Jump to content

Почти сложное многообразие

В математике почти комплексное многообразие это гладкое многообразие, снабженное гладкой линейной комплексной структурой в каждом касательном пространстве . Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти сложные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии .

Эта концепция принадлежит Чарльзу Эресманну и Хайнцу Хопфу в 1940-х годах. [1]

Формальное определение [ править ]

Пусть M — гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на ​​M — это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение , которое приводится в квадрат к −1) в каждом касательном пространстве многообразия, которое плавно меняется на многообразии. Другими словами, у нас есть гладкое тензорное поле J степени что (1, 1) такое, если рассматривать его как векторного расслоения изоморфизм на касательном расслоении . Многообразие, наделенное почти сложной структурой, называется почти комплексным многообразием .

Если M допускает почти сложную структуру, оно должно быть четномерным. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, M что n -мерна и J : TM TM — почти комплексная структура. Если Дж 2 = −1 тогда (это J ) 2 = (−1) н . Но если M — вещественное многообразие, то det J — действительное число, поэтому n должно быть четным, если M имеет почти сложную структуру. Можно показать, что оно должно быть ориентируемым также .

Простое упражнение по линейной алгебре показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает тензор (1, 1) -ранга поточечный (который представляет собой просто линейное преобразование в каждом касательном пространстве) такой, что J p 2 = −1 в каждой точке p . Только когда этот локальный тензор можно соединить вместе и определить глобально, поточечная линейная комплексная структура дает почти комплексную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность такого исправления и, следовательно, существования почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентна редукции структурной группы касательного расслоения от GL(2 n , R ) до GL( n , C ) . В таком случае вопрос существования является чисто алгебро-топологическим и довольно хорошо понятен.

Примеры [ править ]

Для каждого целого числа n плоское пространство R 2 допускает почти сложную структуру. Пример такой почти сложной структуры: (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): для странного я , даже для меня .

Единственными сферами , которые допускают почти сложные структуры, являются S 2 и С 6 ( Борель и Серр (1953) ). В частности, С 4 нельзя дать почти сложное структура (Эресманн и Хопф). В случае С 2 , почти сложная структура происходит от честной сложной структуры на сфере Римана . 6-сфера, S 6 , если рассматривать его как набор мнимых октонионов с единичной нормой , наследует почти сложную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . [2]

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий [ править ]

Точно так же, как сложная структура в векторном пространстве V допускает разложение V С в V + и В. ( собственные пространства J , соответствующие + i и − i соответственно), поэтому почти комплексная структура на M допускает разложение комплексифицированного касательного расслоения TM С (которое представляет собой векторное расслоение комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) в TM + и ТМ . Раздел ТМ + называется векторным полем типа (1, 0), а сечение TM — векторное поле типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0)-векторных полях комплексифицированного касательного расслоения и умножению на - i на (0, 1)-векторных полях.

Точно так же, как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней кокасательного расслоения , мы можем строить внешние степени комплексифицированного кокасательного расслоения (которое канонически изоморфно расслоению двойственных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти сложная структура индуцирует разложение каждого пространства r -форм

Другими словами, каждое Ω р ( М ) С допускает разложение в сумму Ω ( п , q ) ( M ), где р знак равно п + q .

Как и в любой прямой сумме , существует каноническая проекция π p , q из Ω р ( М ) С к Ом ( п , q ) . У нас также есть внешняя производная d, которая отображает Ω р ( М ) С к Ом р +1 ( М ) С . Таким образом, мы можем использовать почти сложную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа.

так что — это отображение, которое увеличивает голоморфную часть типа на единицу (преобразует формы типа ( p , q ) в формы типа ( p +1, q )), и — отображение, увеличивающее антиголоморфную часть типа на единицу. Эти операторы называются операторами Дольбо .

Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественным отображением , заметим, что внешнюю производную можно записать

Интегрируемые почти сложные структуры [ править ]

Каждое комплексное многообразие само по себе является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах можно определить карты

(точно так же, как вращение π/2 против часовой стрелки) или

Легко проверить, что это отображение определяет почти сложную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии дает почти сложную структуру, о которой говорят, что она «индуцирована» сложной структурой, а о комплексной структуре говорят, что она «совместима» с почти комплексной структурой.

Обратный вопрос: подразумевает ли почти сложная структура существование сложной структуры, гораздо менее тривиален и вообще неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанный выше канонический вид в любой заданной точке p . Однако в общем случае невозможно найти координаты, чтобы J принимал канонический вид во всей окрестности точки p . Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, то они соединяются вместе, образуя голоморфный атлас для M, придающий ему сложную структуру, которая, кроме того, индуцирует J . Тогда J называют « интегрируемым ». Если J индуцируется сложной структурой, то он индуцируется единственной комплексной структурой.

Учитывая любое линейное отображение A на каждом касательном пространстве M ; т. е. A — тензорное поле ранга (1, 1), то тензор Нийенхейса — это тензорное поле ранга (1,2), заданное формулой

или, в обычном случае почти комплексной структуры A=J такой, что ,

Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей X и Y , но левая часть фактически зависит только от поточечных значений X и Y , поэтому NA является тензором. Это также ясно из формулы компонента

В терминах скобки Фрелихера–Нийенхейса , которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нийенхейса составляет NA всего лишь половину [ A , A ].

Теорема Ньюлендера-Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N J = 0. Как обсуждалось выше, совместимая комплексная структура уникальна. Поскольку существование интегрируемой почти комплексной структуры эквивалентно существованию сложной структуры, это иногда принимают за определение сложной структуры.

Существует еще несколько критериев, эквивалентных обращению в нуль тензора Нийенхейса и, следовательно, дающих методы проверки интегрируемости почти сложной структуры (фактически каждый из них можно найти в литературе):

  • Скобка Ли любых двух (1, 0)-векторных полей снова имеет тип (1, 0).

Любое из этих условий предполагает существование единственной совместимой комплексной структуры.

Существование почти сложной структуры является топологическим вопросом, и на него относительно легко ответить, как обсуждалось выше. С другой стороны, существование интегрируемой почти сложной структуры — гораздо более сложный аналитический вопрос. Например, до сих пор неизвестно, является ли S 6 допускает интегрируемую, почти сложную структуру, несмотря на долгую историю совершенно непроверенных утверждений. Вопросы плавности важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера-Ниренберга следует из теоремы Фробениуса ; для С (и менее гладко) J , требуется анализ (с использованием более сложных методов по мере ослабления гипотезы регулярности).

Совместимые тройки [ править ]

Предположим, что снабжено симплектической формой ω , римановой метрикой g и почти комплексной структурой J. M Поскольку ω и g невырождены ω , каждое из них индуцирует изоморфизм расслоения TM → T*M , где первое отображение, обозначаемое φ ω , задается внутренним произведением φ ω ( u ) = u = ω i ( u , •) и другой, обозначаемый , g определяется аналогичной операцией для φg . Если это понимать, три структуры ( g , ω , J ) образуют совместимую тройку , когда каждая структура может быть определена двумя другими следующим образом:

  • г ( ты , v ) знак равно ω ( ты , Jv )
  • ω( ты , v ) знак равно г ( U , v )
  • J ( ты ) знак равно ( φ г ) −1 ( ж ω ( ты )).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, если соответствующая конструкция дает структуру заданного типа. Например, ω и J совместимы тогда и только тогда, когда ω (•, J •) является римановой метрикой. Расслоение на М, сечениями которого являются почти комплексные структуры, совместимые с со, имеет сжимаемые слои : комплексные структуры на касательных слоях, совместимые с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω , можно показать, что совместимая почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики ω ( u , Jv ). Кроме того, если J интегрируемо, то ( M , ω , J ) — кэлерово многообразие .

Эти тройки связаны со свойством унитарной группы 2 из 3 .

Обобщенная почти сложная структура [ править ]

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти комплексной структуры на многообразии M , которое было развито в докторских диссертациях его студентов Марко Гуалтьери и Хиля Кавальканти . Обычная почти комплексная структура представляет собой выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM . Обобщенная почти комплексная структура — это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированных касательных и кокасательных расслоений . В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подрасслоения и его комплексно-сопряженного числа давала исходный расслоение.

Почти комплексная структура интегрируется в комплексную структуру, если полумерное подпространство замкнуто скобкой Ли . Обобщенная почти комплексная структура интегрируется в обобщенную комплексную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта . Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора , то M является обобщенным многообразием Калаби–Яу .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ван де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Чженя некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук . 55 (6): 1624–1627. Бибкод : 1966PNAS...55.1624V . дои : 10.1073/pnas.55.6.1624 . ПМК   224368 . ПМИД   16578639 .
  2. ^ Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . дои : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID   119297359 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6ace7e6e24eaf0f458f66cf274694bf4__1709758500
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6a/f4/6ace7e6e24eaf0f458f66cf274694bf4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Almost complex manifold - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)