Математика складывания бумаги

Складывание карты для сетки квадратов 2×2: существует восемь различных способов сложить такую ​​карту по складкам.

Дисциплина оригами или складывания бумаги получила значительное количество математических исследований. Области интересов включают возможность складывания конкретной бумажной модели (можно ли сплющить модель, не повредив ее) и использование складок бумаги для решения математических уравнений вплоть до кубических .

Вычислительное оригами — это новая отрасль информатики, которая занимается изучением алгоритмов, решающих задачи складывания бумаги. Область вычислительного оригами также значительно расширилась с момента ее создания в 1990-х годах благодаря алгоритму TreeMaker Роберта Ланга, помогающему точно складывать основания. Результаты вычислительного оригами касаются либо дизайна оригами, либо возможности складывания оригами. Целью задач проектирования оригами является создание объекта, который можно сложить из бумаги с заданной целевой конфигурацией. В задачах о складывании оригами цель состоит в том, чтобы сложить что-нибудь, используя складки исходной конфигурации. Результаты в задачах конструирования оригами оказались более доступными, чем в задачах о складывании оригами.

История

См. Также: История оригами.

В 1893 году индийский государственный служащий Т. Сундара Роу опубликовал «Геометрические упражнения по складыванию бумаги» , в которых складывание бумаги использовалось для демонстрации доказательств геометрических построений. Эта работа была вдохновлена ​​использованием оригами в системе детского сада . Роу продемонстрировал приблизительное трисекцию углов и подразумевал, что построение кубического корня невозможно.

В 1922 году Гарри Гудини опубликовал «Магию бумаги Гудини», в которой описывали методы оригами, неофициально основанные на математических подходах, которые позже были формализованы.

Белохская складка

В 1936 году Маргарита П. Белох показала, что использование « складки Белоха », позже использованной в шестой аксиоме Хузиты-Хатори общее кубическое уравнение с помощью оригами. , позволяет решать

В 1949 году в книге Р. К. Йейтса «Геометрические методы» были описаны три разрешенные конструкции, соответствующие первой, второй и пятой аксиомам Хузиты-Хатори.

Система Йошизавы-Рэндлетта была введена в 1961 году. обучения по диаграммам

Схема сгиба для складки Миура. Параллелограммы этого примера имеют углы 84° и 96°.

В 1980 году сообщалось о конструкции, позволяющей разделить угол на три части. Трисекции невозможны по правилам Евклида.

Также в 1980 году Корё Миура и Масамори Сакамаки продемонстрировали новую технику складывания карты, при которой складки выполняются по заданному шаблону параллелограмма, что позволяет расширять карту без каких-либо сгибов под прямым углом обычным способом. Их рисунок позволяет линиям сгиба быть взаимозависимыми, и, следовательно, карту можно распаковать одним движением, потянув за противоположные концы, а также сложить, соединив два конца вместе. Никакой чрезмерно сложной серии движений не требуется, а сложенную Миура-ори можно упаковать в очень компактную форму. В 1985 году Миура сообщил о методе упаковки и развертывания больших мембран в космическом пространстве. а еще в 2012 году эта технология была применена к солнечным панелям космических кораблей .

Схема, показывающая первый и последний шаг того, как оригами может удвоить куб.

В 1986 году Мессер сообщил о конструкции, с помощью которой можно удвоить куб , что невозможно с помощью евклидовых конструкций.

Первое полное изложение семи аксиом оригами французского математика Жака Жюстена было написано в 1986 году, но на него не обращали внимания, пока первые шесть не были заново открыты Хумиаки Хузитой в 1989 году. Первая Международная встреча по науке и технологии оригами (теперь известная как Международная конференция по оригами в науке, математике и образовании) состоялась в 1989 году в Ферраре, Италия. На этой встрече Скимеми дал конструкцию правильного семиугольника .

Примерно в 1990 году Роберт Дж. Лэнг и другие впервые попытались написать компьютерный код, который мог бы решать задачи оригами.

Счет гор и долин

В 1996 году Маршалл Берн и Барри Хейс показали, что задача назначения образца складок гор и долин для создания плоской структуры оригами, начиная с плоского листа бумаги, является NP-полной .

В 1999 году теорема Хаги предоставила конструкции, используемые для деления стороны квадрата на рациональные дроби.

В конце 2001 и начале 2002 года Бритни Галливан доказала минимальную длину бумаги, необходимую для того, чтобы сложить ее пополам определенное количество раз, и сложила кусок туалетной бумаги длиной 4000 футов (1200 м) двенадцать раз.

В 2002 году Сара-Мари Белькастро и Том Халл привнесли в теоретическое оригами язык аффинных преобразований с расширением от $R$² к $R$³ только в случае одновершинной конструкции.

В 2002 году Альперин решил задачу Альхазена о сферической оптике. В той же работе Альперин показал конструкцию правильного семиугольника. В 2004 году алгоритмически была доказана схема сгиба правильного семиугольника. В 2005 году Альперин использовал биссекцию и трисекцию для той же конструкции.

В 2003 году Джереми Гиббонс, исследователь из Оксфордского университета, описал стиль функционального программирования с точки зрения оригами. Он придумал эту парадигму как «программирование оригами». Он характеризует складку и разворачивание как естественные шаблоны вычислений над рекурсивными типами данных, которые можно представить в контексте оригами.

В 2005 году принципы и концепции математического и вычислительного оригами были применены для решения «Обратного отсчета» , игры, популярной на британском телевидении, в которой участники использовали список исходных чисел, чтобы построить арифметическое выражение, максимально близкое к целевому числу.

В 2009 году Альперин и Ланг расширили теоретическое оригами до рациональных уравнений произвольной степени с помощью концепции складок многообразия. Эта работа была формальным продолжением неопубликованной демонстрации Ланга 2004 года квинтиссекции углов.

Чистое оригами

Плоский складной

Двухцветность

Углы вокруг вершины

Построение моделей оригами иногда показано в виде узоров складок. Главный вопрос о таких рисунках складок заключается в том, можно ли сложить данный рисунок складок в плоскую модель, и если да, то как их сложить; это NP-полная задача . Связанные проблемы, когда складки ортогональны, называются задачами сгиба карты . Существует три математических правила для создания плоских складных узоров оригами :

1. Теорема Маэкавы : в любой вершине количество складок долины и горы всегда различаются на два.

   Отсюда следует, что каждая вершина имеет четное количество складок, а значит, и области между складками можно раскрасить двумя цветами.

2. Теорема Кавасаки или теорема Кавасаки-Джюстина: в любой вершине сумма всех нечетных углов (см. изображение) в сумме составляет 180 градусов, как и четные.
3. Лист никогда не сможет проникнуть в складку.

Бумага имеет нулевую гауссову кривизну во всех точках своей поверхности и естественным образом сгибается только по линиям нулевой кривизны. Изогнутые поверхности, которые невозможно сгладить, можно создать, используя несложенную складку на бумаге, что легко сделать с помощью влажной бумаги или ногтя.

доказали, что назначение складок гор и долин для создания плоской модели Маршалл Берн и Барри Хейс является NP-полной . Дальнейшие ссылки и технические результаты обсуждаются в части II «Геометрических алгоритмов свертки» .

Аксиомы Хузиты – Джастина

Основная статья: аксиомы Хузиты – Хатори

Некоторые классические задачи геометрии , а именно разделение произвольного угла на три части или удвоение куба , оказались неразрешимыми с помощью циркуля и линейки , но их можно решить, используя всего лишь несколько складок бумаги. Можно построить сложенные бумажные полоски для решения уравнений до 4-й степени. Аксиомы Хузиты – Джастина или аксиомы Хузиты – Хатори вносят важный вклад в эту область исследований. Они описывают, что можно построить, используя последовательность складок с выравниванием не более двух точек или линий одновременно. Полные методы решения всех уравнений до 4-й степени с применением методов, удовлетворяющих этим аксиомам, подробно обсуждаются в «Геометрическом оригами» .

Конструкции

В результате изучения оригами с применением геометрических принципов такие методы, как теорема Хаги, позволили бумажным папкам точно складывать стороны квадрата в трети, пятые, седьмые и девятые части. Другие теоремы и методы позволили бумажным папкам получить другие формы из квадрата, такие как равносторонние треугольники , пятиугольники , шестиугольники и специальные прямоугольники, такие как золотой прямоугольник и серебряный прямоугольник . Были разработаны методы сгибания большинства правильных многоугольников вплоть до правильного 19-угольника. Правильный n -угольник можно построить сложением бумаги тогда и только тогда, когда n является произведением различных простых чисел Пьерпона , степеней двойки и степеней тройки .

Теоремы Хаги

BQ всегда рационален, если AP.

Сторону квадрата можно разделить на произвольную рациональную дробь разными способами. Теоремы Хаги говорят, что для таких делений можно использовать определенный набор конструкций. Для образования больших нечетных дробей необходимо на удивление мало складок. Например 1 ⁄ 5 можно получить тремя складками; сначала разделите сторону пополам, затем дважды используйте теорему Хаги, чтобы получить первую сторону 2 ⁄ 3 , а затем 1 ⁄ 5 .

На прилагаемой диаграмме показана первая теорема Хаги:

$BQ={\frac {2AP}{1+AP}}.$

Функция, изменяющая длину AP на QC, является самообратной . Пусть x будет AP , тогда ряд других длин также являются рациональными функциями x . Например:

Первая теорема Хаги

АП	БК	КК	АР	ПК
$x$	${\frac {2x}{1+x}}$	${\frac {1-x}{1+x}}$	${\frac {1-x^{2}}{2}}$	${\frac {1+x^{2}}{1+x}}$
1 ⁄ 2	2 ⁄ 3	1 ⁄ 3	3 ⁄ 8	5 ⁄ 6
1 ⁄ 3	1 ⁄ 2	1 ⁄ 2	4 ⁄ 9	5 ⁄ 6
2 ⁄ 3	4 ⁄ 5	1 ⁄ 5	5 ⁄ 18	13 ⁄ 15
1 ⁄ 5	1 ⁄ 3	2 ⁄ 3	12 ⁄ 25	13 ⁄ 15

Обобщение теорем Хаги.

Теоремы Хаги обобщаются следующим образом:

${\frac {BQ}{CQ}}={\frac {2AP}{BP}}.$

Следовательно, из BQ:CQ=k:1 следует AP:BP=k:2 для положительного действительного числа k.

Удвоение куба

Удвоение куба: PB/PA = кубический корень из 2.

Классическую задачу на удвоение куба можно решить с помощью оригами. Эта конструкция принадлежит Питеру Мессеру: Квадрат бумаги сначала сгибают на три равные полоски, как показано на схеме. Затем нижний край располагается так, чтобы угловая точка P находилась на верхнем крае, а отметка сгиба на краю пересекалась с другой отметкой сгиба Q. Тогда длина PB будет кубическим корнем из 2-кратной длины AP.

Край с отметкой сгиба считается отмеченной линейкой, что не допускается в конструкциях циркуля и линейки . Использование размеченной линейки таким образом называется в геометрии невисной конструкцией .

Трисекция угла

Трисекция угла CAB

Трисекция угла — еще одна классическая задача, которую невозможно решить с помощью циркуля и немаркированной линейки, но можно решить с помощью оригами. Это строительство, о котором сообщалось в 1980 году, принадлежит Хисаши Абэ. Угол CAB делится на три части, образуя складки PP' и QQ' параллельно основанию, а QQ' находится посередине между ними. Затем точку P перегибают так, чтобы она лежала на линии AC, и в то же время точку A помещают на линию QQ' в точке A'. Угол A'AB составляет одну треть исходного угла CAB. Это потому, что PAQ, A'AQ и A'AR — три равных треугольника. Совмещение двух точек на двух линиях — это еще одна конструкция neusis, как и в случае с удвоением куба.

Связанные проблемы

Проблема жесткого оригами , рассматривающего складки как шарниры, соединяющие две плоские, жесткие поверхности, такие как листовой металл , имеет большое практическое значение. Например, складка карты Миура представляет собой жесткую складку, которая использовалась для развертывания больших массивов солнечных батарей для космических спутников.

— Задача складывания салфетки это задача о том, можно ли квадрат или прямоугольник бумаги сложить так, чтобы периметр плоской фигуры был больше периметра исходного квадрата.

Размещение точки на изогнутой складке рисунка может потребовать решения эллиптических интегралов. Изогнутое оригами позволяет формировать из бумаги развертывающиеся поверхности , которые не являются плоскими. Оригами с мокрым складыванием — это техника, разработанная Ёсидзавой, которая позволяет изогнутым складкам создавать еще больший диапазон форм более высокого порядка сложности.

Установлено максимальное количество раз, которое можно сложить несжимаемому материалу. При каждом сгибе определенное количество бумаги теряется из-за возможного сгибания. Функция потерь при складывании бумаги пополам в одном направлении была равна $L={\tfrac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$, где L — минимальная длина бумаги (или другого материала), t — толщина материала, а n — возможное количество складок. Расстояния L и t должны быть выражены в одних и тех же единицах, например в дюймах. Этот результат был получен Бритни Галливан, старшеклассницей из Калифорнии , в декабре 2001 года. В январе 2002 года она сложила кусок туалетной бумаги длиной 4000 футов (1200 м) двенадцать раз в одном и том же направлении, опровергнув давнюю теорию. миф о том, что бумагу нельзя сложить пополам более восьми раз.

Задача «сложить и разрезать» состоит в том, какие формы можно получить, сложив лист бумаги и сделав один прямой полный разрез. Решение, известное как теорема о сложении и разрезе, утверждает, что можно получить любую форму с прямыми сторонами.

Практическая проблема заключается в том, как сложить карту так, чтобы ею можно было манипулировать с минимальными усилиями и движениями. Складка Миуры является решением проблемы, и было предложено несколько других.

Вычислительное оригами

Вычислительное оригами — это раздел информатики, который занимается изучением алгоритмов решения задач складывания бумаги. В начале 1990-х годов мастера-оригами участвовали в серии конкурсов оригами под названием « Войны жуков» , в которых художники пытались превзойти своих коллег, усложняя свои жучки-оригами. Большинство участников конкурса принадлежали к группе известных японских художников «Детективы оригами». В конкурсе также принял участие Роберт Лэнг , учёный-исследователь из Стэнфордского университета и Калифорнийского технологического института . Конкурс помог зародить коллективный интерес к разработке универсальных моделей и инструментов, которые помогут в конструировании и складывании оригами.

Исследовать

Проблемы складывания бумаги классифицируются как проблемы дизайна оригами или проблемы складывания оригами. В настоящее время существует преимущественно три категории исследований вычислительного оригами: результаты универсальности, эффективные алгоритмы принятия решений и результаты вычислительной сложности . Результат универсальности определяет границы возможности данной конкретной модели складывания. Например, из достаточно большого листа бумаги можно сложить любую древовидную основу оригами, многоугольный силуэт и многогранную поверхность. Когда результаты универсальности недостижимы, можно использовать эффективные алгоритмы принятия решений, чтобы проверить, складывается ли объект за полиномиальное время. Некоторые задачи складывания бумаги не имеют эффективных алгоритмов. Результаты вычислительной сложности показывают, что в настоящее время не существует таких алгоритмов с полиномиальным временем для решения определенных задач свертки. Например, NP-трудно оценить, складывается ли данный образец складок в плоское оригами.

В 2017 году Эрик Демейн из Массачусетского технологического института и Томохиро Тачи из Токийского университета опубликовали новый универсальный алгоритм, который генерирует практические шаблоны складывания бумаги для создания любой трехмерной структуры. Новый алгоритм основан на работе, которую они представили в своей статье в 1999 году и которая впервые представила универсальный алгоритм складывания фигур оригами, гарантирующий минимальное количество швов. Алгоритм будет включен в Origamizer, бесплатное программное обеспечение для создания шаблонов складок оригами, которое впервые было выпущено Tachi в 2008 году.

Программное обеспечение и инструменты

Анимация складок для изготовления самурайского шлема, также называемого кабуто. (На портативном компьютере Джулия и Г.Л.Маки сгенерировали 66-секундное видео в формате .mp4 за 10 секунд.)

Существует несколько инструментов программного обеспечения, которые используются для проектирования оригами. Пользователи указывают желаемую форму или функциональность, а программное обеспечение создает в результате образец сгиба и/или 2D- или 3D-модель. Исследователи из Массачусетского технологического института , Технологического института Джорджии , Калифорнийского университета в Ирвайне , Университета Цукубы и Токийского университета разработали и разместили общедоступные инструменты вычислительного оригами. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw и Origamizer входят в число инструментов, которые использовались при проектировании оригами.

Существуют и другие программные решения, связанные с построением вычислительных моделей оригами с использованием небумажных материалов, например Cadnano в ДНК-оригами .

Приложения

Вычислительное оригами внесло свой вклад в применение в робототехнике, биотехнологии и медицине, промышленном дизайне. Приложения для оригами также были разработаны при изучении языков программирования и парадигм программирования, особенно в контексте функционального программирования.

Роберт Ланг вместе с исследователями из EASi Engineering в Германии участвовал в проекте по разработке конструкции складных автомобильных подушек безопасности. В середине 2000-х годов Лэнг работал с исследователями из Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса над разработкой решения для космического телескопа Джеймса Уэбба , особенно его больших зеркал, которое можно было бы разместить в ракете, используя принципы и алгоритмы вычислительного оригами.

В 2014 году исследователи из Массачусетского технологического института, Гарвардского университета и Института биологической инженерии Висса опубликовали метод создания самоскладывающихся машин и отметили успех проекта в области вычислительного оригами. Сообщается, что их робот, вдохновленный оригами, складывается за 4 минуты и уходит без вмешательства человека, что демонстрирует потенциал автономной самоуправляемой сборки в робототехнике.

Другие приложения включают ДНК-оригами и РНК-оригами , складывание производственных инструментов и хирургию с помощью крошечных роботов-оригами.

Применение вычислительного оригами было показано различными продюсерскими компаниями и рекламными роликами. Ланг, как известно, работал с Toyota Avalon над созданием анимированной последовательности оригами, с Mitsubishi Endeavour над созданием мира, полностью состоящим из фигурок оригами, и с McDonald's, чтобы сформировать многочисленные фигурки оригами из оберток чизбургеров.

См. также

• Флексагон
• метод Лилля
• Проблема со складыванием салфетки
• Складывание карты
• Обычная последовательность складывания бумаги (например, кривая дракона )

Дальнейшее чтение

• Демейн, Эрик Д. , «Складывание и разворачивание» , докторская диссертация, факультет компьютерных наук, Университет Ватерлоо, 2001 г.
• Фридман, Майкл (2018). История складывания в математике: математизация полей . Научные сети. Исторические исследования. Том. 59. Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-319-72487-4 . ISBN  978-3-319-72486-7 .
• Геретшлагер, Роберт (1995). «Евклидовы конструкции и геометрия оригами». Журнал «Математика» . 68 (5): 357–371. дои : 10.2307/2690924 . JSTOR   2690924 .
• Хага, Кадзуо (2008). Фонасье, Жозефина С; Исода, Масами (ред.). Оригамика: математические исследования посредством складывания бумаги . Университет Цукубы, Япония: World Scientific Publishing. ISBN  978-981-283-490-4 .
• Ланг, Роберт Дж. (2003). Секреты дизайна оригами: математические методы в древнем искусстве . АК Петерс. ISBN  978-1-56881-194-9 .
• Дюресше, Дэвид , «Складывание оптимальных многоугольников из квадратов» , Mathematics Magazine 79 (4): 272–280, 2006. дои : 10.2307/27642951
• Дюрейсе, Дэвид , «Обзор механизмов и схем оригами» , Международный журнал космических структур 27 (1): 1–14, 2012. дои : 10.1260/0266-3511.27.1.1

Внешние ссылки

• Доктор Том Халл . «Страница математики оригами» .
• Геометрия складывания бумаги без усилий
• Разделение сегмента на равные части путем сгибания бумаги при разрезании узла
• Бритни Галливан решила проблему складывания бумаги
• Обзор аксиом оригами
• Введение в статистику с помощью оригами Марио Сигада