Теорема о приручении

В математике теорема ручности утверждает, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой , топологически ручное другими словами, гомеоморфно внутренней части компактного 3-многообразия.

Теорема прирученности была выдвинута Марденом (1974) . Это было доказано Аголом (2004) и независимо Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи . Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных гиперболических 3-многообразий, вместе с теоремой плотности для клейновых групп и конечной теоремой о ламинировании .Отсюда также следует гипотеза о мере Альфорса .

История

Топологическую прирученность можно рассматривать как свойство концов многообразия , а именно наличие локальной структуры произведения. Аналогичное утверждение хорошо известно в двух измерениях, т. е. для поверхностей . Однако, как показывает пример рогатой сферы Александра , среди 3-многообразий существуют дикие вложения, поэтому это свойство не является автоматическим.

Гипотеза была высказана в форме вопроса Альбертом Марденом , который доказал, что любое геометрически конечное гиперболическое 3-многообразие топологически ручное. Эту гипотезу также называли гипотезой Мардена или гипотезой ручных концов .

До того, как гипотеза была решена, наблюдался устойчивый прогресс в понимании приручения. Частичные результаты были получены Терстоном , Броком, Бромбергом, Кэнэри, Эвансом, Мински, Ошикой. ^{[ нужна ссылка ]} Важное достаточное условие ручности в терминах расщеплений фундаментальной группы было получено Бонахоном . ^{[ нужна ссылка ]}

Гипотеза была доказана в 2004 году Яном Аголом и независимо Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи. Доказательство Аголя основано на использовании многообразий суженной отрицательной кривизны и на трюке Канарейки с «дискбастером», который позволяет заменить сжимаемый конец несжимаемым концом, для которого гипотеза уже доказана. Доказательство Калегари-Габаи сосредоточено на существовании определенных замкнутых поверхностей неположительной кривизны, которые они называют «обернутыми».

См. также

Ссылки

Агол, Ян (2004), Укрощение гиперболических трехмерных многообразий , arXiv : math.GT/0405568 .
Калегари, Дэнни ; Габай, Дэвид (2006), «Упаковка и укрощение гиперболических трехмерных многообразий», Журнал Американского математического общества , 19 (2): 385–446, arXiv : math/0407161 , doi : 10.1090/S0894-0347-05 -00513-8 , МР 2188131 .
Габай, Дэвид (2009), «Гиперболическая геометрия и топология трехмерного многообразия» , в Мровке, Томаш С .; Озсват, Питер С. (ред.), Низкомерная топология , IAS/Park City Math. Сер., вып. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 73–103, MR 2503493.
Маккензи, Дана (2004), «Укрощение гиперболических джунглей путем обрезки их непослушных краев», Science , 306 (5705): 2182–2183, doi : 10.1126/science.306.5705.2182 , PMID 15618501 .
Marden, Albert (1974), «Геометрия конечно сгенерированных кляйнских групп», Annals of Mathematics , Second Series, 99 : 383–462, DOI : 10.2307/1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 034992 , ZBL 0282.30014, JSTOR 1971059, г-н 034992 , ZBL 0282.30014.
Марден, Альберт (2007), Внешние круги: введение в гиперболические трехмерные многообразия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7 , МР 2355387 .