335-3 , получено 16 января 2022 г.

[3] Донато, Пол (1984). Накрытия и фундаментальные группы однородных дифференциальных пространств [ Накрытия и фундаментальные группы однородных дифференциальных пространств ] (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса .

[4] Иглесиас, Патрик (1985). Диффеологические расслоения и гомотопия [ Диффеологические расслоения и гомотопия ] (PDF) (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса .

[:0-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Иглесиас-Земмур, Патрик (9 апреля 2013 г.). Диффеология . Математические обзоры и монографии. Том. 185. Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/185 . ISBN 978-0-8218-9131-5 .

[6] Чен, Куо-Цай (1977). «Итерированные интегралы по пути» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (5): 831–879. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14320-6 . ISSN 0002-9904 .

[:1-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Баэз, Джон; Хоффнунг, Александр (2011). «Удобные категории гладких пространств» . Труды Американского математического общества . 363 (11): 5789–5825. arXiv : 0807.1704 . дои : 10.1090/S0002-9947-2011-05107-X . ISSN 0002-9947 .

[8] Иглесиас, Патрик (1985). Диффеологические расслоения и гомотопия [ Диффеологические расслоения и гомотопия ] (PDF) (на французском языке). Марсель: докторская диссертация, Университет Прованса . Определение 1.2.3

[:2-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кристенсен, Джон Дэниел; Синнамон, Гордон; Ву, Энксин (09 октября 2014 г.). «D-топология диффеологических пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 272 (1): 87–110. arXiv : 1302.2935 . дои : 10.2140/pjm.2014.272.87 . ISSN 0030-8730 .

[10] Лаубингер, Мартин (2006). «Диффеологические пространства» . Проекционы . 25 (2): 151–178. дои : 10.4067/S0716-09172006000200003 . ISSN 0717-6279 .

[11] Кристенсен, Дэниел; Ву, Энксин (2016). «Касательные пространства и касательные расслоения для диффеологических пространств». Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 57 (1): 3–50. arXiv : 1411.5425 .

[12] Иглесиас-Земмур, Патрик; Каршон, Яэль; Задка, Моше (2010). «Орбифолды как диффеологии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 362 (6): 2811–2831. дои : 10.1090/S0002-9947-10-05006-3 . JSTOR 25677806 . S2CID 15210173 .

[13] Гюрер, Серап; Иглесиас-Земмур, Патрик (2019). «Дифференциальные формы на многообразиях с краем и углами» . Indagationes Mathematicae . 30 (5): 920–929. дои : 10.1016/j.indag.2019.07.004 .

[14] Хейн, Ричард М. (1979). «Характеризация гладких функций, определенных в банаховом пространстве» . Труды Американского математического общества . 77 (1): 63–67. дои : 10.1090/S0002-9939-1979-0539632-8 . ISSN 0002-9939 .

[15] Losik, Mark (1992). "О многообразиях Фреше как диффеологических пространствах" [Fréchet manifolds as diffeological spaces]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. (in Russian). 5 : 36–42 – via All-Russian Mathematical Portal .

[16] Лосик, Марк (1994). «Категорическая дифференциальная геометрия» . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 35 (4): 274–290.

[:3-17] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бломанн, Кристиан (6 января 2023 г.). «Упругие диффеологические пространства». arXiv : 2301.02583 [ math.DG ].

[18] Донато, Пол; Иглесиас, Патрик (1985). «Примеры диффеологических групп: иррациональные потоки на торе». ЧР акад. наук. Париж сер. Я (по-французски). 301 (4): 127–130. МР 0799609 .

[19] Каршон, Яэль; Миямото, Дэвид; Уоттс, Джордан (21 апреля 2022 г.). «Диффеологические подмногообразия и их друзья». arXiv : 2204.10381 [ math.DG ].

[20] Жорис, Анри (1 сентября 1982 г.). «Неиммерсивное C∞-приложение, обладающее универсальным свойством погружения» . Archiv der Mathematik (на французском языке). 39 (3): 269–277. дои : 10.1007/BF01899535 . ISSN 1420-8938 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]