Керальская школа астрономии и математики

Керальская школа астрономии и математики
Керальская школа астрономии и математики
	Сеть учителей школы Кералы
Расположение
	Центральная и Северная Керала , Индия
Информация
Тип	Астрономия , Математика , Наука
Основатель	Мадхава из Сангамаграмы

Керальская школа астрономии и математики или Керальская школа — школа математики и астрономии, основанная Мадхавой Сангамаграмы в Тируре , Малаппурам , Керала , Индия, в состав которой входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна. Бхаттатири и Ачьюта Паниккар . Школа процветала между 14 и 16 веками, и ее первоначальные открытия, похоже, закончились Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические задачи, школа Кералы независимо открыла ряд важных математических понятий. Их наиболее важные результаты — разложение в ряды для тригонометрических функций — были описаны в санскритских стихах в книге Нилаканты под названием «Тантрасангграха» (около 1500 г.), а также в комментарии к этому труду под названием «Тантрасанграха-вакхья » неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства рядов для синуса, косинуса и обратного тангенса были представлены век спустя в работе Юктибхаса ( ок. 1530 ), написанная на малаялам Джьештхадевой, а также в комментарии к Тантрасанграхе . ^{[ 1 ]}

Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (не считая геометрического ряда ). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Фон

Исламские учёные почти разработали общую формулу для нахождения интегралов от многочленов к 1000 году нашей эры — и, очевидно, могли найти такую формулу для любого многочлена, который их интересовал. Но, по-видимому, ни один полином степени выше четвертой их не интересовал, по крайней мере ни в одном из дошедших до нас материалов. С другой стороны, индийские ученые к 1600 году смогли использовать формулу, аналогичную формуле суммы Ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней, при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же они уже умели вычислять дифференциалы этих функций. Итак, некоторые основные идеи исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Исаака Ньютона . Однако не похоже, чтобы исламские или индийские математики видели необходимость соединить некоторые разрозненные идеи, которые мы включаем под названием «исчисление». Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Взносы

Бесконечный ряд и исчисление

Школа Кералы внесла ряд вкладов в области бесконечных рядов и исчисления . К ним относятся следующие бесконечные геометрические ряды:

{\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1

^{[ 7 ]}

Школа Кералы интуитивно использовала математическую индукцию , хотя индуктивная гипотеза еще не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^{[ 1 ]} Они использовали это, чтобы найти полустрогое доказательство результата:

1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}

для большого n .

(того, что должно было стать) Они применили идеи дифференциального и интегрального исчисления , чтобы получить ( Тейлора – Маклорена ) для бесконечные ряды $\sin x$ , $\cos x$ , и $\arctan x$ . ^{[ 8 ]} Тантрасанграха -вакхья представляет серию в стихах, которые при переводе в математические обозначения можно записать так: ^{[ 1 ]}

r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.

r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots

r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots

где, для $r=1,$ ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

и

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

(Школа Кералы не использовала «факториальную» символику.)

Школа Кералы использовала выпрямление (вычисление длины) дуги круга для доказательства этих результатов. (Поздний метод Лейбница, использующий квадратуру ( т. е. вычисление площади под дугой круга), еще не был разработан.) ^{[ 1 ]} Они также использовали расширение серии $\arctan x$ чтобы получить выражение бесконечного ряда (позже известного как ряд Грегори) для $\pi$ : ^{[ 1 ]}

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots

Особый интерес представляют их рациональные аппроксимации погрешности для конечной суммы их рядов. Например, ошибка, $f_{i}(n+1)$ , (для n нечетных и i = 1, 2, 3 ) для ряда:

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)

где

f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.

Они манипулировали терминами, используя разложение частичных дробей: ${\frac {1}{n^{3}-n}}$ получить более быстро сходящийся ряд для $\pi$ : ^{[ 1 ]}

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots

Они использовали улучшенный ряд для получения рационального выражения: ^{[ 1 ]} $104348/33215$ для $\pi$ исправить до девяти десятичных знаков, т.е. $3.141592653$ . Для вычисления этих результатов они использовали интуитивное понятие предела . ^{[ 1 ]} Математики школы Кералы также предложили полустрогий метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций: ^{[ 9 ]} хотя понятие функции, показательной или логарифмической функции еще не было сформулировано.

Признание

В 1825 году Джон Уоррен опубликовал мемуары о разделении времени на юге Индии. ^{[ 10 ]} под названием « Кала Санкалита» , в котором кратко упоминается об открытии астрономами Кералы бесконечных рядов.

Работы школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином К. М. Уишем в 1835 году. По словам Уиша, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюксий», и эти работы изобиловали «флюксионными формами и рядами». нельзя найти ни в одном произведении зарубежных стран». ^{[ 11 ]} Однако результаты Уиша почти полностью игнорировались до тех пор, пока более столетия спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы Ч. Т. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктанов в Юктибхасе, приведенные в двух статьях: ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} комментарий к Юктибхасы доказательству ряда синусов и косинусов ^{[ 14 ]} и две статьи, в которых представлены санскритские стихи Тантрасанграхавахьи для серии об арктане, грехе и косинусе (с английским переводом и комментариями). ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

В 1952 году Отто Нойгебауэр написал статью о тамильской астрономии. ^{[ 17 ]}

В 1972 году К.В. Сарма опубликовал свою «Историю школы индуистской астрономии Кералы» , в которой описаны такие особенности школы, как непрерывность передачи знаний с 13 по 17 века: от Говинды Бхаттатири к Парамешваре , к Дамодаре, к Нилаканте Сомаяджи, к Джьештхадеве , к Ачьюте Писарати. . Передача от учителя к ученику сохраняла знания в «практической, показательной дисциплине, такой как астрономия, в то время, когда не было распространения печатных книг и государственных школ».

В 1994 году утверждалось, что гелиоцентрическая модель была принята около 1500 года нашей эры в Керале. ^{[ 18 ]}

Возможная передача результатов школ Кералы в Европу

А. К. Баг предположил в 1979 году, что знание об этих результатах могло быть передано в Европу по торговому пути из Кералы торговцами и миссионерами -иезуитами . ^{[ 19 ]} Керала находилась в постоянном контакте с Китаем, Аравией и Европой . Предложение некоторых учёных о некоторых маршрутах сообщения и хронологии. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} мог бы сделать такую передачу возможной; однако прямых доказательств того, что такая передача имела место, в виде соответствующих рукописей нет. ^{[ 21 ]} По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких свидетельств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[ 8 ]}^{[ 22 ]} В. Дж. Кац отмечает, что некоторые идеи школы Кералы имеют сходство с работами иракского ученого XI века Ибн аль-Хайсама . ^{[ 9 ]} предполагая возможную передачу идей исламской математики в Кералу. ^{[ 23 ]}

И индийские, и арабские ученые сделали открытия до 17 века, которые сейчас считаются частью исчисления. ^{[ 9 ]} По словам Каца, им еще предстояло «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня», как Ньютон и Лейбниц . ^{[ 9 ]} Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работы не были их собственными; ^{[ 9 ]} однако достоверно неизвестно, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, о которых мы сейчас не знаем». ^{[ 9 ]} Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба , исследования, которые сейчас проводятся, среди других мест, в Национальном центре научных исследований в Париже . ^{[ 9 ]}

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда для $\pi$ Лейбниц, Грегори и Нилаканта». Журнал Mathematics Magazine (Математическая ассоциация Америки) 63 (5): 291–306.
^ ( Стилвелл 2004 , стр. 173)
^ ( Брессуд 2002 , стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти серии были вновь открыты в Европе, они практически были потеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались из поколения в поколение через несколько поколений учеников, но. они оставались бесплодными наблюдениями, которым никто не мог найти особого применения».
^ Плофкер 2001 , с. 293 Цитата: «Нередко в дискуссиях по индийской математике можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в X веке)» [Джозеф 1991, 300 ], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на роль «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979, 294). передача математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или после него в латинский ученый мир (например, в (Bag 1979, 285)). Имейте в виду, однако, что такой акцент на сходстве санскритской (или малаяламской) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью увидеть и понять первую. Говорить об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления» несколько затемняет суть. тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, остались в этом специфическом тригонометрическом контексте. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции — фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о понятии ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения».
^ Пингри 1992 , с. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Уишем в 1830-х годах. Это утверждение и достижения Мадхавы, по-видимому, были проигнорированы западными историками. сначала потому, что они не могли признать, что это исчисление открыл индеец, но позже потому, что никто больше не читал «Трудов Королевского азиатского общества» , в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос вновь всплыл на поверхность в 1950-х годах, и теперь у нас есть санскритские тексты. отредактировано должным образом, и мы понимаем, какой умный способ Мадхава вывел этот ряд без исчисления, но многие историки все еще находят невозможным представить проблему и ее решение с точки зрения чего-либо; кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они похоронены под текущим математическим решением проблемы, для которой он нашел альтернативное и мощное решение».
^ Katz 1995 , стр. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для поиска интегралов многочленов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, могли найти такую формулу для любого полином, который их интересовал. Но, оказывается, ни один полином степени выше четвертой, по крайней мере, ни в одном из поступивших материалов. С другой стороны, до нас индийские ученые к 1600 году смогли использовать формулу суммы Ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. В то же время они также знали, как это сделать. Чтобы вычислить дифференциалы этих функций, некоторые основные идеи исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Однако ни исламские, ни индийские математики не видели необходимости связывать некоторые из них. разрозненные идеи, которые мы включаем под названием исчисление. Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы.
Поэтому нет опасности, что нам придется переписать исторические тексты, чтобы удалить утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».
^ Сингх, АН (1936). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. дои : 10.1086/368443 . S2CID 144760421 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Брессу, Дэвид. 2002. «Было ли исчисление изобретено в Индии?» Журнал колледжа математики (Математическая ассоциация Америки). 33(1):2–13.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Кац, В.Дж. 1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». ( pdf ) Журнал Mathematics (Математическая ассоциация Америки), 68 (3): 163-174.
^ Джон Уоррен (1825) Сборник мемуаров о различных режимах, согласно которым народы южной части Индии делят время из Google Books
^ Виш, Чарльз М. (1835). «XXXIII. Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамака» . Труды Королевского Азиатского общества . 3 : 509–523.
^ Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1949). «Забытая глава индуистской математики». Скрипта Математика . 15 : 201–209.
^ Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1951). «Об индуистском доказательстве ряда Грегори». Скрипта Математика . 17 : 65–74.
^ Раджагопал, К.; Венкатараман, А. (1949). «Степенной ряд синуса и косинуса в индуистской математике». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) . 15 : 1–13.
^ Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142 . S2CID 51861422 .
^ Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. дои : 10.1007/BF00357622 . S2CID 121678430 .
^ Отто Нойгебауэр (1952) «Тамильская астрономия», Осирис 10: 252–76.
^ К. Рамасубраманиан, доктор медицинских наук Шринивас и М.С. Шрирам (1994) Модификация более ранней индийской планетарной теории астрономами Кералы (ок. 1500 г. н.э.) и подразумеваемая гелиоцентрическая картина движения планет , Current Science 66 (10) : 784–90
^ AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси/Дели: Chaukhambha Orientalia. стр. 285.
^ Раджу, СК (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. дои : 10.1353/pew.2001.0045 . S2CID 170341845 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Алмейда, DF; Джон, Дж. К.; Задорожный, А. (2001). «Керельская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.
^ Голд, Д.; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». История науки . 42 : 49–65.
^ Кац 1995 , с. 174.

Ссылки

Брессуд, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi : 10.2307/1558972 , JSTOR 1558972 .
Гупта, Р.К. (1969) «Второй порядок интерполяции индийской математики», Индийский журнал истории науки 4: 92-94
Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в книге Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 1, стр. 118–130, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса, 976 страниц, ISBN 0-8018-7396-7 .
Джозеф, Г.Г. (2000), Герб павлина: неевропейские корни математики , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-00659-8 .
Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine , 68 (3): 163–174, doi : 10.2307/2691411 , JSTOR 2691411 .
Парамешваран, С. (1992) «Возвращение к выставочному залу Уиша», Mathematical Gazette 76, вып. 475 страниц 28–36
Пингри, Дэвид (1992), «Элленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis...83..554P , doi : 10.1086/356288 , JSTOR 234257 , S2CID 68570164
Плофкер, Ким (1996), «Пример секущего метода итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026 .
Плофкер, Ким (2001), «Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу», Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331 .
Плофкер, К. (20 июля 2007 г.), «Математика Индии», Кац, Виктор Дж. (редактор), «Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет. Press, 685 страниц (опубликовано в 2007 г.), стр. 385–514, ISBN. 978-0-691-11485-9 .
СК Раджу. «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе», Philosophy East and West 51 , University of Hawaii Press, 2001.
Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для $\pi$ Лейбниц, Грегори и Нилаканта», Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.2307/2690896 , JSTOR 2690896 .
Сарма, КВ; Харихаран, С. (1991). «Юктибхаса Джьештхадевы: книга обоснований индийской математики и астрономии - аналитическая оценка». Индийский Дж. Хист. Наука . 26 (2): 185–207.
Сингх, А.Н. (1936), «Об использовании рядов в индуистской математике», Осирис , 1 : 606–628, doi : 10.1086/368443 , JSTOR 301627 , S2CID 144760421
Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Берлин и Нью-Йорк: Springer, 568 страниц, ISBN 0-387-95336-1 .
Каблуки Вентури. «Письмо Маттео Риччи Петри Маффеи от 1 декабря 1581 года», Маттео Риччи SI, Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , том. 2, Мачерата, 1613 г.

Внешние ссылки

Обзор индийской математики , архив MacTutor History of Mathematics , 2002.
Индийская математика: восстановление баланса , Архив истории математики MacTutor , 2002.
Керальская математика , Архив истории математики MacTutor , 2002.
Возможная передача керальской математики в Европу , Архив истории математики MacTutor , 2002.
«Индийцы опередили «открытие» Ньютона на 250 лет» phys.org, 2007 г.

[roy-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда для $\pi$ Лейбниц, Грегори и Нилаканта». Журнал Mathematics Magazine (Математическая ассоциация Америки) 63 (5): 291–306.

[2] ( Стилвелл 2004 , стр. 173)

[3] ( Брессуд 2002 , стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти серии были вновь открыты в Европе, они практически были потеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались из поколения в поколение через несколько поколений учеников, но. они оставались бесплодными наблюдениями, которым никто не мог найти особого применения».

[4] Плофкер 2001 , с. 293 Цитата: «Нередко в дискуссиях по индийской математике можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в X веке)» [Джозеф 1991, 300 ], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на роль «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979, 294). передача математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или после него в латинский ученый мир (например, в (Bag 1979, 285)). Имейте в виду, однако, что такой акцент на сходстве санскритской (или малаяламской) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью увидеть и понять первую. Говорить об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления» несколько затемняет суть. тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, остались в этом специфическом тригонометрическом контексте. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции — фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о понятии ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения».

[5] Пингри 1992 , с. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Уишем в 1830-х годах. Это утверждение и достижения Мадхавы, по-видимому, были проигнорированы западными историками. сначала потому, что они не могли признать, что это исчисление открыл индеец, но позже потому, что никто больше не читал «Трудов Королевского азиатского общества» , в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос вновь всплыл на поверхность в 1950-х годах, и теперь у нас есть санскритские тексты. отредактировано должным образом, и мы понимаем, какой умный способ Мадхава вывел этот ряд без исчисления, но многие историки все еще находят невозможным представить проблему и ее решение с точки зрения чего-либо; кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они похоронены под текущим математическим решением проблемы, для которой он нашел альтернативное и мощное решение».

[6] Katz 1995 , стр. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для поиска интегралов многочленов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, могли найти такую формулу для любого полином, который их интересовал. Но, оказывается, ни один полином степени выше четвертой, по крайней мере, ни в одном из поступивших материалов. С другой стороны, до нас индийские ученые к 1600 году смогли использовать формулу суммы Ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. В то же время они также знали, как это сделать. Чтобы вычислить дифференциалы этих функций, некоторые основные идеи исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Однако ни исламские, ни индийские математики не видели необходимости связывать некоторые из них. разрозненные идеи, которые мы включаем под названием исчисление. Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы.
Поэтому нет опасности, что нам придется переписать исторические тексты, чтобы удалить утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».

[singh-7] Сингх, АН (1936). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. дои : 10.1086/368443 . S2CID 144760421 .

[bressoud-8] Перейти обратно: ^а ^б Брессу, Дэвид. 2002. «Было ли исчисление изобретено в Индии?» Журнал колледжа математики (Математическая ассоциация Америки). 33(1):2–13.

[katz-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Кац, В.Дж. 1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». ( pdf ) Журнал Mathematics (Математическая ассоциация Америки), 68 (3): 163-174.

[10] Джон Уоррен (1825) Сборник мемуаров о различных режимах, согласно которым народы южной части Индии делят время из Google Books

[whish-11] Виш, Чарльз М. (1835). «XXXIII. Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамака» . Труды Королевского Азиатского общества . 3 : 509–523.

[12] Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1949). «Забытая глава индуистской математики». Скрипта Математика . 15 : 201–209.

[13] Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1951). «Об индуистском доказательстве ряда Грегори». Скрипта Математика . 17 : 65–74.

[14] Раджагопал, К.; Венкатараман, А. (1949). «Степенной ряд синуса и косинуса в индуистской математике». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) . 15 : 1–13.

[15] Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142 . S2CID 51861422 .

[16] Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. дои : 10.1007/BF00357622 . S2CID 121678430 .

[17] Отто Нойгебауэр (1952) «Тамильская астрономия», Осирис 10: 252–76.

[18] К. Рамасубраманиан, доктор медицинских наук Шринивас и М.С. Шрирам (1994) Модификация более ранней индийской планетарной теории астрономами Кералы (ок. 1500 г. н.э.) и подразумеваемая гелиоцентрическая картина движения планет , Current Science 66 (10) : 784–90

[19] AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси/Дели: Chaukhambha Orientalia. стр. 285.

[20] Раджу, СК (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. дои : 10.1353/pew.2001.0045 . S2CID 170341845 .

[almeida-21] Перейти обратно: ^а ^б Алмейда, DF; Джон, Дж. К.; Задорожный, А. (2001). «Керельская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.

[gold-22] Голд, Д.; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». История науки . 42 : 49–65.

[23] Кац 1995 , с. 174.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

v т и Индийская астрономия
Astronomers	Apastamba Aryabhata I Aryabhata II Vainu Bappu Bhāskara I Bhāskara II Baudhayana Brahmagupta Sandip Chakrabarti Radhagobinda Chandra Subrahmanyan Chandrasekhar Amil Kumar Das P. Devadas Gautama Siddha M. K. Das Gupta Jyesthadeva Kamalakara Katyayana Lagadha Lalla Madhava of Sangamagrama Prasanta Chandra Mahalanobis Mahavira Manava Jayant Narlikar Parameshvara Achyuta Pisharati Venkatraman Radhakrishnan J. J. Rawal Megh Nad Saha Jagannatha Samrat Bapudeva Sastri Jai Singh II of Amber Nilakantha Somayaji Sripati Mahendra Suri Govind Swarup Utpala Varahamihira Shankara Variyar Vasistha Yajnavalkya Pathani Samanta
Works	Aryabhatiya Brahmanas Aitareya Brahmana Shatapatha Brahmana Bṛhat Saṃhitā Ganitagannadi Jyotirmimamsa Shulba Sutras Panchangam Khandakhadyaka Mahādevī Makarandasarini Siddhantas Brāhmasphuṭasiddhānta Maha-Siddhanta Pancha-Siddhantika Paulisa Siddhanta Paitamaha Siddhanta Rājamṛgāṅka (astronomy book) Romaka Siddhanta Surya Siddhanta Vasishtha Siddhanta Tantrasangraha Treatise on Astrology of the Kaiyuan Era Vākyakaraṇa Vedanga Jyotisha Vedas Atharvaveda Rigveda Yavanajataka Zij
Instruments	Armillary sphere Astrolabe Celestial globe Compass Cross-staff Dioptra Equatorial ring Equatorial sundial Globe Gnomon Mural instrument Quadrant Sextant Sundial Triquetrum Water clock Yantraraja
Concepts	Axial tilt Azimuth Cardinal direction Celestial equator Celestial sphere Celestial spheres Center of mass Circular orbit Deferent and epicycle Earth's rotation Eccentricity Ecliptic Elliptic orbit Equant Geocentrism Geoheliocentrism Globe Gravity Heliocentrism Hindu units of time Jyotiṣa Kali ahargaṇa Kalpa Karana Manvantara Moonlight Nakshatra Nityayoga Parallax Precession Ritu Spherical Earth Sunlight Tithi Vāra Yuga Zodiacal sign
Centres	Jantar Mantar Jaipur New Delhi Ujjain Varanasi Kerala school of astronomy and mathematics
Other regions	Babylonian astronomy Ancient Greek astronomy Hellenistic astronomy Islamic astronomy Chinese astronomy European astronomy
Months of the Vedic calendar	Chaitra Vaisakha Jyeshta Aashaadha Shraavana Bhadrapada Ashvin Kartik Margashirsha Pausha Maagha Phalguna

v т и Керальская школа астрономии и математики
Astronomers and mathematicians	(Complete list) Acyuta Piṣāraṭi Azhvāñceri Taṃprākkaḷ Citrabhānu Dāmodara of Vațaśreņi Devācārya Govinda Bhattathiri Govindasvāmin Haridatta Jyeṣṭhadeva Kochukrishnan Asan Madhava of Sangamagrama Mazhamaṅgalaṃ Nārāyaṇan Naṃpūtiri Nīlakaņțha Sōmayāji Nīlakaṇṭha II Parameśvara of Vațaśśeri Śaṅkaranārāyaṇa Śaṅkara of Mahiṣamaṅgalam Putumana Somayāji Śankara Vāriyar Śaṅkara Varma of Kaṭattanāṭ Udayadivākara Vararuci I Vidyamadhava
Treatises	Aryabhatiya-bhashya (Nīlakaņțha Sōmayāji) Candrachayaganita Dasādhyāyi Drigganita Dṛkkaraṇa Gaṇitayuktayah Golavada Golasara Grahacāraṇinibandhana Jātaka-sāara-saṃgraha Jyotirmimamsa Jyotiśśāstra-saṃgraha Kanakkusāraṃ Karaṇapaddhati Kriyakramakari Laghuvivṛti (commentary on Tantrasamgraha) Madhyamanayanaprakara Mahābhāskarīya Bhāshya Pañcabodha Sadratnamālā Sidhhantadarpana Spuṭanirṇaya Tantrasamgraha Venvaroha Yuktibhāṣā
Concepts/Topics	Chandravakyas Drigganita system Kaṭapayādi system Madhava's correction terms Madhava series Madhava's sine table Parahita system
Places associated with members of the school	Athavanad (Azhvanchery Thamprakkal) Alathiyur (Govinda Bhattathiri, etc) Kadathanadu (Sankara Varman) Mahodayapuram (Kodungallur) (Sankaranarayana) Kudallur (Madhava of Sangamagrama) Peruvanam (Mahishamangalam Sankaran Namputhiri) Thrikkandiyur (Nilakantha Somayaji, etc) Sivapuram (Thrissur) (Putumana Somayaji, etc) Tirunavaya (Haridatta)

v т и Древние дхармические центры высшего образования
Major centres of learning	Nalanda Nagarjunakonda Odantapuri Pushpagiri Raktamrittika Somapura Taxila Vallabhi Vikramashila Jagaddala
Other centres of learning	Ajanta Bikrampur Vihara Kanchipuram Kanheri Kerala school of astronomy and mathematics Lalitgiri Mansar Manyakheta Paithan Pandit Vihara Ratnagiri Shalban Vihara Sharada Peeth Sunethradevi Pirivena Telhara monastery Udayagiri Ujjayini Varanasi Vidyalankara Pirivena Vidyodaya Pirivena