Сборная вселенная

Не путать с метрикой Гёделя .

В математике , в теории множеств , конструируемая вселенная (или конструируемая вселенная Гёделя ), обозначаемая $L$, — это особый класс множеств , который можно полностью описать в терминах более простых множеств. $L$ это объединение конструктивной иерархии $L_{\alpha }$. Он был представлен Куртом Гёделем в его статье 1938 года «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума». В этой статье он доказал, что конструируемая вселенная является внутренней моделью теории множеств ZF (то есть теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора ), а также что аксиома выбора и обобщенная гипотеза континуума верны. в конструктивной вселенной. Это показывает, что оба предложения согласуются с основными аксиомами теории множеств, если ZF сам по себе непротиворечив. Поскольку многие другие теоремы справедливы только в системах, в которых верно одно или оба утверждения, их непротиворечивость является важным результатом.

Что такое Л

$L$ можно рассматривать как построенную «поэтапно», напоминающую построение вселенной фон Неймана , $V$. Этапы индексируются порядковыми номерами . Во вселенной фон Неймана на следующем этапе берется $V_{\alpha +1}$ быть множеством всех подмножеств предыдущего этапа, $V_{\alpha }$. Напротив, в конструктивной вселенной Гёделя $L$, используются только те подмножества предыдущего этапа, которые:

• определяемый формулой на формальном языке теории множеств,
• с параметрами предыдущего этапа и,
• при этом квантификаторы интерпретируются как диапазон значений предыдущего этапа.

Ограничивая себя множествами, определенными только в терминах того, что уже было построено, можно гарантировать, что результирующие множества будут построены таким образом, который не зависит от особенностей окружающей модели теории множеств и содержится в любой такой модели.

Определите оператор Def:

$$\operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.$$

$L$ определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• $L_{0}:=\varnothing .$
• $L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).$
• Если $\lambda$ является предельным порядковым номером , тогда $L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.$ Здесь $\alpha <\lambda$ означает $\alpha$ предшествует $\lambda$.
• $L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.$ Здесь Ord обозначает класс всех ординалов.

Если $z$ является элементом $L_{\alpha }$, затем $z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}$. Так $L_{\alpha }$ является подмножеством $L_{\alpha +1}$, который является подмножеством набора степеней $L_{\alpha }$. Следовательно, это башня из вложенных транзитивных множеств . Но $L$ сам по себе является правильным классом .

Элементы $L$ называются «конструируемыми» множествами; и $L$ сама по себе является «конструируемой вселенной». " Аксиома конструктивности ", она же " $V=L$", говорит, что каждый набор (из $V$) конструктивно, т.е. в $L$.

Дополнительные сведения о множествах L _α

Эквивалентное определение для $L_{\alpha }$ является:

Для любого порядкового номера $\alpha$, $L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!$.

Для любого конечного ординала $n$, наборы $L_{n}$ и $V_{n}$ одинаковы (независимо от того, $V$ равно $L$ или нет) и, таким образом, $L_{\omega }$ = $V_{\omega }$: их элементами являются в точности наследственно конечные множества . Равенство за пределами этой точки не имеет места. Даже в моделях ZFC, в которых $V$ равно $L$, $L_{\omega +1}$ является правильным подмножеством $V_{\omega +1}$, и после этого $L_{\alpha +1}$ является правильным подмножеством набора степеней $L_{\alpha }$ для всех $\alpha >\omega$. С другой стороны, $V=L$ подразумевает, что $V_{\alpha }$ равно $L_{\alpha }$ если $\alpha =\omega _{\alpha }$, например, если $\alpha$ недоступен. В более общем смысле, $V=L$ подразумевает $H_{\alpha }$ = $L_{\alpha }$ для всех бесконечных кардиналов $\alpha$.

Если $\alpha$ является бесконечным ординалом, то существует биекция между $L_{\alpha }$ и $\alpha$, и биекция конструктивна. Таким образом, эти множества равнозначны в любой модели теории множеств, которая их включает.

Как определено выше, ${\textrm {Def}}(X)$ представляет собой набор подмножеств $X$ определяется $\Delta _{0}$ формулы (относительно иерархии Леви , т. е. формулы теории множеств, содержащие только ограниченные кванторы ), использующие в качестве параметров только $X$ и его элементы.

Другое определение, данное Гёделем, характеризует каждую $L_{\alpha +1}$ как пересечение множества сил $L_{\alpha }$ с закрытием $L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}$ под набором из девяти явных функций, подобных операциям Гёделя . В этом определении нет ссылки на определимость.

Все арифметические подмножества $\omega$ и отношения по $\omega$ принадлежать $L_{\omega +1}$ (поскольку арифметическое определение дает $L_{\omega +1}$). И наоборот, любое подмножество $\omega$ принадлежащий $L_{\omega +1}$ является арифметическим (поскольку элементы $L_{\omega }$ можно закодировать натуральными числами так, что $\in$ определима, т. е. арифметична). С другой стороны, $L_{\omega +2}$ уже содержит определенные неарифметические подмножества $\omega$, например, набор истинных арифметических утверждений (кодирование натуральных чисел) (это можно определить из $L_{\omega +1}$${\displaystyle }$ так это в $L_{\omega +2}$).

Все гиперарифметические подмножества $\omega$ и отношения по $\omega$ принадлежать $L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ (где $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ обозначает порядковый номер Чёрча-Клин ), и наоборот, любое подмножество $\omega$ который принадлежит $L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ является гиперарифметическим.

L — стандартная внутренняя модель ZFC.

$(L,\in )$ является стандартной моделью, т.е. $L$ является транзитивным классом , и интерпретация использует отношения реальных элементов, поэтому она вполне обоснована . $L$ является внутренней моделью, т.е. содержит все порядковые номера $V$ и у него нет «лишних» наборов, кроме тех, что указаны в $V$. Однако $L$ может быть строго подклассом $V$. $L$ является моделью ZFC , а это значит, что она удовлетворяет следующим аксиомам :

• Аксиома регулярности : каждое непустое множество. $x$ содержит некоторый элемент $y$ такой, что $x$ и $y$ являются непересекающимися множествами.

$(L,\in )$ является подструктурой $(V,\in )$, что вполне обоснованно, поэтому $L$ вполне обосновано. В частности, если $y\in x\in L$, то в силу транзитивности $L$, $y\in L$. Если мы воспользуемся этим же $y$ как в $V$, то оно все еще не пересекается с $x$ потому что мы используем одно и то же отношение элементов и новые наборы не добавлялись.

• Аксиома экстенсиональности : два множества одинаковы, если они содержат одни и те же элементы.

Если $x$ и $y$ находятся в $L$ и они содержат одни и те же элементы $L$, затем $L$транзитивности, они имеют одни и те же элементы (в $V$). Значит они равны (в $V$ и таким образом в $L$).

• Аксиома пустого множества : {} — множество.

$\{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}$, который находится в $L_{1}$. Так $\{\}\in L$. Поскольку отношение элементов такое же и новые элементы не были добавлены, это пустой набор $L$.

• Аксиома спаривания : Если $x$, $y$ являются множествами, то $\{x,y\}$ это набор.

Если $x\in L$ и $y\in L$, то существует некоторый порядковый номер $\alpha$ такой, что $x\in L_{\alpha }$ и $y\in L_{\alpha }$. Затем $\{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}$. Таким образом $\{x,y\}\in L$ и это имеет то же значение для $L$ что касается $V$.

• Аксиома объединения : для любого множества $x$ есть набор $y$ чьи элементы являются в точности элементами элементов $x$.

Если $x\in L_{\alpha }$, то его элементы находятся в $L_{\alpha }$ и их элементы также находятся в $L_{\alpha }$. Так $y$ является подмножеством $L_{\alpha }$. Затем $y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}$. Таким образом $y\in L$.

• Аксиома бесконечности : существует множество $x$ такой, что $\varnothing$ находится в $x$ и всякий раз, когда $y$ находится в $x$, как и профсоюз $y\cup \{y\}$.

Трансфинитную индукцию можно использовать для отображения каждого порядкового номера. $\alpha$ находится в $L_{\alpha +1}$. В частности, $\omega \in L_{\omega +1}$ и таким образом $\omega \in L$.

• Аксиома разделения : Учитывая любой набор $S$ и любое предложение $P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})$, $\{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}$ это набор.

Индукцией по подформулам $P$, можно показать, что существует $\alpha$ такой, что $L_{\alpha }$ содержит $S$ и $z_{1},\ldots ,z_{n}$ и ( $P$ верно в $L_{\alpha }$ тогда и только тогда, когда $P$ верно в $L$), последний называется « принципом отражения »). Так $\{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}$ = $\{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}$. Таким образом, подмножество находится в $L$.

• Аксиома замены : Учитывая любой набор $S$ и любое отображение (формально определяемое как предложение $P(x,y)$ где $P(x,y)$ и $P(x,z)$ подразумевает $y=z$), $\{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}$ это набор.

Позволять $Q(x,y)$ быть формулой, которая релятивизирует $P$ к $L$, т.е. все кванторы в $P$ ограничены $L$. $Q$ гораздо более сложная формула, чем $Q$, но это все же конечная формула, и поскольку $P$ было картографирование $L$, $Q$ должно быть отображением $V$; таким образом, мы можем применить замену в $V$ к $Q$. Так $\{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}$ = $\{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}$ это набор в $V$ и подкласс $L$. Опять воспользовавшись аксиомой замены в $V$, мы можем показать, что должно существовать $\alpha$ такое, что это множество является подмножеством $L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}$. Тогда можно использовать аксиому разделения в $L$ закончить показ того, что это элемент $L$

• Аксиома набора мощности : для любого набора $x$ существует набор $y$, такой, что элементы $y$ являются именно подмножествами $x$.

В общем, некоторые подмножества множества в $L$ не будет внутри $L$ Итак, весь силовой набор набора в $L$ обычно не будет в $L$. Здесь нам нужно показать, что пересечение набора степеней с $L$ находится в $L$. Используйте замену в $V$ чтобы показать, что существует α такое, что пересечение является подмножеством $L_{\alpha }$. Тогда пересечение будет $\{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}$. Таким образом, искомый набор находится в $L$.

• Аксиома выбора : Учитывая множество $x$ взаимно непересекающихся непустых множеств существует множество $y$ (набор вариантов для $x$), содержащий ровно один элемент от каждого члена $x$.

Можно показать, что существует определимый правильный порядок L , в частности, основанный на упорядочивании всех множеств в $L$ по их определениям и по рангу, в котором они появляются. Поэтому выбирают наименьший элемент каждого члена $x$ формировать $y$ используя аксиомы объединения и разделения в $L$

Обратите внимание, что доказательство того, что $L$ является моделью ZFC, требуется только это $V$ быть моделью ZF, т.е. мы не предполагаем, что аксиома выбора выполняется в $V$.

L является абсолютным и минимальным

Если $W$ любая стандартная модель ZF, имеющая те же порядковые номера, что и $V$, тогда $L$ определено в $W$ то же самое, что и $L$ определено в $V$. В частности, $L_{\alpha }$ то же самое в $W$ и $V$, для любого порядкового номера $\alpha$. И те же формулы и параметры в $\mathrm {Def} (L_{\alpha })$ создавать одинаковые конструктивные множества в $L_{\alpha +1}$.

Кроме того, поскольку $L$ является подклассом $V$ и, аналогично, $L$ является подклассом $W$, $L$ — это наименьший класс, содержащий все порядковые номера, который является стандартной моделью ZF. Действительно, $L$ является пересечением всех таких классов.

Если есть набор $W$ в $V$ это стандартная модель ZF, а порядковый номер $\kappa$ это набор порядковых номеров, которые встречаются в $W$, затем $L_{\kappa }$ это $L$ из $W$. Если есть набор стандартной модели ZF, то наименьшим таким набором является такой $L_{\kappa }$. Этот набор называется минимальной моделью ZFC. Используя нисходящую теорему Левенхайма – Скулема , можно показать, что минимальная модель (если она существует) представляет собой счетное множество.

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZF (при условии, что ZF непротиворечив). Однако эти модели комплектов нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение элементов и недостаточно обоснованы.

Потому что оба» $L$ построен внутри $L$" и " $V$ построен внутри $L$" результат в реальном $L$и оба $L$ из $L_{\kappa }$ и $V$ из $L_{\kappa }$ настоящие $L_{\kappa }$, мы поняли это $V=L$ верно в $L$ и в любом $L_{\kappa }$ это модель ZF. Однако, $V=L$ не встречается ни в одной стандартной модели ZF.

L и большие кардиналы

С $\mathrm {Ord} \subset L\subseteq V$, свойства ординалов, которые зависят от отсутствия функции или другой структуры (т.е. $\Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }$ формулы) сохраняются при переходе вниз от $V$ к $L$. Следовательно, начальные ординалы кардиналов остаются начальными в $L$. Обычные ординалы остаются регулярными в $L$. Слабые предельные кардиналы становятся сильными предельными кардиналами в $L$ поскольку обобщенная гипотеза континуума справедлива в $L$. Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабые кардиналы Мало становятся сильными. И вообще, любое большое кардинальное свойство слабее 0 ^# (см. список крупных кардинальных объектов недвижимости ) сохранится в $L$.

Однако, $0^{\sharp }$ является ложным в $L$ даже если это правда в $V$. Итак, все крупные кардиналы, существование которых предполагает $0^{\sharp }$ перестанут обладать этими большими кардинальными свойствами, но сохранят свойства, более слабые, чем $0^{\sharp }$ которым они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримыми, но остаются Мало в $L$.

Если $0^{\sharp }$ держится $V$, то существует замкнутый неограниченный класс ординалов, неразличимых в $L$. Хотя некоторые из них даже не являются начальными порядковыми номерами в $V$, они обладают всеми большими кардинальными свойствами слабее, чем $0^{\sharp }$ в $L$. Более того, любая строго возрастающая классовая функция из класса неразличимых в себя может быть единственным образом продолжена до элементарного вложения $L$ в $L$. Это дает $L$ красивая структура повторяющихся сегментов.

L можно хорошо упорядочить

Существуют различные способы упорядочения $L$. Некоторые из них связаны с «тонкой структурой» $L$, который был впервые описан Рональдом Бьёрном Йенсеном в его статье 1972 года, озаглавленной «Тонкая структура конструктивной иерархии». Вместо того, чтобы объяснять тонкую структуру, мы дадим краткое описание того, как $L$ можно было бы хорошо упорядочить, используя только определение, данное выше.

Предполагать $x$ и $y$ это два разных набора $L$ и мы хотим определить, является ли $x<y$ или $x>y$. Если $x$ впервые появляется в $L_{\alpha +1}$ и $y$ впервые появляется в $L_{\beta +1}$ и $\beta$ отличается от $\alpha$, тогда пусть $x$ < $y$ тогда и только тогда, когда $\alpha <\beta$. Впредь мы полагаем, что $\beta =\alpha$.

Сцена $L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })$ использует формулы с параметрами из $L_{\alpha }$ определить наборы $x$ и $y$. Если не принимать во внимание (на данный момент) параметры, то формулам можно присвоить стандартную гёделевскую нумерацию натуральных чисел. Если $\Phi$ это формула с наименьшим числом Гёделя, которую можно использовать для определения $x$, и $\Psi$ это формула с наименьшим числом Гёделя, которую можно использовать для определения $y$, и $\Psi$ отличается от $\Phi$, тогда пусть $x$ < $y$ тогда и только тогда, когда $\Phi <\Psi$ в нумерации Гёделя. Впредь мы полагаем, что $\Psi =\Phi$.

Предположим, что $\Phi$ использует $n$ параметры из $L_{\alpha }$. Предполагать $z_{1},\ldots ,z_{n}$ это последовательность параметров, которые можно использовать с $\Phi$ определить $x$, и $w_{1},\ldots ,w_{n}$ делает то же самое для $y$. Тогда пусть $x<y$ тогда и только тогда, когда либо $z_{n}<w_{n}$ или ( $z_{n}=w_{n}$ и $z_{n-1}<w_{n-1}$) или ( $z_{n}=w_{n}$ и $z_{n-1}=w_{n-1}$ и $z_{n-2}<w_{n-2}$) и т. д. Это называется обратным лексикографическим упорядочением ; если существует несколько последовательностей параметров, которые определяют один из наборов, мы выбираем наименьшую из них в этом порядке. Понятно, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением порядка $L$ к $L_{\alpha }$, поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию на $\alpha$.

Упорядоченность значений отдельных параметров обеспечивается индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Значения $n$-кортежи параметров хорошо упорядочены по порядку продуктов. Формулы с параметрами упорядочены по упорядоченной сумме (по числам Гёделя) упорядочений. И $L$ хорошо упорядочен по упорядоченной сумме (индексированной $\alpha$) порядков на $L_{\alpha +1}$.

Обратите внимание, что этот хороший порядок может быть определен внутри $L$ себя по формуле теории множеств без параметров, только свободные переменные $x$ и $y$. И эта формула дает одно и то же значение истинности независимо от того, оценивается ли она в $L$, $V$, или $W$ (некоторая другая стандартная модель ZF с теми же порядковыми номерами) и будем предполагать, что формула неверна, если либо $x$ или $y$ не в $L$.

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна способности хорошо упорядочить каждое множество. Умение правильно организовать правильный класс $V$ (как мы сделали здесь с $L$) эквивалентен аксиоме глобального выбора , которая более мощна, чем обычная аксиома выбора, поскольку она также охватывает собственные классы непустых множеств.

L имеет принцип отражения

Доказывая, что аксиома разделения , аксиома замены и аксиома выбора верны в $L$ требует (по крайней мере, как показано выше) использования принципа отражения для $L$. Здесь мы опишем такой принцип.

Индукцией по $n<\omega$, мы можем использовать ZF в $V$ доказать это для любого порядкового номера $\alpha$, есть порядковый номер $\beta >\alpha$ такой, что для любого предложения $P(z_{1},\ldots ,z_{k})$ с $z_{1},\ldots ,z_{k}$ в $L_{\beta }$ и содержащий менее $n$ символы (подсчет постоянного символа для элемента $L_{\beta }$ как один символ) мы получаем, что $P(z_{1},\ldots ,z_{k})$ держится $L_{\beta }$ тогда и только тогда, когда оно сохраняется $L$.

Обобщенная гипотеза континуума справедлива в L

Позволять $S\in L_{\alpha }$, и пусть $T$ быть любым конструктивным подмножеством $S$. Тогда есть некоторые $\beta$ с $T\in L_{\beta +1}$, так $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}$, для некоторой формулы $\Phi$ и некоторые $z_{i}$ взято из $L_{\beta }$. Согласно нисходящей теореме Левенгейма – Скулема и коллапсу Мостовского должно существовать некоторое транзитивное множество $K$ содержащий $L_{\alpha }$ и некоторые $w_{i}$, и имея ту же теорию первого порядка, что и $L_{\beta }$ с $w_{i}$ заменен на $z_{i}$; и это $K$ будет иметь тот же кардинал, что и $L_{\alpha }$. С $V=L$ верно в $L_{\beta }$, это также верно и в K , поэтому $K=L_{\gamma }$ для некоторых $\gamma$ имеющий тот же кардинал, что и $\alpha$. И $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}$ потому что $L_{\beta }$ и $L_{\gamma }$ имеют ту же теорию. Так $T$ на самом деле находится в $L_{\gamma +1}$.

Итак, все конструктивные подмножества бесконечного множества $S$ иметь ранги (максимум) одного и того же кардинала $\kappa$ как звание $S$; отсюда следует, что если $\delta$ является начальным порядковым номером для $\kappa ^{+}$, затем $L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }$ служит «силовым набором» $S$ в пределах $L$ Таким образом, этот «силовой набор» $L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}$. А это, в свою очередь, означает, что «силовой набор» $S$ имеет кардинальное значение не более $\vert \delta \vert$. Предполагая $S$ сам имеет кардинальное значение $\kappa$, то "набор мощности" должен тогда иметь кардинал в точности $\kappa ^{+}$. Но это именно гипотеза обобщенного континуума, относящаяся к $L$.

Конструктивные множества определяются по порядковым номерам.

Существует формула теории множеств, выражающая идею о том, что $X=L_{\alpha }$. Он имеет только свободные переменные для $X$ и $\alpha$. Используя это, мы можем расширить определение каждого конструктивного множества. Если $S\in L_{\alpha +1}$, затем $S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}$ для какой-то формулы $\Phi$ и некоторые $z_{1},\ldots ,z_{n}$ в $L_{\alpha }$. Это равносильно тому, что: для всех $y$, $y\in S$ тогда и только тогда, когда [существует $X$ такой, что $X=L_{\alpha }$ и $y\in X$ и $\Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})$] где $\Psi (X,\ldots )$ является результатом ограничения каждого квантора в $\Phi (\ldots )$ к $X$. Обратите внимание, что каждый $z_{k}\in L_{\beta +1}$ для некоторых $\beta <\alpha$. Объедините формулы для $z$с формулой для $S$ и применять экзистенциальные кванторы к $z$снаружи, и получаем формулу, определяющую конструктивное множество $S$ используя только порядковые номера $\alpha$ которые встречаются в таких выражениях, как $x=L_{\alpha }$ в качестве параметров.

Пример: набор $\{5,\omega \}$ является конструктивным. Это уникальный набор $s$ что удовлетворяет формуле:

$$\forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))$$

где $Ord(a)$ это сокращение от:

$$\forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).$$

На самом деле, даже эта сложная формула была упрощена по сравнению с тем, что могли бы дать инструкции, данные в первом абзаце. Но дело остается в том, что существует формула теории множеств, справедливая только для искомого конструктивного множества. $S$ и содержит параметры только для порядковых номеров.

Относительная конструктивность

Иногда желательно найти модель теории множеств, которая была бы узкой, например $L$, но включает в себя набор, который невозможно сконструировать, или находится под его влиянием. Это порождает концепцию относительной конструктивности, которая имеет две разновидности, обозначаемые $L(A)$ и $L[A]$.

Класс $L(A)$ для неконструируемого множества $A$ является пересечением всех классов, которые являются стандартными моделями теории множеств и содержат $A$ и все ординалы.

$L(A)$ определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• $L_{0}(A)$ = наименьшее транзитивное множество, содержащее $A$ как элемент, т.е. замыкание транзитивное $\{A\}$.
• $L_{\alpha +1}(A)$ = $\mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))$
• Если $\lambda$ является предельным ординалом, то $L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)$.
• $L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)$.

Если $L(A)$ содержит упорядочение транзитивного замыкания $\{A\}$, то это можно распространить на хорошо упорядоченный $L(A)$. В противном случае аксиома выбора не будет выполнена. $L(A)$.

Типичным примером является $L(\mathbb {R} )$, наименьшая модель, содержащая все действительные числа, которая широко используется в современной описательной теории множеств .

Класс $L[A]$ — класс множеств, на построение которых влияют $A$, где $A$ может быть (предположительно неконструируемым) множеством или собственным классом. В определении этого класса используется $\mathrm {Def} _{A}(X)$, что то же самое, что $\mathrm {Def} (X)$ за исключением того, что вместо оценки истинности формул $\Phi$ в модели $(X,\in )$, используется модель $(X,\in ,A)$ где $A$ является унарным предикатом. Предполагаемая интерпретация $A(y)$ является $y\in A$. Тогда определение $L[A]$ это именно то, что $L$ только с $\mathrm {Def}$ заменен на $\mathrm {Def} _{A}$.

$L[A]$ всегда является моделью аксиомы выбора. Даже если $A$ это набор, $A$ не обязательно сам является членом $L[A]$, хотя это всегда так, если $A$ представляет собой набор ординалов.

Наборы в $L(A)$ или $L[A]$ обычно практически невозможно построить, и свойства этих моделей могут сильно отличаться от свойств $L$ сам.

См. также

• Аксиома конструктивности
• Утверждения верны в L
• Принцип отражения
• Аксиоматическая теория множеств
• Переходное множество
• Л(П)
• Порядковый номер определяемый

Ссылки

• Барвайз, Джон (1975). Допустимые множества и структуры . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-07451-1 .
• Девлин, Кейт Дж. (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-13258-9 .
• Фельгнер, Ульрих (1971). Модели теории ZF-множеств . Конспект лекций по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-05591-6 .
• Гёдель, Курт (1938). «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 24 (12). Национальная академия наук: 556–557. Бибкод : 1938ПНАС...24..556Г . дои : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR   87239 . ПМК   1077160 . ПМИД   16577857 .
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Анналы математических исследований. Том. 3. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07927-1 . МР   0002514 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия). Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .