Матрица трансформации

В линейной алгебре линейные преобразования могут быть представлены матрицами . Если $T$ является отображением линейного преобразования $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbf {x}$ представляет собой вектор-столбец с $n$ записи, затем $T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$ для некоторых $m\times n$ матрица $A$ , называемая преобразования матрицей $T$ . ^{[ нужна ссылка ]} Обратите внимание, что $A$ имеет $m$ ряды и $n$ столбцы, тогда как преобразование $T$ из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{m}$ . Существуют альтернативные выражения матриц преобразования, включающие векторы-строки , которые предпочитают некоторые авторы. ^[1]^[2]

Использование

Матрицы позволяют произвольные линейные преобразования в согласованном формате, удобном для вычислений. отображать ^[3] Это также позволяет легко составлять преобразования (путем умножения их матриц).

Линейные преобразования — не единственные, которые могут быть представлены матрицами. Некоторые преобразования, нелинейные в n-мерном евклидовом пространстве R ^н могут быть представлены в виде линейных преобразований на n +1-мерном пространстве R ^{п +1}. К ним относятся как аффинные преобразования (например, трансляция ), так и проективные преобразования . По этой причине матрицы преобразования 4×4 широко используются в компьютерной 3D-графике . Эти n +1-мерные матрицы преобразования называются, в зависимости от их применения, матрицами аффинного преобразования , матрицами проективного преобразования или, в более общем смысле, матрицами нелинейного преобразования . Что касается n -мерной матрицы, то n +1-мерная матрица может быть описана как расширенная матрица .

В физических науках активным преобразованием называется такое преобразование, которое фактически меняет физическое положение системы и имеет смысл даже при отсутствии системы координат , тогда как пассивным преобразованием называется изменение координатного описания физической системы ( изменение базиса). ). различать активные и пассивные преобразования Важно . По умолчанию под математики преобразованием обычно имеют в виду активные преобразования, тогда как физики могут иметь в виду и то, и другое.

Другими словами, пассивное преобразование относится к описанию одного и того же объекта, если смотреть из двух разных систем координат.

Нахождение матрицы преобразования

Если имеется линейное преобразование $T(x)$ легко определить, В функциональной форме матрицу преобразования A преобразовав каждый из векторов стандартного базиса посредством T , а затем вставив результат в столбцы матрицы. Другими словами, $A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}$

Например, функция $T(x)=5x$ является линейным преобразованием. Применение описанного выше процесса (предположим, что в данном случае n = 2) показывает, что $T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x}$

Матричное представление векторов и операторов зависит от выбранного базиса; матрица аналогичная будет получена на альтернативной основе. Тем не менее, метод поиска компонентов остается прежним.

Чтобы уточнить, вектор $\mathbf {v}$ могут быть представлены в базисных векторах, $E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$ с координатами $[\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ : $\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}$

Теперь выразим результат матрицы преобразования A при $\mathbf {v}$ , в данном базисе: ${\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

The $a_{i,j}$ элементы матрицы A определяются для данного базиса E путем применения A к каждому $\mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ и наблюдая за вектором отклика $A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.$

Это уравнение определяет желаемые элементы, $a_{i,j}$ , j -го столбца матрицы A . ^[4]

Собственный базис и диагональная матрица

Однако существует специальный базис для оператора, в котором компоненты образуют диагональную матрицу и, таким образом, сложность умножения снижается до $n$ . Диагональность означает, что все коэффициенты $a_{i,j}$ кроме $a_{i,i}$ являются нулями, оставляя только одно слагаемое в сумме ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ выше. Сохранившиеся диагональные элементы, $a_{i,i}$ , известны как собственные значения и обозначаются значком $\lambda _{i}$ в определяющем уравнении, которое сводится к $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений . ^[5] Собственные векторы и собственные значения получаются из него с помощью характеристического многочлена .

С помощью диагонализации осуществлять часто можно перевод в собственные базы и обратно.

Примеры в 2 измерениях

Наиболее распространенные геометрические преобразования , сохраняющие начало координат фиксированными, являются линейными, включая вращение, масштабирование, сдвиг, отражение и ортогональную проекцию; если аффинное преобразование не является чистым переводом, оно сохраняет некоторую точку фиксированной, и эту точку можно выбрать в качестве начала координат, чтобы сделать преобразование линейным. В двух измерениях линейные преобразования можно представить с помощью матрицы преобразования 2×2.

Растяжка

Растяжение в плоскости xy — это линейное преобразование, которое увеличивает все расстояния в определенном направлении в постоянный коэффициент, но не влияет на расстояния в перпендикулярном направлении. Мы рассматриваем растяжения только по осям x и y. Растяжение по оси x имеет вид $x' = kx$ ; $y' = y$ для некоторой положительной константы $k$ . (Обратите внимание, что если $k > 1$ , то это действительно «растяжение»; если $k < 1$ , это технически «сжатие», но мы все равно называем это растяжением. Кроме того, если $k = 1$ , тогда преобразование является идентичность, то есть это не имеет никакого эффекта.)

Матрица, связанная с растяжением в $k$ раз по оси x, определяется следующим образом: ${\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Аналогично, растяжение в k раз по оси y имеет форму $x' = x$ ; $y' = ky$ , поэтому матрица, связанная с этим преобразованием, равна ${\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}$

Сжатие

Если два приведенных выше растяжения объединены с обратными значениями, то матрица преобразования представляет собой отображение сжатия : ${\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.$ Квадрат со сторонами, параллельными осям, преобразуется в прямоугольник, имеющий ту же площадь, что и квадрат. Взаимное растяжение и сжатие оставляют область неизменной.

Вращение

Для вращения на угол θ против часовой стрелки (положительное направление) вокруг начала координат функциональная форма имеет вид $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ и $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ . Если записать это в матричной форме, это будет выглядеть следующим образом: ^[6] ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Аналогично, для вращения по часовой стрелке (отрицательное направление) вокруг начала координат функциональная форма имеет вид $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ и $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ матричная форма: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

В этих формулах предполагается, что ось X направлена вправо, а ось Y — вверх.

стрижка

Для картирования сдвига (визуально похожего на наклон) есть две возможности.

Сдвиг, параллельный оси x , имеет $x'=x+ky$ и $y'=y$ . Если записать это в матричной форме, это будет выглядеть следующим образом: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Сдвиг, параллельный оси Y, имеет $x'=x$ и $y'=y+kx$ , который имеет матричную форму: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Отражение

Для размышления о линии, проходящей через начало координат, позвольте $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ быть вектором в направлении прямой. Затем используйте матрицу преобразования: $\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}$

Ортогональная проекция

Чтобы спроецировать вектор ортогонально на линию, проходящую через начало координат, пусть $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ быть вектором в направлении прямой. Затем используйте матрицу преобразования: $\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}$

Как и в случае с отражениями, ортогональная проекция на линию, не проходящую через начало координат, является аффинным, а не линейным преобразованием.

Параллельные проекции также являются линейными преобразованиями и могут быть представлены просто матрицей. Однако перспективные проекции не являются таковыми, и для их представления в виде матрицы однородные координаты можно использовать .

Примеры в 3D компьютерной графике

Вращение

Матрица для поворота угла θ вокруг любой оси, заданной единичным вектором ( x , y , z ), равна ^[7] ${\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Отражение

Чтобы отразить точку через плоскость $ax+by+cz=0$ (который проходит через начало координат), можно использовать $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$ , где $\mathbf {I}$ - единичная матрица 3×3 и $\mathbf {N}$ — трехмерный единичный вектор вектора нормали к плоскости. Если Л ² норма $a$ , $b$ , и $c$ равна единице, матрица преобразования может быть выражена как: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}$

Обратите внимание, что это частные случаи отражения Хаусхолдера в двух и трех измерениях. Отражение линии или плоскости, которая не проходит через начало координат, не является линейным преобразованием — это аффинное преобразование — в виде матрицы аффинного преобразования 4 × 4 его можно выразить следующим образом (при условии, что нормаль является единичным вектором) : ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}$ где $d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}$ в какой-то момент $\mathbf {p}$ на плоскости или, что то же самое, $ax+by+cz+d=0$ .

Если 4-я компонента вектора равна 0 вместо 1, то отражается только направление вектора, а его величина остается неизменной, как если бы он был отражен через параллельную плоскость, проходящую через начало координат. Это полезное свойство, поскольку оно позволяет преобразовывать как позиционные векторы, так и векторы нормалей с помощью одной и той же матрицы. см . Однородные координаты и аффинные преобразования Для дальнейшего объяснения ниже.

Составление и инвертирование преобразований

Одна из основных причин использования матриц для представления линейных преобразований заключается в том, что преобразования можно легко составить и инвертировать.

Композиция осуществляется путем умножения матриц . Векторы-строки и столбцы обрабатываются матрицами: строки слева и столбцы справа. Поскольку текст читается слева направо, при составлении матриц преобразования предпочтительны векторы-столбцы:

Если A и B являются матрицами двух линейных преобразований, то эффект первого применения A , а затем B к вектор-столбцу $\mathbf {x}$ дается: $\mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .$

Другими словами, матрица комбинированного преобразования A , за которым следует B, является просто произведением отдельных матриц.

Если A — обратимая матрица, существует матрица A ⁻¹ это представляет собой преобразование, которое «отменяет» A, поскольку его композиция с A является единичной матрицей . В некоторых практических приложениях инверсию можно вычислить с использованием общих алгоритмов инверсии или путем выполнения обратных операций (которые имеют очевидную геометрическую интерпретацию, например, вращение в противоположном направлении) и последующего составления их в обратном порядке. Матрицы отражения представляют собой особый случай, поскольку они являются обратными сами себе и не требуют отдельного расчета.

Другие виды преобразований

Аффинные преобразования

Аффинные преобразования на двумерной плоскости могут выполняться в трех измерениях. Перевод осуществляется путем сдвига параллельно плоскости xy, а вращение осуществляется вокруг оси z.

Для представления аффинных преобразований с помощью матриц мы можем использовать однородные координаты . Это означает представление 2-вектора ( x , y ) как 3-вектора ( x , y , 1), и аналогично для более высоких измерений. Используя эту систему, перевод можно выразить с помощью матричного умножения. Функциональная форма $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ становится: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$

Все обычные линейные преобразования входят в набор аффинных преобразований и могут быть описаны как упрощенная форма аффинных преобразований. Следовательно, любое линейное преобразование также может быть представлено общей матрицей преобразования. Последнее получается путем расширения соответствующей матрицы линейного преобразования на одну строку и столбец, заполняя дополнительное пространство нулями, за исключением правого нижнего угла, который должен быть установлен в 1. Например, матрица против часовой стрелки вращения сверху становится : ${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Используя матрицы преобразования, содержащие однородные координаты, переводы становятся линейными и, таким образом, могут легко смешиваться со всеми другими типами преобразований. Причина в том, что реальная плоскость отображается в $плоскость w = 1$ в реальном проективном пространстве, и поэтому сдвиг в реальном евклидовом пространстве может быть представлен как сдвиг в реальном проективном пространстве. Хотя сдвиг является нелинейным преобразованием в 2-D или 3-D евклидовом пространстве, описываемом декартовыми координатами (т.е. его нельзя комбинировать с другими преобразованиями, сохраняя при этом коммутативность и другие свойства), он становится в 3-мерном пространстве . D или 4-D проективное пространство, описываемое однородными координатами, простым линейным преобразованием (сдвигом ) .

Больше аффинных преобразований можно получить путем композиции двух или более аффинных преобразований. Например, учитывая перевод T' с вектором $(t'_{x},t'_{y}),$ поворот R на угол θ против часовой стрелки , масштабирование S с коэффициентами $(s_{x},s_{y})$ и перевод T вектора $(t_{x},t_{y}),$ результат M T'RST : ^[8] ${\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}$

При использовании аффинных преобразований однородный компонент координатного вектора (обычно называемый w ) никогда не будет изменен. Поэтому можно смело предположить, что оно всегда равно 1, и игнорировать его. Однако это неверно при использовании перспективных проекций.

Перспективная проекция

Другой тип трансформации, важный в компьютерной 3D-графике , — это перспективная проекция . В то время как параллельные проекции используются для проецирования точек на плоскость изображения вдоль параллельных линий, перспективная проекция проецирует точки на плоскость изображения вдоль линий, исходящих из одной точки, называемой центром проекции. Это означает, что объект имеет меньшую проекцию, когда он находится далеко от центра проекции, и большую проекцию, когда он ближе (см. также обратную функцию ).

В простейшей перспективной проекции в качестве центра проекции используется начало координат, а в точке — плоскость. $z=1$ как плоскость изображения. Тогда функциональная форма этого преобразования будет $x'=x/z$ ; $y'=y/z$ . Мы можем выразить это в однородных координатах как: ${\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}$

После проведения матричного умножения однородная компонента $w_{c}$ будет равна значению $z$ а остальные три не изменятся. Следовательно, чтобы отобразить обратно в реальную плоскость, мы должны выполнить однородное разделение или разделение перспективы , разделив каждый компонент на $w_{c}$ : ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}$

Более сложные перспективные проекции можно составить, объединив их с поворотами, масштабами, перемещениями и сдвигами для перемещения плоскости изображения и центра проекции туда, куда они пожелают.

См. также

Ссылки

^ Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия
^ JWP Hirschfeld (1979) Проективная геометрия конечных полей , Clarendon Press
^ Нежный, Джеймс Э. (2007). «Матричные преобразования и факторизации» . Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Спрингер. ISBN 9780387708737 .
^ Ближе, Джеймс (2010). «Глава 7.3 Примеры операторов» (PDF) . Математические инструменты физики . ISBN 978-0486482125 . Проверено 1 января 2012 г.
^ Ближе, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF) . Математические инструменты физики . ISBN 978-0486482125 . Проверено 1 января 2012 г.
^ «Конспекты лекций» (PDF) . ocw.mit.edu . Проверено 28 июля 2024 г.
^ Шимански, Джон Э. (1989). Базовая математика для инженеров-электронщиков: модели и приложения . Тейлор и Фрэнсис. п. 154. ИСБН 0278000681 .
^ Седрик Жюль (25 февраля 2015 г.). «Запекание матриц 2D-преобразования» .

Внешние ссылки

Страница Matrix Практические примеры в POV-Ray
Справочная страница - Вращение осей
Калькулятор линейного преобразования
Апплет трансформации — генерирует матрицы из 2D-преобразований и наоборот.
Преобразование координат при вращении в 2D
Excel Fun — создавайте 3D-графику из электронной таблицы

[1] Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия

[2] JWP Hirschfeld (1979) Проективная геометрия конечных полей , Clarendon Press

[3] Нежный, Джеймс Э. (2007). «Матричные преобразования и факторизации» . Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Спрингер. ISBN 9780387708737 .

[4] Ближе, Джеймс (2010). «Глава 7.3 Примеры операторов» (PDF) . Математические инструменты физики . ISBN 978-0486482125 . Проверено 1 января 2012 г.

[5] Ближе, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF) . Математические инструменты физики . ISBN 978-0486482125 . Проверено 1 января 2012 г.

[6] «Конспекты лекций» (PDF) . ocw.mit.edu . Проверено 28 июля 2024 г.

[7] Шимански, Джон Э. (1989). Базовая математика для инженеров-электронщиков: модели и приложения . Тейлор и Фрэнсис. п. 154. ИСБН 0278000681 .

[8] Седрик Жюль (25 февраля 2015 г.). «Запекание матриц 2D-преобразования» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Multilinear map Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category

v т и Матричные классы
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
Mathematics portal List of matrices Category:Matrices